2017高考试题分类汇编-数列

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（Ⅰ）7S =__________； （Ⅱ）若2017a m =，则2015S =__________．（用m 表示） 3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41n n S a =+*()n ∈N ，设3log ||n n b a =，则数列{}n b 的通项公式为________.4、（襄阳市2017届高三1月调研）在等差数列{}n a 中，已知123249,21a a a a a ++==，数列{}n b 满足()12121211,2n n n n n b b b n N S b b b a a a *+++=-∈=+++，若2n S >，则n的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 25、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±6、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .7、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =A. 18B. 99C. 198D. 2978、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+uu r uur uu u r，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ） A.20172 B. 2017 C. 2016 D. 201529、（荆州中学2017届高三1月质量检测）对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++=为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n为正整数.（1）令2n n n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .2、（荆门市2017届高三元月调考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S .（Ⅰ）求2a ，3a 和通项n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12-⋅=n n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n S n b b b =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2016T .4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()x f x a =的图象过点1(1,)2，且点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证5n S <.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈（1）求1a 及通项公式n a ；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤ .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：49n T ≤.7、（襄阳市2017届高三1月调研）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，132464,72.a a a a =+= (1)求数列{}n a 的通项公式； (2))设21log n nb n a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，不等式()log 2n a S a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2，n +1n a =2(n+1)n a（1）记=nn a b n，求数列{n b }的通项公式； （2）求通项n a 及前n 项和n s .9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知等差数列{}n a 满足()()()()()1223121.n n a a a a a a n n n N *+++++++=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、选择、填空题1、20162、（Ⅰ）33 （Ⅱ）1m -3、n b n =-4、B5、A6、357、C 8、A 9、167[,]73二、解答题 1、解：（I ）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I ）得，所以由①-②得……12分2、(I)11=a ，当2n =时，22222(1)32S a a =+=-，则24a =，当3n =时，24)41(22333-=++=a a S ，则63=a ，………………2分 当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S ，∴当3n ≥时，2211-=--n n na S ， ∴当3n ≥时，n n n n n a na a n S S 2)1()(211=-+=---， 即3n ≥时，1)1(-=-n n na a n ，所以11-=-n an a n n ， …………………4分 因为22323==a a ，111=a ，所以11n n a a n n -==-…32232a a===，因此，当2n ≥时，n a n 2=，故1,(1),2,(2)n n a n n =⎧=⎨⎩≥. ……………6分(Ⅱ)由(I)可知，1,(1),2,(2)n nn b n n =⎧=⎨⋅⎩≥，所以当1=n 时，11==b T n ，…………8分 当2n ≥时，12n T b b =++…2312232n b +=+⨯+⨯+…2n n +⋅， 则34222232n T =+⨯+⨯+…1(1)22n n n n ++-⋅+⋅， 作差得：3418(22n T =--++…112)2(1)21n n n n n ++++⋅=-⋅+ 故12)1(1+⋅-=+n n n T ，)(+∈N n . ……………………………………………………12分3、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ·················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ············· 3分 所以3n a n =. ························· 4分易知164b =， ························ 5分 当2n ≥时11214n S n b b b --=，又124n S n b b b =，两式相除得64(2)n n b n =≥， ················· 7分 164b =满足上式，所以64n n b =. ··············· 8分 （Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++， 10分11(1)361n T n =-+， ····················· 11分 因此2016562017T =. ····················· 12分 4、【解析】（Ⅰ）∵函数()x f x a =的图象过点1(1,)2， ∴11,()()22x a f x ==………………………………………………2分又点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上从而2112n n a n -=，即212n n n a -=……………………………………6分（Ⅱ）证明：由22(1)21222n n n n n n n b ++=-= 得23521222n n n S +=+++………………………………8分 则231135212122222n n n n n S +-+=++++ 两式相减得， 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ∴2552n nn S +=-…………………………………………11分∴5n S <……………………………………………………12分5、6、解：（Ⅰ）由19a =，2a 为整数可知，等差数列{}n a 的公差d 为整数， 由5n S S ≤,知560,0a a ≥≤， 于是940d +≥ ，950d +≤，d 为整数，2d ∴=-.故{}n a 的通项公式为112n a n =-…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得()()11111111292292112n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 1111111111......27957921122929n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令192n b n =-，由函数()192f x x=-的图象关于点()4.5,0对称及其单调性，知12340b b b b <<<<，567...0b b b <<<<，41n b b ∴≤=.1141299n T ⎛⎫∴≤-= ⎪⎝⎭………12分7、(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q ，则错误！未找到引用源。

2017年高考数列一、单选题1、（2017•新课标Ⅰ卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A、1B、2C、4D、82、（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏4、（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2， a3， a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A、﹣24B、﹣3C、3D、85、（2017•新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20， 21，再接下来的三项是20， 21， 22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A、440B、330C、220D、110二、填空题1、（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________2、（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n， a3=3，S4=10，则=________．3、（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8=________．（2017•北京卷）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=________．4、三、解答题1、（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1， 1），P2（x2， 2）…P n+1（x n+1， n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1， x=x n+1所围成的区域的面积T n．2、（2017·天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1， S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．3、（2017•北京卷）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1， x2，…，x s}表示x1， x2，…，x s这s个数中最大的数．（13分）(1)若a n=n，b n=2n﹣1，求c1， c2， c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m， c m+1， c m+2，…是等差数列．4、（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．一、单选题1、C考点等差数列的通项公式，等差数列的前n项和解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．2、C考点必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，3、B考点等比数列的前n项和解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，4、A考点等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为= =﹣24．5、A考点数列的求和解：设该数列为{a n}，设b n= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则= a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+ (2)﹣1=2n﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n ﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．二、填空题1、-8考点等比数列的通项公式解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．2、考点等差数列的前n项和，数列的求和解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n= ，= ，则=2[1﹣+ +…+ ]=2（1﹣）= ．故答案为：．3、32考点等比数列的通项公式，等比数列的前n项和解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= ，S6= ，∴= ，= ，解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．4、1考点等差数列与等比数列的综合解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．三、解答题1、解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n= =（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n= ．考点等比数列的通项公式，等比数列的前n项和（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．2、解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n= ．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．考点数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．3、（1）解：a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d1＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时= =﹣a n+ ，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[ ]+1，当n≥m时，≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．考点数列的应用，等差关系的确定（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2.）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．4、解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．考点等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．。

2017年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 CA ．1B ．2C ．4D ．82.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则4a =____．8-2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =,6634S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 BA ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 AA ．24-B ．3-C ．3D ．82.（2017·北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b ==-,44a b =8=，则22a b =____. 1 3.（2017·全国卷Ⅰ文科）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；(2)n n a =-（Ⅱ）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.4.（2017·全国卷Ⅱ文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 前n 项和为n T .11a =-，11b =，222a b +=.（Ⅰ）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； 12n n b -= （Ⅱ）若321T =，求3S . 321S =或36S =-.5.（2017·北京文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +10=，245b b a ⋅=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；21n a n =- , （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．312n T -=.6.（2017·天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328433n n n T +-=⨯+ 7.（2017·天津文科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+8.（2017·山东理科）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； 12n n x -=（Ⅱ）如图，在在平面直角坐标xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,1)P x ，,11(,1)n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域面积n T ．1211222n n n T --=⨯+9.（2017·山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=,123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； 2n n a =（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯考法4 一般数列1.（2017·全国卷Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；221n a n =- （Ⅱ）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 221n n S n =+。

2017高考真题分类汇编：数列与不等式1．【2017山东 3】已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）32．【2017北京 4】若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为（ ）（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）93．【2017浙江 4】若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）（A ）[]0,6（B ）[]0,4 （C ）[)6,+∞ （D ）[)4,+∞4．【2017课标III 5】设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）（A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,35．【2017浙江 6】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．【2017课标I 7】设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37．【2017课标II 7】设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）98．【2017江苏 9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =_________。

9．【2017江苏 10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是_________。

2017高考数学数列与不等式考题汇编详细解析，太好了！
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数列一章的【学习目标】如下：
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an;
4．掌握常见的几种数列求和方法.
不等式一章的【学习目标】如下：
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.
下面是收集整理的2017年高考数学理科试卷的数列与不等式部分的考题汇编与详细解析，全部解析文档有20页，另外有原题文档，需要全部可编辑打印文档的可回复“014”索取。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列 2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{na 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80,则131211a a a ++= （A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234n. ①第二步：将数列①的各项乘以2n ，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a .则1223341n n a aa a a a a a -++++= ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}na 中,nS 是前n 项和，且k S S S S==783,，则k 的值为( ）A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考)等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，若32S=，618S=,则105SS 等于( ） A ．—3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{na 与}{nb 满足)(32*∈+=N n b an n,若}{n b 的前n 项和为)13(23-=n n S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 。

6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月)月考）已知等差数列{}na 前9项和为27，()1099=8=aa ，则A ． 100B 。

99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos 1b b a a +-⋅的值是（ )A 。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若134,,a a a 成等比数列，则3253S S S S --的值为 ．3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：)(*1N n a a b n n n ∈-=+，且)(1*1N n b b n n ∈=-+,13=a ，14-=a ，则=1a4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】若数列{}n a 是首项为13a =，公比1q ≠-的等比数列，n S 是其前n 项和，且5a 是14a 与32a -的等差中项，则19S = ▲5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ． 6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若2412++=n n S S n n ，则=53a a ________． 7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】若,ab 是函数()2(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则na = ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲11. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a _______.12. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.13. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______.14. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ． 15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 的首项为1，等比数列{}n b 满足1n n na b a +=，且10081b =，则2016a 的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n c 的通项公式是n n n b a c =，前n 项和为n T ,其中{}n a 是首项为11=a 的等差数列，且0>n a ，数列{}n b 为等比数列，若32)32(+⋅-=nn n T（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2016)1(212=-+q p b a 成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由；（3）是否存在非零整数λ，使不等式12112sin )111()111)(111(+<+-+-+-n n n a a a a a πλΛ 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131n n S S +-=. （1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）数列{}n a 是否存在一项k a ，使得k a 恰好可以表示为该数列中连续*(,2)r r N r ∈≥项的和？请说明理由； （3）设*1(),n n nb n N a +=∈试问是否存在正整数,(1)p q p q <<使1,,p q b b b 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组(,)p q ；若不存在，说明理由．5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =.（1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<L L ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),,(+*∈∈+=R r p N n r pn a S nn． （1）若32,31==r p ，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （2）设*∈N k ，先计算33)1(k k -+的值，再借用这个结论求出2222321nT n +⋅⋅⋅+++=的表达式（用n 表示）并在（1）的前提下，比较n T 与n S 的大小关系； （3）若120162016a a =，求r p ,的值．7. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，01=a ，)(,21R p p a a n n ∈+=+，（1）当12-=p 时，试证明：432,,a a a 成等差数列；（2）若432,,a a a 成等比数列，试求实数p 之值； （3）当41>p 时，试证明：存在*N k ∈，使得2016>k a . 8. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++L 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-L .（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式；（3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由. 9. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】 (本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2=a 3，b 1b 2=b 3，且a 3，a 2+b 1，a 1+b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列． （1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； （2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， …第2n ﹣1次从数列{a n }中继续依次取2n ﹣1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， …由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求满足S n ＜22014的最大正整数n ． 10. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝1n S n+． （1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值； ②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得22t r b t b r +=+求q 的值．11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设*),2(N n S n b n n ∈-=，若*,N n b n ∈≤λ恒成立，求实数λ的取值范围； （3）设*,)1(2N n n n S c nn ∈+-=,n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明143<≤n T ．13. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】 (本题满分16分)已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由.14. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2)1(41+=n n a S ，*N n ∈． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）等比数列{}n b 的各项均为正数，21n n n S b b ≥+，*N n ∈，且存在整数2≥k ，使得21k k k S b b =+．（i ）求数列{}n b 公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当2≥n 时，*N b n ∈，求数列{}n b 的通项公式．15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：11b =，121n n b T +-=.（Ⅰ）求n S 与n b ；（Ⅱ）比较n n S b 与2n n T a 的大小，并说明理由.16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．。

(2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。

( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n nn n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，那么 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 14．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-【解析】由题意可得：()()1211113a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==- (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-，故选A.(2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 C17. ( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，等比数列{b n }的前n 项和为Tn ，a 1=-1，b1=1，a3+b2=2. （1） 若a3+b2=5，求{b n }的通项公式； （2） 若T=21，求S 117.解：设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得d+q=3. ①（1） 由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式（2） 由得.解得 当时，由①得，则.当时，由①得，则.(2017年新课标Ⅰ) 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，学科*网其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和，即1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=，故选A. (2017年新课标Ⅰ文) 17． 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

高考数学数列经典例题（一）高考数学数列经典例题（一）高考数学数列知识点数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。

如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L . 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8L ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（Ⅰ）7S =__________； （Ⅱ）若2017a m =，则2015S =__________．（用m 表示） 3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41n n S a =+*()n ∈N ，设3log ||n n b a =，则数列{}n b 的通项公式为________.4、（襄阳市2017届高三1月调研）在等差数列{}n a 中，已知123249,21a a a a a ++==，数列{}n b 满足()12121211,2n n n n n b b b n N S b b b a a a *+++=-∈=+++L L ，若2n S >，则n 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 25、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±6、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .7、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =A. 18B. 99C. 198D. 2978、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+u u r u u r u u u r，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ） A.20172B. 2017C. 2016D. 201529、（荆州中学2017届高三1月质量检测）对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++=Λ为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n为正整数.（1）令2nn n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++L ，求n T .2、（荆门市2017届高三元月调考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S .（Ⅰ）求2a ，3a 和通项n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12-⋅=n n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n Sn b b b =gg L g . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前n 项和为n T ，求2016T .4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()x f x a =的图象过点1(1,)2，且点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证5n S <.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈（1）求1a 及通项公式n a ；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤ .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：49nT ≤.7、（襄阳市2017届高三1月调研）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，132464,72.a a a a =+=(1)求数列{}n a 的通项公式； (2))设21log n nb n a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，不等式()log 2n a S a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2，n +1n a =2(n+1)n a（1）记=nn a b n，求数列{n b }的通项公式； （2）求通项n a 及前n 项和n s .9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知等差数列{}n a 满足()()()()()1223121.n n a a a a a a n n n N *+++++++=+∈L（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、选择、填空题1、20162、（Ⅰ）33 （Ⅱ）1m -3、n b n =-4、B5、A6、35 7、C 8、A 9、167[,]73二、解答题1、解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I）得，所以由①-②得……12分2、(I)11=a ，当2n =时，22222(1)32S a a =+=-，则24a =，当3n =时，24)41(22333-=++=a a S ，则63=a ，………………2分 Θ当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S ，∴当3n ≥时，2211-=--n n na S ， ∴当3n ≥时，n n n n n a na a n S S 2)1()(211=-+=---， 即3n ≥时，1)1(-=-n n na a n ，所以11-=-n a n a n n ， …………………4分 因为22323==a a ，111=a ，所以11n n a a n n -==-…32232a a ===，因此，当2n ≥时，n a n 2=，故1,(1),2,(2)n n a n n =⎧=⎨⎩≥. ……………6分(Ⅱ)由(I)可知，1,(1),2,(2)n nn b n n =⎧=⎨⋅⎩≥，所以当1=n 时，11==b T n ，…………8分当2n ≥时，12n T b b =++…2312232n b +=+⨯+⨯+…2n n +⋅， 则34222232n T =+⨯+⨯+…1(1)22n n n n ++-⋅+⋅， 作差得：3418(22n T =--++…112)2(1)21n n n n n ++++⋅=-⋅+ 故12)1(1+⋅-=+n n n T ，)(+∈N n . ……………………………………………………12分3、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩ 由（1）得12590a d -+=， ·················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ············· 3分 所以3n a n =. ························· 4分 易知164b =， ························ 5分当2n ≥时11214n S n b b b --=gg L g ，又124n Sn b b b =gg L g ， 两式相除得64(2)nn b n =≥， ················· 7分164b =满足上式，所以64n n b =. ··············· 8分（Ⅱ）2log 646nn c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++g ， 10分11(1)361n T n =-+，····················· 11分 因此2016562017T =. ····················· 12分 4、【解析】（Ⅰ）∵函数()x f x a =的图象过点1(1,)2， ∴11,()()22x a f x ==………………………………………………2分又点2(1,)()n an n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上从而2112n n a n -=，即212n n n a -=……………………………………6分（Ⅱ）证明：由22(1)21222n n n n n n n b ++=-= 得23521222n n n S +=+++L ………………………………8分 则231135212122222n nn n n S +-+=++++L 两式相减得， 23113111212()222222n n n n S ++=++++-L ∴2552n nn S +=-…………………………………………11分∴5n S <……………………………………………………12分5、6、解：（Ⅰ）由19a =，2a 为整数可知，等差数列{}n a 的公差d 为整数， 由5n S S ≤,知560,0a a ≥≤， 于是940d +≥ ，950d +≤，d Q 为整数，2d ∴=-.故{}n a 的通项公式为112n a n =-…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得()()11111111292292112n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 1111111111......27957921122929n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令192n b n =-，由函数()192f x x=-的图象关于点()4.5,0对称及其单调性，知12340b b b b <<<<，567...0b b b <<<<，41n b b ∴≤=.1141299n T ⎛⎫∴≤-= ⎪⎝⎭………12分 7、(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q ，则2131()64(1)72a q a q q ⎧=⎨+=⎩ 2分∴q = 2，a 1 = 4∴数列{a n }的通项公式为12n n a +=．4分 (Ⅱ)解：21111log (1)1n n b n a n n n n ===-⨯++ 6分 ∴11111111(1)()()()12233411n S n n n =-+-+-++-=-++L 8分 易知{S n }单调递增，∴S n 的最小值为112S =10分∴要使log (2)n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只需1log (2)2a a -≥由a －2 > 0得：a > 2，∴122a a -<，即2540a a -+≤，解得：1≤a ≤4 ∴实数a 的取值范围是(2，4]． 12分 8、解：（1）因为n=2(n+1)所以即…………………………2分所以{}是以为首项，公比q=2的等比数列………………4分所以数列{}的通项…………………………5分（2）由（1）得……………………6分所以……………7分…………8分所以 ………10分所以 …………………………12分9、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得1212234,()()12,a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩ ……2分即12234,8,a a a a +=⎧⎨+=⎩所以1111()4,()(2)8,a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ ……4分所以21n a n =-． ……6分（2）由（1）得，所以122135232112222n n n n n S ----=+++++…，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++++……，② ……8分 -①②得：2211112123113222222n n n n n n S --+=+++++-=-… ……10分112122n n n a n ---=所以4662n nn S +=-． ……12分 10、解 ：(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，所以111=a ，当2≥n 时，56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ，两边同乘以２，得21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T Λ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T Λ2222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n ,222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T .。

所以an=
(k∈N*).
(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)
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命题角度二 裂项相消求和 【典题3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为
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【答案】(Ⅰ)设{an}的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以{an}的通项公式为 an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (Ⅱ)因为 bn=
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893.
D.Sn=3-2an
【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为 ,
2
3
所以Sn=3-2an.
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2.(2016·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且
a3+a8=13,S7=35,则a7= ( )
A.8
B.9 C.10
D.11
【解析】选A.由已知条件可得,
所以a7=a1+6d=2+6×1=8.
n
（2）看到前n项和形式，想到_________________.
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【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn. (2)当n≥2时,Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2, 所以Sn=2n，所以an=

1 + a n， 4 2 84 2 8 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编七、数列一、单选题（2021·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 S 2 = 4 ，S 4 = 6 ，则 S 6 =（）A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021·浙江）已知a , b ∈ R, a b > 0 ，函数 f ( x ) = ax 2+ b (x ∈ R) .若 f (s - t ), f (s ), f (s + t ) 成等比数列，则平面上点(s ,t ) 的轨迹是（）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线3．（2021·全国（理））等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为S n ，设甲： q > 0 ，乙： {S n } 是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（2021·浙江）已知数列{a } 满足a = 1, a = a n (n ∈ N *).记数列{a }的前 nn1n +1n项和为S n ，则（ ）A ． 3< S< 3B ．3 < S < 4C ． 4 < S< 9D ． 9< S < 52100100100221005．（2020·北京）在等差数列{a n }中，a 1 = -9 ，a 5 = -1 ．记T n = a 1a 2…a n (n = 1, 2,…) ，则数列{T n }（）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项（2020·浙江）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0n ∈ N * ，下列等式不．可．能．成立的是（ ）a 1≤ 1 ．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ， dA ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ． a 2= a a D ． b 2= b b7．（2020·全国（文））设{a n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ， a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （）a k +1 k +2 k +10A ．12B ．24C ．30D ．32S n 8．（2020·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=n（ ）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –19．（2020·全国（理））数列{a n } 中，a 1 = 2 ， a m +n = a m a n ，若a + a ++ a = 215 - 25 ， 则 k = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（2020·全国（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外 每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) （ ）A ．3699 块B ．3474 块C ．3402 块D ．3339 块11．（2020·全国（理））0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2 a n 满足a i ∈{0,1}(i = 1, 2,) ，且存在正整数 m ，使得 a i + m = a i (i = 1, 2,) 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 a i + m = a i (i = 1, 2,) 的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m C (k ) = 1 ma a(k = 1, 2,, m - 1)的 0-1 序列 a 1a 2 a n ， ∑ i =1i i + k 是描述其性质的重要指标， 下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足C (k ) ≤ 1(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是（ ）5A ．11010B ．11011C ．10001D ．1100112．（2019·全国（理））已知各项均为正数的等比数列{a n } 的前 4 项和为 15，且a 5 = 3a 3 + 4a 1 ，则 a 3 =A ．16B ．8C ．4D ．2m32 n 13．（2019·全国（理））记S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．已知 S 4 = 0，a 5 = 5 ，则A. a n = 2n - 5B. a n = 3n -10C. S n = 2n 2- 8nD. S n= 1 n 2- 2n214．（2018·浙江）已知 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，且 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ．若a 1 > 1 ，则A ． a 1 < a 3 , a 2 < a 4C ．a 1 < a 3 ,a 2 > a 4 B ． a 1 > a 3 ,a 2 <a 4D ．a 1 > a 3 ,a 2 > a 415．（2018·北京（理））“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个 单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A.fC ． 12 25 fD ． 12 27 f16．（2017·全国（理））等差数列{a n } 的首项为1，公差不为0 ．若a 2 、a 3 、a 6 成等比数列，则{a n }的前6 项的和为（ ）A ． -24B. -3C. 3D ． 817．（2017·上海）已知 a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项 x = an 2+ bn + c ，n∈ N * ，则“存在 k ∈ N * ，使得x 100+k 、 x 200+k 、 x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0 D ． a - 2b + c = 018．（2017·全国（理））（2017 新课标全国 I 理科）记S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若a 4 + a 5 = 24 ， S 6 = 48 ，则{a n } 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．819．（2017·浙江）已知等差数列{a n }的公差为 d,前 n 项和为 S n ,则“d>0”是 " S 4 +S 6 > 2S 5 "的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B ． 3 22 fn 20．（2017·全国（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂 了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A ．1 盏B ．3 盏C ．5 盏D ．9 盏21．（2017·全国（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂 了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A ．1 盏B ．3 盏C ．5 盏D ．9 盏二、填空题22．（2020·海南）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前 n 项和为．23．（2020·浙江）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如⎧ n (n +1) ⎫ ⎧ n (n +1) ⎫ *数列⎨ 2 ⎬ 就是二阶等差数列，数列 ⎨ 2 ⎬ (n ∈ N ) 的前3 项和是．⎩ ⎭ ⎩ ⎭24．（2020·江苏）设{a n }是公差为 d 的等差数列，{b n }是公比为 q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前 n 项和 S = n 2 - n + 2n-1(n∈ N + ) ，则 d +q 的值是 ．25．（2020·全国（文））数列{a n } 满足 an +2 + (-1)na = 3n -1，前 16 项和为 540，则 a 1 =.26．（2020·全国（文））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．若 a 1 = -2, 则S 10 = ．a 2 + a 6 = 2 ，27．（2019·江苏）已知数列{a n }(n ∈ N *) 是等差数列， S n 是其前 n 项和.若a 2a 5 + a 8 = 0, S 9 = 27 ，则 S 8 的值是 . 28．（2019·全国（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若 a 3 = 5, a 7 = 13 ，则 S 10 = . 29．（2019·全国（理））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，a 1≠0，a 2 = 3a 1 ，则 n1 S 10S 5= .30．（2019·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a= 1，S = 3，则S 4=．13431．（2019·全国（理））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a = 1，a 2= a ，则S 5=．134 6（2018·上海）记等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 3 = 0 ，a 6 + a 7 = 14 ，则 S 7 = ．33．（2018·全国（理））记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，若 S n = 2a n +1，则 S 6 = ．34．（2017·上海）已知数列{a } 和{b }，其中 a = n 2， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等nnnn的正整数，若对于任意 n ∈ N * ，{b n } 的第 a n 项等于{a n } 的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =lg(b 1b 2b 3b 4 )．2017·全国（）2017 新课标全国 II 理科）等差数列{a n } 的前n 项和为 S n ，a 3 = 3 ，S = 10 ，则∑1 = ．4 k =1 S36．（2017·北京（理））若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足 a 1 = b 1 = -1，a 4 = b 4 = 8 ， 则 a 2 = . b 237．（2017·江苏）等比数列{ a }的各项均为实数，其前n 项为 S ，已知 S = 7，S = 63，n则a 8 = ．n 346438．（2021·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm ⨯12dm ，20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S = 240dm 2 ，对折 2 次共可以得到5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S 2 = 180dm 2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果nkS对折n 次，那么∑ Sk= dm 2 .k =139．（2019·北京（理））设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2=−3，S 5=−10，则 a 5=，S n 的最小值为 ．三、解答题40．（2021·全国（文））设{a }是首项为 1 的等比数列，数列{b } 满足b =na n．已知 na 1 ， 3a 2 ， 9a 3 成等差数列．（1） 求{a n } 和{b n }的通项公式；n n3（2） 记 S 和T 分别为{a }和{b }的前 n 项和．证明： T <S n． nnnnn241．（2021·浙江）已知数列{a }的前 n 项和为S ， a = - 9，且4S = 3S - 9 .n（1） 求数列{a n } 的通项；n14n +1n（2） 设数列{b n }满足3b n + (n - 4)a n = 0 ，记{b n }的前 n 项和为Tn，若T n ≤ λb n 对任意 n ∈ N * 恒成立，求λ的范围.42．（2021·全国（理））已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前 n 项和，从 下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{a n }是等差数列：②数列{ S n}是等差数列；③ a2= 3a 1 ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．43．（2021·全国（理））记 S n 为数列{a n }的前 n 项和， b n 为数列{S n } 的前 n 项积，已知2 + 1nb n = 2 ．（1） 证明：数列{b n }是等差数列;（2） 求{a n } 的通项公式．44．（2020·海南）已知公比大于1的等比数列{a n } 满足a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．（1） 求{a n } 的通项公式；（2） 求 a a - a a+⋯+ (-1)n -1 a a .1 22 3n n +145．（2020·天津）已知{a n }为等差数列， {b n }为等比数列，na ann a a 1 = b 1 = 1, a 5 = 5(a 4 - a 3 ), b 5 = 4(b 4 - b 3 ) ． （Ⅰ）求{a n } 和{b n }的通项公式； （Ⅱ）记{a }的前 n 项和为 S ，求证： S S< S 2(n ∈ N *) ；nnn n +2⎧(3a n - 2)b n n +1（Ⅲ）对任意的正整数n ，设c n⎪⎪a n a n +2 ⎨ a, n 为奇数, 求数列{c n } 的前 2n 项和． ⎪ n -1 , ⎩ b n +1n 为偶数. 46．（2020·北京）已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：①对于{a }中任意两项 a i , a j (i > 2j) ，在{a }中都存在一项a ，使 i= a ；n n mm j2②对于{a n }中任意项a n (n 3) ，在{a n }中都存在两项a k , a l (k > l ) ．使得 a n = k．a l(Ⅰ)若 a n = n (n = 1, 2,) ，判断数列{a n } 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若 a = 2n -1(n = 1, 2,) ，判断数列{a }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： {a n }为等比数列. 47．（2020·浙江）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，a =b =c = 1, c = a - a , c= b n ⋅ c (n ∈ N * ) ．111nn +1n n +1b n +2（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比 q > 0 ，且b 1 + b 2 = 6b 3 ，求 q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差 d > 0 ，证明： c + c++ c < 1 + 1．(n ∈ N * ) 12nd48．（2020·山东）已知公比大于1的等比数列{a n } 满足a 2 + a 4 = 20, a 3 = 8 ．（1） 求{a n } 的通项公式；（2） 记b m 为{a n } 在区间(0, m ](m ∈ N * ) 中的项的个数，求数列{b m } 的前100 项和 S 100 ．49．（2020·全国（理））设数列{a n }满足 a 1=3，a n +1 = 3a n - 4n ． （1） 计算 a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2） 求数列{2n a n }的前 n 项和 S n ．50．（2020·全国（理））设{a n } 是公比不为 1 的等比数列， a 1 为 a 2 ， a 3 的等差中项．（1）求{a n } 的公比；n = ⎪（2）若 a 1 = 1 ，求数列{na n }的前 n 项和．a n 2b nn1n51．（2020·全国（文））设等比数列{a n }满足a 1 + a 2 = 4 ， a 3 - a 1 = 8 ． （1） 求{a n }的通项公式；（2） 记 S n 为数列{log 3a n }的前 n 项和．若 S m + S m +1 = S m +3 ，求 m ．52．（2019·江苏）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1） 已知等比数列{a n }满足： a 2 a 4 = a 5 , a 3 - 4a 2 + 4a 1 = 0 ，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2） 已知数列{b }满足: b= 1, 1= 2 - 2 ，其中 S为数列{b }的前 n 项和．S n b n b n +1①求数列{b n }的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数 k ，当 k ≤m 时，都有c k b k c k +1成立，求 m 的最大值．53．（2019·北京（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且 a 2+10，a 3+8，a 4+6 成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值．54．（2019·浙江）设等差数列{a n } 的前n 项和为 S n ，a 3 = 4 ，a 4 = S 3 ，数列{b n }满足：对每 n ∈ N *, S n + b n , S n +1 + b n , S n +2 + b n 成等比数列.（1） 求数列{a n },{b n } 的通项公式；（2） 记C =, n ∈ N *, 证明： C + C ++ C < 2 n , n ∈ N *.n1 2n55．（2019·天津（文）） 设{a n }是等差数列， {b n }是等比数列，公比大于0 ，已知a 1 =b 1 = 3 ， b 2 = a 3 ， b 3 = 4a 2 + 3 .（Ⅰ）求{a n }和{b n } 的通项公式；⎧⎪1,n 为奇数,（Ⅱ）设数列{c } 满足c= ⎨b n 为偶数, 求a c + a c ++ a c(n ∈ N *).nnn⎩21 12 22n 2n56．（2019·全国（文））已知{a n } 是各项均为正数的等比数列，a 1 = 2, a 3 = 2a 2 +16 . n（1）求{a n } 的通项公式；n →∞{ }（2） 设b n = log 2 a n ，求数列{b n } 的前 n 项和.57．（2019·全国（文））记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 9=－a 5．（1） 若 a 3=4，求{a n }的通项公式；（2） 若 a 1>0，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围．58．（2019·全国（理））已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=1，b 1=0，4a n +1 = 3a n - b n + 4 （1） 证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2） 求{a n }和{b n }的通项公式.59．（2019·上海）已知数列{a n }，a 1 = 3 ，前 n 项和为 S n . （1） 若{a n } 为等差数列，且a 4 = 15 ，求 S n ； （2） 若{a n } 为等比数列，且 lim S n < 12 ，求公比q 的取值范围.，4b n +1 = 3b n - a n - 4 .60．（2019·上海）已知等差数列{a n }的公差d ∈(0,π] ，数列{b n }满足b n = sin (a n ) ，集合 S = {x | x = b n , n ∈ N *}.（1） 若 a 1（2） 若 a = 0, d =2π，求集合 S ； 3= π，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；12（3） 若集合 S 恰好有三个元素： b n +T = b n ， T 是不超过 7 的正整数，求T 的所有可能的值.61．（2019·天津（理））设{a n } 是等差数列， {b n }是等比数列.已知a 1 = 4,b 1 = 6 ，b 2 = 2a 2 - 2,b 3 = 2a 3 + 4 .（Ⅰ）求{a n } 和{b n }的通项公式；⎧1, 2k < n < 2k +1, （Ⅱ）设数列 c n 满足c 1 = 1, c n = ⎨ b , n = 2k ,其中 k ∈ N * . ⎩ k（i ） 求数列{a 2n(c2n-1)}的通项公式；2n（ii ） 求∑ a i ci(n ∈ N *).i =162．（2018·江苏）设{a n } 是首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列，{b n } 是首项为b 1 ，公比为 q 的等比数列．（1）设 a 1 = 0,b 1 = 1, q = 2 ，若| a n - b n |≤b 1 对 n = 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a = b > 0, m ∈ N *, q ∈ (1, m 2] ，证明：存在 d ∈ R ，使得| a n - b n |≤ b 1 对11n = 2, 3,, m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用b 1, m , q 表示）．63．（2018·江苏）设 n ∈ N * ，对 1，2，···，n 的一个排列i 1i 2 i n ，如果当 s <t 时，有i s > i t ，则称(i s , i t ) 是排列i 1i 2i n 的一个逆序，排列i 1i 2 i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 f n (k ) 为 1，2，···，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数． （1）求 f 3 (2), f 4 (2) 的值；（2） 求 f n (2)(n ≥ 5) 的表达式(用 n 表示)．64．（2018·全国（文））记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和，已知 a 1 = -7 ， S 3 = -15 ．（1） 求{a n } 的通项公式；（2） 求 S n ，并求 S n 的最小值．65．（2018·北京（文））设{a n } 是等差数列，且a 1 = ln 2, a 2 + a 3 = 5 l n 2 .（Ⅰ）求{a n } 的通项公式；（Ⅱ）求e a 1 + e a 2 ++ e a n .66．（2018·全国（理））等比数列{a n }中，a 1 = 1，a 5 = 4a 3 ． （1） 求{a n }的通项公式；（2） 记S n 为{a n }的前n 项和．若 S m = 63 ，求 m ． 67．（2018·浙江）已知等比数列{a n }的公比 q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2 是 a 3，a 5 的等差中项．数列{b n }满足 b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前 n 项和为 2n 2+n ． （Ⅰ）求 q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．68．（2018·全国（文））已知数列{a }满足a = 1 ， na= 2(n +1) a，设b = an．（1）求b 1 ，b 2 ，b 3 ；n 1 n +1n nn（2） 判断数列{b n } 是否为等比数列，并说明理由；n n k =1⎩⎭⎩ n n n （3） 求{a n } 的通项公式．69．（2018·天津（理））设{a }是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 S (n ∈ N *)，{b n }是等差数列.已知a 1 = 1 ， a 3 = a 2 + 2 ， a 4 =b 3 + b 5 ， a 5 = b 4 + 2b 6 . （I ） 求{a n }和{b n }的通项公式；（II ） 设数列{S }的前 n 项和为T (n ∈ N *) ，（i ） 求T n ；n(T k+ bk +2)b k=2n +2 - ∈ *（ii ）证明∑ (k +1)(k + 2)n + 22 (nN ) .70．（2018·天津（文））设{a n }是等差数列，其前 n 项和为 S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 T n （n ∈N *）．已知 b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求 S n 和 T n ；（Ⅱ）若 S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数 n 的值．71．（2017·全国（文））设数列{a n } 满足a 1 + 3a 2 +⋯+ (2n -1)a n = 2n . （1） 求{a n } 的通项公式；⎧ a n ⎫ （2） 求数列的前 n 项和． ⎨ 2n +1⎬72．（2017·上海）根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），⎧5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中 a n = ⎨-10n + 470, ，b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个n ≥ 4月的累计投放量与累计损失量的差.（1） 求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2） 已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2+ 8800 （单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点 的单车容纳量？73．（2017·天津（文））已知{a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n(n ∈ N * ) ，{b } 是首项为2 的等比数列，且公比大于 0，n2n n n 1 n n +1 b 2 + b 3 = 12,b 3 = a 4 - 2a 1 , S 11 = 11b 4 .（Ⅰ）求{a n } 和{b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列{a b } 的前 n 项和(n ∈ N *) .74．（2017·山东（理））已知{x n } 是各项均为正数的等比数列，且x 1 + x 2 = 3，x 3 - x 2 = 2 （Ⅰ）求数列{x n } 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点P 1 ( x 1 ,1)，P 2 ( x 2 , 2)⋯ P n +1 ( x n +1 , n +1) 得到折线 P 1P 2 ⋯P n +1 ，求由该折线与直线y = 0 ， x = x 1,x = x n +1 所围成的区域的面积T n ..75．（2017·浙江）已知数列{x } 满足： x =1 ， x = x + ln (1+ x ) (n ∈ N *)证明：当 n ∈ N * 时，（I ）0 < x n +1 < x n ；（II ）2x- x ≤ x n x n +1 ；（III ） n +112n -1 n≤x n ≤ 21 2n -2 . 76．（2017·全国（文））记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，已知 S 2=2，S 3=-6.（1） 求{a n } 的通项公式；（2） 求 S n ，并判断 S n +1，S n ，S n +2 是否成等差数列．77．（2017·山东（文））已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1 + a 2 = 6, a 1a 2 = a 3 . (I) 求数列{a n }通项公式；n +1(II){b }为各项非零的等差数列,其前n 项和S ,已知S=b b ⎧b n ⎫,求数列的前n 项n n 2n+1n n+1⎨a ⎬⎩n ⎭和Tn.78．（2017·北京（理））设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n = max{b1-a1n,b2-a2n,⋅⋅⋅,bn-ann} (n = 1, 2, 3,⋅⋅⋅) ，其中max{x1, x2 , ⋅⋅⋅, x s} 表示x1 , x2 ,⋅⋅⋅, x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n = 2n -1，求c1 , c2 , c3 的值，并证明{c n }是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，cn >M ；或者存在正n整数m ，使得c m , c m+1, c m+2 , ⋅⋅⋅是等差数列．（2017·北京（文））已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1 +b3 +b5 +…+b2 n-1 ．80．（2017·全国（文））已知等差数列{a n }的前n 项和为S n，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且 a1 = 1 ，b1 =1，a2 +b2 = 4 .（1）若a3+b3=7，求{b n }的通项公式；（2）若T3 = 13 ，求S5 .81．（2017·江苏）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a +a +...a +a +...a +a = 2k an-k n-k+1 n-1 n+1 n+k-1 n+k n对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{a n} 是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{a n}是“P(3)数列”；（2）若数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n}是等差数列.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编七、数列（答案解析）1．A【解析】∵S n 为等比数列{a n}的前n项和，∴S2 ，S4 -S2 ，S6 -S4 成等比数列∴S2 = 4 ，S4 -S2 = 6 - 4 = 2 ，∴S6 -S4 = 1，∴S6 = 1+S4 = 1+ 6 = 7 .故选：A.2．C【解析】由题意得f (s -t) f (s +t) = [ f (s)]2 ，即⎡⎣a(s-t)2+b⎤⎦⎡⎣a(s+t)2+b⎤⎦=(as2+b)2，对其进行整理变形：(as2+at2-2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2，(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=0，(2as2+at2+2b)at2-4a2s2t2=0，-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，s 2-t 2所以-2as2 +at 2 + 2b = 0 或t = 0 ，其中b 2b = 1为双曲线，t = 0 为直线.a a故选：C.3．B【解析】由题，当数列为-2, -4, -8,时，满足q > 0 ，但是{S n }不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n }是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q > 0 成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．4．A【解析】因为a= 1, a=an (n ∈ N*)，所以a > 0 ，S >1 ．1 n+1n 100 21 +ana n a n a n +1 a na n + 1a n2 2 ⎝⎭ ⎝ ⎭ < 1 2 a 1 1 1⎛ 1 1 ⎫ 1 由a n +1 = n ⇒ = + = + ⎪ -1+∴ 1 ⎛ 1a+ 1 ⎫ 2 ⎪ a n +1 2⇒a n ⎝ 1 < 1 + 1 2 2 ⎭ 4，即-1 < 12n +1 ⎝ ⎭1 根据累加法可得，≤ 1+n -1 = n +1，当且仅当 n = 1 时取等号，∴a ≥ 4 ∴a = a n ≤ a n= n +1 a n (n +1)2 n +1 1+ 2 n +1n + 3 n ∴a n +1 ≤ n +1 ，a n n + 3由累乘法可得 a n ≤ 6(n +1)(n + 2)，当且仅当 n = 1 时取等号，由裂项求和法得：所以 S ≤ 6⎛ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ++ 1-1 ⎫ = 6 ⎛ 1 -1 ⎫ < 3 ， 即 1< S< 3 ．1002 3 3 4 4 5 101 102 ⎪ 2 102 ⎪2 100故选：A ．【小结】本题解题关键是通过倒数法先找到a n ,的不等关系，再由累加法可求得a ≥4，由题目条件可知要证 S 小于某数，从而通过局部放缩得到a , a 的不等 n(n +1)2100 n n +1关系，改变不等式的方向得到 a n ≤6(n +1)(n + 2)，最后由裂项相消法求得 S 100 < 3 ．5．B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在 最大项和最小项. 【解析】由题意可知，等差数列的公差d =a 5 - a 1 = -1+ 9= 2 ， 5 -1 5 -1则其通项公式为： a n = a 1 + (n -1)d = -9 + (n -1)⨯ 2 = 2n -11 ，a n a n a n1+ a n a n +1注意到a1 <a2 <a3 <a4 <a5 < 0 <a6 = 1<a7 <，且由T5 < 0 可知T i < 0 (i ≥ 6,i ∈N )，Ti 由Ti-1 =ai>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n }不存在最小项，由于a1 =-9, a2 =-7, a3 =-5, a4 =-3, a5 =-1, a6 = 1，故数列{T n }中的正项只有有限项：T2= 63 ，T4= 63⨯15 = 945 .故数列{T n }中存在最大项，且最大项为T4.故选：B.【小结】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.6．D【分析】根据题意可得，b n+1 =S2n+ 2 -S2n =a2n+1 +a2n +2 ，而b1 =S2 =a1 +a2 ，即可表示出题中b 2 , b4, b6, b8，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【解析】对于A，因为数列{a n}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4 + 4 = 2 + 6 可得，2a4 =a2+a6，A 正确；对于B，由题意可知，b n+1 =S2n+ 2 -S2n =a2n+1 +a2n +2 ，b1 =S2 =a1 +a2 ，∴b2 =a3 +a4 ，b4 =a7 +a8 ，b6 =a11 +a12 ，b8 =a15 +a16 ．∴2b4=2(a7+a8)，b2+b6=a3+a4+a11+a12．根据等差数列的下标和性质，由3 +11 = 7 + 7, 4 +12 = 8 + 8 可得b 2+b6=a3+a4+a11+a12=2(a7+a8)=2b4，B正确；对于C，a2-a a=(a+3d)2-(a+d)(a+7d)=2d2-2a d=2d(d-a)，4 2 8 1 1 1 1 14 2 8 1 1 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1⎪a q a q 12 ⎨ 当a 1 = d 时， a 2= a a ，C 正确；对于 D ， b 2 = (a + a )2 = (2a + 13d )2= 4a 2 + 52a d + 169d 2 ，478111b b = (a + a )(a + a ) = (2a + 5d )(2a + 29d )= 4a 2 + 68a d + 145d 2 ，2 83415161111b 2 - b b = 24d 2 - 16a d = 8d (3d - 2a ) ．42 811当 d > 0 时， a ≤ d ，∴ 3d - 2a = d + 2 (d - a ) > 0 即b 2 - b b > 0 ；11142 8当 d < 0 时，a ≥ d ，∴ 3d - 2a = d + 2 (d - a ) < 0 即b 2 - b b > 0 ，所以b 2 - b b > 0 ，11142 842 8D 不正确． 故选：D.7．D【解析】设等比数列{a } 的公比为q ，则 a + a + a= a (1+ q + q2) = 1 ，a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2 ) = q = 2 ，因此， a + a + a = a q 5+ a q 6+ a q 7= a q 5(1+ q + q 2) = q 5= 32 .故选：D.8．B【解析】设等比数列的公比为q ，⎧ 4 - 2= 由a -a =12,a -a =24可得： ⎨1 1⇒⎧q = 2 ，5364⎪⎩a q5 - a q 3= 24 a (1- q n ) 1- 2n ⎩a 1 =1 S 2n-11-n 所以 a = a q n -1 = 2n -1, S =1 = = 2n -1，因此 n = =2 - 2 . n 1 n1- q 1- 2 a 2n -1故选：B.9．C【解析】在等式 a= a a中，令 m = 1，可得 a= a a = 2a ，∴a n +1= 2 ，m +nm nn +1n 1nn所以，数列{a n } 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则a n = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，na2 ⋅(1- 2 ) 5 i =1 5 5∴a + a++ a=a k +1 ⋅(1- 210 ) k +110= = 2k +1 (210 -1) = 25 (210 -1)，k +1k +2k +101- 2 1- 2∴ 2k +1 = 25 ，则 k +1 = 5 ，解得 k = 4 .故选：C.10．C【解析】设第 n 环天石心块数为 a n ，第一层共有 n 环，则{a n } 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， a n = 9 + (n - 1) ⨯ 9 = 9n ， 设 S n 为{a n } 的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为 S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，因为下层比中层多 729 块， 所以 S 3n - S 2n = S 2n - S n + 729 ， 即3n (9 + 27n ) - 2n (9 + 18n ) = 2n (9 + 18n ) - n (9 + 9n ) + 729 2 2 2 2即9n 2 = 729 ，解得n = 9 ，所以 S 3n = S 27= 27(9 + 9 ⨯ 27)= 3402 .故选：C 211．C1 5【解析】由a i +m = a i 知，序列 a i 的周期为 m ，由已知，m = 5 ，C (k ) = ∑a i ai +k, k = 1, 2,3, 4i =1对于选项 A ，1 51 1 1 1C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 0) = ≤i =1 5 5 1 51 1 2C (2) = 5 ∑a i a i +2 = 5 (a 1a 3 + a 2a 4 + a 3a 5 + a 4a 6 + a 5a 7 ) = 5 (0 +1 + 0 +1 + 0) = 5，不满足；对于选项 B ，1 5 C (1) = ∑a i a i +1 = i =1对于选项 D ，(a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = ，不满足；1 5C (1) = ∑a i a i +1 = i =1(a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6) = ，不满足； 1 1 35 5 (1 + 0 + 0 +1 +1) = 511(1 + 0 + 0 + 0 +1) =25 5 51 1 1 ⎩故选：C12．C⎧a + a q + a q 2 + a q 3 = 15,【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎨ ⎩1 1 1 1 ， a q 4 = 3a q 2+ 4a解得⎧a 1 = 1, ，∴ a = a q 2= 4 ，故选 C ．⎨q = 2 3 1 13．A 【解析】⎧S = 4a + d ⨯ 4 ⨯ 3 = 0⎧a = -3 ⎪ 4 1 由题知， 2，解得⎨ 1，∴ a = 2n - 5 ，故选 A ． ⎨ ⎪⎩a 5 = a 1+ 4d = 5 ⎩d = 2 n14．B 【解析】令 f (x ) = x - ln x -1, 则 f ' (x ) = 1- 1，令 f '(x ) = 0, 得 x = 1 ，所以当 x > 1 时， f '(x ) > 0 ，x当0 < x < 1 时， f '(x ) < 0 ，因此 f (x ) ≥ f (1) = 0,∴ x ≥ ln x +1 ，若公比 q > 0 ，则 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 > a 1 + a 2 + a 3 > ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ，不合题意；若公比q ≤ -1 ，则 a + a + a + a = a (1+ q )(1+ q 2) ≤ 0,12341但ln(a + a + a ) = ln[a (1+ q + q 2)] > ln a > 0 ，12311即a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ≤ 0 < ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ，不合题意；因此-1 < q < 0, q 2 ∈(0,1) ，∴ a > a q 2 = a , a < a q 2= a< 0 ，选 B.113224【小结】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 x ≥ ln x +1,e x ≥ x +1, e x ≥ x 2 +1(x ≥ 0).15．Dn n -1 +【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为12 2 ，所以 a = 122a (n ≥ 2, n ∈ N ) ，又a 1 = f ，则 a = a q 7 = f (12 2)7 = 12 27 f故选 D.8116．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差 d ，由此求得{a n }的前6 项的和.【解析】设等差数列{a } 的公差为 d ，由 a 、 a 、 a 成等比数列可得 a 2= a a ，n 2 3 6 3 2 6即(1+ 2d )2 = (1+ d )(1+ 5d ) ，整理可得 d 2 + 2d = 0 ，又公差不为 0，则d = -2 ，故{a n } 前6 项的和为 S 6 = 6a 1 +6⨯(6 -1)d = 6⨯1+6⨯(6 -1)⨯(-2) = -24 .22故选：A 17．A 【解析】存在 k ∈ N + ，使得 x 100+k , x 200+k , x 300+k 成等差数列，可得2[a (200 + k )2 + b (200 + k ) + c ] = a (100 + k )2 + b (100 + k ) + c + a (300 + k )2 + b (300 + k ) + c，化简可得 a = 0 ，所以使得 x 100+k , x 200+k , x 300+k 成等差数列的必要条件是 a ≥ 0 . 18．C 【解析】设公差为d ， a 4 + a 5 = a 1 + 3d + a 1 + 4d = 2a 1 + 7d = 24 ，S = 6a + 6 ⨯ 5 d = 6a+15d = 48 ，联立⎧ 2a 1 + 7d = 24 , 解得d = 4 ，故选 C. 6 1 21⎨6a +15d = 48 ⎩ 119．C 【解析】由 S 4 + S 6 - 2S 5 = 10a 1 + 21d - 2(5a 1 + 10d ) = d ，可知当 d > 0 时，有 S 4 + S 6 - 2S 5 > 0 ，即 S 4 + S 6 > 2S 5 ，反之，若 S 4 + S 6 > 2S 5 ，则 d > 0 ，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件， 选 C ．20．B【解析】设塔顶的 a 1 盏灯，由题意{a n }是公比为 2 的等比数列，a (1- 27 ) ∴S 7=11- 2=381，解得 a 1=3．故选 B ．21．B【解析】设塔顶的 a 1 盏灯，由题意{a n }是公比为 2 的等比数列，a (1- 27 ) ∴S 7=11- 2=381，解得 a 1=3．故选 B ．22． 3n 2 - 2n【解析】因为数列{2n -1} 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 数列{3n - 2}是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n }是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列， 所以{a }的前 n 项和为 n ⋅1+n (n -1)⋅ 6 = 3n 2 - 2n ，故答案为： 3n 2 - 2n .n223．10【解析】因为 a= n (n +1) a = 1, a= 3, a= 6 ． n21 2 3即 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = 1+ 3+ 6 = 10 ．故答案为：10 .24． 4【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，等比数列{b n }的公比为q ，根据题意 q ≠ 1.1 ⎪ n +2 n =等差数列{a }的前 n 项和公式为 P = na +n (n -1) d = d n 2 + ⎛a - d ⎫n ， nn12 2 12 ⎪等比数列{b }的前 n 项和公式为Qb (1-q n) ⎝ ⎭= - b 1q n+ b 1，nn 1- q 1- q 1- q依题意 S = P + Q ，即 n 2 - n + 2n -1 = d n 2 + ⎛a - d ⎫n -b 1 q n + b ，n n n 21 2 ⎪ 1 - q 1 - q⎧ d= 12 ⎝ ⎭⎧d = 2 ⎪ d ⎪ ⎪a 1 - = -1 ⎪a 1 = 0通过对比系数可知⎨ 2 ⇒ ⎨q = 2 ，故 d + q = 4 .故答案为： 4⎪q = 2 ⎪⎪ b ⎩⎪b 1 = 1 ⎪ 1 = -1 ⎩1- q25．7【解析】 a + (-1)na = 3n -1，当n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当 n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 .设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ， S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a 16= a 1 + a 3 + a 5+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .26． 25 【解析】{a n }是等差数列，且 a 1 = -2 ， a 2 + a 6 = 2设{a n } 等差数列的公差 d ，根据等差数列通项公式：a n = a 1 + (n -1) d 可得 a 1 + d + a 1 + 5d = 2 ，即： -2 + d + (-2) + 5d = 2 ，整理可得： 6d = 6 解得： d = 1⎪ 1⎪ ⎨ d = 2根据等差数列前 n 项和公式： S n= na 1 + n (n - 1) d , n ∈ N *2可得： S = 10 ( -2 ) + 10 ⨯ (10 - 1) = -20 + 45 = 25 ，∴ S = 25 . 10 21027．16.⎧a 2 a 5 + a 8 = (a 1 + d )(a 1 + 4d ) + (a 1 + 7d ) = 0 【解析】由题意可得： ⎨⎪⎩ S 9 = 9a 1 + 9 ⨯ 8 d = 27 ， 2解得： ⎧a 1 = -5 ，则 S ⎩ 8 = 8a 1+ 8⨯ 7d = -40 + 28⨯ 2 = 16 . 228．100【解析】 ⎧a 3 = a 1 + 2d = 5 , 得⎧a 1 = 1, ∴S= 10a+ 10⨯ 9 d = 10⨯1+ 10⨯ 9⨯ 2 = 100. ⎨a = a + 6d = 13 ⎨d = 2 10 1 2 2⎩ 7 1⎩29．4.【解析】因 a 2 = 3a 1 ，所以 a 1 + d = 3a 1 ，即 2a 1 = d ，S 1010a 1 = + 10 ⨯ 9 d2= 100a 1 = 4所以 S 5⨯ 4 25a ．5 5a 1 + d1 2530． .8【解析】设等比数列的公比为q ，由已知S = a + a q + a q 2 = 1+ q + q 2 = 3 ，即 q 2 + q + 1 = 0 解得 q = - 1， 3 1 1 144 4 2 1- (- 1 )4所以 S = a 1 (1- q ) =2 = 5． 4 1- q 1- (- 1) 8231．121 .3【解析】设等比数列的公比为q ，由已知 a = 1, a 2= a 1 3 2 1 5 ，所以 = q , 又q ≠ 0 ， 134 651(1- 35 ) ( q )33所以 q = 3, 所以 S =a 1 (1- q ) = 3 = 121 ． 5 1- q 1- 3 332．14【解析】∵等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，⎧ a 1 + 2d = 0 ∴ ，解得 a =﹣4，d=2，∴S =7a + 7 ⨯ 6d =﹣28+42=14． ⎨a + 5d + a + 6d = 14 1 7 1⎩ 1 1故答案为 14．33． -63【解析】根据 S n = 2a n +1，可得 S n +1 = 2a n +1 +1 ， 两式相减得a n +1 = 2a n +1 - 2a n ，即 a n +1 = 2a n ， 当 n = 1 时， S 1 = a 1 = 2a 1 +1，解得 a 1 = -1， 所以数列{a n }是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 S 6 = -(1- 26 )1- 2= -63 ，故答案是-63 .34．2【解析】由 a = n 2 ，若对于任意 n ∈ N +,{b } 的第 a 项等于{a }的第b 项，n则b = a = (b )2 ，则b= 1 = (b )2 , b n= (b )2, b n= (b )2 , b n n= (b )2a nb nn114293164lg(b b b b ) lg(b b b b ) 2 2 lg(b b b b )所以b b b b = (b b b b )2 ，所以 1 4 9 16 = 1 2 3 4= 1 2 3 4 = 2 . 1 4 9 16 1 2 3 4 lg(b b b b ) lg(b b b b ) lg(b b b b )1 2 3 41 2 3 41 2 3 435．2nn +1【解析】2S1S ⎧a1 + 2d = 3⎧a = 1设等差数列的首项为a ，公差为d ，由题意有⎪4 ⨯3，解得⎨ 1 ，1 ⎨4a + d = 10 ⎩d = 1⎩⎪12数列的前 n 项和Sn =na1+n (n -1)2d =n ⨯1+n (n -1)2⨯1 =n (n +1)2裂项可得=2= 2(1-1) ，S k k (k +1)k k +1n 1= 2[(1-1) + (1-1) ++ (1-1)] = 2(1-1) =2n所以∑k =1 k2 2 3n n +1n +1n +1．36．1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q，则-1+ 3d =-q3 = 8 ，求得q =-2 ，d = 3，那么a2b2=-1+ 3= 1 ，故答案为1.237．32【解析】⎧=a1⎪ 3 1-q(1-q3 ) =741-q6由题意可得 q ≠ 1，所以⎨⎪S⎩=a11-q(1-q 6 ) =634两式相除得1-q3= 9, q3 = 8, q = 2, 代入得a =1, a =1⨯ 27 = 25 = 32 ，填32．1 4 8(4)38．5 72015 (3 +n)2n-4【解析】（1）由对折2 次共可以得到5dm⨯12dm，10dm⨯6dm ，20dm⨯3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5⨯12，5⨯6，10⨯3；20⨯3，共4种不同规格（单位dm2)；2 2，62 ( )故对折 4 次可得到如下规格： 5⨯12 ， 5 ⨯ 6 ， 5⨯ 3 ，10 ⨯ 3 ， 20 ⨯ 3 ，共 5 种不同规格； 4 2 2 4（2） 由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格1 如何，其面积成公比为 2的等比数列，首项为 120 (dm 2),第 n 次对折后的图形面积为⎛ 1 ⎫n -1120 ⨯ ⎪ ⎝ ⎭，对于第 n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为n +1种（证明从略），故得猜想 S n = 120(n +1) ，2n -1设 S =∑ S = 120⨯ 2 + 120⨯ 3 + 120⨯ 4 +L + 120(n +1) ，k =12021 222n -1则 1S =120 ⨯ 2 + 120 ⨯ 3++ 120n + 120(n +1) ，2 2122两式作差得：2n -1 2n 1 S = 240 +120⎛ 1 + 1++ 1 ⎫ - 120(n +1) 2 2 222n -1 ⎪ 2n⎝ ⎭60 ⎛1 - 1 ⎫ 2n -1 ⎪ 120(n +1) 120 120(n +1) 120(n + 3) = 240 + ⎝ ⎭ -= 360 - - = 360 - ， 1- 1 2n22n -1 2n 2n240(n + 3) 15(n + 3)因此， S = 720 - = 720 -. 2n15 n + 3 故答案为： 5 ； 720 -.2n -42n -439．0. -10.【解析】等差数列{a n }中, S 5 = 5a 3 = -10 ,得 a 3 = -2, a 2 = -3 ,公差 d = a 3 - a 2 = 1, a 5 = a 3 + 2d = 0 ,由等差数列{a n } 的性质得 n ≤ 5 时, a n ≤ 0 , n ≥ 6 时, a n 大于0,所以 S n 的最小值为 S 4 或 S 5 , 即为-10 .k n。

2017高考复习---数列1．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．2．已知数列{a n}中，，则a n=．3．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=．4．已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=．5．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．6．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列{a n}的通项公式a n=；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．7．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．8．已知数列{a n}满足，a1=5，，则等于．9．等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．10．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．11．在数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，都有a n+1=a n+n，则a100=．12．若数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n等于．13．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，则a4+a5=．14．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若S n≥2016，则n的取值范围为．15．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=．16．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．17．已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=，通项a n=．18．已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足=3，则数列{a n}的公差为．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=．20．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．21．若数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n•a n=2n﹣1，则{a n}的前40项和为．22．等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，则S13=．23．等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是．24．设数列{}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=．2017高考复习---数列参考答案与试题解析一．填空题（共24小题）1．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1﹣S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．2．（2016•江西自主招生）已知数列{a n}中，，则a n=．【分析】由已知可得，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为：【点评】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=3．（2016•佛山模拟）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6= 9．【分析】根据正项等比数列{a n}的前n项和的性质，S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等比数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵正项等比数列{a n}的前n项和为S n，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列即（S6﹣S3）2=S3•（S9﹣S6），∴（S6﹣3）2=3×12解得S6=9或﹣3（正项等比数列可知﹣3舍去），故答案为：9【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的性质，同时考查运算求解的能力，属于基础题．4．（2016•杭州模拟）已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=6或7．【分析】由题意易得a7=0，进而可得数列{a n}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，易得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，∴S10﹣S3=7a7=0，∴a7=0，∴递减的等差数列{a n}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴S n取得最大值，n=6或7故答案为：6或7【点评】本题考查等差数列前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．5．（2016•杭州校级模拟）已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．【点评】本题考查等比数列的公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．（2016•浙江校级模拟）已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=；等差数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．【分析】由等比数列和等差数列的性质得（1+3d）2=（1+d）（1+8d），从而求出d=3，由此能求出这个等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4，9项成等比数列，∴（1+3d）2=（1+d）（1+8d），解得d=0（舍）或d=3，∴这个等比数列的公比q===．等差数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．数列{a n}的前n项和S n=n×1+=．故答案为：，3n﹣2，．【点评】本题考查等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2016•南通模拟）设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为．【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=（1+q3）（q+q2）=+，设t=，则=t2﹣2，因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，]，则ab=t2+t﹣2=，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：．【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．8．（2016春•张家港市校级期中）已知数列{a n}满足，a1=5，，则等于4．【分析】利用a1=5，，计算出前7项，即可得到结论．【解答】解：∵a1=5，，∴，∴a2=同理，a3=10，a4=，a5=20，a6=，a7=40，∴=4，故答案为：4【点评】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（2016春•石家庄期末）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．【分析】由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d ＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．【解答】解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④【点评】本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．10．（2016春•南昌期末）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．11．（2016秋•玉泉区校级期末）在数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，都有a n+1=a n+n，则a100=4951．【分析】由题意知a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a100﹣a99=99，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=1+1+2+…+99=4951．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+n，∴a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a100﹣a99=99，∴a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=1+1+2+…+99=4951．答案：4951．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．12．（2016春•红河州校级期中）若数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n等于2n﹣1．【分析】直接把数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…的前n项求和即可得到答案．【解答】解：由题意可知，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=．故答案为2n﹣1【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．13．（2016春•连云港校级月考）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，则a4+a5= 3．【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出，由此能求出a4+a5．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，a3=4，a6=，∴，解得，∴a4+a5=16×[]=3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．14．（2016春•乐清市校级月考）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若S n≥2016，则n的取值范围为大于等于11的奇数．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，由S4、S2、S3成等差数列，可得2S2=S4+S3，化为2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，联立解得，由于S n≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，对n分类讨论即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S4、S2、S3成等差数列，∴2S2=S4+S3，∴2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，∴，解得，∵S n≥2016，∴≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，当n为偶数时，不成立，舍去．当n为奇数时，化为2n≥2015，解得：n≥11．∴n的取值范围为大于等于11的奇数．故答案为：大于等于11的奇数．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=，d=﹣1．【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32=a2a7，即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d=0，由公差d不为零，则d=﹣a1，又2a1+a2=1，即有2a1+a1+d=1，即3a1﹣a1=1，解得a1=，d=﹣1．故答案为：，﹣1．【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．（2015•江西校级一模）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．【分析】由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．17．（2015•温州三模）已知等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且满足a4=10，S6=S3+39，则数列{a n}的首项a1=1，通项a n=3n﹣2．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=10，S6=S3+39，得，解得．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．故答案为：1，3n﹣2．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．18．（2015•靖远县校级三模）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且满足=3，则数列{a n}的公差为2．【分析】=3，由此能求出数列{a n}的公差．【解答】解：∵，∴，∴，又，∴d=2．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．（2015•南通校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=1023．【分析】由已知递推式a n+1=a n+2n，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故答案为：1023．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和．正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键．20．（2015•沈阳一模）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．21．（2015•防城港模拟）若数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n•a n=2n﹣1，则{a n}的前40项和为820．【分析】根据熟练的递推公式，得到数列通项公式的规律，利用构造法即可得到结论．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前40项和为10×2+（10×8+×16）=820，故答案为：820【点评】本题主要考查数列的通项公式，以及数列求和，根据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的关键．22．（2015•汇川区校级三模）等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，则S13=156．【分析】利用等差数列的性质，把S13转化为13a7，再利用等差数列的性质求出a7即可．【解答】解；∵a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，∴a3+a7﹣a10+（a11﹣a4）=8+4=12又∵a3+a11=a10+a4=2a7，∴a7=12∴S13=13a7=12×13=156故答案为156【点评】本题考查等差数列的性质，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．23．（2015•上海模拟）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是α1，α3．【分析】利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，∴数列{a n}是递增数列，故α1是真命题；∵na n=2n2﹣8n，∴数列{na n}是先减后增数列，故α2是假命题；∵=2﹣，∴数列{}是递增数列，故α3是真命题；∵a n2=4n2﹣32n+64，∴数列{a n2}不是递增数列，故α4是假命题．故答案为：α1，α3．【点评】本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题．24．（2015•温州二模）设数列{}是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=20．【分析】由数列{}是公差为d的等差数列，结合已知列式求得公差，再代入等差数列的通项公式求a12．【解答】解：∵数列{}是公差为d的等差数列，且a3=2，a9=12，则，即，解得：d=，∴，即a12=20．故答案为：；20．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．。