平面向量的线性运算及几何意义

平面向量的线性组合与线性相关性平面向量是二维空间中的有向线段，具有大小和方向。

在向量运算中，线性组合是指将若干个向量乘以不同的实数，并将它们相加得到一个新的向量。

线性相关性则是指存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量。

本文将探讨平面向量的线性组合和线性相关性的概念、性质以及相关应用。

一、线性组合的概念和性质在二维平面中，假设有两个向量a和b，它们可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)。

那么它们的线性组合可以表示为c = ka + lb，其中k和l为任意实数。

1. 加法与数乘对于线性组合来说，加法和数乘是其两个基本运算。

加法满足交换律和结合律，即(a + b) = (b + a)和[(a + b) + c] = [a + (b + c)]。

数乘满足结合律和分配律，即k(la) = (kl)a和(k + l)a = ka + la。

加法和数乘的运算结果仍然是一个向量。

2. 零向量零向量是一个特殊的向量，它的所有分量都为零。

对于任意向量a，有a + 0 = a，其中0为零向量。

因此，零向量是线性组合的单位元素。

3. 线性组合的封闭性线性组合满足封闭性，即对于任意向量a和b以及实数k和l，其线性组合ka + lb仍然是一个向量。

二、线性相关性的概念和判定线性相关性是指存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量。

假设有n个向量a1, a2, ..., an，它们的线性组合为c = k1a1 + k2a2 + ... + knan。

若存在不全为零的系数k1, k2, ..., kn使得c = 0，则这些向量是线性相关的。

判定线性相关性的方法有几种：1. 行列式法通过构造行列式来判断向量组的线性相关性。

若行列式的值为零，则向量组线性相关；若行列式的值不为零，则向量组线性无关。

2. 向量方程法将向量组的线性组合表示成向量方程，然后考虑齐次线性方程组的解的情况。

若齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。

平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】 给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。

平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。

平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。

本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。

一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。

二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。

向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。

三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。

向量的减法也满足交换律和结合律。

四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。

数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。

五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。

若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。

2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。

对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。

3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一：向量的基本概念①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三：向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且1.λμ+=①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ=+++． 【题型目录】题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一： 平面向量的概念【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.【例2】下列命题中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；AB 与CD 是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误.故选：A【例3】有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ①若a b ≠，则a ，b 不是共线向量；①若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ①若m n =，n k =，则m k =；①有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5，若a b ≠也有可能a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，AB DC =，则AB ，DC 不一定相等，所以四边形，若m n =，n k =，则m k =，①正确；，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，综上，错误的是①①①，共3个. 【例4】设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若a 与0a 平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以①错；①错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量； ①若,a b 满足||||a b >，且a 与b 同向，则a b >①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ①若,a b b c ∥∥，则a c ∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误； 向量有方向，不能比较大小，故①错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故①错误； 当0b =时，可满足,a b b c ∥∥，但a 与c 不一定平行，故①错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A ．【例6】下面关于向量的说法正确的是（ ） A ．单位向量：模为1的向量B ．零向量：模为0的向量，零向量没有方向C ．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D ．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD 均正确， 故选：ACD ．【例7】下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若a b ∥，则a 与b 的方向相同或相反 C ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥ D ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ，根据向量的概念判断，对于BCD ，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A 错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故，若b 为零向量，则a 与c 可能不是共线向量，故，对任一非零向量a ，||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同，所以错 ；B 选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C 选项，规定零向量的方向是任意的，所以C 对；D 选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D 错 2.下列命题中正确的个数是（ ）①若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ①若向量a 与向量b 平行，则a ，b 方向相同或相反；①若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ①若a b =，则a ，b 是相等向量或相反向量. A ．0 B ．1C ．2D ．3，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则AB 与CD 平行或共线；错误，a 与b 至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知正确； 错误，由a b =，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ，则1AO =，则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为：以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量中，向量12,e e 的方向不一定相同，所以中，向量a 与b 的长度不一定相等，所以0a =，根据零向量的定义，可得0a =，所以C 1a a a a =⋅，可得a a与向量a 同向，a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量，所以故选：CD.6．下列说法中正确的是（ ）A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A 正确； 对于B 中，向量//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，所以B 错误；对于C 中，在四边形ABCD 中，若向量//AB CD 、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C 错误；对于D 中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D 正确. 故选：AD.7．下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点，则当AB DC =时，，故且,AB DC 同向，故AB DC =，故C ，当a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故D 错误；8．下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b = D ．向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．【详解】对于C ，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D ，向量AB 与BA 互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB 正确． 故选：AB ．题型二： 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．AB B ．0C ．BCD ．AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解：AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选：B【例2】化简下列各式： (1)AO OB CA CB ++-； (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0；(2)0【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（1）()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=；（2）()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1，则AB AD +为（ ） A．1 BC ．3D ．根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 212AB A AD C +==，故选：B.【例4】在ABC 中，M 是BC 的中点，则AB AC +等于（ ） A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算．【详解】如图，作平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，则2AB AC AE AM +==. 故选：C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OC HG FH ++=（ ）A ．OB B ．ODC ．OFD ．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选：A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则OA OB OC OD +++=（ ） A ．4OM B ．3OM C ．2OM D ．OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解：在OAC 所以1()2OM OA OC =+，即2OA OC OM +=．在OBD 中，因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OM OB OD =+，即2OB OD OM +=． 所以4OA OB OC OD OM +++=． 故选：A ．【例7】若74AB AC ==，，则BC 的取值范围是（ ）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311， D ．(311)， 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量,AC AB 共线时取得最值，即可求得答案74AB AC ==，，且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时，BC 取得最小值，|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时，BC 取得最大值，|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时，BC 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，BC 的取值范围是[]311，， 故选：C【例8】已知ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）AC AB =-①AB CA BC AB -=-；①AB CA CA BC -=-；①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==，故①分别为,,AB BC AC 的中点，32AB ， 23AB CA AB AC AE AB -=+==， 23BC AB BC BA BF BA -=+==，所以AB CA BC AB -=-，故①成立；对于①，23CA BC CA CB CD AB -=+==， 所以AB CA CA BC -=-，故①正确；①，AB AC CB AB CA BC -==≠-，故①不成立故答案为：①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC - C ．AB D ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+．故选：A.2．下列能化简为PQ 的是（ ） A ．QC QP CQ -+ B ．()AB PA BQ ++C ．()()AB PC BA QC ++- D ．PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，A 选项正确. B 选项，()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+，B 选项正确.C 选项，()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=，C 选项正确. D 选项，()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠，D 选项错误. 故选：ABC3. 在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4. 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则下列向量与AB DC +不相等的是（ ） A ．2EF B ．AC DB + C ．EB EC + D ．FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====， 因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确，因为,DC DA AC AB AD DB =+=+，所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+，所以B 正确，因为,DC DE EC AB AE EB =+=+，所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+，所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+， D 错误， 故选：D5．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ） A ．AB BC CA +=B ．AB AD BD -=C．AB AD AC+=D．BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB AD AC+=，C错误；根据三角形法则可得BC CD BD+=正确，所以D正确.故选：D.6．在四边形ABCD中，AB DC=，若AD AB BC BA-=-，则四边形ABCD是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【分析】由AB DC=，可得四边形为平行四边形，又BD AC=，从而即可求解【详解】解：在四边形ABCD因为AB DC=，所以四边形AD AB BC BA-=-，即BD AC=，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结论中正确的是（）A．AB BC CA-=B．1()3AG AB AC=+C．0AF BD CE++=D．0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．【详解】解：如图：，2AB BC AB CB EB AC-=+=≠，即选项为ABC的重心，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+，即选项，1()02AF BD CE AB BC CA++=++=，即选项C正确；，122()2GA GD GB GC=-=-⨯+，即0GA GB GC++=，即选项D正确，8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB++；(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE；(2)0.【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===；（2）EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三：平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量C．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD 是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ， 且AB 与AC 是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线． 故选：AD ．【例2】已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B 则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确； 选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，不存在，故该选项错误；，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，48(72)a b a b λ+=-，解得λ不存在，故该选项错误； 故选：A.【例3】下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线 【答案】ABC选项：根据向量共线的性质，可知A 、选项：a 与b 同向，则a 与b -反向，显然正确; 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠，若a b =，则a 与b 同向， a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB =BC λ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a 与b -反向，C 正确.0λμ==时，a 与b 不一定共线，D 错误.故选：ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时，直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A ，B ，C ，D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“AB CD ∥”无法推出“A ，B ，C ，D 四点共线”；当A ，B ，C ，D 四点共线时，直线AB 与CD 的位置关系为重合，此时，AB CD ∥， 则“A ，B ，C ，D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”，因此“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点，若CB PB PA λ-=，其中λ①R ，则点P 一定在（ ） A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=，PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=，则PC -=λPA ，则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上． 故选：A ．【例7】在①ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-，即34λ=，14μ=-. 故答案为：34；14-.【例9】在ABC 中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．38【答案】C 【解析】4AC AD =，14AD AC ∴=，则14BD AD AB AC AB =-=-， 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭，由于P 为BD 上一点，则//BP BD ，设BP k BD =，则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.【例10】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC ANμ=， 1344AP AM ANλμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选：B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+，则AMN BCNS S =△△（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC =， 所以MN ①BC ，又因为 M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离， 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =，从而可求解.【详解】解：()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ，D ，C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =． 3.设12e e ，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则 A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ， 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =. 4.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC =，则DP =( )A ．1144AB AC + B ．1144AB AC -- C ．1144AB AC - D ．1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点，①12AP AC =,①3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选：B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=( ) A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+，CA =+3(CD CB -)，即有CD =﹣1322CA CB +， 因为CD CA CB λμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3. 8.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+， M 、O 、N 三点共线，122m n ∴+=，2m n ∴+=.故选：C.9.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．38 D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =，4BC =，∴14BD BC =， ∴14AD AB BD AB BC =+=+，O 为AD 中点， ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，AO AB BC λμ=+， ∴1128AB BC AB BC λμ+=+，∴12λ=，18μ=， ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点，①2OB OC OD +=，①20OA OB OC ++=，①0OA OD =+，即AO OD =.11．设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+，2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+，【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理：2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+， 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型题型四：由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+，+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形 ，结合AD BC =，即可判断四边形【详解】解：因为113e ,5e AB CD ==，所以35AB CD =-，所以//AB CD AB CD ≠，AD BC =，所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选：C.【题型专练】1．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2323OA OC OD OB +=+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =，结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+，① 2()3()OA OD OB OC -=-，① 23DA CB =，① 四边形ABCD 一定是梯形． 故选：B.2．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ，AD BC ≠可得答案【详解】由已知得，2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= ， 故//AD BC ，由AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形.故选：C.3．在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选：D ．4．下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是（ ）A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形 C ．若AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为菱形D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．【详解】AD BC =，则AD 13AD BC =，则//AD BC 若AB DC =，四边形ABCD AB AD =，即AB 若AB DC =，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，即AC 故选：ABC ．。

ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。