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人大附中10月份月考数学试卷（理科）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
二、 已知全集U 为实数集，2{|20}P x x x =-<，{|1}Q x x =≥，则U P
C Q =
（ ） .A {|01}x x << .B {|02}x x << .C {|1}x x < .D ∅
三、 曲线3231y x x =-+在1x =处的切线方程为（ ）
.A 34y x =- .B 32y x =-+ .C 33y x =-+ .D 45y x =-
四、 命题“20,0x x x ∀>-≤都有”的否定是（ ）
.A 20,0x x x ∃>-≤使得 .B 20,0x x x ∃>->使得
.C 20,0x x x ∀>->使得 .D 20,0x x x ∀≤->使得
五、 对于非零向量,a b ，“20a b +=”是“//a b ”的（ ）
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
六、 将函数sin y x =的图像向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数
sin()6y x π
=-的图像，则ϕ等于（ ） .A 6π .B 56π .C 76π .D 116
π 七、 已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是
（ ）
.A )+∞ .B )+∞ .C (3,)+∞ .D [3,)+∞
八、 有四个关于三角函数的命题：
1p ：x R ∃∈，使得3sin cos 2
x x +=
2p ：,x y R ∃∈，使得sin()sin sin x y x y +=+
3p ：[]0,x π∀∈
sin x = 4p ：任意锐角ABC ∆中，恒有sin cos A B >成立
其中真命题的个数是：（ ）
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4
九、 已知函数2
1,0()log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数(())1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）
.A 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
.B 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
.C 无论a 为何值，均有2个零点
.D 无论a 为何值，均有4个零点
十、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上
十一、 2
2
(1cos )x dx π
π-+⎰等于__________. 十二、 已知平面向量(1,cos )a θ=，(sin )b θ,2=，且a b ⊥，则tan()πθ-之值为
_______.
十三、 在ABC ∆中，已知8BC =，5AC =，三角形的面积为12，则
cos2C =____________.
十四、 已知函数sin()(0,)y A x A ωϕϕπ=+><的一段图像如右图所示，则函数的解析
式为_____________.
十五、 已知0m <，给出以下两个命题：
命题P ：函数x
y m =在R 上单调递减
命题Q ：x R ∀∈，不等式21x x m +->恒成立
若P Q ∧是假命题，P Q ∨是真命题，则m 的取值范围是_____________. 十六、 设函数()f x 的定义域是D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有
x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。
如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是___________.
如果定义域是R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是________________.
十七、 解答题：
十八、 （本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且23a =4cos 5A =。 （I ）若60o
B =，求b 的值；
（II ）若ABC ∆的面积为3，求b c +的值。 十九、 （本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x
（单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a y x x =
+--，（其中36x <<，a 为常数），已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。 （I ）求a 的值；
（II ）若该商品的成本价为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该
商品所获得的利润最大。
二十、 （本小题满分13分）
已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； （II ）若06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。 二十一、 （本小题满分14分） 已知：函数()x
e f x x a
=-（其中常数0a <） （I ）求函数()f x 的定义域及单调区间；
（II ）若存在实数(,0]x a ∈，是的不等式1()2
f x ≤成立，求a 的取值范围。 二十二、 （本小题满分14分）
设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为P 函数。
（I ）试判断函数1()sin f x x x =，2()1x x e f x e -=+和2
32()1
x f x x =+中那些是P 函数，并说明理由；
（II ）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 、2x ，均有
1212()()f x f x x x -≤-，求证：函数()f x 一定是P 函数；
（III ）求证：若1a >，则函数2()ln()ln f x x a a =+-是P 函数。
