第四章 控制系统的频率特性分析

• 振荡环节： 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];
式中 ωn>0，0<ζ<1
• 二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;
式中 ωn>0，0<ζ<1
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
➢比例环节
Gs

Cs Rs

K
频率特性
G j K
G j K
xi (k) (t) ( j)k Xi exp( jt) k 1,2,3....m
xo(k) (t) ( j)k Xo expj(t ()) k 1,2,3....n
将xi(t)和xo(t)的各阶导数代入:
an( j )n an 1( j )n1 a1( j ) a0 Xo expj(t ()) bm( j )m bm 1( j )m1 b1( j ) b0 Xi exp( jt)

a1
xo(t )

a0
xo(t )


bmxi (m) (t ) bm 1 xi (m1) (t ) b1 x i(t ) b0 xi(t )
n>=m
4-1 频率特性的基本概念
输入信号： xi(t) Xi exp( jt)
则稳态输出 xo(t) Xo()expj(t ()
当在0～变化时,向量G( j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应 的向量G( j)H(j)的端点在复平面G( j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相 频率特性或 Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。
4-1 频率特性的基本概念
2.伯德图(Bode图) 如将系统频率特性G( j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标
显然， A( ) Xo( )
Xi
() (t ()) t
分别称为幅频特性和相频特性，
A(的),值(分别) 称为幅值和相角。
可见系统的频率响应为：
xo(t ) Xi G( j ) sin[t G( j )]
4-1 频率特性的基本概念
二．频率特性的求法
频率特性分析法的特点和缺点 说明
4-1 频率特性的基本概念
四、频率特性表示法
（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ：
指数形式(极坐标)：
三角函数形式：
实频-虚频形式：
（二）频率特性常用的图解形式 1. 极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线
系统频率特性为幅频-相频形式
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
❖
G(S)H(s)
典型环节
b0 s m b1 s m1 a0 s n a1s n1
bm1 s bm an1s an
• 比例环节： K
• 惯性环节： 1/(Ts+1) ，式中T>0
• 一阶微分环节：(Ts+1) ， 式中T>0 • 积分环节： 1/s • 微分环节： s
1 T 2
频率特性 G j 1 1 T 2
G j arctanT
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
奈氏图：由于
U

1 2
V
2

1 2
2
2
所以幅相特性曲线为一圆心在（1/2，j0）半径为1/2的园 。
2．正弦输入信号时，输出信号的变化规律：
❖数学本质
输入 xi(t) Xi sin(t)
输出
xo(t ) ae jt ae jt G( jw) e j ( )e jt Xi G( jw) e e j ( ) jt Xi
2j
2j
G( jw) Xi sin(t ( ))
Xo() sin(t ())
式中：Xo(ω) 为输出正弦信号的幅值，Φ(ω)为输出正弦
信号的相位。
4-1 频率特性的基本概念
可见： 1) 输出的稳态信号是同频率的正弦信号； 2)输出稳态正弦信号的幅值和相对于输入信号的相位变化
是输入信号频率ω的函数；
当 1
Xo( )
X为i 幅 值 比 , 定 义 为 A(ω) ， 为 ω 的 非 线 性 函 数 。
4-0 引言
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具 有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难 以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意 义。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节 的系统和部分非线性系统的分析。
V<0，为半圆。 j p
jω+1/T
θ
-1/T
0
j
ω=∞
ω=0
0 -45o K
ω=1/T
(a)
(b)
惯性环节 极点—零点图(a)
幅相曲线(b)
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
➢积分环节
Gs 1
s
频率特性：
G j
1
j
1

1
j
e2
j

G j 1 G j 90 o

奈氏图：
积分环节的幅相特性曲线是一与虚轴负段相重合的直线。
j
0 ω
积分环节的幅相曲线
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
➢微分环节 频率特性：
Gs s

G j
j
j
e 2
G j
G j 90 o
奈氏图：
微分环节的幅相特性曲线是一与虚轴正轴相重合的直线。
4-1 频率特性的基本概念
频率特性的求法
sp
微分
j p
方程
传递
系统
频率
函数
特性
s j
p d dt
4-1 频率特性的基本概念
【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sint时系统的稳态 输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j得
4-1 频率特性的基本概念
横坐标采用对数分度，但标注只标频率值，如横坐标两点满足 2 10
1
的关系，则它们之间的长度为一个“十倍频程”，以dec表示。
4-1 频率特性的基本概念
3.对数幅相图(Nichols图) 将Bode图的两张图合二为一。 对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角， 纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
设输入系统的正弦函数为
xi(t) Xi sin(t)
用复数表示
xi(t ) Xie jt
对于稳定的线性系统，各频率下其输出的稳态值为：
xo(t) Xo sin(t ())
用复数表示为：
xo(t) Xo()e j[t ()]
4-1 频率特性的基本概念
由定义：
() (t ) t
为相位差，也是ω的非线性函数，规定φ(ω)逆时针为正 ，物理系统一般为滞后的，所以，φ(ω)一般为负值。
4-1 频率特性的基本概念
3.线性系统的频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦 信号时，其稳态输出与输入的复数比称为系统的频率特性函
数，简称系统的频率特性，记为G(j) 。
奈氏图：
当 时0， 时，
G， j 1 G j 0o
G， j G j 90o
一阶微分环节的幅相特性曲线是通过（1，j0）点且平 行于虚轴上半部的直线。
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
4-0 引言
频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工 程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方 法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于 分析和设计系统有如下优点：
（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法 就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特 性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特 点。
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图 ）
G( j) 是ω的复变函数,故可在 [G(的j复)] 平面上表示它.
G( j ) u( ) jv( ) G( j ) u2 v 2 G( j ) arctg v( )
u( )
ω由0→∞时, G(的j端) 点轨迹即为频率特性的极坐标图.
第四章 控制系统的频率特性分析
4-0 引言 时间响应分析是根据系统的微分方程，以拉氏变换为数
学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达 式及其描述曲线来分析系统的性能。较为直观。
时域分析法的缺点： （1）高阶系统的分析难以进行； （2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的
分析工作将无法进行。 （3）物理意义欠缺。
4-1 频率特性的基本概念
Xo( )expj(t ()) bm( j )m bm 1( j )m1 b1( j ) b0
Xi exp( jt)
an( j )n an 1( j ) n1 a1( j ) a0
（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声 的系统。
4-1 频率特性的基本概念
一．频率响应和频率特性 1．定义：频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的 稳态正弦响应。即系统稳定状态时输出量的振幅和相位随输 入正弦信号的频率变化的规律。
基本概念（物理意义）
4-1 频率特性的基本概念