初二上册数学优化讲义之平行四边形的性质(二)(有答案)

初二数学平行四边形性质详解平行四边形是初中数学中重要的几何概念之一，它具有一系列特殊的性质。

本文将详细解析平行四边形的性质，以帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是具有两组对边分别平行的四边形。

简单来说，就是四边形的两组对边分别平行。

由此可得出以下性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

这是因为对边平行，根据平行线的性质，对边分别是平行线段，所以它们的长度相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的对角线交点将对角线分成两段，每段的长度相等。

这是因为平行四边形的两组对边分别平行，根据平行线的性质，可以得出对角线交点将对角线分成两段，并且这两段的长度相等。

3. 相邻角性质：平行四边形的相邻角互补。

相邻角是指共享一个顶点并且不共享边的两个角。

由于平行四边形的两组对边分别平行，所以相邻角是同位角，根据同位角的性质，它们之和为180度，也就是相邻角互补。

4. 同位角性质：平行四边形的同位角相等。

同位角是指对应角，也就是在两组平行线中对应位置的角。

由于平行四边形的两组对边分别平行，根据同位角的性质，它们的度数相等。

二、平行四边形的推论与应用根据平行四边形的性质，我们可以得出一些重要的推论和应用。

1. 推论一：如果一个四边形的对边相等且相邻角互补，那么这个四边形是平行四边形。

根据推论，如果我们已经知道一个四边形的对边相等且相邻角互补，就可以判断它是一个平行四边形，而无需再检查其他条件。

2. 推论二：平行四边形的对角线互相平分。

利用这一推论，我们可以求解平行四边形对角线的长短，或者利用已知对角线长短的信息来判断是否为平行四边形。

3. 推论三：平行四边形各边上的点连线所构成的线段平分对角线。

这个推论可以帮助我们解决一些相对复杂的几何问题，通过连线将平行四边形分割成多个小三角形或平行四边形，从而简化问题。

4. 应用一：面积计算。

利用平行四边形的性质，我们可以将平行四边形分成两个三角形，从而计算出其面积。

八年级初二数学平行四边形知识归纳总结及答案一、选择题1．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（ ）A ．112.5°B ．125°C ．135°D ．150°2．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）A ．233-B ．322-C ．2 D ．233．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．235．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．43B ．75C ．2D ．52-6．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°7．下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线相等的四边形是矩形； ②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ）A ．22B ．24C ．44D ．489．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）A ．30B ．15C ．40D ．2010．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（ ）A ．212 B ．26 C ．332D ．292二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．17．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AFn BC=，ECm BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EMFN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CFBF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积． 23．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．24．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 25．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ． (1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想; (3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．26．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．27．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DCAE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .（1）求证：EF DA ⊥.（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.28．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B,连接AB.(1)求出直线BC的解析式；(2)若动点M从点C出发,沿线段CB以每分钟10个单位的速度运动,过M作//MN AB 交y轴于N,连接AN.设运动时间为t分钟,当四边形ABMN为平行四边形时,求t的值. (3)P为直线BC上一点,在坐标平面内是否存在一点Q,使得以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q的坐标；若不存在,请说明理由.29．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．30．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG517DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵CE=AC，∴∠E=∠CAE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠CAE=45°，∴∠E=12×45°=22.5°，在△CEF中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算求出FM的值；再在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB=AB=2，BM=12BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，FM ==∴2FN MN FM =-=-设AE=FE=x ，则EN=1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-∴EN=13x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3．A解析：A【分析】连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】解：如图：连结AE ．DE CD AB ==，//CD AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，G ∴是BE 的中点，∵O 是BD 的中点1122OG DE AB ∴==，①正确； 有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG//AB，OG=12AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∵△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积， .∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩ ABD ∴∆是等边三角形．BD AB ∴=，ABDE ∴是菱形，④正确．故答案为A ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．4．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，过A 作AF ⊥BC 于F ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3，∴此时△ABE的最大面积为：12×4×3=23；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=12S▱ABCD=12×4×3=23；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=23，综上，△ABE的面积的最大值是23；故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．5．C解析：C【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，=故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，进而得出∠CBF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，∴AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．7．C解析：C【分析】正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断.【详解】①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键. 8．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB＝3，CD＝22，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝22，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝22，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB＝3，CD＝22过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB＝∠DCB∵AD∥BC∴四边形AECD是平行四边形∴CE ＝AD ，AE ＝CD＝∵∠ABC +∠DCB ＝90°∴∠AEB +∠ABC ＝90°∴∠BAE ＝90°∴BE=∵BC ＝2AD∴BC ＝2BE＝∴S 2＝(244=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 9．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE ，∴BF ⊥AE ．设AF=x，BF=y，∵∠D为锐角，∴∠DAB=180°-∠D是钝角，∴∠D＜∠DAB，∴1 2∠ABC＜12∠DAB，∴∠ABF＜∠BAF，∴AF＜BF，x＜y．则有22222520013x yx y⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520xy⎧⎨⎩＝＝或2015xy＝＝（舍去），即AF=15．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCDS S==以及BF⊥AE是解题的关键．10．B解析：B【分析】连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH．【详解】如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB=AD=2，BE=EF=3，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，∴∠DBF=90°，2，2，∴在Rt△BDF中，22BD BF+()()22223226+=，∵H为线段DF的中点，∴BH=12DF=262.故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．12．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13102【分析】连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC ，交EF 于O ，∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，∵AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OA ＝OC ，∴O 是正方形的中心，∵AB ＝BC ＝4，∴AC ＝2OC ＝2，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，∵MC ＝12OC 2， ∴MH ＝CH ＝1，∴BH ＝4−1＝3，由勾股定理可得MB 2231 10在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝12OC 2 ∵BG≥BM−MG 102，当B ，M ，G 三点共线时，BG 102， 102．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．14．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得2a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ， 又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ， 由勾股定理得AE=22AB BE +=52a ， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．15．101-【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE ，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF ．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD ，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．17．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．18．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形//,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形综上，图中共有4个平行四边形如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．19．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF ＝12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12AC ，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴EF＝12AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正确；∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝CF=12 AC，∵AB=AC，EF＝12 AB，∴EF＝DF，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，∵∠FDC＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE，∴DE平分∠FDC，故③正确；∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC2=2CD2，∴CD，∵AB=AC，∴AB CD，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20．2或3.5【分析】分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．【详解】如图，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE= 12BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：3t ﹣9=5﹣t ，解得：t=3.5；②当Q 运动到E 和C 之间，则得：9﹣3t=5﹣t ，解得：t=2，∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（221n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n +=⋅，∴221441 422nnCF kn k kn n+-=-⋅=⋅，241222n kBF kn kn n-=-⋅=，∴22412412nkCF nnkBFn-⋅==-，故答案为：241n-．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD，AB=BF，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC，AD=FC=6，求出AD⊥CF，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG、BCED是正方形，AB FB∴=，CB DB=，90ABF CBD∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF∠=∠在ABD∆和FBC∆中，AB FBABD CBFDB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC∆≅∆，BAD BFC∴∠=∠，6AD FC==，180AMF BAD CNA∴∠=︒-∠-∠180()BFC BNF=︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形 11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．23．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．24．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ，∴∠CEF=∠CFE ，∴CE=CF ，又∵四边形ECFG 是平行四边形，∴四边形ECFG 为菱形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中，。

平行四边形的性质（2）一、学习目标：1.经历探索“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的过程，发展探究意识。

2.掌握平行四边形对角线互相平分的性质．3.能运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．二、学习重难点：重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算．三、学习过程A 、复习旧知：填空：(1)有两组 分别平行的四边形叫做平行四边形；(2)平行四边形的对边 ，平行四边形的对角 .填空:(1)如图，∠1是 ABCD 的一个外角，∠1=38°，则∠2= °，∠A= °，∠B= °，∠D= °. （2)如图， ABCD 的周长为12，BC=2AB ， 则CD= ，AD= . B 、合作探究1、在本子上画一个平行四边形，并把它表示出来。

2、画出平行四边形的两条对角线。

3、用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的平行四边形绕对角线的交点旋转180度,你有什么发现？（1）（2）4、下面就请同学们自己来完成下面的证明过程.证明平行四边形的对角线互相平分.中，对角线AC 、BD 相交于点O ， 求证：OA=OC ，OB=OD.A B D 12A B CDA B CD5、写出平行四边形的所有性质：（1）（2）四、当堂练习：1、课本 P78练习第2题。

2、在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CD＝6, AC＝8，BD＝12，求△AOB的周长。

3、在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的取值范围是__ ______五、自学与合作学习中产生的问题及记录。

六、课后作业1、课本P79第3题。

2、习题18.1第3题。

七、拓展延伸1、如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线，分别交AB、CD于点E、F．求证：OE＝OF2、如图所示，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,M、N在对角线AC上，且AM=CN,求证：（1）BM=DN（2）BM//DN。

初二平行四边形的性质和判定专题1．平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．(2)表示方法：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是()．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”C．AD∥BC，AB∥CDD．对角线为AC，BO解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.答案：C2．平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，AB CD，AD BC.由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故AB CD.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB ＝OD.。

1．平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．一、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形ABCD 为平行四边形，即AB CD ∥，AD BC ∥．通过证明三角形全等来说明：⑴AB CD =，AD BC =．（对边相等） ⑵AO CO =，BO DO =．（对角线互相平分）ODCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴ ∵AB CD ∥，AD BC ∥∴ABD CDB ∠=∠，ADB CBD ∠=∠ 在ABD ∆和CDB ∆中，例题精讲知识点睛平行四边形的性质及判定ABD CDB BD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD CDB ∆∆≌ ∴AB CD =，AD BC =． ⑵ 在ABO ∆和CDO ∆中，ABO CDO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AO CO =，BO DO =．【巩固】 如图，点E F ，是平行四边形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =，那么AF 和CE 相等吗？请说明理由21FEDCB A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】【解析】因为ABCD 是平行四边形 所以AD BC AD BC =，∥所以12∠=∠，又因为1180ADF ∠+∠=︒，2180EBC ∠+∠=︒ 所以ADF EBC ∠=∠ 又因为BE DF =，所以ADF CBE ∆∠≌，所以AF CE = 【答案】AF CE =【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有 个平行四边形O HGF EDC BA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】9个【巩固】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】B【例3】 （2008兰州）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．⑴ 证明：当旋转角为90︒时，四边形ABEF 是平行四边形； ⑵ 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2008年，兰州中考【解析】⑴ 证明：当90AOF ∠=︒时，AB EF ∥，又∵AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明： 四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ∆∆≌ ∴AF EC =【答案】⑴ 证明：当90AOF ∠=︒时，AB EF ∥，又∵AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明： 四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ∆∆≌ ∴AF EC =【例4】 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．15【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2008年，山东潍坊【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C．【答案】C【巩固】如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC ，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A．3 B．6 C．12 D．24(1)D CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2009年，桂林市中考，百色市中考【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．【答案】C【例5】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．(2)【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】1995年，昆明竞赛，2003年宿迁中考【解析】省略【答案】答案不惟一．【巩固】 如图1，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． D CBA O 4O 3O 2O 1ED CBAO 5O 4O 3O 2O 1【考点】圆的相关概念及性质 【题型】填空 【难度】4星【关键词】2008年，天津【解析】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1【答案】见解析【例6】 如图，,E F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =.求证：（1）ADF ∆≌CBE ∆；（2）EB DF ∥.AFE DCB【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2007年，浙江临安中考【解析】（1）∵AE CF=，∴AE EF CF FE+=+，即A F C E=.又∵ABCD是平行四边形，∴,AD CB AD BC=∥.∴DAF BCE∠=∠.∴ADF∆≌CBE∆（2）∵ADF∆≌CBE∆∴DFA BEC∠=∠.∴DF EB∥.【答案】（1）∵AE CF=，∴AE EF CF FE+=+，即A F C E=.又∵ABCD是平行四边形，∴,AD CB AD BC=∥.∴DAF BCE∠=∠.∴ADF∆≌CBE∆（2）∵ADF∆≌CBE∆∴DFA BEC∠=∠.∴DF EB∥.【巩固】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD∠的平分线CE交边AD于E，ABC∠的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE DG=．F GE DCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，青海西宁【解析】⑴①（答案不惟一）⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AD BC∥，AB CD=（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA∠=∠，BCE CED∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG平分ABC∠，CE平分BCD∠（已知）∴ABG GBC∠=∠，BCE ECD∠=∠（角平分线定义）∴ABG AGB∠=∠，ECD CED∠=∠．∴AB AG=，CE DE=（在同一个三角形中，等角对等边）∴AG DE=∴AG EG DE EG-=-，即AE DG=【答案】⑴①（答案不惟一）⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AD BC∥，AB CD=（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA∠=∠，BCE CED∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG平分ABC∠，CE平分BCD∠（已知）∴ABG GBC∠=∠，BCE ECD∠=∠（角平分线定义）∴ABG AGB∠=∠，ECD CED∠=∠．∴AB AG=，CE DE=（在同一个三角形中，等角对等边）∴AG DE=∴AG EG DE EG-=-，即AE DG=【例7】 已知：如图，平行四边形ABCD 内有一点E 满足ED AD ⊥于点D ，EBC EDC ∠=∠，45ECB ∠=︒，请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明．EDCBAFABCD E【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】AB 或CD ．证明：延长DE 交BC 于F ， ∵ED AD ⊥且AD BC ∥ ∴DF BC ⊥又∵45ECB ∠=︒∴CEF ∆为等腰直角三角形 ∴EF CF =在BEF ∆和DCF ∆中 EBF CDF BFE DFC EF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BEF DCF ∆∆≌ ∴BE DC AB ==【答案】AB 或CD【巩固】 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，湖南长沙中考 【解析】省略【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，∴ACB CAD ∠=∠． 又BE DF ∥，∴BEC DFA ∠=∠， ∴BEC DFA ∆∆≌， ∴CE AF =【例8】 如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A C ，两点分别作AE BD CF BD E F ⊥⊥，，，为垂足，求证：四边形AECF 是平行四边形FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】因为ABCD 是平行四边形，所以AB CD =且AB CD ∥ 所以ABE CDF ∠=∠ 因为AE BD CF BD ⊥⊥，，所以90AEB CFD ∠=∠=︒ 所以ABE CDF ∆∆≌，所以AE CF =因为90AEO CFO ∠=∠=︒，所以AE CF ∥ 所以四边形AECF 是平行四边形【巩固】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．求证：ABE EFC S S ∆∆=．【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】易证BEF CED ∆∆≌，∴BF CD AB ==∴ABE ∆和FBE ∆是以AB 、BF 为底的等底等高三角形． ∴ABE FBE S S ∆∆=∵FBE ∆和FCE ∆是以BE 、CE 为底的等底等高三角形． ∴FBE FCE S S ∆∆=，∴ABE EFC S S ∆∆=．【例9】 ⑴如图，已知等边三角形的边长为10，P 是ABC ∆内一点，PD AC ∥，PE AB PF BC ∥，∥，点D E F ，，分别在AB BC AC ，，上，则PD PE PF ++=PFEDCBA⑵如图1，在平行四边ABCD 中，120A ∠=︒，则D ∠= ︒．AB图图1DC BA⑶如图2，在平行四边形ABCD 中，DB DC =，65A ∠=︒，CE BD ⊥于E ，则B C E ∠= ︒．EEAB图ABCD图2D⑷已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形⑸（2009东营）如图3，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．E ABCD图3D⑹已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆ 的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm ．OD CBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】⑴省略；⑵省略；⑶∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒． ⑷省略⑸∵8cm BC AD ==，6cm CE CD AB ===，∴2cm BE =．⑹如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-=∴6082194AB +⨯==． 【答案】⑴10；⑵60︒；⑶25︒；⑷B ；⑸2cm ；⑹19【巩固】 一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 ．OD CBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】如图，不妨设AB a =，5AC =，7BD =，在ABO ∆中，52AO =，72BO =，由三角形三边关系可得AO BO AB AO BO -<<+，即16a <<．【答案】16a <<【例10】 如图，是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，AB DC ∥，BC DF ∥，从B 站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E ---，路线2是B C F E ---，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．A BCDEFG【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】两条路线一样长延长FD 交AB 于点G ，∵CE 垂直平分AF ，AB DC ∥， ∴DF DA =，90FED EAB ∠=∠=︒，DAF DFA ∠=∠． ∴90DGA DFA DAG DAF ∠+∠=∠+∠=︒ ∴DAG DGA ∠=∠ ∴AD DG = 又∵AB DC BC FG ∥，∥∴四边形DCBG 为平行四边形，∴BC DG AD FD === ∴四边形BCFD 亦为平行四边形，∴CF DB = 路线1BD DA AE =++，路线2BC CF FE =++ ∴路线1与路线2相等．【答案】路线1与路线2相等【巩固】 如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥，DF AC ⊥，E 、F 是垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点，连接EG GF FH ，，． HE 为公园中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远．A BCDEFGH【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】两人一样远∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD =， AD BC BAC DCA =∠=∠，，∵BE AC DF AC ⊥⊥，，∴BE DF ∥ ∴ABE CDF ∠=∠ ∴ABE CDF ∆∆≌，∴BE DF =又∵G 、H 分别是BC 、AD 中点，∴12EG GC BC == G E C G C E ∠=∠，同理12FH AH AD DAF AFH ==∠=∠，∴EG HF ∥且EG HF =∴四边形EGFH 为平行四边形，∴BE EH HF DF FG EG ++=++ ∴两人路程一样远．【答案】两人路程一样远【例11】 在平行四边形ABCD 中，过A 任作一直线AM ，过B 、C 、D 作AM 的垂线BE 、CF 、DG ，垂足分别是E 、F 、G ，求证：BE DG CF =-．GFE DCBAHGFE DC BAHGFE DCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】解法一：如图，过C 作CH DG ⊥于H ，则GFCH 为矩形．∴GH CF =，CH AM ∥．又AB CD ∥，∴BAE DCH ∠=∠．又AB CD =，∴Rt Rt ABE CDH ∆∆≌．∴BE DH DG GH ==-，∴BE DG CF =-．解法二：如图，延长CF 到H ，使HF BE =，连接BH ，显然BHFE 为矩形． ∴90BHC AGD ∠=︒=∠．∵DG CF ∥，AD BC ∥，∴ADG BCH ∠=∠．又∵AD BC =，∴ADG BCH ∆∆≌，∴DG CH CF HF CF BE ==+=+． ∴BE DG CF =-．【巩固】 AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．KQL NM ABC DOEF G GFE ODCBA【考点】相似三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】5星 【关键词】 【解析】省略【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足．显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =． 已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅， 则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+()AO AN NQ =+AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．二、平行四边形性质和判定的综合应用【例12】 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择【难度】2星 【关键词】【解析】选B ．①和②对，①和③对，①和④错，②和③错，②和④对，③和④对．等腰梯形是错的特例． 【答案】B【巩固】 如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，在AB 上截取BF AE =，连接DE EF ，，求证：四边形BDEF 是平行四边形FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】因为AD 平分BAC ∠ 所以BAD CAD ∠=∠因为DE AB ∥，所以BAD ADE ∠=∠ 所以EAD ADE DE AE ∠=∠=， 因为BF AE =，所以DE BF =因为DE BF ∥，所以BDEF 是平行四边形【例13】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点.求证：(1)AFD ∆≌CEB ∆；(2)四边形AECF 是平行四边形．CE F D BA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2006年，南京中考 【解析】省略【答案】（1）∵四边形ABCD 平行四边形，∴,,AB CD AD BC B D ==∠=∠. 又∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴11,22BE AB DF CD ==.∴,BE DF AE CF ==. ∴AFD ∆≌CEB ∆.（2）由（1）知AE CF =，AFD ∆≌CEB ∆. ∴AF CE =. ∴四边形AECF 是平行四边形．【巩固】 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，6BC =，3AB =，求四边形ABCD 的周长．DCB A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，柳州中考 【解析】省略【答案】解法一：∵AB CD ∥∴180B C ∠+∠=︒ 又∵B D ∠=∠∴180C D ∠+∠=︒∴AD BC ∥，即得ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==，6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯= 解法二：连接ACABCD∵AB CD ∥∴BAC DCA ∠=∠又∵B D ∠=∠，AC CA = ∴ABC CDA ∆∆≌∴3AB CD ==，6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯= 解法三：连接BDAB CD∵AB CD ∥∴ABD CDB ∠=∠又∵ABC CDA ∠=∠ ∴CBD ADB ∠=∠∴AD BC ∥，即ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==， 6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯=【例14】 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBAQDPCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．【例15】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，、F 是对角线AC 上两点，且AF CE =，求证：四边形BEDF是平行四边形．FEDCBAOF E DCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】连接BD ，交AC 于O∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BO DO =，AO CO = ∵AF CE =，∴AF AO CE CO -=-∴OF OE =，∴四边形BFDE 是平行四边形【巩固】 已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF CE =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵ED ∥BF ，∴DEF BFE ∠=∠，∴AED BFC ∠=∠又∵AF CE =，∴AE CF = ∵AD ∥BC∴EAD FCB ∠=∠，∴AED ∆≌CFB ∆∴AD BC =，∴ABCD 是平行四边形【例16】 如图，在平行四边形ABCD 的各边AB BC CD DA ，，，上，分别取E F G H ，，，，使AE CG =， BF DH =，求证：四边形EFGH 为平行四边形H GF ED CB A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】利用AEH CGF ∆∆≌，AEH DFE ∆∆≌，证明HE FG HG EF ==，【例17】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若P E P F =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．PFE DCBANMAEDPC FB【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答 【难度】3星【关键词】2008年，西城模拟改编 【解析】省略【答案】延长PA 、PC ，使AM AE =、CF CN =．连结MF 、EN ．∵AP AE CP CF +=+ ∴PM PN =∴四边形MFNE 是平行四边形． ∴ME NF =,M N ∠=∠ ∵AE AM =，CN CF = ∴AME CNF ∆∆≌ ∴AM CN =∴AP CP =,PAD PCB ∠=∠ ∴APD NCPB ∆≌ ∴PD PB =∴四边形ABCD 是平行四边形．【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM CN =，DE BF =，求证：四边形MFNE 是平行四边形．ENFM D CBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB CD = ∴MAF NCE ∠=∠ 又∵DE BF = ∴AF CE = 又∵AM CN =显然AFM CEN ∆∆≌∴FM EN =且AMF CNE ∠=∠ ∴FMN ENM ∠=∠∴四边形MFNE 是平行四边形．【巩固】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE CF =．⑴求证：ABE ∆≌CDF ∆； ⑵若M N ，、分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．EN M CDFBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2005年，四川中考 【解析】省略【答案】⑴由ABCD 是平行四边形可知，AB CD =，BAE DCF ∠=∠又AE CF =，故ABE ∆≌CDF ∆⑵由(1)可知，AEB CFD ∠=∠，BE DF = 又FN DN =，BM ME =，∴ME NF = 而AD ∥BC ，∴有AEB CBE ∠=∠ ∴CBE CFD ∠=∠，∴BE ∥DF ∴四边形MFNE 为平行四边形【例18】 如图，过四边形ABCD 对角线的交点O 作直线EF 交AD 、BC 分别于E 、F ，又G 、H 分别为OB 、OD 的中点，求证：四边形EHFG 为平行四边形．O GFH EDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】易证EO FO =，HO GO =∴四边形EHFG 为平行四边形【巩固】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，证明四边形ADFE为平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星【关键词】2008年，佛山中考 【解析】省略【答案】∵ABE ∆、BCF ∆为等边三角形，∴AB BE AE ==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=︒． ∴FBE CBA ∠=∠． ∴FBE CBA ∆∆≌． ∴EF AC =．又∵ADC ∆为等边三角形， ∴CD AD AC ==． ∴EF AD =．同理可得AE DF =．∴四边形AEFD 是平行四边形．【例19】 如图，点E F G H M N ，，，，，分别在ABC ∆的BC AC AB ，，边上，且NH MG BC ME NF AC ∥∥，∥∥，GF EH AB ∥∥，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚂蚁沿路线F N H E M G F →→→→→→爬行，白蚂蚁沿路线F B A C F →→→→爬行，那么（ ） A ． 黑蚂蚁先回到F 点 B ． 白蚂蚁先回到F 点 C ． 两只蚂蚁同时回到F 点D ． 哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定N MH GFECBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择 【难度】5星【关键词】2006年，第17届，希望杯试题 【解析】可知四边形CFNH AHEM BMGF ，，均为平行四边形，可知选C 【答案】C【巩固】 以ABCD 的对边AB 、CD 为边分别在外作等边ABE ∆、等边CDF ∆．求证： 四边形AECF 是平行四边形．EC DFBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵AB CD =，ABE ∆和CDF ∆都是等边三角形∴AE CF =，EB DF =∵BC AD =，ABC ADC ∠=∠，ABE CDF ∠=∠ ∴CBE ADF ∠=∠，∴CBE ∆≌ADF ∆∴CE AF =，∴四边形AECF 是平行四边形【巩固】 等边ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ∆．求证：四边形CDFE 是平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】省略【答案】连结FB ．∵1602BAD ∠=-∠=∠ ，AF AD =，AB AC =∴AFB ∆≌ADC ∆，∴60ABF ACD ∠=∠= ，FB DC = ∵CD BE =，∴FB BE =∴BEF ∆是等边三角形，∴EF BE DC ==，60BEF ∠= ∵60ABC ∠= ，∴BEF ABC ∠=∠∴EF ∥BC ，∴四边形CDFE 是平行四边形【例20】 如图，已知AC 是平行四边形ABCD 的对角线，ACP ∆和ACQ ∆都是等边三角形，求证：四边形BPDQ 是平行四边形．QP DCB A OQP DCB A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略 【答案】方法一：（利用全等得两组对边相等）∵AC 是平行四边形ABCD 的对角线 ∴DAC BCA ∠=∠∵60ACP CAQ ∠=∠=︒ ∴DAQ BCP ∠=∠又∵AD CB =，AQ CP = ∴ADQ CBP ∆∆≌ ∴DQ BP =类似可证ABQ CDP ∆∆≌ ∴BQ DP =∴四边形BPDQ 是平行四边形． 方法二：（利用对角线互相平分证明结论） 连结BD 交AC 于O ，连结PO 、QO ． 利用ACP ∆和ACQ ∆是全等等边三角形可得 P 、O 、Q 三点共线，且PO QO = 又∵BO DO =∴四边形BPDQ 是平行四边形．【巩固】 如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与AE 互相平分．FEDCB AFEDCB A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】连结AF 、DE ．∵EF ∥AB ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴EF BD =∵AD BD =，∴AD EF =∵AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形 ∴DF 与AE 互相平分【例21】 如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A B C D ，，，处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由DCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】济南中考 【解析】连接AC BD ，，交于O ，过A C ，分别作BD 的平行线，过B D ，分别作AC 的平行线，他们分别交于E F G H ，，，，则平行四边形EFGH 合乎题设要求 【答案】见解析【巩固】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED BC ⊥于点D ，在DE的延长线上取一点F ，使AF CE =．求证：四边形ACEF 是平行四边形．FEDBCA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，湖北黄冈 【解析】省略【答案】∵90ACB ∠=︒，AE BE =∴CE AE BE == 又∵AF CE =∴AF CE AE BE === 又∵ED BC ⊥，BE CE = ∴BED CED ∠=∠ 又∵BED AEF ∠=∠由AE AF =得F CED ∠=∠ ∴CE AF ∥∴四边形ACEF 是平行四边形．【例22】 如图，在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥于E ，BM MC DC ==，那么EMC ∠与BEM ∠的大小关系怎样？EM D C BAF 165432B MC DE A【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长EM 交DC 的延长线于F ，连结DM ，∵56∠=∠，4F ∠=∠，MB MC =，∴FCM EBM △△≌，∴M 是EF 的中点． ∵AB CD ∥，DE AB ⊥，∴DE FD ⊥． 在Rt EFD △中，∵1F ∠=∠， ∴32F ∠=∠，又∵CM DM =，∴21F ∠=∠=∠，又∴3EMC F ∠=∠， 而4F ∠=∠，∴3EMC BEM ∠=∠．【答案】3EMC BEM ∠=∠【巩固】 已知平行四边形ABCD ，2BC AB =，M 为AD 的中点，CE AB ⊥．求证：3EMD AEM ∠=∠．EMDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】解法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、MC ．NMEDCBA∵AM BN ∥，AM BN =，∴MN AB DC ==，AEM EMN ∠=∠． 又CE AB ⊥，∴CE MN ⊥，且平分CE ．∴EMN CMN ∠=∠．又MDCN 为菱形， ∴CMN CMD EMN ∠=∠=∠， ∴3EMD AEM ∠=∠．解法二：如图，延长EM 、CD 交于F ．FMDCB EA∵AB CF ∥，∴AEM DFM ∠=∠，EAM FDM ∠=∠． 又AM DM =，∴AEM DFM ∆∆≌，∴AEM F ∠=∠，EM FM =． 又∵AB CD ∥，CE AB ⊥， ∴CE CD ⊥， ∴MC MF =， 故MCF F ∠=∠．∴22EMC F AEM ∠=∠=∠． 又∵DM CD =，∴DMC MCF F AEM ∠=∠=∠=∠． ∴3EMD AEM ∠=∠．解法三：如图，过M 作MH CE ⊥于H ．HMDCBEA∵AE CD ∥，AE CE ⊥， ∴MH AE CD ∥∥． 又AM DM =， ∴EH CH =，∴EMH CMH ∠=∠， ∴3EMD AEM ∠=∠解法四：如图，连接CM 并延长交BA 的延长线于F ，FM DCB EA则AMF DMC ∠=∠．又AM DM =，BF CD ∥， ∴FAM CDM ∠=∠， ∴AMF DMC ∆∆≌， ∴MF MC =． ∵90CEF ∠=︒， ∴MF ME =， ∴F AEM ∠=∠．∴2EMC F AEM AEM ∠=∠+∠=∠．∵22AD BC AB CD ===，12DM AD CD ==，∴DMC DCM F AEM ∠=∠=∠=∠， ∴3EMD EMC DMC AEM ∠=∠+∠=∠．【例23】 已知：如图，平行四边形ABCD 中，AE BE CF DF 、、、分别平分BAD ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠，BE DF 、的延长线分别交AD BC 、于点M N 、．连接EF ，若7AD =，4AB =．求EF 的长．NM F EDCBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星【关键词】2008年，顺义二模 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∴CBM AMB ∠=∠，∵BE 平分ABC ∠，∴ABM CBM ∠=∠，∴ABM AMB ∠=∠， ∴4AM AB ==．∵AE 平分BAD ∠，∴12EM BM =．同理，CN CD =，12DF DN =，∴AM CN =，∴AD AM BC CN -=-，即DM BN =，∴四边形BNDM 是平行四边形，∴BM DN =，BM DN ∥， ∴EM DF =，EM DF ∥， ∴四边形MEFD 是平行四边形，∴EF MD =，∴743EF MD AD AM AD AB ==-=-=-=．【例24】 如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB 、AD 的平行线，交平行四边形于E 、F 、G 、H 四点，若3AHPE S =，5PFCG S =，求PBD S △．P GHFE D CBA【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】设AH a =，HB b =，在平行四边形AHPE 中，AH 边上的高为m ，平行四边形PFCG 中PF 边上的高为n ，由EF AB ∥，GH AD ∥知 四边形EPGD 、HBFP 也是平行四边形，故()()()()111222ABD S AB m n a b m n am an bm bn =+=++=+++△，12ABD S an =△，12BHP S bm =△，3AHPE S am == 平行四形，5PECG S bn == 平行四形，由ABD BDP EPD BHP AHPE S S S S S =+++ △△△△四形，∴()1113531222BDP S an bm an bm =+++---=△． 【答案】1【例25】 如图，在 ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC 于F 。

平行线的性质(1)1~5 BBDDA6、22cm 或20cm7、28、599、2 10、12， 11、6012、（1）解：∵ABCD ∴AB ∥CD （平行四边形对边平行）∴∠C+∠B=180∴∠B=180 —∠C=180 —120 =60又∵DE ⊥AB DF ⊥BC ∴DEB DFB 90∠=∠=∴EDF 180B 18012060∠=-∠=-=（2）解：∵ABCD ∴A C 60∠=∠= （平行四边形对角相等）在Rt AED 9030ADE A ∆∠=-∠= 中，，∴AD=2AE=8在Rt DFC 9030FDC C ∆∠=-∠= 中，，∴DC=2CF=14∴ABCD 的周长=()22(814)44AD DC ⨯+=⨯+=13、证明：∵ABCD ∴OA=OC ，OB=OD （平行四边形对角线互相平分）又∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点 ∴11OE OA OF OC 22==， ∴OE=OF 在OEB OFD ∆∆和中O E O F E O B F O DO B O D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OEB ∆≌OFD ∆（SAS ）∴BE=DF14、证明：连接BD∵ABCD ∴AB ∥CD AD ∥BC （平行四边形对边平行）∴S ,ABF BFD BED BFC S S S ∆∆∆∆==（等底等高） ∴BFD CEF S S ∆∆=（等量减等量） ∴ABF CEF S S ∆∆=15、解 ∵BA ⊥AC ∴90BAC ∠=又∵45B ∠= ∴45ACB ∠=∴AB AC ==∴4BC ===∴ABCD的周长为=()224)8AB BC⨯+=⨯=8A B C D S A B A C =⨯==16、证明：分别连接BF 、DF∵ABCD ∴AB ∥CD AD ∥BC （平行四边形对边平行）∵11S ,22AEB ABCD ADF ABCD S S S ∆∆== ∴S AEB ADF S ∆∆= 又∵11AE=AF,S ,22AEB ADF AE BH S AF DG ∆∆=⨯=⨯ ∴BH=DG平行四边形的性质（2）1~6 CDCDDD7、24 8、18 9、19,11 10、9 11、10 12、40,80,160013、证明：∵ABCD ∴AB ∥CD ，AB=CD ∴∠BAE=∠DCF （两直线平行，内错角相等） 在ABE CDF ∆∆和中A B C D B A E D C FA E C F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ∆≌CDF ∆（SAS ）∴BE=DF14、（1）解：∵AE ⊥BC AF ⊥CD ∴∠E=∠F=90∴在四边形AECF 中，∠EAF+∠C=180又∵∠EAF=2∠C ∴∠EAF =120 ，∠C=60（2）解：∵ABCD 的周长是32cm ∴AB+BC=16cm又∵35BC AB = ∴AB=10cm ，BC=6cm ∵ABCD ∴DC ∥AB ∴∠ABE=∠C=60在EAB 30Rt AEB ∆∠= 中， ∴1BE AB 52==cm 同理可得：FD=3cm15、解：∵ABCD∴AB=CD AD=BC又∵ABE∆∴BF=AB FE=AE∆≌FBE则△BCF的周长—△EFD的周长=BC+CF+BF-（FD+EF+ED）=BC+FC+AB-FD-AE-ED=2FC∴2FC=22-8=14 ∴FC=716、证明：∵DE∥AB，DF∥AC ∴四边形AFDE为平行四边形（定义判定）∴AF=DE，DF=AE（平行四边形对边相等）又∵AB=AC ∴∠B=∠C又∵DF∥AC ∴∠C=∠FDB ∴∠B=∠FDB ∴BF=DF∴DE+DF=AF+BF=AB17、直线有无数组，画图可发现这两条直线都经过平行四边形对角线的交点。

第四章四边形性质探索１．平行四边形的性质（一）一、学生起点分析学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、学习任务分析四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。

教学目标：1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；2．索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。

教学重点：平行四边形性质的探索。

教学难点：平行四边形性质的理解。

教学方法：探索归纳法三、教学过程设计本节课分5个环节：第一环节：实践探索，直观感知第二环节：探索归纳，交流合作第三环节：推理论证，感悟升华第四环节：应用巩固，深化提高第五环节：评价反思，概括总结第一环节：实践探索，直观感知1．小组活动一内容：问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。

（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。

目的：通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。

教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”2．小组活动二内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。

北师大版初中数学八年级上册《平行四边形的性质(二)》精品教案 知识目标:1、探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质，并会进行简单的应用。

2、掌握平行线之间的距离处处相等的结论并了解其简单应用。

3、在有关活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

能力目标:1、经历探索平行四边形性质的过程。

2、进一步发展学生的逻辑推理能力及有条理的表达能力。

情感与价值观要求:让学生学会在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，享受运用知识解决问题的成功体验，增强学好数学的自信心。

教学重点,难点：理解并正确运用平行四边形的性质。

教学过程：一、回顾思考上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？二、做一做如图:BD 是□ABCD 的对角线，图中AC ，BD 相交于点O, 图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？ 归纳得出：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。

三、学以致用:1、(1).□ ABCD 中,AC,BD 交于点O,OA=1.5,OD=2,则OC=______,BD=_______(2).已知□ ABCD 的两条对角线AC,BD 互相垂直，且AC=6，BD=8，则边AB 的长为_______2、例题讲解：例1 如图,四边形ABCD 是平行四边形,DB AD,AD=8,AB=10.求BC,CD 及OB 的长.你还能提出什么问题?如何解答?四、拓展与延伸已知：如图，□ ABCD 中, 线段EF 过对角线的交点O,与AB 交于F,与CD交于E,则OE=OF 吗?DD你还能提出什么问题?如何解答?让学生发表自己的见解，培养学生的语言表达能力及推理能力，提高学生的逻辑思维能力五、想一想1、在笔直的铁轨上, 夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?得出结论,引出例2例2、已知直线a ∥b ，过直线a 上任意两点A ，B 分别向直线b 做垂线，交直线b 于点C 、点D 。

(1).线段AC ，BD 所在的直线有怎样的位置关系？(2).线段AC ，BD 有怎样的数量关系？在例2中，线段AC 的长是点A 到直线b 的距离，同样，线段BD 的长是点B 到直线b 的距离，且AC=BD 。