点与圆、直线与圆位置关系
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一、点与圆的位置关系
1. 确定圆的条件
（1） 圆心(定点)，确定圆的位置；
（2） 半径(定长)，确定圆的大小．
注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
2. 点与圆的位置关系
（3） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
（4） 设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 PrO 点在圆的外部 dr点P在O⊙的外部.
点在圆上 PrO 点在圆周上 dr点P在O⊙的外部.
点在圆内 PrO 点在圆的内部 dr点P在O⊙的外部.
二、过已知点的圆
1. 过已知点的圆
（1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
（2） 经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．
（3） 过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
（4） 过n4n个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆
（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
（2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．
三、三角形的外接圆及外心
1. 三角形的外接圆
（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
（2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
2. 三角形外心的性质
（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
（2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
一、点与圆的位置关系
【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )
A．2 B．6 C．12 D．7
【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为______．
2、若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（ ）D
A．2ba B．2ba
C．22baba或 D．baba或
3、定义：定点A与O⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与O⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm12cmABBC，，K⊙与矩形的边ABBCCD、、分别相切于点EFG、、，则点A与K⊙的距离为______________．
GFEKDCBA 【例2】 已知ABC中，90C，2AC，3BC，AB的中点为M，
⑴以C为圆心，2为半径作C⊙，则点A，B，M与C⊙的位置关系如何？
⑵若以C为圆心作C⊙，使A，B，M三点至少有一点在C⊙内，且至少有一点在C⊙外，求C⊙半径r的取值范围．
MCBA
【巩固】1、RtABC的两条直角边3BC，4AC，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以12r，22.4r，33r为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系.
DCBA
2、在ABC中，90C，4AC，5AB，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题，并word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
说明理由.
⑴当r取何值时，点A在C⊙上，且点B在C⊙内部？
⑵当r在什么范围内取值时，点A在C⊙外部，且点B在C⊙的内部？
⑶是否存在这样的实数r，使得点B在C⊙上，且点A在C⊙内部？
CBA
二、过三点的圆
【例3】 如图，四边形ABCD中，ABACAD，若7613CADBDC，，则CBD_________，BAC__________．
DCBA
【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O与两坐标轴分别交于ABCD，，，四点，已知：60A，，03B，，20C，，则点D的坐标是（ ）
A．02， B．03， C．04， D．05，
OyxO'DCBA
三、三角形的外接圆及外心
【例5】 如图，ABC内接于O⊙，120BAC，ABAC，BD为O⊙的直径，6AD，则BC
.
ODCBA
【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
A．32 B．33 C．3 D．12
【例6】 设RtABC的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．
【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点ABC，，，其中B点的坐标为44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．
OCBAyx
2、ABC中，10ABAC，12BC，求其外接圆的半径．
DOCBA
【例7】 在等腰ABC中，ABBC，BH是高，点M是边AB的中点，而经过点B，M于C的圆同BH的交点是K，求证32BKR，其中R是ABC的外接圆半径．
KHMOCBA
【巩固】1、已知ABC中，ABAC，D是ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点AC，重合)，延长BD至E． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
⑴ 求证：AD的延长线平分CDE；
⑵ 若30BAC，ABC中BC边上的高为23，求ABC外接圆的面积．
ABCDE
2、已知如图，ACD的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BABD．
NDCBA
一、直线与圆的位置关系
设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离
lOdr 直线与圆没有公共点． dr直线l与O⊙相离
相切
lOdr 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． dr直线l与O⊙相切
相交
lOdr 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． dr直线l与O⊙相交
二、 切线的性质及判定
切线的性质
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心
①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl．
②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M．
③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．
MBOlA
3. 切线的判定
（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
OOOAAAlll
4. 切线长和切线长定理
（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
三、三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载
2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系
cbacbaOFEDCBACBACBA
设a、b、c分别为ABC△中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径为srp，其中12pabc．若90C，则12rabc．
一、直线与圆位置关系的确定
【例1】 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OPx，则x的取值范围是PBOA
A．0≤x≤2 B．2≤x≤2
C．－1≤x≤1 D．x＞2
【例2】 RtABC中，90C，3cmAC，4cmBC，给出下列三个结论： ①以点C为圆心，3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
【巩固】在RtABC中，90C，12cmAC，16cmBC，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎样的位置关系？为什么？
⑴ 9cmr；⑵10cmr；⑶9.6cmr．
DCBA
【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90C∠，且ABADBC，AB是O的直径，则直线CD与O的位置关系为( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
