H.第10章 线性算子的谱

《线性算子和的谱性质》篇一摘要：本文将深入探讨线性算子和的谱性质，首先阐述算子、算子和的谱概念，接着探讨算子和的谱的性质和定理，最后通过实例分析来验证这些性质和定理。

本文旨在为读者提供一个全面而深入的理解线性算子和的谱性质的理论框架。

一、引言在数学中，线性算子是一种重要的概念，广泛应用于各类数学问题中。

而算子的谱则是描述其性质的重要工具。

当我们研究多个线性算子的和时，我们自然会关心这些算子和的谱性质。

本文将围绕这一主题展开讨论，从定义和基本性质出发，逐步深入探讨。

二、基本概念1. 线性算子：线性算子是一种在向量空间上满足特定性质的映射。

对于给定的向量空间V，如果存在一个映射A，使得对于V中的任意两个向量x和y以及任意实数a，都有A(ax+y)=aA(x)+A(y)，则称A为V上的线性算子。

2. 谱：对于线性算子A，其谱是描述其特征值及其对应特征向量的集合。

在谱中，我们关注的是特征值的实部和虚部以及它们之间的关系。

3. 算子和：给定两个或多个线性算子A和B，它们的和A+B 表示对任意向量x先进行A的变换后进行B的变换。

三、算子和的谱性质1. 特征值和特征向量的加法：对于两个线性算子A和B，如果λ和μ是A和B的特征值，则对于适当的向量x和y（x是A 关于λ的特征向量，y是B关于μ的特征向量），则λ+μ可能是A+B的特征值。

这表明了算子和的特征值之间存在一定的加法关系。

2. 谱的性质：如果σ(A)和σ(B)分别表示A和B的谱，那么A+B的谱位于σ(A)与σ(B)的谱点之间，并且包含了由两谱中各自特有值之和构成的某些点。

3. 存在性和唯一性：当某些特定的条件满足时（例如A和B 具有相容的性质），可以证明存在唯一的一个谱与A+B相对应。

四、实例分析为了更好地理解上述性质，我们可以通过具体的例子进行分析。

例如，考虑两个二维实数空间上的线性算子A和B，它们分别具有特定的特征值和特征向量。

我们可以通过计算它们的和A+B的谱，并观察其特征值的变化来验证这些性质。

谱定理直观谱定理是数学中的一个重要定理，它描述了线性算子的谱与特征向量之间的关系。

该定理包括了谱分解、谱半径和谱半径公式等重要内容，是矩阵论和泛函分析中的基本定理之一。

谱定理最常用的形式是谱分解定理，它表明任何一个厄米矩阵（Hermitian matri某）都可以通过矩阵的特征向量的线性组合来表示。

具体地说，对于一个厄米矩阵H，存在一个酉矩阵U和一个对角矩阵D，使得H=UDU^某，其中D的对角线上的元素就是H的特征值，U的每一列都是对应特征值的特征向量。

这个分解形式使得我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。

谱定理的直观解释可以从几何和物理学的角度进行理解。

首先，可以将矩阵看作是一个线性变换，特征向量对应的就是这个变换的固定点或者不变方向。

通过特征向量的线性组合，可以将整个向量空间分解成特征子空间，每个特征向量的线性组合就是一个特征子空间上的向量。

谱分解定理的意义就是将这个线性变换分解成了许多不同特征子空间上的变换，每个特征子空间上的变换都只有一个特征值，不同特征子空间上的特征向量线性无关。

其次，谱定理还与波的性质相关。

在量子力学中，波函数的变换可以通过矩阵来描述，而谱定理告诉我们，任何一个物理系统的波函数都可以表示成一组特征函数（特征向量）的线性组合。

这个表示方式非常直观，可以帮助我们理解波函数的性质和变换规律。

谱半径是谱定理中的另一个重要概念，它表示矩阵的特征值的绝对值的最大值。

谱半径可以用来评估矩阵的稳定性和收敛性。

在数值计算中，谱半径的大小决定了迭代算法的收敛速度和精度，因此谱半径公式成为了矩阵计算中重要的工具之一。

总之，谱定理是矩阵论和泛函分析中的一个基本定理，它描述了线性算子的谱与特征向量之间的关系。

谱分解定理给出了矩阵的特征向量表示，直观地解释了矩阵的特征和性质。

谱定理的直观解释可以从几何和物理学的角度进行理解，帮助我们理解矩阵的特征和波函数的变换规律。

谱半径和谱半径公式是谱定理的重要应用，用于评估矩阵的稳定性和迭代算法的收敛性。

算子理论的精粹算子理论是数学中的一个重要分支，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍算子理论的基本概念、主要性质以及其在数学和物理学中的应用。

一、算子理论的基本概念算子是指将一个函数映射到另一个函数的数学对象。

在算子理论中，常用的算子有线性算子、紧算子、自伴算子等。

下面分别介绍这些算子的定义和性质。

1. 线性算子线性算子是指满足线性性质的算子。

设X和Y是两个线性空间，T是从X到Y的映射，如果对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，都有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)，则称T是一个线性算子。

线性算子的性质包括可加性、齐次性和保持线性组合。

可加性指对于任意的x1、x2∈X，有T(x1+x2)=T(x1)+T(x2)；齐次性指对于任意的x∈X和标量α，有T(αx)=αT(x)；保持线性组合指对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)。

2. 紧算子紧算子是指将有界集映射为有界集的算子。

设X和Y是两个巴拿赫空间，T是从X到Y的线性算子，如果对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集，则称T是一个紧算子。

紧算子的性质包括有界性和完全性。

有界性指对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集；完全性指如果X中的每个收敛序列都有唯一的极限，则称X是完全的。

3. 自伴算子自伴算子是指满足自伴性质的算子。

设H是一个希尔伯特空间，T是从H到H的线性算子，如果对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨，则称T是一个自伴算子。

自伴算子的性质包括对称性和正定性。

对称性指对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨；正定性指对于任意的非零向量x∈H，有⟨T(x),x⟨>0。

二、算子理论的主要性质算子理论有许多重要的性质，下面介绍其中的几个。

1. 谱理论谱理论是算子理论中的一个重要分支，它研究的是算子的谱和谱半径。

算子的谱是指使得算子不可逆的复数集合，谱半径是指谱中绝对值最大的复数。

《线性算子和的谱性质》篇一摘要：本文探讨了线性算子和的谱性质，通过对线性算子及其和的数学性质进行深入研究，为相关领域的研究和应用提供了理论基础。

本文首先介绍了线性算子的基本概念和性质，然后探讨了算子和的谱分解方法，最后分析了算子和的谱性质及其应用。

一、引言线性算子作为数学中的一个重要概念，在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。

对线性算子和的谱性质进行研究，有助于深入理解算子的数学性质，为相关领域的研究和应用提供理论基础。

本文旨在探讨线性算子和的谱性质，为相关研究提供参考。

二、线性算子的基本概念和性质线性算子是一种特殊的函数，它将一个向量空间中的元素映射到另一个向量空间中。

线性算子具有许多重要的数学性质，如可加性、齐次性等。

在线性代数中，我们经常使用矩阵来表示线性算子，因此，矩阵的性质也反映了线性算子的性质。

三、算子和的谱分解方法算子和的谱分解是研究算子和的谱性质的重要方法。

谱分解是将一个线性算子表示为一系列简单算子的和或积的形式。

通过谱分解，我们可以更好地理解线性算子的数学性质。

谱分解的方法包括特征值法、正交多项式法等。

在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的谱分解方法。

四、算子和的谱性质算子和的谱性质主要包括谱的并集、交集和包含关系等。

当两个线性算子的谱相互接近时，它们的和或差的谱可能会表现出特殊的性质。

例如，当两个线性算子的特征值互不相同且互为相反数时，它们的和的特征值可能会消失或出现新的特征值。

此外，通过分析算子和的谱性质，我们可以更好地理解线性算子的稳定性和收敛性等重要性质。

五、应用分析线性算子和的谱性质在许多领域都有广泛的应用。

例如，在量子力学中，线性算子用于描述物理系统的状态和演化；在信号处理中，线性算子用于描述信号的变换和滤波等操作；在控制系统中，线性算子的稳定性对系统的性能具有重要影响。

通过对线性算子和的谱性质进行研究，我们可以更好地理解这些应用领域的数学模型和算法，为相关领域的研究和应用提供理论支持。

第61卷 第4期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .4 2023年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022369线性算子的拓扑一致降标性质与(U W Π)性质张腾杰,曹小红(陕西师范大学数学与统计学院,西安710119)摘要:利用拓扑一致降标性质定义的谱集㊁常用谱集和算子本身的一些性质,给出有界线性算子及其算子函数满足(UW Π)性质的充要条件,并讨论(UW Π)性质的摄动问题.关键词:线性算子;(UW Π)性质;拓扑一致降标;谱中图分类号:O 177.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)04-0815-08T o p o l o g i c a lU n i f o r m D e s c e n t P r o p e r t y an d P r o p e r t y (U W Π)f o rL i n e a rO pe r a t o r s Z H A N G T e n g j i e ,C A O X i a o h o n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ,X i a n 710119,C h i n a )A b s t r a c t :W e g a v en e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r s a n d t h e i r o pe r a t o rf u n c t i o n s t os a t i s f y t h e p r o p e r t y (UW Π)b y u s i ng th es p e c t r u ms e t sd e fi n e db y t o p o l o g i c a lu n i f o r m d e s c e n t p r o p e r t y ,c o mm o n l y u s e ds p e c t r u m s e t sa n ds o m e p r o p e r t i e so fo p e r a t o r s t h e m s e l v e s ,a n d d i s c u s s e d t h e p e r t u r b a t i o n p r o b l e m s o f p r o p e r t y (UW Π).K e yw o r d s :l i n e a r o p e r a t o r ;p r o p e r t y (UW Π);t o p o l o g i c a l u n i f o r md e s c e n t ;s p e c t r u m 收稿日期:2022-09-15.第一作者简介:张腾杰(1999 ),男,汉族,硕士研究生,从事算子理论的研究,E -m a i l :z h a n g t e n g j i e 123@163.c o m.通信作者简介:曹小红(1972 ),女,汉族,博士,教授,博士生导师,从事算子理论的研究,E -m a i l :x i a o h o n gc a o @s n n u .ed u .c n .基金项目:陕西省自然科学基金(批准号:2021J M -519).1 引言及预备知识用ℂ和ℕ分别表示复数集和非负整数集.H 表示无限维复可分的H i l b e r t 空间,B (H )为H 上有界线性算子构成的全体,F (H )表示B (H )上有限秩算子构成的全体.令n (T )=d i m N (T ),d (T )=d i m H /R (T ),其中N (T )和R (T )分别表示算子T 的零空间和值域.算子T ɪB (H )的升标和降标分别定义为a s c (T )=i n f {n ɪℕ:N (T n )=N (T n +1)}和d e s (T )=i n f {n ɪℕ:R (T n )=R (T n +1)}.若这样的下确界不存在,则记a s c (T )=ɕ(或者d e s (T )=ɕ).若R (T )是闭的且n (T )<ɕ,则T 称为上半F r e d h o l m 算子;若d (T )<ɕ,则T 称为下半F r e d h o l m 算子.若T 既是上半F r e d h o l m 算子也是下半F r e d h o l m 算子,则T 称为F r e d h o l m 算子.当T 是上半(或者下半)F r e d h o l m 算子时,其指标定义为i n d (T )=n (T )-d (T ).若T ɪB (H )为上半F r e d h o l m 算子且n (T )=0,则T 称为下有界算子.指标i n d (T )=0的上半(或者下半)F r e d h o l m 算子T 称为W e y l 算子.若算子T 有有限的升降标,则称T 是D r a z i n 可逆的.将D r a z i n 可逆的F r e d h o l m 算子称为B r o w d e r 算子.可以证明T 为B r o w d e r 算子当且仅当0<λ充分小时,T -λI 是可逆的.用σ(T )表示T ɪB (H )的谱集.根据上述定义,可定义有界线性算子T 的上半F r e d h o l m 谱㊁逼近点谱㊁本质逼近点谱㊁B r o w d e r 谱㊁B r o w d e r 本质逼近点谱以及Copyright ©博看网. All Rights Reserved.D r a z i n谱分别为σS F +(T )={λɪℂ:T -λI 不是上半F r e d h o l m 算子},σa (T )={λɪℂ:T -λI 不是下有界算子},σe a (T )={λɪℂ:T -λI 不是上半F r e d h o l m 算子或者i n d (T -λI )>0},σb (T )={λɪℂ:T -λI 不是B r o w d e r 算子},σa b (T )={λɪℂ:T -λI 不是上半F r e d h o l m 算子或者a s c (T -λI )=ɕ},σD (T )={λɪℂ:T -λI 不是D r a z i n 可逆}. 考虑到值域R (T )开闭性的重要性,定义σc (T )={λɪℂ:值域R (T -λI )不闭}.记σ0(T )=σ(T )\σb (T ).令ρ(T )=ℂ\σ(T ),ρS F +(T )=ℂ\σS F +(T ),ρb (T )=ℂ\σb (T ).记∂E 和ac c E 分别为集合E ⊆ℂ的边界点集和聚点集.若σa (T )\σe a (T )=Π(T ),则称T ɪB (H )满足(UW Π)性质(记作T ɪ(UW Π))[1],其中Π(T )=σ(T )\σD (T )称为算子T 极点的全体.对T ɪB (H ),任给非负整数n ,定义R (T n )上的新范数 ㊃ n 为:对y ɪR (T n ), y n =i n f { x :x ɪH ,y =T nx }.由 ㊃ n 诱导的拓扑称为R (T n )上的算子值域拓扑.对于每个非负整数n ,T 诱导出向量空间R (T n )/R (T n +1)到R (T n +1)/R (T n +2)的一个线性变换,用k n (T )表示该线性变换零空间的维数.如果存在一个非负整数d ,使得对任意的n ȡd ,均有k n (T )=0,则称T 有一致降标[2].此外,若对任意的n ȡd ,R (T n )都在R (T d )的算子值域拓扑下是闭的,则称T 有拓扑一致降标[2].令ρτ(T )={λɪℂ:T -λI 有拓扑一致降标},记στ(T )=ℂ\ρτ(T ).若T 是半F r e d h o l m 算子,则T 有拓扑一致降标.若λɪρτ(T )ɘ∂σ(T ),则λɪΠ(T )[2].关于W e y l 定理[3]的研究目前已有很多结果.文献[2]中定义的算子的(UW Π)性质是W e yl 定理的一种新变形,近年来备受关注[4-5].算子的拓扑一致降标性质与算子的谱结构有密切的联系,近年来,该性质已被应用到W e yl 定理及其变形的研究中,并得到了丰富的结果[6].与(UW Π)性质相同,a -W e y l 定理是W e y l 定理的另一种变形.若σa (T )\σe a (T )=πa00(T ),则称T ɪB (H )满足a -W e y l 定理,其中πa00(T )={λɪi s o σa (T ):0<n (T -λI )<ɕ}.易见(UW Π)性质与a -W e y l 定理在形式上相似.如果T ɪ(UW Π),则必能推出σa (T )\σe a (T )⊆πa00(T ).但两者在一般情况下并无联系,下面举例说明.1)令A ,B ɪB (l 2)定义为:A (x 1,x 2, )=(0,x 1,x 2, ),B (x 1,x 2,)=0,0,x 22,x 33æèçöø÷, .定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 00æèçöø÷B .此时σ(T )={λɪℂ:λɤ1},Π(T )=Ø,σa (T )=σe a (T )={0}ɣ{λɪℂ:λ=1},πa00(T )={0}.故T ɪ(UW Π)并不能说明T 一定满足a -W e y l 定理.2)令A ,B ɪB (l 2)定义为:A (x 1,x 2, )=(0,x 1,x 2, ),B (x 1,x 2, )=(0,x 2,x 3,).定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 00æèçöø÷B .显然有σ(T )={λɪℂ:λɤ1},Π(T )=Ø,σa (T )={0}ɣ{λɪℂ:λ=1},σe a (T )={λɪℂ:λ=1},πa00(T )={0}.因此T 满足a -W e y l 定理也不一定推出T ɪ(UW Π).3)令A ,B ɪB (l 2)定义为:A (x 1,x 2, )=(0,x 2,0,x 4, ),B (x 1,x 2,)=0,0,x 22,x 33æèçöø÷, .定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 00B -æèçöø÷I .易得σ(T )={-1,0,1},Π(T )={0,1},σa (T )=σe a (T )={-1,0,1},πa00(T )={-1}.此时T ∉(UW Π)且T 不满足a -W e y l 定理.因此T ɪ(UW Π)与T 满足618 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.a -W e y l 定理在一般情况下并无联系.本文主要借助算子拓扑一致降标所定义的新谱集,给出有界线性算子及其算子函数满足(UW Π)性质的充要条件,并讨论(UW Π)性质的摄动.2 拓扑一致降标性质和(U W Π)性质首先利用拓扑一致降标给出有界线性算子满足(UW Π)性质的判定方法.定理1 设T ɪB (H ),则T ɪ(UW Π)当且仅当σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}.证明:必要性.设T ɪ(UW Π),包含关系στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}⊆σb (T )显然成立.下证反包含,设λ0∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}.不妨设λ0ɪσ(T ),则n (T -λ0I )>0.由于λ0∉a c c σ(T )ɘσS F +(T ),下面分两种情形讨论.情形1)λ0∉a c c σ(T ).此时λ0ɪρτ(T )ɘ∂σ(T ),从而λ0ɪΠ(T )[2].由T ɪ(UW Π)知T -λ0I 为B r o w d e r 算子,于是λ0∉σb (T ).情形2)λ0∉σS F +(T ).此时λ0ɪσa (T )\σe a (T ).再根据T ɪ(UW Π)知T -λ0I 为B r o w d e r 算子,于是λ0∉σb (T ).由上述证明可知,当T ɪ(UW Π)时,σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}.充分性.由于{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘστ(T )=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}=Ø,则[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )=σ0(T ).于是σa (T )\σe a (T )=Π(T ),即T ɪ(UW Π).注1 在定理1中,当T ɪ(UW Π)时,σb (T )分解的四部分缺一不可.例1 令T ɪB (l2)定义为T (x 1,x 2,x 3,)=0,0,x 22,x 33æèçöø÷, ,则T ɪ(UW Π),但σb (T )ʂ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )},即στ(T )不能缺.例2 令A ,B ɪB (l 2)定义为A (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3, ), B (x 1,x 2,x 3, )=(x 1,0,x 3,0, ),定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 00æèçöø÷B .则T ɪ(UW Π),但σb (T )ʂστ(T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )},即a c c σ(T )ɘσS F +(T )不能缺.例3 令T ɪB (l2)定义为T (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3,),则T ɪ(UW Π),但σb (T )ʂστ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )},即{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}不能缺.例4 令T ɪB (l 2)定义为T (x 1,x 2,x 3, )=(x 2,x 3,),则T ɪ(UW Π),但σb (T )ʂστ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},即{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}不能缺.718 第4期张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW Π)性质 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由于σS F +(T )=σc (T )ɣ{λɪℂ:n (T -λI )=ɕ},因此有以下推论.推论1 设T ɪB (H ),则T ɪ(UW Π)当且仅当σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσc (T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪa c c σ(T ):n (T -λI )=ɕ}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}.当T ɪ(U W Π)时,可证明下列关系:a c c {λɪℂ:n (T -λI )=d (T -λI )}ɘσc (T )⊆στ(T )ɣa c c σe a (T ).事实上,如果λ0ɪa c c {λɪℂ:n (T -λI )=d (T -λI )}ɘσc (T ),但λ0∉στ(T )ɣa c c σe a (T ),则存在δ>0,使得当0<λ-λ0<δ时,T -λI 是W e y l 算子.由T ɪ(UW Π)知λ∉σb (T ),因此λ0ɪ∂σ(T ),而λ0∉στ(T ),所以λ0ɪΠ(T ).由T ɪ(UW Π)知λ0∉σb (T ),与λ0ɪσc (T )矛盾.于是有下列推论.推论2 设T ɪB (H ),则T ɪ(UW Π)当且仅当σb (T )=στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪa c c σ(T ):n (T -λI )=ɕ}ɣ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )<d (T -λI )}ɘσc (T )].证明:必要性.此时a c c σ(T )ɘσc (T )⊆[a c c {λɪℂ:n (T -λI )<d (T -λI )}ɘσc (T )]ɣ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )=d (T -λI )}ɘσc (T )]ɣ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}ɘσc (T )]⊆a c c σe a (T )ɣστ(T )ɣ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )<d (T -λI )}ɘσc (T )],并且{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}⊆a c c σe a (T ).于是由推论1可知σb (T )⊆στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪa c c σ(T ):n (T -λI )=ɕ}ɣ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )<d (T -λI )}ɘσc (T )].反包含显然.充分性.此时{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘστ(T )=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘa c c σe a (T )=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ{λɪa c c σ(T ):n (T -λI )=ɕ}=Ø,{[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )}ɘ[a c c {λɪℂ:n (T -λI )<d (T -λI )}ɘσc (T )]=Ø,由条件可知[σa (T )\σe a (T )]ɣΠ(T )=σ0(T ),于是T ɪ(UW Π).证毕.由于[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}⊆a c c σ(T )ɘσe a (T ),因此有以下推论.推论3 设T ɪB (H ),则T ɪ(UW Π)当且仅当σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}.W e y l 定理及其变形的摄动问题近年来备受关注[7-10].下面利用拓扑一致降标性质讨论(UW Π)性质的有限秩摄动.由文献[11]中定理4.7知,σ*(T )=σ*(T +F ),其中F 是与T ɪB (H )可交换的有限秩算子,*ɪ{e a ,a b ,b ,D }.若T ɪ(UW Π),则其有限秩摄动不一定满足(UW Π)性质.例如:设A ,P ɪB (l2)定义为A (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3, ), P (x 1,x 2,x 3,)=x 12,0,0,0æèçöø÷, .定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 0æèçöø÷00,F ɪB (l 2췍l 2)为F =000æèçöø÷P .则T ɪ(UW Π),F 为有限秩算子且满足F T =T F ,但T +F ∉(UW Π).定理2 设T ɪB (H ),若F ɪF (H )且T F =F T ,则T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T )当且仅当T +F ɪ(UW Π)且σ(T +F )=σa (T +F ).证明:由于-F 也为有限秩算子,因此只需证明必要性即可.由T ɪ(UW Π)及σ(T )=σa (T )可知σe a (T )=σb (T ).又由于σD (T )=στ(T )ɣa c c σ(T )无条件成立,结合T ɪ(UW Π),则σb (T )=σD (T )=στ(T )ɣa c c σ(T ).于是σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )].由于σb (T +F )=σb (T ),σe a (T +F )=σe a (T ),故σe a (T +F )=σb (T +F ).又由于σD (T +F )=στ(T +F )ɣa c c σ(T +F ),818 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.σD (T +F )=σD (T )=σb (T )=σb (T +F )=στ(T )ɣa c c σ(T ),故σb (T +F )=στ(T +F )ɣa c c σ(T +F )=στ(T )ɣa c c σ(T ).于是σb (T +F )=στ(T +F )ɣ[a c c σ(T +F )ɘσe a (T +F )].由推论3知T +F ɪ(U W Π).由σe a (T +F )=σb (T +F )可知σ(T +F )=σa (T +F ).证毕.对于T ɪB (H ),若N (T )⊆ɘɕn =1R (T n ),则称T 具有K a t o 性质.令σk (T )={λɪℂ:T -λI 没有K a t o 性质}.若T -λI 是B r o w d e r 算子且具有K a t o 性质,则T -λI 可逆.断言:T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T )当且仅当σb (T )=στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣa c c σk (T ).事实上,若T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T ),则σb (T )=στ(T )ɣa c c σ(T )且a c c σe a (T )ɣa c c σk (T )=a c c σ(T ).于是σb (T )=στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣa c c σk (T ).反之,当σb (T )=στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣa c c σk (T )时,易证T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T ).于是有:推论4 设T ɪB (H ),若F ɪF (H )且T F =F T ,则T +F ɪ(UW Π)且σ(T +F )=σa (T +F )当且仅当σb (T )=στ(T )ɣa c c σe a (T )ɣa c c σk (T ).由定理1,有:1)σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )}⇔T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T );2)σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0}⇔T ɪ(UW Π)且σ(T )=σa (T ).于是可得下列推论:推论5 设T ɪB (H ),若F ɪF (H )且T F =F T ,则下列叙述等价:1)T +F ɪ(UW Π)且σ(T +F )=σa (T +F );2)σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0}ɣ{λɪℂ:n (T -λI )>d (T -λI )};3)σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0}.在上述关于(UW Π)性质有限秩摄动的所有结论中,可交换性是必不可少的.例如:设T ,F ɪB (l2)定义为T (x 1,x 2,x 3, )=0,0,x 22,x 33æèçöø÷, , F (x 1,x 2,x 3,)=0,0,x 1-x 22,0æèçöø÷, ,则F 是有限秩算子,σ(T )=σa (T )且T ɪ(UW Π),但T F ʂF T .通过计算可知,0ɪσa (T +F )\σe a (T +F ),但0∉Π(T +F ),故T +F ∉(UW Π).3 算子函数的(U W Π)性质设T ɪB (H ),f (T )表示T 的R i e s z -D u n f o r d 函数演算,H o l (σ(T ))表示所有在T 的谱集某个邻域上解析的函数全体.下面将借助拓扑一降标讨论有界线性算子函数演算的(UW Π)性质.注2 1)如果T ɪ(UW Π),则不能推出其算子函数满足(UW Π)性质;2)若存在f ɪH o l (σ(T )),使得f (T )ɪ(UW Π),则不能推出T ɪ(UW Π).例5 令A ,B ɪB (l 2)定义为A (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,0,x 2,0, ), B (x 1,x 2,x 3, )=(x 1,0,0,0, ),定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A 00B +æèçöø÷I ,则T ɪ(UW Π).设f (z )=z (z -2),z ɪℂ,通过计算可知0ɪσa (f (T ))\σe a (f (T )),但0∉Π(f (T )),故f (T )∉(UW Π).例6 令A ,B ɪB (l 2)定义为A (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3, ), B (x 1,x 2,x 3, )=(x 1,0,x 3,0, ),918 第4期张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW Π)性质 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.定义T ɪB (l 2췍l 2)为T =A +I 00B -æèçöø÷I ,则σa (T 2)=σe a (T 2)={r e i θ:r =2(1+c o s θ)}ɣ{1},Π(T 2)=Ø,即T 2ɪ(UW Π).但σa (T )=σe a (T )={λɪℂ:λ-1=1}ɣ{-1},Π(T )={-1},故T ∉(UW Π).由注2可知,T ɪ(UW Π)和f (T )ɪ(UW Π)没有直接联系.下面讨论算子函数的(UW Π)性质.谱集σe a (㊃)不满足谱映射定理,但存在这样的事实:任给f ɪH o l (σ(T )),均有σe a (f (T ))=f (σe a (T ))当且仅当任给λ,μɪρS F +(T ),i n d (T -λI )i n d (T -μI )ȡ0.引理1 设T ɪB (H ),若任给f ɪH o l (σ(T )),均有f (T )ɪ(UW Π),则任给λ,μɪρS F +(T ),i n d (T -λI )i n d (T -μI )ȡ0.证明:若存在一对λ0,μ0ɪρS F +(T ),使得i n d (T -λ0I )=n >0,i n d (T -μ0I )=-m <0,则n 为正整数,m 为正整数或者+ɕ.下面分两种情形讨论:若m 为有限数,设f (z )=(z -λ0)m (z -μ0)n,否则设f (z )=(z -λ0)(z -μ0).无论哪种情形,均存在算子函数f (T ),使得0ɪσa (f (T ))\σe a (f (T )).由f (T )ɪ(UW Π)可知0∉σb (f (T )),故λ0∉σb (T ),与i n d (T -λ0I )=n >0矛盾.证毕.由引理1可知,算子函数的(UW Π)性质与F r e d h o l m 指标有密切关系,因此可用算子的拓扑一致降标性质刻画F r e d h o l m 指标的性质.引理2 设T ɪB (H ),若T ɪ(UW Π),则:1)ρτ(T )⊆ρb (T )ɣa c c σe a (T )当且仅当任给λɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ȡ0;2)ρτ(T )⊆ρb (T )ɣa c c σS F +(T )ɣa c c {λɪℂ:n (T -λI )=0}当且仅当任给λɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ɤ0.证明:1)设ρτ(T )⊆ρb (T )ɣa c c σe a (T ).若存在λɪρS F +(T ),使得i n d (T -λI )<0,则λɪρτ(T ),但λ∉a c c σe a (T ).于是λɪρb (T ),与i n d (T -λI )<0矛盾.故任给λɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ȡ0.反之,设任给λɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ȡ0.取λ0ɪρτ(T )但λ0∉a c c σe a (T ),则当0<λ-λ0充分小时,T -λI 为上半F r e d h o l m 算子且i n d (T -λI )ɤ0.由条件知i n d (T -λI )=0,即当0<λ-λ0充分小时,T -λI 为W e y l 算子.由T ɪ(UW Π)知T -λI 为B r o w d e r 算子.于是λ0ɪρτ(T )ɘ∂σ(T ).由文献[2]中定理4.9知T -λ0I 为D r a z i n 可逆算子.再根据T ɪ(UW Π)知T -λ0I 为B r o w d e r 算子,于是λ0ɪρb (T ).2)同理可证.通过上述引理得到了算子的拓扑一致降标性质与F r e d h o l m 指标之间的关系,于是有:任给f ɪH o l (σ(T )),均有σe a (f (T ))=f (σe a (T ))当且仅当ρτ(T )⊆ρb (T )ɣa c c σe a (T )或ρτ(T )⊆ρb (T )ɣac c σS F +(T )ɣa c c {λɪℂ:n (T -λI )=0}.下面给出算子函数(UW Π)性质的判定.定理3 设T ɪB (H ),则任给f ɪH o l (σ(T )),f (T )ɪ(UW Π)当且仅当下列条件成立:1)T ɪ(UW Π);2)ρτ(T )⊆ρb (T )ɣa c c σe a (T )或ρτ(T )⊆ρb (T )ɣac c σS F +(T )ɣa c c {λɪℂ:n (T -λI )=0};3)若σ0(T )ʂØ,则σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )].证明:必要性.由引理1和引理2知,只需证明条件3)成立即可.若σ0(T )ʂØ,则存在λ0ɪσ0(T ).断言σb (T )=σe a (T ).事实上,任给λ∉σe a (T ),设f (z )=(z -λ)(z -λ0),则0ɪσa (f (T ))\σe a (f (T )).由f (T )ɪ(UW Π)知0∉σb (f (T )),于是λ∉σb (T ).对任给λ1∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )],若λ1∉στ(T )ɣa c c σ(T ),则λ1ɪΠ(T ),由T ɪ(UW Π)知λ1∉σb (T ).若λ1∉στ(T )ɣσe a (T ),由σb (T )=σe a (T )知λ1∉σb (T ).反包含显然.充分性.分以下两种情形讨论:情形1)若σ0(T )=Ø,则由T ɪ(UW Π)可知σa (T )=σe a (T ),Π(T )=Ø.所以对任给的f ɪH o l (σ(T )),均有Π(f (T ))=Ø.因为σa (T )满足谱映射定理,再结合引理2可知σa (f (T ))=f (σa (T ))=f (σe a (T ))=σe a (f (T )).于是f (T )ɪ(UW Π).情形2)若σ0(T )ʂØ,则由条件3)可知σb (T )=σe a (T ),且任给λɪρS F +(T ),使得i n d (T -λI )ȡ0.028 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.任给f ɪH o l (σ(T )),若存在μ0ɪσa (f (T ))\σe a (f (T )),设f (T )-μ0I =(T -λ1I )n 1(T -λ2I )n 2 (T -λt I )n t g (T ),其中λi ʂλj (i ʂj ),g (T )可逆.则T -λi I 为上半F r e d h o l m 算子且ðtk =1n kin d (T -λkI )ɤ0.又由于λɪρS F +(T ),使得i n d (T -λI )ȡ0,于是任给i (1ɤi ɤt ),T -λi I 为W e y l 算子.由T ɪ(UW Π)知T -λi I 为B r o w d e r 算子.所以f (T )-μ0I 为B r o w d e r 算子,即μ0ɪΠ(f (T )).反之,任给μ0ɪΠ(f (T )),设f (T )-μ0I =(T -λ1I )n 1(T -λ2I )n 2 (T -λt I )n t g (T ),其中λi ʂλj (i ʂj ),g (T )可逆.由D r a z i n 谱满足谱映射定理可知,每个T -λi I 均为D r a z i n 可逆的.由T ɪ(UW Π)知T -λi I 为B r o w d e r 算子,于是f (T )-μ0I 为B r o w d e r 算子,即μ0ɪσa (f (T ))\σe a (f (T )).综上知,任给f ɪH o l (σ(T )),f (T )ɪ(UW Π).证毕.由定理3的证明可得:推论6 设T ɪB (H ),若σ0(T )ʂØ,则任给f ɪH o l (σ(T )),f (T )ɪ(UW Π)当且仅当σb (T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )].推论7 设T ɪB (H ),则σ0(T )=Ø且任给f ɪH o l (σ(T )),均有f (T )ɪ(UW Π)当且仅当下列条件之一成立:1)σ(T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0};2)σ(T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0}.证明:必要性.由引理1和定理3可知,T ɪ(UW Π)且任给λ,μɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ˑi n d (T -μI )ȡ0.因此可分为下面两种情形讨论:情形1)任给λɪρS F +(T ),i n d (T -λI )ȡ0.任给λ0∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},断言:λ0∉σa (T ).事实上,若λɪσa (T ),则n (T -λ0I )>0;若λ0∉στ(T )ɣa c c σ(T )ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},则λ0ɪΠ(T );若λ0∉στ(T )ɣσe a (T )ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},则λ0ɪσa (T )\σe a (T ).由T ɪ(UW Π)可知λ0ɪσ0(T ).均与σ0(T )=Ø矛盾,因此λ0∉σa (T ).由i n d (T -λ0I )ȡ0知λ0∉σ(T ).反包含显然.情形2)任给μɪρS F +(T ),i n d (T -μI )ɤ0.任给μ0∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},断言:μ0∉σ(T ).事实上,若μ0∉στ(T )ɣa c c σ(T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},则μ0ɪΠ(T ),若μ0∉στ(T )ɣσS F +(T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},则由i n d (T -μ0I )ɤ0可知μ0ɪσa (T )\σe a (T ),由T ɪ(UW Π)和σ0(T )=Ø可知μ0∉σ(T ).反包含显然.充分性.情形1)条件1)成立.任给λɪρS F +(T ),若存在λ0ɪρS F +(T ),i n d (T -λ0I )<0,则λ0∉στ(T )ɣσe a (T )ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},因此λ0∉σ(T ),与i n d (T -λ0I )<0矛盾.所以任给λɪρS F +(T ),均有i n d (T -λI )ȡ0.若存在μɪσ0(T ),则μ∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},从而μ∉σ(T ),与μɪσ0(T )矛盾,于是σ0(T )=Ø.设λ1ɪσa (T )\σe a (T ),显然λ1∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0},从而λ1∉σ(T ),与λ1ɪσa (T )\σe a (T )矛盾.因此σa (T )=σe a (T ).同理可得Π(T )=Ø.于是T ɪ(UW Π).由引理2和定理3可知,f (T )ɪ(UW Π).情形2)条件2)成立.任给λɪρS F +(T ),若存在λ0ɪρS F +(T ),i n d (T -λ0I )>0,则λ0∉στ(T )ɣσS F +(T )ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},因此λ0∉σ(T ),与i n d (T -λ0I )>0矛盾.所以任给λɪρS F +(T ),均有i n d (T -λI )ɤ0.与情形1)同理可知σ0(T )=Ø.设λ2ɪσa (T )\σe a (T ),显然λ2∉στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσS F +(T )]ɣ{λɪσ(T ):n (T -λI )=0},从而λ2∉σ(T ),与λ2ɪσa (T )\σe a (T )矛盾.因此σa (T )=σe a (T ).同理可得Π(T )=Ø.于是T ɪ(UW Π).由引理2和定理3可知,f (T )ɪ(UW Π).证毕.通过上述定理和推论,并借助拓扑一致降标可实现对算子函数的(UW Π)性质的刻画.定理4 设T ɪB (H ),则任给f ɪH o l (σ(T )),均有f (T )ɪ(UW Π)当且仅当下列条件之一成立:1)σ(T )=στ(T )ɣ[a c c σ(T )ɘσe a (T )]ɣ{λɪσa (T ):n (T -λI )=0};128 第4期张腾杰,等:线性算子的拓扑一致降标性质与(UW Π)性质 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.228吉林大学学报(理学版)第61卷2)σ(T)=στ(T)ɣ[a c cσ(T)ɘσS F+(T)]ɣ{λɪσ(T):n(T-λI)=0};3)σb(T)=στ(T)ɣ[a c cσ(T)ɘσe a(T)].若(T T*)pɤ(T*T)p,则TɪB(H)称为p-H y p o n o r m a l算子.若存在正数M,使得任给λɪℂ及任给xɪH,均有 (T-λI)*x ɤM (T-λI)x ,则T称为M-H y p o n o r m a l算子,其中T*表示算子T的共轭算子.若TɪB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则任给λɪℂ, a s c(T-λI)<ɕ.于是由文献[12]中定理4.2知,任给λɪρS F+(T),i n d(T-λI)ɤ0,即σS F+(T)=σe a(T).由推论3和定理4知下列推论成立.推论8设TɪB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则:1)Tɪ(UWΠ)当且仅当σb(T)=στ(T)ɣ[a c cσ(T)ɘσS F+(T)]ɣ{λɪσ(T):n(T-λI)=0};2)任给fɪH o l(σ(T)),均有f(T)ɪ(UWΠ)当且仅当下列条件之一成立:①σ(T)=στ(T)ɣ[a c cσ(T)ɘσS F+(T)]ɣ{λɪσ(T):n(T-λI)=0};②σb(T)=στ(T)ɣ[a c cσ(T)ɘσS F+(T)].当T*ɪB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子时,易证明σe a(T)=σb(T).于是,再根据推论3和定理4可得如下推论成立.推论9设T*ɪB(H)为p-H y p o n o r m a l算子或者M-H y p o n o r m a l算子,则:1)Tɪ(UWΠ)当且仅当σb(T)=στ(T)ɣa c cσ(T);2)任给fɪH o l(σ(T)),均有f(T)ɪ(UWΠ)当且仅当Tɪ(UWΠ).参考文献[1] B E R K A N IM,K A C HA D M.N e wB r o w d e r a n d W e y lT y p eT h e o r e m s[J].B u l l e t i no f t h eK o r e a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2015,52(2):439-452.[2] G R A B I N E RS.U n i f o r m A s c e n t a n dD e s c e n to fB o u n d e d O p e r a t o r s[J].J o u r n a l o f t h e M a t h e m a t i c a lS o c i e t y o fJ a p a n,1982,34(2):317-337.[3] W E Y L H V.Üb e rB e s c h rän k t eQ u a d r a t i s c h eF o r m e n,D e r e nD i f f e r e n zV o l l s t e t i g I s t[J].R e n d i c o n t i D e lC i r c o l oM a t e m a t i c oD i P a l e r m o,1909,27(1):373-392.[4] G U P T A A,K UMA R A.P r o p e r t y(UWΠ)a n dP e r t u r b a t i o n s[J].M e d i t e r r a n e a n J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,2019,16(5):124-1-124-12.[5] A I E N AP,K A C HA D M.P r o p e r t y(UWΠ)u n d e rP e r t u r b a t i o n s[J].A n n a l so fF u n c t i o n a lA n a l y s i s,2020,11(1):29-46.[6] C A O X H.T o p o l o g i c a lU n i f o r m D e s c e n ta n d W e y lT y p eT h e o r e m[J].L i n e a rA l g e b r aa n dI t s A p p l i c a t i o n s,2007,420(1):175-182.[7] L IC G,Z HU S,F E N G Y L.W e y l sT h e o r e mf o rF u n c t i o n so fO p e r a t o r sa n d A p p r o x i m a t i o n[J].I n t e g r a lE q u a t i o n s a n dO p e r a t o rT h e o r y,2010,67(4):481-497.[8] Y A N GLL,C A O X H.S i n g l e-V a l u e dE x t e n s i o nP r o p e r t y a n dP r o p e r t y(ω)[J].F u n c t i o n a lA n a l y s i sa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2021,55(4):316-325.[9] Y A N GLL,C A O X H.P r o p e r t y(ω)a n dI t sC o m p a c tP e r t u r b a t i o n s[J].R e v i s t aD el a R e a lA c a d e m i aD eC i e n c i a sE x a c t a s,Fís i c a s y N a t u r a l e s(S e r i eA):M a t e m췍t i c a s,2021,115(2):60-1-60-11.[10] C A O X H,D O N GJ,L I U J H.W e y l sT h e o r e m a n dI t sP e r t u r b a t i o n sf o rt h eF u n c t i o n so fO p e r a t o r s[J].O p e r a t o r s a n d M a t r i c e s,2018,12(4):1145-1157.[11] A I E N AP.S e m i-F r e d h o l m O p e r a t o r s,P e r t u r b a t i o n T h e o r y a n d L o c a l i z a t e dS V E P[M].Mér i d a,V e n e z u e l a:[s.n.],2007:135.[12] T A Y L O R A E.T h e o r e m so n A s c e n t,D e s c e n t,N u l l i t y a n d D e f e c to fL i n e a r O p e r a t o r s[J].M a t h e m a t i s c h eA n n a l e n,1966,163:18-49.(责任编辑:赵立芹)Copyright©博看网. 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第一节有界线性算子的谱一.算子代数定义：厶(X)是一复Banach空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称英为算子代数。

性质：设R,S,T“(X),xC,则有1、结合律:(RS)T = R(ST), T m+B=r n r(m,neN)；2、a(ST) = (aS)T = S(aT)；3、R(S + T) = RS + R「(R + S)T = RT + ST ；4、单位算子/满足：IT = TI = T ；5、7\X T X为同构O存在A.B^L(X),使得AT = [ = TB :必左4 = B,称它为T的逆，记作T~\并称丁为可逆算子。

以GZXX)记厶(X)中的可逆算子的全体。

6、若S、TwGL(X),贝iJSreGL(X),且(ST)"1=T^S'\(T n y[ =(T-I)/\当Tw GL(X)时约宦厂〃=(厂丫⑺> 0),厂=I,因而对任何"乙厂有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律；2、阿|邙||||71，||鬥|井『(心)；3、若在厶(X)中S Q S、T Q T,则必有S n T n ->ST o定义：设丁属于某算子代数，称/(7')=工％7'”=%/ + <7' + ・・・+ ©7'”+・・・n-0(其中系数e C(// > 0)为算子幕级数。

性质：设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX),||T||</?时级数ZF-0工0Z1卜工闯P『vs引理3丄1设TeL(X),则X (/_丁尸=工厂『“■0只要貝右端级数收敛。

特別，当|卩||<1时上式必成立。

推论：若T,SwL(X),T可逆，则00(T + S)-=工厂l_S 厂 g/r-()只要英右端级数收敛：特别，当||s||适当小时必成立。

二、谱与谱半径定义3.1.2设Tw厶(X ),1、若不可逆，即AI-TeGL(X),则称2为丁的谱值。