河南省太康县第一高级中学2018学年高一下学期第一次开学考试数学试题 含答案

2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则a|c|>b|c|B. 若a >b ，则1a 2<1b 2C. 若a c 2>b c 2，则a >bD. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=06.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. a <2B. a >2C. −2<a <2D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A. 16B. 18C. 25D. 812二、多选题：本题共3小题，共18分。

河南省周口市太康县第一高级中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题（A 卷）第Ⅰ卷一.选择题1.已知集合}1|){(22=+=y x y x A ，，}|){(x y y x B ==，，则A B 中元素的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．02.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．（∞-，2-）B ．（∞-，1-）C ．（1，∞+）D ．（4，∞+） 3.已知函数)(x f 满足0)6()2(=-++x f x f ，现将函数)(x f 的图象按照平移，得到函数)1sin(2)(+++=x x x g 的图象，则=（）A .（5-，1）B .（1-，2）C ．（4-，2-）D ．（1，3） 4.甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低； ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩方差. 上面说法正确的是（）A .③④B . ①②③C . ②④D . ①③④5.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为32，则的阴影区域面积为（）A .34B .38C .32D .无法计算 6.函数|sin |2sin )(x x x f +=，0[∈x ，2π]的图象与直线k y =有且仅有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A .（0，1）B .（1，2）C .（1，3）D . （0，3）7.已知3||=a ，5||=b ，且a 与b 的夹角︒=45θ，则向量a 在向量b 上的投影为（）A . 3B . 4C . 5D .223 8.=︒+︒)10tan 31(50sin （）A . 1B . 2C . 3 D. 49.如果满足︒=∠60ABC ，6=AC ，x BC =的ABC ∆有且只有两个，则x 取值范围是（） A .60<<x B .346<<x C .126<<x D .1234<<x 10.在ABC ∆中，︒=30B ，2=b ，则=+-+-CB A cb a sin sin sin （）A .22B .32C .22D .23 11.在ABC ∆中，c b a ，，分别是角C B A ，，的对边，已知B c C b a cos 3(cos )3(=⋅-)cos A -，则=ABsin sin （） A . 2 B . 3 C . 4 D . 512.已知△ABC 的重心为G ，内角C B A ，，的对边分别为，，b a c ，若++b a 023=GC c ，则角C 的余弦值为（） A .21B .22C .61D .31 第Ⅱ卷二.填空题13.=︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin .14.如图，正方形ABCD 的边长为1，Q P ，分别为边DA AB ，上的点. 当APQ ∆的周长为2时，PCQ ∠的大小为.15.已知9cos 5sin 13=+βα，15sin 5cos 13=+βα，则)sin(βα+的值为.16.已知)(x f 为偶函数且在]01[，-上为增函数，设βα，为锐角三角形的两个内角，则)(sin αf 与)(cos βf 的大小关系是.三.解答题17.设ABC ∆的三内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且=+C C A sin cos sin 2B sin 2.（1）求A 的大小；（2）若2=a ，求ABC ∆的周长L 的取值范围.18.设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中30<<ω. 已知π()06f =. （1）求)(x f 的解析表达式并求出其最小正周期；（2）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 在5π[12-，7π]12上的最大、最小值.19.如图，B A ，是海面上位于东西方向相距)33(5+海里的两个观测点. 现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的求救船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试问该救援船到达D 点需要多长时间？20.从某校高一年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组 [160，165），……，第八组 [190，195]，如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图 .（1）根据已知条件填写下表：(2)试估计这所学校高一年级800名学生中身高在180 cm 以上（含180 cm ）的人数为多少？ (3)在样本中，若第二组有1名，其余为女生；第七组有1名女生，其余为男生；在第二组和第七组中各选一名同学组成试验小组，问：实验小组中恰有一男一女的概率是多少？21.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，且11==AA AB ，F E ，分别为1CC ，BC 的中点.（1）求证：⊥F B 1平面AEF ； （2）求三棱锥F AB E 1-的体积 .22.已知圆1C ：02422=+-+y x y x 与圆2C ：0222=-+y y x 相交于B A ，两点. （1）求过B A ，两点且圆心在直线22=+y x 上的圆C 的标准方程；（2）设Q P ，是圆C 上两点，且满足1||||=⋅，求坐标原点到直线PQ 的距离.【参考答案】一.选择题1-12BDAAB ADABA BD 二.填空题： 13.161 14.π4 15.6556 16.)(cos )(sin βαf f < 三.解答题17.解：（1）πA B C ++=∵，π()B A C ∴=-+，)sin(sin C A B +=， 由B C C A sin 2sin cos sin 2=+，得)sin(2sin cos sin 2C A C C A +=+， 所以C A C A C A C C A sin cos 2cos sin 2)sin(2sin cos sin 2+=+=+， ∴C A C sin cos 2sin =. 又(0π)C ∈，，∴0sin ≠C ，∴21cos =A ，∴π3A =. （2）由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==，C A C a c sin 32sin sin ==. ∴)]sin([sin 321)sin (sin 321B A B C B c b a L +++=++=++=1π12(cos )12sin()226B B B =++=++， ∵π3A =，∴2π(0)3B ∈，，∴ππ5π()666B +∈，，∴π1sin()(1]62B +∈，.∴]43(，∈L .18.解：（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以x x x x x x f ωωωωωcos 23sin 23cos cos 21sin 23)(-=--=1πsin ))223x x x ωωω=-=-，由题设知π()06f =，所以πππ63k ω-=，k ∈Z . 故62k k ω=+∈Z ，，又30<<ω，所以2=ω，∴π())3f x x =-，其最小正周期为π.由（1）知，π())3f x x =-，所以ππ())43g x x =+-=-x sin(3π)12， 因为∈x 5π[12-，7π]12，所以π12x -∈π[2-，π]2，因此)(x g 在5π[12-，7π]12上的最大、最小值分别为3，3-.19.解：由题意知)33(5+=AB 海里，∵︒=︒-︒=∠306090DBA ，︒=∠45DAB ， ∴︒=︒+︒-︒=∠105)3045(180ADB . 在DAB ∆中，由正弦定理得︒︒+︒︒︒⋅+=︒︒⋅+=∠∠⋅=60sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(5105sin 45sin )33(5sin sin ADB DAB AB BD =31023)13(35=+（海里），又︒=︒-︒+︒=∠+∠=∠60)6090(30ABC DBA DBC ，320=BC 海里，在DBC ∆中，由余弦定理得1200300cos 2222+=∠⋅⋅-+=DBC BC BD BC BD CD 900213203102=⨯⨯⨯-，∴30=CD （海里），∴需要的时间13030==t （小时）.20.解：（1）由频率分布直方图，得第七组的频率为：06.05)06.0204.02016.02008.0(1=⨯+⨯+⨯+⨯-，所以第七组的人数为：0.06 × 50 = 3. 同理可完成表格，如下表：由频率分布直方图，得后三组的频率和为：0.08 + 0.06 + 0.04 = 0.18. 估计这所学校高一年级800名学生中身高在180 cm 以上（含180 cm ）的人数为800×0.18 = 144 .第二组中的四人可记为d c b a ，，，其中a 为男生，d c b ，，为女生，第七组中的三人可记为1， 2， 3，其中1， 2为男生，3为女生，基本事件列表如下表：所以基本事件有12个. 实验小组中恰有一男一女的事件有（1，b ），（1，c ），（1，d ），（2，b ），（2，c ），（2，d ），（3，a ），共7个 . 因此实验小组中恰有一男一女的概率是127. 21.（1）证明：∵ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，且11==AA AB ， ∴1=AC . 由题意知⊥AF 平面11CBB C ，∴F B AF 1⊥. 经计算261=F B ， 23=EF ，231=E B ，∴22121EF F B E B +=，∴EF F B ⊥1. ∴⊥F B 1平面AEF . （2）解：由题意知⊥AF 平面11CBB C ，则EF AF ⊥，∴AEF ∆是直角三角形. ∵22=AF ，23=EF ，∴86222321=⨯⨯=∆AEF S .由（1）得⊥F B 1平面AEF ，∴812686311=⨯⨯==--AEF B F AB E V V . 22.解：（1）由题意可设过两圆交点B A ，的圆系方程为0)2(242222=-+++-+y y x y x y x λ，它的圆心为λ+12(，)11λλ+-，代入直线方程22=+y x ，解得1=λ. 所以圆C 的标准方程为1)1(22=+-y x . （2）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为b kx y +=，)(11y x P ，，)(22y x Q ，.由⎩⎨⎧+==+-,,1)1(22b kx y y x 得0)1(2)1(222=+-++b x kb x k ，∴22211k b x x +=. ① ∵1||||=⋅，∴1))((22222121=++y x y x . ∵1)1(2121=+-y x ，1)1(2222=+-y x ， ∴1])1(1][)1(1[22222121=--+--+x x x x ，∴4121=x x . ② 由①②可得41122=+k b ，即211||2=+k b ，∴坐标原点到直线PQ 的距离211||2=+=k b d . 当直线PQ 的斜率不存在时，由题意易知直线PQ 的方程为21=x ，此时坐标原点到直 线PQ 的距离也为21. 综上所述，坐标原点到直线PQ 的距离为21.。

太康一高高一下期 数学试题2017-5-11 考试时间：120分钟一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知变量x ，y 线性负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A ．y = 0.4x + 2.4 B ．y = 2x + 2.4C ．y = ﹣2x + 9.5D ．y =﹣0.2x + 4.42.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，533.我校15届高二有840名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1,2,,840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[]481,720的人数为（ ）..A 11 .B 12 .C 13.D 144.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．m=4C ．可以预测，当x=11时，y=2.6D ．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）5.从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，其中：①至少有一个偶数与都是偶数；②至少有一个偶数与都是奇数；③至少有一个偶数与至少有一个奇数；④恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是（ ）A．①B．② C．③D．④6.设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A． B． C． D．37.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )8.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位9.函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,)2A πωφ>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()6f x x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=- B ．C ．()2sin(2)12f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=-10.已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n （ ）A ．mn = 1B ．mn = ﹣1C m+n = 1D ．m+n =﹣111.计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：例如用16进制表示D+E ＝1B ，则A ×B=( )（A ） 6E (B) 7C (C)5F (D) B012.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则()sin()f x x ωϕ=+（ ）（A ）在区间[,]63ππ-上单调递减 （B ）在区间[,]63ππ-上单调递增 （C ）在区间[,]36ππ-上单调递减 （D ）在区间[,]36ππ-上单调递增 二．填空题（共20分）13.已知样本数据a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差s 2=51（a 12+a 22+a 32+a 42+a 52﹣80），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为．14. 已知= （1，—2）， = （1，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围．15.已知向量，的夹角为，且|=1，， |= ．16.若单位向量满足，则在方向上投影为．三、解答题（本题共6道小题，70分）17.（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？18.（12分）甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．19.（12分）已知函数f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13．（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），骰子向上的数字依次记为a ，b ，求方程f （x ）=0有两个不等正根的概率； （2）如果a ∈[2，6]，求函数f （x ）在区间[2，3]上是单调函数的概率．20.（12分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如表：且已知产量x 与成本y 具有线性相关关系（a ，b 用小数表示，结果精确到0.01）． （1）求出y 关于x 的线性回归方程（给出数据x i y i =1481）；（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？21.（12分）设f （α）=（1）化简f （α），并求f （﹣）；（2）若f （α ）=，求cos α．22.（12分）已知函数sin()(002y A x A πωϕωϕ=+>><，，的图象过点(,0)12P π，且图象上与P 点最近的一个最高点坐标为(,5)3π.⑴ 求函数的解析式； ⑵指出函数的增区间； ⑶若将此函数的图象向左平行移动6π个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域.高一数学答案及解析 2017-5-111-12 CABBD DBDBA AB 13. 9 14.(﹣∞，—2) U （—2，21） 15. 3 16. ﹣1 17.(10分) 解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；……2分 （2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1； 第二组的频率为0.0004×500=0.2； 第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x ，则x ×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400． ∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400， 样本数据的平均数为2400（元）； ……6分 （3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）． ……10分18 (12分) 解：（1）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到的成绩为y ，用（x ，y ）表示从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件，记甲的成绩比乙高为事件A ，从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，有（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，9）、（6，6）、（6，7）、（6，8）、（6，9）、（9，6）、（9，7）、（9，8）、（9，9）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9），共16个基本事件；则A 包含（9，6）、（9，7）、（9，8）、（10，6）、（10，7）、（10，8）、（10，9）， 共7个基本事件； P （A ）=； ……6分（2）甲成绩的平均数为==7.5乙成绩的平均数为==7.5，甲成绩的方差S 12= =4.25，乙成绩的方差S22= =1.25，比较可得， =，而S12＞S22，即乙的成绩比较稳定；选派乙参加决赛比较合适．……12分19. (12分) 解：（1）如果先后抛掷的一枚均匀的骰子所得的向上的点数记为（a，b），则基本事件总数n=6×6=36，设事件A表示“f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13=0有两个不等正根“，则事件A满足：，满足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4个，∴方程f（x）=0有两个不等正根的概率p（A）=……6分（2）设事件B表示“函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数”，∵a∈[2，6]，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13的对称轴为x=a﹣2∈[0，4]，区间长为4，f（x）在区间[2，3]上为增函数时，只要对称轴不在[2，3]上即可，∴对称轴不在[2，3]的区间长为3，根据几何概型定义得函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数的概率P（B）=……12分20. (12分) 解：解：（1）==3.5，==71．=22+32+42+32+42+52=79，=1481，∴b== ≈﹣1.82．A == 71+1.82×3.5 = 77.37．∴y关于x 的线性回归方程是= ﹣1.82x+77.37．……6分（2）∵b=﹣1.82＜0，产量x的单位为千件，∴产量每增加1000件时，单位成本平均减少1.82元．……9分（3）当x=6时， =﹣1.82×6+77.37=66.45．∴当产量为6000件时，单位成本大约为66.45元． ……12分21. (12分) 解： （1）f （α）===﹣tan α，可得：f （﹣）=﹣tan （﹣）=tan =．……5分（2）∵f （α ）=﹣tan α=，可求：tan α=﹣，∴cos 2α= 2925∵ tan α=﹣ ∴α为第二或第四象限角当α为第二象限角时： cos α = -当α为第四象限角时： cos α = ……12分22. (12分) ⑴由已知可得5,243124T A T ππππω==-=∴== 5sin(2)y x ϕ∴=+由5sin(2)012πϕ⨯+=得066ππϕϕ+=∴=-5sin(2)6y x π∴=-……4分⑵由222()26263k x k k x k k z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈得∴增区间是,()63k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……6分⑶()5sin 2()25sin(2)2666g x x x πππ⎡⎤=+--=+-⎢⎥⎣⎦ ……8分 5263666x x πππππ-≤≤∴-≤+≤19sin(2)1()3262x g x π-≤+≤-≤≤ ()g x ∴的值域为9,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦……12分。

太康县第一高级中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 3． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=C ．(1)2n n n a += D ．21n a n =+ 4． 复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限5． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1e xf x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．－1B ．12C ．1D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．7． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力. 8． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣29． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,1}--B ．{1,1,2}-C ．{1,1}-D ．{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 10．已知集合，则A0或 B0或3C1或D1或311．已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 12．在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）A ．251B ．253C ．255D ．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.14．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1ia =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．已知点E 、F 分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .16．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.三、解答题（本大共6小题，共70分。

太康县一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③D ．③④2． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．3． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（e ﹣1，1）C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ）4． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35． 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（）A ．12B ．10C ．8D ．26． 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）βα,A ．若，，则 B ．若，，则α⊥l βα⊥β⊂l α//l βα//β⊂l C ．若，，则 D ．若，，则α⊥l βα//β⊥l α//l βα⊥β⊥l 7． 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）1()1x f x ae x a -=+--a A ．B ．C ．D ．[1,1]-[0,1]{1}(0,1]-U {1}[0,1)-U 8． 已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12,x x （），那么的取值范围为（ ）12x x <12()x f x ∙班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．3[,1)41[831[,1623[,3)89． 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-12zz （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．10．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）A ．9B ．C ．3D ．11．已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{a|3≤a ≤4}B ．{a|3＜a ≤4}C ．{a|3＜a ＜4}D ．∅12．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．1＜e ＜B ．e ＞C ．e ＞D ．1＜e ＜二、填空题13．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．14．把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．15．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．16．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．17．的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）81()x x-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.18．下列命题：①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=，k ∈Z}；②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；③把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x 的图象；④函数y=sin （x ﹣）在[0，π]上是减函数其中真命题的序号是 ．　三、解答题19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．（I）求C的值；（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4。

太康一高高二上期数学第一次考试试卷2017.9说明：1、满分为150分。

考试时间 120分钟。

2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号 一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.在△ABC 中，边长为3，33，6的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A.90° B.120° C135° D.150°2.在ABC ∆中，内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，已知c b 58=，B C 2=,则=C cos （ ） A.257 B. 257- C.257± D.2543.在△ABC 中， =，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形4.在等差数列{}n a 中，若605139=-a a ，则=++++1211854a a a a a （ ） A.70 B.75 C . 80 D. 855.九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则（ ）天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0. 1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍． （ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.86.等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=1，a 4+a 5+a 6=8，则该等比数列的公比为 （ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣2或1D ．2或﹣17.在等比数列{a n }中，a 5•a 11=3，a 3+a 13=4，则= （ ）A ．3B ．﹣C ．3或D ．﹣3或﹣8.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于 （ ） A.18 B.36 C.45 D.609.在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=3，则三角形外接圆的半径为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．410.若{}n a 是等差数列，首相01>a ，公差0<d ，且0)(201320122013<+a a a ，则使数列{}n a 的前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 的值是 （ ）A. 4027B. 4026C. 4025D. 4024 11.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ）A.50B.35C.55D.4612.在等比数列{a n }中，若a 1=1，公比q=2，则a 12+a 22+…+a n 2= （ ）A ．（2n﹣1）2B ．（2n﹣1） C ．4n﹣1 D ．（4n﹣1） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一座塔底D 的正西方向A 处测得塔顶C 的仰角是45，在D 处的南偏东60的B 处测得塔顶C 的仰角是30，AB 的距离是m 84，则塔的高度为14.n n T S 、分别设是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，已知*,2412N n n n T S n n ∈-+= ，则=+++1561118310b b a b b a15.若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n = d(n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20 = 200，则x 5＋x 16 =16.设数列{a n }中，a 1=3，（n ∈N *，n ≥2），则a n =三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， asin A ＋csin C －2asin C ＝bsin B.(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c.18.（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 3=7， a 3+a 7=26． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令（n ∈N *），求数列{b n }的最大项和最小项．19.（本小题满分12分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知．（1）求角B 的大小；（2）若b=2，求a+c 的取值范围．20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前项和n n S n 102+-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令||n n a b =，求数列{}n b 的前和n T 的表达式.21.（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和，令b n =log 9a n+1．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）若数列{b n }的前n 项和为T n ，数列的前n 项和为H n ，求H 2017．22.（本小题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a n ﹣1 （1）求证数列{a n ﹣1}是等比数列（2）设b n =n •（a n ﹣1），求数列{b n }的前n 项和S n ．太康一高高二上期第一次考试数学答案2017.91-5 BACBC 6-10 BCCBD 11-12 CD 13. 127m 14.784115. 20 16.（3n ﹣2）•3n．17.（本题满分10）解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45° （5分） (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋ 3. c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6 （10分）18.（本题满分12）解：（1）由题意，所以a n =2n+1 （4分）（2）由（1）知：又因为当n=1，2，3时，数列{b n }递减且；当n ≥4时，数列{b n }递减且；所以，数列{b n }的最大项为b 4=8，最小项为b 3=﹣6 （12分）19.（本题满分12）解：（1）在△ABC 中，∵，∴，∴，∵sinC＞0．∴，即…而B∈（0，π），则．（6分）（2）由得，∴ a + c =∵，∴∴∴ a+c∈（2，4] （12分）20.（本题满分12）解：（1）当≥2时，=-=-1nnnSSa nnnnn211)1(10)1(1022-=---++-，又当1=n时，91101211=⨯+-==Sa，适合上式，故数列{}n a的通项公式是.211nan-=（5分）（2）当≤5时，0>na，此时nnSTnn102+-==；当5>n时，0<na，此时||||||||||||76521nnaaaaaaT+++++++=）（）（naaaaaaaa+++-++++=7654321）（）（naaaaaaaa+++-++++=215432125010225+-=-=nnSSn.故⎩⎨⎧>+-≤+-=).5(,5010)5(,1022nnnnnTn（12分）21.（本题满分12）解：（1）当n=1时，；当n≥2时，．a1=1适合上式，∴．则b n=log9a n+1=，即数列{b n}的通项公式；（6分）（2）由，得．则．于是=，则．（12分）22.（本题满分12）解：（1）证明：∵a n+1=2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n﹣1=2n﹣1，即a n=1+2n﹣1．（5分）（2）b n=n•（a n﹣1）=n•2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①∴2S n=2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n•2n，②由①﹣②，得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1．∴S n=（n﹣1）•2n+1．（12分）。

周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学（人教版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数（ ）A.-2B.2C.-1D.13.从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（）A.B. C. D.4.已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）A.若，则可能平行､异面或者相交B.若，则与可能平行､相交或者C.若，则D.若，则5.已知向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.6.在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（）i z1i 1z =-z z =1i -1i +2i +2i-()212,,1,a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭a b ⊥ x =22,33,44,5512131656,m n αm ∥,n α∥α,m n m ∥,m n α⊥n αn α⊂,m m n α⊥⊥n α⊂,m n αα⊥⊂m n⊥)(),2sin ,2cos ,24a b a b ααββ==-=b a 2b 2a12b - 12a- 1111ABCD A B C D -11B A DC -1111ABCD A B C D -A.3B.4C.6D.87.经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ）A.B. C. D.38.在中，角所对的边竹别是，若的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示为四边形的平面图，其中，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（）A.B.C.四边形为等腰梯形D.四边形的周长为10.设是一个随机试验中的三个事件，且与互斥，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若事件相互独立，则C.D.32179177ABC ,,A B C ,,a b c 6,b ac==B π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ABCD AB ∥,24,,CD AB CD AD AB AD ==⊥=A B C D ''''45x A y ∠'''= A D ''=4A B ''=A B C D ''''A B C D ''''6+,,A B C ()()14,,35P A P B A ==C ()715P A B +=()215P AB =,A B ()415P AB =()29P AC =()13P AC =11.在三棱锥中，底面为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ）A.的最小值为1B.的最小值为C.当取得最小值时，球与侧面的交线长为D.当取得最小值时，球与侧面的交线长为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为__________.13.在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________.14.已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了全面提高学生素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；（3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.16.（15分）已知复数为虚数单位，.（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；A BCD -AB ⊥,2,1,tan BCD AD BC CBD ∠===B 6πA BCD -R R R 32R B ACD π6R B ACD π3z z 2z z +=z 11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18ABC ,M N ,BC AC BM CNBC CA=AM MN ⋅ a ()1223i,2i,i z a a z a =-+-=+a ∈R 1z a（2）若是方程的根，求.17.（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.（1）求三名同学都正确解出这道题的概率；（2）求小王正确解出这道题的概率.18.（17分）如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.（1）求直线与平面所成角的大小.（2）若直线分别与直线所成的角相等，且.①求二面角的大小；②求三棱锥的体积.19.（17分）三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知整边三角形的内角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积.12z z +()220x x b b -+=∈R 2z 3411214,,A B C ,,A B C ()()()()P ABC P A P B P C =PO P ABC -O ABC D AP 2AD AO ==OD ∥PBC AP ABC AP ,BP CP BO CO PO ==P BC A --P ABC -ABC ,,A B C ,,a b c 22cos sin sin 2cos2A AB B -=2a c b +=2C A =a ABC数学（人教版）参考答案1.B 【解析】因为，所以，故.故选B.2.A 【解析】因为，所以，解得.故选A.3.B 【解析】从这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有，，共6种，其中满足两个数的和大于87的结果有，共2种，所以任取两个数的和大于87的概率.故选B.4.C 【解析】若，则可能平行､异面或者相交，故A正确；若，则与可能平行､相交或者，故B正确；若，则与可能平行，也可能，故C错误；若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确.故选C.5.D 【解析】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为.故选D.6.C 【解析】设正方体的棱长为，易知三棱锥为正四面体，则其棱长为，解得，故正方体的棱长为6.故选C.7.B 【解析】丙样本每天使用电脑时间的平均数为（小时），故丙样本每天使用电脑时间的方差为.故选B.8.C 【解析】，当且仅当时取等号，1i1z=-111iiz=+=-1iz=+a b⊥20x+=2x=-22,33,44,55()()()()22,33,22,44,22,55,33,44()()33,55,44,55()()33,55,44,552163P==m∥,nα∥α,m nm∥,m nα⊥nαnα⊂,m m nα⊥⊥nαnα⊂,m nαα⊥⊂m n⊥24a b-=224416a b a b+-⋅=22||2,||4a b==1a b⋅=-ba21||2a ba aa⋅⋅=-1111ABCD A B C D-a11B A DC-=321)7233a==6a=1111ABCD A B C D-40820723603⨯+⨯=4060⨯2223202317281736039⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222218122a cb ac bac Bac ac ac+--===-…a c=3，即.故选C.9.BC 【解析】由题意可画出其直观图如下，其中A 错误，B 正确；过点分别作，垂足分别为点，故，，故，则四边形为等腰梯形，故C 正确；故四边形的周长为，即D 错误.故选BC.10.BD 【解析】对于选项，因为，，所以，所以A 选项错误；对于选项，因为事件相互独立，所以，所以选项正确；对于C 选项，因为事件与互斥，故，所以选项错误；对于D 选项，，所以选项正确.故选BD.11.AC 【解析】因为底面，故，设，则，由，且，得在中，由余弦定理得.设的外接圆半径为，在cos 1B B ∴…3cos B B +…πsin 3B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()ππ4πππ2ππ0,π,,,,,0,3333333B B B B ⎛⎫⎛⎤⎛⎤∈∴+∈∴+∈∴∈ ⎪ ⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎦A B ''∥,4,C D A B AB C D ===''''''12,2CD A D AD '=='=,D C '',D M A B C N A B '''⊥'⊥'',M N sin451A M D M C N A D ''''==='= 1NB A B C D A M ''''-'=-='B C ''=A B C D ''''A B C D ''''426++=+A ()()()()()1,3P A B P A P B P AB P A +=+-=()()47,515P B P A B =+=()()()()147235153P AB P A P B P A B =+-+=+-=B ,A B ()()()415P AB P A P B ==B AC ()0P AC =C ()()()13P AC P A P AC =-=D AB ⊥BCD ,,AB BD AB BC AB CD ⊥⊥⊥BDA ∠θ=2cos ,2sin BD AB θθ==tan CBD ∠=()0,πCBD ∠∈sin CBD CBD ∠∠==BCD 22222cos 14cos CD BC BD BC BD CBD ∠θθ=+-⋅⋅=+-BCD r中，由正弦定理得，则，当时，取得最小值1，故A 正确，B 错误.此时，又，所以.又因为，所以平面，过点作交于点，则，所以侧面.而，设球的半径为，则，所以.由，设，则点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取研究，当在上时，，所以；当在上时，在中，由正弦定理得.因为，所以，故，.因为，所以，所以点在侧面上的运动轨迹是半径为1，圆心角为的圆弧，弧长为，所以当取得最小值时，球与侧面的交线长为，故C 正确，D 错误.故选AC.12.1 【解析】设，为虚数单位，则，由题意可得，解得，故的实部为1.13.15.5 【解析】因为，所以这组数据的上四分位数是.14. 【解析】设，其中，则BCD 22222334,cos sin 82CD r r CBD θθ∠==+2222111sin cos 82R r θθθ=+=+cos θ=R CD AC ===2AD =CD AC ⊥CD AB ⊥CD ⊥ABC B BE AC ⊥AC E CD BE ⊥BE ⊥ACD BE =B d 24π6πd =232d =2312-=1EF =F ACD B ACD Rt ACD 1F CD 11CE EF ==145CEF ∠=2F AD ACD 22sin sin EF AE CAD AF E ∠∠==21sin 2AF E ∠=45CAD ∠= 2150AF E ∠< 230AF E ∠= 2105AEF ∠= 145CEF ∠= 1230F EF ∠= F ACD 30 ππ62π2π6⋅=R B ACD π6i,,z a b a b =+∈R i i z a b =-()()i i 22z z a b a b a +=++-==1a =z 1275%9⨯=151615.52+=43-,BM tBC CN tCA == 01t <<()()AM MN MA NM BA BM CB BM CN⋅=⋅=-⋅+-，所以当时，取得最大值.15.解：（1）由题意知，，解得.（2）由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）.（3）由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）.16.解：（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以解得.（2）由题意可得，故，即，所以解得，故.17.解：（1）由题意得，，所以三名同学都正确解出这道题的概率为.（2）因为，所以.又，()()()()1BA tBC CB tBC tCA BA tBC t CB tCA ⎡⎤=-⋅+-=---⎣⎦()()211t BA CB tBA CA t t BC CB t BC CA=-⋅-⋅--⋅+⋅()()2211t BA BC t AB AC t t BC t CB CA =--⋅-⋅+--⋅ ()()2212412t t t t t=---+--()()214cos604cos60414cos60t t t t t =--⋅⋅-⋅⋅+--⋅⋅()221223212333t t t ⎡⎛⎫⎤=-+-=---⎢ ⎪⎥⎝⎭⎦⎢⎣13t =AM MN ⋅ 43-0.16100.300.200.101a ++++=0.024a =50.16150.24250.30350.20450.10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()20000.200.10600⨯+=1z 20,30,a a ->⎧⎨->⎩()2,3a ∈123i z z a +=+()2(3i)23i 0a a b +-++=()22966i 0a a b a -+-+-=2290,660,a ab a ⎧-+-=⎨-=⎩1a =22i z =+==()()()()()()3134416P ABC P A P B P C P A P BC ===⨯=316()34P A =1()4P A =1(()()12P AC P A P C ==所以，即.又，所以.所以小王正确解出这道题的概率为.18.解：（1）因为为三棱锥的高，故底面.又平面，故.因为点为的中点，故，则为等边三角形，故.又底面，则即为直线与平面所成的角，故与平面所成角的大小为.（2）①如图，延长交于点，连接.直线为过直线的平面与平面的交线，又平面，故.又为的中点，故为的中点.则，又平面平面，故，故.因为直线与直线所成的角相等，所以.1()3P C =()23P C =()()()14P BC P B P C ==()38P B =38PO P ABC -PO ⊥ABC AO ⊂ABC PO AO ⊥D AP AD AO OD ==ADO π3DAO ∠=PO ⊥ABC DAO ∠AP ABC AP ABC π3AO BC E PE PE DO APE PBC OD ∥PBC OD ∥PE D AP O AE 2,AO AD OE OD BO PO CO =======PO ⊥,,ABC BO CO ⊂ABC ,PO BO PO CO ⊥⊥PB PC =AP ,BP CP BPA CPA ∠∠=在与中，故，故.在与中，故，故，即为的平分线，又，则，且为的中点，又，则，则即为二面角的平面角，则，则二面角的大小为.②由，可知，则，故19.解：（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理及余弦定理可得，BPA CPA ,,,AP AP BPA CPA PB PC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩BPA CPA ≅ AB AC =ABO ACO ,,,AO AO AB AC BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩ABO ACO ≅ BAO CAO ∠∠=AE BAC ∠AB AC =AE BC ⊥E BC PB PC =PE BC ⊥PEO ∠P BC A --π3PEO DOA ∠∠==P BC A --π32,OE BO ==BE ==BC =11432P ABC V -=⨯⨯=三棱锥22cos 2cos sin 1cos sin 2cos 2A A AB B B --==+sin sin cos 2sin cos sin A A B B A B +=-()πC A B =-+()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin sin 2sin A C B +=sin sin sin a b c A B C==2a c b +=2C A =sin sin a c A C=222cos 2b c a A bc +-=222sin22cos sin c A b c a A a A bc+-====，解得（舍）或，故，则，所以因为，所以的最小值为4，此时，所以整边三角形的面积为.()()()222bc a c a b bc a bcbc ++-+-==()()245322b c a c a c a c a c c c+-++--==c a =32c a =54b a =3cos 24c A a ==sin A ==*,,a b c ∈N a 4,5,6a b c ===ABC 1sin 2bc A =1562⨯⨯=。

河南省周口市太康县第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知,R a b ∈，()2i i i a b -=-，若i z a b =+，则z 的虚部是（ ） A ．-2B ．1C ．-2iD ．2i2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，则a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a ，b 和平面α，β，满足a αβ⋂=，//b α，//b β，则//a bC ．若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则//a bD ．若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行3．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D 4．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2A O A B A C =+u u u r u u u r u u u r ，OA AC =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14CB u u urB u urC ．14CB -u u u rD ．12CB u u ur5．某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.购买平层与复式结构户数之比为2∶3，购买平层户型的业主满意度平均分为8，购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（ ） A ．8.4B ．8.5C ．8.6D ．8.76．如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1AC .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球，则a =（ ）A ．2 BC ．D ．47．如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥且2AB DC =，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO xAB yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值为（ ）A ．1B ．57C ．1417 D ．568．已知ABC V 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则2ab的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题9．已知复数i z a =+（a ∈R 且0a >，i 为虚数单位），若()()1110z z ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．z 在复平面上对应的点位于第四象限B ．z z +=C ．1zz= D ．若复数1z 满足11z z -≤，则在复平面内1z 对应的点构成的图形的面积为π10．已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（ ）A ．这两组数据的第80百分位数相等B ．这两组数据的极差相等C ．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D ．甲组数据比乙组数据分散11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．12μ=时，11A P ED ⊥B ．14λ=时，1B P PD +C ．λμ=时，三棱锥1D EBP -的体积为定值D ．1λμ+=时，直线1A P 与面11B D E三、填空题12．某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．13．已知向量()1,1a =r ，()1,b m =r ．若()0,λ∀∈+∞，()1a b a b λλ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭r r r r ，则m =．14．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为m ．四、解答题15．已知平面向量,,a b c r r r，且()2,1a =-r ，(1)若a c r r∥，且25c =r ，求向量c r 的坐标；(2)若()3,2b =r ，求a r 在b r方向的投影向量（用坐标表示）.16．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，E 为AD 的中点，如图1，将ABE V 沿BE 折起，使得点A 到达点P 的位置（如图2），且平面PBE ⊥平面BCDE（1）证明：PB ⊥平面PEC ；（2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M ﹣CDN 的体积.17．已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=. (1)求角A ；(2)若D 点在线段BC 上，且AD 平分BAC ∠，若2BD CD =，且AD ABC V 的面积. 18．某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x （单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；(3)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x ，那么标准x 定为多少比较合理？ 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PB ⊥平面ABC ，△ABC 是直角三角形，90B ︒∠=，2==，45AB BC∠=，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点.PAB︒（1）求证：EF PD⊥；（2）求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；（3）求二面角E PF B--的正切值.。

河南高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.满足的集合共有（）A．2个B．4个C．8个D．16个2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．3.如果直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A．3B．C．-3D．4.已知正方形的周长为，它的外接圆的半径为，则关于的解析式为（）A．B．C．D．5.方程必有一个根的区间是（）A．B．C．D．6.已知，则的值为（）A．0B．2C．4D．87.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是（）（下列数据仅供参考：A．38%B．41%C．44%D．73%8.比较的大小关系是（）A．B．C．D．9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（）A．B．C．D．10.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（）A．B．C．D．11.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．12.如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题1.方程表示一个圆，则的范围是________．2.下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则平行于内所有的直线；④若，则．其中正确命题的序号是________．3.已知函数，若，则________．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题1.已知集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．2.设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．3.已知圆．（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．4.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式．（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值．5.如图，在三棱柱中，．（1）求证：平面平面；（2）如果为中点，求证：平面．6.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．河南高一高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.满足的集合共有（）A．2个B．4个C．8个D．16个【答案】B【解析】由题意知或或或，共4个，故选B．【考点】集合的运算.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中是偶函数，且在上是增函数，故满足题意；B中是偶函数，但在上是减函数；C中是奇函数；D中是非奇非偶函数．故都不满足题意，故选A．【考点】1、函数的奇偶性；2、单调性.3.如果直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A．3B．C．-3D．【答案】C【解析】由两直线垂直可得，所以，故选C.【考点】两直线的位置关系.4.已知正方形的周长为，它的外接圆的半径为，则关于的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正方形的对角线长为，从而外接圆半径为，正确答案为C．【考点】1、函数解析式；2、外接圆半径的计算.5.方程必有一个根的区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，，所以必有一个根的区间是，正确答案为A.【考点】零点的存在性定理.6.已知，则的值为（）A．0B．2C．4D．8【答案】C【解析】∵，∴，∴，，故选C.【考点】分段函数.7.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是（）（下列数据仅供参考：A．38%B．41%C．44%D．73%【答案】B【解析】设职工原工资为，平均增长率为，则，故正确答案为B.【考点】1、指数运算；2、指数函数..8.比较的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，又幂函数在上是增函数，，∴，故选D．【考点】1、指数式；2、比较大小.9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示的过球心的截面图，，故正确答案为A.【考点】球体的表面积和体积.10.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．【考点】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.11.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为，为∴，即球的半径为，∴，故选B.【考点】1、球体的体积；2、球体的性质.【思路点晴】本题考察的是球体的性质，属于中档题目；用平面截球面，得到一个圆，球心到圆心的连线垂直于圆所在的平面，从而得到直角三角形，利用勾股定理即可求出球的半径，再将球的半径代入球的体积公式中，即可求出球的体积．12.如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】A【解析】连接，则为等边三角形，设，则，所以，故选A.【考点】1、平面与平面的位置关系；2、二面角的求法.【易错点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、二面角的求法，属于难题；二面角问题先要找出二面角，从两个平面的交线入手，找出从一个点出发的垂直于两平面交线的两条直线，此即为二面角的平面角；在三角形内，求出该平面角即可．二、填空题1.方程表示一个圆，则的范围是________．【答案】【解析】，得，所以的范围是．【考点】圆的一般方程.2.下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则平行于内所有的直线；④若，则．其中正确命题的序号是________．【答案】④【解析】①中可能在内；②与可能异面或垂直；③可能与内的直线异面或垂直；④正确，所以正确命题的序号是④．【考点】1、两直线的位置关系；2、直线与平面的位置关系.【易错点晴】本题考查的是直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，属于中档题目；做此类题目时，要熟练掌握直线与直线平行的判定定理和性质定理，直线与平面平行的判定定理和性质定理，属于易错题目，四个选项中稍有不慎出错一个，最终答案就会出错，一定要细心.3.已知函数，若，则________．【答案】或-1【解析】当时，，则；当时，，则，所以答案为或-1．【考点】1、分段函数的运算；2、指数与对数运算.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【答案】24【解析】由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的．在长方体中分析还原，如图（1）所示，故该几何体的直观图如图（2）所示．在图（1）中，，．故几何体的体积为．【考点】1、三视图；2、组合体的体积.【技巧点晴】本题考查的是空间几何体的体积的求法、三视图问题，属于中档题目；要先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥；根据三视图得出该几何体为三棱柱截去三棱锥后的几何体，用两个体积相减即可.三、解答题1.已知集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）当时，先求出集合，，从而求出的值；（2）先根据题意求出，根据，则有，解出的取值范围即可．试题解析：（1）当时，，则．（2）根据题意，得，若，则有，解可得，∴的取值范围是．【考点】1、集合的运算；2、参数取值问题.2.设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）的方程为或；（2）实数的取值范围为．【解析】（1）分别令、，得出在两坐标轴上的截距，由截距相等得到关于的方程，解出的值，从而求出直线的方程．（2）先将直线的一般式化成斜截式方程，根据不过第二象限，得出关于的不等式，从而得到的取值范围．试题解析：（1）令，得．令，得，由，解得，或．∴所求直线的方程为或．（2）直线的方程可化为，∵不过第二象限，∴，∴；∴的取值范围为．【考点】1、直线方程；2、含参数的不等式的解法.3.已知圆．（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．【答案】（1）切线的方程为或；（2）使得取得最小值的点的坐标为．【解析】（1）切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，可设切线方程为，根据圆的方程得圆心，半径，代入点到直线的距离公式中，即可得到所求切线的方程．切线与半径垂直得，化简得动点的轨迹是直线；的最小值就是的最小值，即点到直线的距离，从而可以求出点坐标．试题解析：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为，又∵圆，∴圆心到切线的距离等于圆的半径，∴，或，则所求切线的方程为或．（2）∵切线与半径垂直，∴，∴，∴，∴动点的轨迹是直线．的最小值就是的最小值，而的最小值为到直线的距离．此时点坐标为．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、最值问题的求法.4.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式．（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最大值．【答案】（1）在上的解析式为；（2）在上的最大值为0．【解析】（1）根据是定义在上的奇函数，得，从而求出；设，则，；又根据函数是奇函数，可求得在上的解析式．（2）设，则，而，所以；当时取最大值，且最大值为．试题解析：（1）∵为定义在上的奇函数，且在处有意义，∴，即．∴．设，则，∴；又∵，∴；所以．（2）当时，，∴设，则．∵，∴．当时，取最大值，最大值为．【考点】1、函数表达式的求法；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.5.如图，在三棱柱中，．（1）求证：平面平面；（2）如果为中点，求证：平面．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析．【解析】（1）因为得为等边三角形，所以；又，，由勾股定理的逆定理得；因为，所以平面，所以平面平面．（2）连接交于点，连接；因为为平行四边形，得为的中点．又为的中点，所以，所以平面．试题解析：（1）因为，所以为等边三角形，所以．因为，所以．所以，即．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）连接交于点，连接．因为为平行四边形，所以为的中点．因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面．【考点】1、平面与平面垂直的判定定理；2、直线与平面平行的判定定理.【思路点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、直线与平面的位置关系，属于中档题目；第一问先根据已知条件证明直线与平面垂直，然后由面面垂直的判定定理即可证明两个平面垂直；第二问选中点，作出辅助线，证明线线平行，从而证明线面平行．6.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析；（3）三棱锥的体积为．【解析】（1）因为底面，所以；又因为，所以平面，所以平面平面；（2）取的中点，连接，可得，且；因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，从而可得平面；（3）因为，所以，利用三棱锥的体积公式可求出三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：在三棱柱中，底面，所以．又因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）证明：取的中点，连接．因为分别是，的中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（3）解：因为，所以．所以三棱锥的体积．【考点】1、平面与平面垂直的判定定理；2、直线与平面平行的判定定理；3、空间几何体的体积.【技巧点晴】本题考查的是直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、空间几何图体积的求法，属于中档题目；解决此类问题关键是熟练掌握线面、面面平行和垂直的判定定理以及性质定理，归根到底都是证明线线之间的关系；证明线线平行一般有：三角形中位线、四边形证明是平行四边形、平行线的传递性；证明线线垂直一般有：勾股定理的逆定理、等边或者等腰三角形三线合一、线面垂直的性质．。