高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在实际生活中有着广泛的应用。

向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。

通过本节课的学习，使学生认识到向量作为一种量，也同其他的量一样，有自己的运算。

学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。

二、教学目标知识目标：理解向量加法的概念，会用向量加法法则及运算律求向量的和。

能力目标：培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养及数学交流能力。

情感目标：增强学生学习的积极性、主动性，挖掘出学生自身智力潜能，促进学生的个性发展。

三、重难点分析教学重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构，以及利用法则作两个向量的和向量．教学难点：理解向量的加法法则及其几何意义．四、教法、学法分析1、教法分析本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。

2、学法指导引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。

五、教学过程环节一复习回顾1、复习：提问向量的定义以及有关概念。

2、强调：向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置【设计意图】复习回顾，巩固上节课知识，做好知识的衔接工作。

环节二实例引入揭示课题[实例1]外地游客到甘南旅游，玛曲到合作约2021里，合作到卓尼约100公里，那么玛曲到卓尼的路程是多少，位移是多少？[实例2]有两辆汽车牵引一辆大卡车，他们的牵引力分别是F1=3000N，F2=2021N，牵绳间的夹角θ=600。

2.2.1　向量加法运算及其几何意义学习目标　1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一　向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ，F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.思考1　从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 答案　后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线 表示的力是OC → OA→ 与表示的力的合力.体现了向量的加法运算. OB →思考2　上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 答案 三角形法则和平行四边形法则. 梳理　(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作＝a ，＝b ，则向量叫做a 与AB → BC → AC →b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝AB →BC →. AC →这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种作两个向量和OC →的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 知识点二　向量加法的运算律 思考1　实数加法有哪些运算律？ 答案　交换律和结合律.思考2　根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律.(注：＝a ，＝b )AB → AD →答案　∵＝＋，∴＝a ＋b .AC → AB → BC → AC →∵＝＋，∴＝b ＋a . AC → AD → DC → AC →∴a ＋b ＝b ＋a .思考3　根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律.(注：＝a ，＝b ，＝AB → BC → CD →c )答案　∵＝＋AD → AC → CD →＝(＋)＋，AB → BC → CD →∴＝(a ＋b )＋c ， AD →又∵＝＋＝＋(＋)，AD → AB → BD → AB → BC → CD → ∴＝a ＋(b ＋c )， AD →∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). 梳理　向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )类型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1　如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .(1) (2)解　(1)作法：在平面内任意取一点O ，作＝a ，＝b ，则＝a ＋b .OA → AB → OB →(2)在平面内任意取一点O ，作＝a ，＝b ，＝c ，则＝a ＋b ＋c .OA → AB → BC → OC →反思与感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系.区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.跟踪训练1　如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量. (1)＋＝________；(2)＋＝________；(3)＋＝________.OA → OC → BC → FE → OA → FE →答案　(1)　(2)　(3)0OB → AD →类型二　向量加法运算律的应用 例2　化简：(1)＋；(2)＋＋；BC → AB → DB → CD → BC →(3)＋＋＋＋.AB → DF → CD → BC → FA → 解　(1)＋＝＋＝.BC → AB → AB → BC → AC → (2)＋＋＝＋＋DB → CD → BC → BC → CD → DB →＝(＋)＋＝＋＝0.BC → CD → DB → BD → DB →(3)＋＋＋＋AB → DF → CD → BC → FA → ＝＋＋＋＋ AB → BC → CD → DF → FA → ＝＋＋＋ AC → CD → DF → FA → ＝＋＋ AD → DF → FA → ＝＋＝0. AF → FA →反思与感悟　(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特別地，当A nA 1A 2——→ A 2A 3——→ A 3A 4——→ A n －1A n ———→ A 1A n ——→和A 1重合时，＋＋＋…＋＝0.A 1A 2——→ A 2A 3——→ A 3A 4——→ A n －1A 1———→跟踪训练2　已知正方形ABCD 的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.AB → AD → BC → DC →答案　22解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.AB → AD → BC → DC → AB → BC → AD → DC → AC → AC → AC→2类型三　向量加法的实际应用例3　在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解　作出图形，如图所示.船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt△ACD 中，||＝||＝|v 水|＝10 m/min ， CD → AB →||＝|v 船|＝20 m/min ， AD →∴cos α＝＝＝，|CD → ||AD →|102012∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角. ∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进. 引申探究1.若本例中条件不变，则经过1 h ，该船的实际航程是多少？ 解　由例3知v 船＝20 m/min ，v 实际＝20×sin 60°＝10(m/min)， 3故该船1 h 行驶的航程为10×60＝600(m)＝(km). 333352.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.解　如图，作平行四边形ABDC ，则＝v 实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tanAD →α＝＝＝2.|BD → ||AB →|2010即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思与感悟　向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解　如图所示，设，分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用表示，则＋＝.CE → CF → CG → CE → CF → CG →易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴||＝||cos 30°CE → CG →＝10×＝5(N)，323||＝||cos 60° CF → CG →＝10×＝5(N).12∴A 处所受的力为5 N ，B 处所受的力为5 N.31.如图，在正六边形ABCDEF 中，＋＋等于( )BA → CD → EF →A.0B. BE →C. D. AD →CF →答案　D解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.BA → CD → EF → DE → CD → EF → CE → EF → CF →2.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A.＋＋＝0 FD → DA → DE →B.＋＋＝0 AD → BE → CF →C.＋＋＝ FD → DE → AD → AB →D.＋＋＝ AD → EC → FD → BD → 答案　D解析　＋＋＝＋＝0，FD → DA → DE → FA → DE →＋＋＝＋＋＝0， AD → BE → CF → AD → DF → FA →＋＋＝＋＝＋＝， FD → DE → AD → FE → AD → AD → DB → AB → ＋＋＝＋0＝＝≠. AD → EC → FD → AD → AD → DB → BD → 故选D.3.(＋)＋(＋)＋等于( )AB → MB → BO → BC → OM →A. B. BC → AB → C. D. AC → AM →答案　C4.如图所示，在四边形ABCD 中，＝＋，则四边形为( )AC → AB → AD →A.矩形B.正方形C.平行四边形D.菱形 答案　C解析　∵＝＋，AC → AB → AD →∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝， DC → DA → AC → DA → AB → AD → DA → AD → AB → AB →即＝. DC → AB →∴四边形ABCD 为平行四边形.5.小船以10 km/h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小3船的实际航行速度的大小为________km/h. 答案　20解析　如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船的3实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(10)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，3即小船实际航行速度的大小为20 km/h.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.课时作业一、选择题1.作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为( )A.30 NB.60 NC.90 ND.120 N 答案　B2.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.＝，＝B.＋＝ AB → CD → BC → AD → AD → OD → DA →C.＋＝＋D.＋＋＝ AO → OD → AC → CD → AB → BC → CD → DA →答案　C3.下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.＋＋＝0 AB → BC → AC →C.＋＝0 AB → BA →D.＋＝＋＋ CA → AC → MN → NP → PM → 答案　B解析　＋＋＝＋＝2≠0，故B 错.AB → BC → AC → AC → AC → AC →4.已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.＋＝ B.＋＝ AB → BC → CA →AB → AC → BC → C.＋＝ D.＋＝ AC → BA → AD → AC → AD → DC →答案　C解析　对于A ，＋＝≠；对于B ，＋≠；对于C ，＋＝＋＝，又AB → BC → AC → CA → AB → AC → BC → AC → BA → BA → AC → BC → AD→ ＝， BC →所以＋＝；对于D ，＋≠.AC → BA → AD → AC → AD → DC →5.已知a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A.a∥b ，且a 与b 方向相同B.a ，b 是共线向量且方向相反C.a ＝bD.a ，b 无论什么关系均可 答案　A6.若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|＋|＝，则△ABC 的形状是( )AB → AC →2A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案　D解析　以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝，∴∠ABD 为直角，该四2边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形，故选D. 二、填空题7.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.(1)＋＝________；AB → AD →(2)＋＋＝________；AC → CD → DO →(3)＋＋＝________；AB → AD → CD →(4)＋＋＝________.AC → BA → DA →答案　(1)　(2)　(3)　(4)0AC → AO → AD →8.根据图示填空，其中a ＝，b ＝，c ＝，d ＝.DC → CO → OB → BA →(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________. 答案　(1)　(2)DB → CA →解析　(1)a ＋b ＋c ＝＋＋＝.DC → CO → OB → DB →(2)b ＋d ＋c ＝＋＋＝. CO → BA → OB → CA →9.在平行四边形ABCD 中，＋＋＋＝________. BC → DC → BA → DA →答案　010.在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，||＝1，则|＋|＝________. AB → BC → CD →答案　1解析　在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵||＝1，∴||＝1， AB → BD →|＋|＝||＝1. BC → CD → BD →三、解答题11.如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点.求证：＋＋＋＝4. PA → PB → PC → PD → PO →证明　∵＋＋＋ PA → PB → PC → PD →＝＋＋＋＋＋＋＋ PO → OA → PO → OB → PO → OC → PO → OD →＝4＋(＋＋＋) PO → OA → OB → OC → OD →＝4＋(＋)＋(＋) PO → OA → OC → OB → OD →＝4＋0＋0＝4. PO → PO →∴＋＋＋＝4. PA → PB → PC → PD → PO →12.如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋. BA → BC → CA → CB →解　以BA ，BC 为邻边作▱ABCE ，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB ，CA 为邻边BE → BA → BC →作▱ACBF ，根据平行四边形法则，可知就是＋. CF → CA → CB →13.在水流速度为4 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船3的航行速度的大小和方向.解　如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC ，作AD 綊BC ，则AB → AC → AD →为所求船的航行速度，且＋＝. AD → AB → AC →∵||＝4，||＝12，∴tan ∠ACB ＝＝. AB → 3AC → 431233∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ，||＝||＝8， AD → BC →3∠BAD ＝120°.∴船的航行速度的大小为8 km/h ，方向与水流速度成120°角.3四、探究与拓展14.若a 等于“向东走8 km”，b 等于“向北走8 km”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________.答案　8 km 北偏东45°2解析　如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝AB → BC → AC → AC →8，∠BAC ＝45°.215.如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：＋＝＋. AB → AC → AP → AQ →证明　＝＋，＝＋， AB → AP → PB → AC → AQ → QC →∴＋＝＋＋＋. AB → AC → AP → PB → AQ → QC →∵与大小相等，方向相反， PB → QC →∴＋＝0， PB → QC →故＋＝＋＋0＝＋.AB → AC → AP → AQ → AP → AQ →。

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

2.2.1 向量加法运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语心不清则无以见道，志不确则无以定功。

——林逋学习目标1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量.2．掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算.学习重点向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律.学习难点向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律.自主学习1．向量加法的概念(1)向量和的概念：②前提：a，b是 .②形式：在平面内任取一点A，作,，则向量叫做a与b的和，记作，即a+b＝＝ .2．向量的加法法则(1)三角形法则：按向量的加法的定义求向量和的方法.(2)平行四边形法则：如图，以点A为起点作不共线的向量，以AB，AD为邻边作，则以点A为起点的所表示的向量就是a与b的和，记作a+b ＝＝ .我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.3．向量加法的运算律(1)交换律：a+b＝ .(2)结合律：(a+b)+c＝ .预习评价1．向量等于A. B. C. D.2．若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是A.若向量a与b方向相反，且，则向量a+b与a的方向相同B.若向量a与b方向相反，且，则向量a+b与a的方向相同C.若向量a与b方向相同，则向量a+b与a的方向相同D.若向量a与b方向相同，则向量a+b与b的方向相同3．化简下列各向量：(1)＝ .(2)＝ .(3)＝ .4．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，，则等于 .5．在△ABC中，，则a+b+c＝ .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．向量加法的法则及运算律(1)如图为向量a，b，如何作出这两个向量的和？(2)若非零向量a，b满足，则以a，b，a+b的模为边所构成的三角形是 .(3)两向量a，b满足什么条件时，.‚(或者).2．观察向量加法运算的交换律与结合律，回答下列问题：(1)向量的加法交换律以及结合律是否只对两个和三个的向量成立？(2)交换律与结合律的作用是什么？教师点拨对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明(1)向量加法的三角形法则可以推广到n个向量求和的情形，作图时要求向量“首尾相接”，n个首尾相接的向量的和是从第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.(2)向量加法的平行四边形法则只适用于不共线的两个向量求和，作图时要求两个向量的起点必须重合.(3)当两个向量不共线时，两个法则实质是一致的，但在多个向量加法中，利用三角形法则更为简便.交流展示——向量加法法则的应用已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示A.向东南航行kmB.向东南航行2kmC.向东北航行km D.向东北航行2km变式训练如图所示，若P 为△ABC 的外心，且PA u u u r ＋PB u u u r ＝PC u u ur ，则∠ACB ＝__________.交流展示——向量加法运算律的应用 如图，在正六边形中，等于A.B. C. D.变式训练设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则+++等于A.B.2C.3D.4交流展示——向量加法的应用若向量a 表示向东走1 km,向量b 表示向南走1 k m,则向量a+b 表示( ) A.向东南走 km B.向东南走2 kmC.向东北走km D.向东北走 2 km变式训练如图所示,P ,Q 是三角形ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:+=+.学习小结1．求向量和的方法及步骤2．向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边行法则”化简.提醒：利用平行四边形法则时要注意加数向量必须在同一起点，否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量，然后作平行四边形.3．向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解.当堂检测1．平面内有四边形ABCD和点O，若，则四边形ABCD的形状是A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形2．在矩形ABCD中，，设，，，则|a+b+c|=A. B. C. D.3．设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则____.A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0 4．如图，已知＝，用，表示，则等于A.－B.＋C.－＋D.－－知识拓展1．设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则____.A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0 2．在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是________(图形).2.2.1 向量加法运算及其几何意义详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．(1)①非零向量②a+b(2)和 (3)0+a a2．ABCD对角线AC3．(1)b+a (2)a+(b+c)【预习评价】1．C2．B3．(1)(2)0 (3)4．a+c5．0♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)利用三角形法则：作向量向量则向量利用平行四边形法则：作向量以AB，A C为邻边作平行四边形AB CD，则对角线AD所表示的向量即为向量a与b的和向量.(2)结合向量加法的几何意义知，是等边三角形 (3) 两向量方向相同时； ‚两向量方向相反时.2．(1)不是，向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立. (2)交换律与结合律的作用是对向量的加法进行化简.【交流展示——向量加法法则的应用】 A【解析】本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化.本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做向量a 表示“向东航行1km”，向量b 表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km ，故选A.【备注】无 【变式训练】120︒【解析】本题主要考查了平面向量的线性运算的运用.因为P 为△ABC 的外心，所以PA PB PC ==.又因为PA u u u r ＋PB u u u r ＝PC u u ur ，由向量的线性运算可得四边形PABC 是菱形，所以∠ACB ＝120︒,故填120︒.【交流展示——向量加法运算律的应用】 A【解析】本试题主要考查向量的加减法运算。