点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一、基础知识

1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在

220202202022020rbyaxrbyaxrbyax圆外圆内圆上

2、直线与圆的位置关系

直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：

（1） 代数法（判别式法）相离相切相交000

（2） 几何法，圆心到直线的距离相离相切相交rdrdrd

一般宜用几何法。

3、弦长与切线方程，切线长的求法

（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222rld

（3） 改写圆方程写出圆的切线方程：(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以x0 x,

y0 y,2,200yyxx改写圆方程中的x2，y2,x,y

（4）切线长

过圆外一点),(00yxP引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线

则切线长：22020002020rbyaxFEyDxyxd

4、圆与圆的位置关系

相离2121rrOO

外切2121rrOO

相交212121rrOOrr

内切2121rrOO

内含2121rrOO

5、圆系方程

（1）以(a,b)为圆心的圆系方程：0222rrbyax 。

（2）过两圆0:111221FyExDyxC和0:222222FyExDyxC的交点的圆系方程：02222211122FyExDyxFyExDyx但不含C2

1时，0:212121FFyEExDDl为两圆公共弦所在直线方程

其中当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。

二、题型剖析

例1、(优化设计P114例1) 已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O为原点，且OPOQ，求该圆的圆心坐标及半径。

解法一设P(x1,y1), Q(x2,y2)，由OPOQ, 得: kOPkOQ= -1即y1x1 y2x2 = -1即x1x2+y1y2=0 ①

另一方面(x1,y1),(x2,y2)是方程组 x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0 的实数解，

即x1,x2是5x2+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根，∴x1+x2=-2,x1x2=4m-275 ③

又P,Q在直线x+2y-3=0上，∴y1y2=14 (3-x1)(3-x2)= 14 [9-3(x1+x2)+x1x2]

将③代入得y1y2= m+125 ④

将③④代入①知：m=3.

代入方程②检验＞０成立． ∴m=3 圆心坐标为)3,21(，半径为25r

解法二将3=x+2y代入圆的方程知：x2+y2+13 (x+2y)(x-6y)+ m9 (x+2y)2=0, 整理得：(12+m)x2+4(m-3)x y+(4m-27)y2=0由于x≠0可得(4m-27)( yx )2+4(m-3) yx +12+m=0，∴kOP,

kOQ是上方程的两根, 由kOPkOQ= -1知: m+124m-27 =-1, 解得:m=3. 检验知m=3满足. ＞０

∴ 圆心坐标为)3,21(，半径为25r

【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意＞０的检验

练习1：若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)的位置是（B ）

A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、都有可能

变式2、过点（2，1）的直线中，被x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（ A ）

A、3x-y-5=0 B、 3x+y-7=0 C、 x+3y-5=0 D、x-3y+1=0

例2、(优化设计P114例1)已知圆C：,25)2()1(22yx直线)(047)1()12(:Rmmymxml.

（1） 证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；

（2） 求直线被圆C截得的弦最小时的方程.

解 （１）l的方程为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0 ∵mR ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1即l恒过定点Ａ（３，１）．∵圆心Ｃ（１，２），｜ＡＣ｜＝５ ＜５ ∴点Ａ在圆Ｃ内，从而直线l恒与圆Ｃ相交于两点．

（２）弦长最小值时，lＡＣ 由kAC= - 12 , 所以l的方程为2x-y-5=0.

【思维点拨】用直线系方程求点。

若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常采用有分离系数法：

即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与

m的取值无关，故从而解出定点。

练习2：把直线02yx向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（A）

A、3或13 B、-3或13 C、3或-13 D、-3或-13

解：平移后直线032yx，由题意553221，所以3或13

例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A、B，证明直线AB的方程是x0x+y0y=r2

证法一 设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). A、B在已知圆x2+y2=r2上，过A、B的切线方程分别是x1x+y1y=r2 , x2x+y2y=r2

又P是两切线公共点, 即有x1x0+y1y0=r2 , x2x0+y2y0=r2

上面两式表明点A(x1,y1), B(x2,y2)都在二元一次方程x0x+y0y=r2表示的直线上，所以直线AB的方程是x0x+y0y=r2.

证法二以OP为直径的圆的方程为(x- 12 x0)2+(y- 12

y0)2= 14 (x02+y02)即x2+y2 -x0x-y0y=0又圆的方程是x2+y2=r2两式相减得x0x+y0y=r2. 这便是过切点AB直线方程。

【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程

例4、已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和L相切的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0

即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4-4=0

所以圆心为12,11半径为111614122122

依题意有211161645141122解之得1，舍去1，故所求圆的y

x O .P

A

B

方程为x2+y2-x-2y=0。

练习4： 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C )

(A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0

(C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0

备用题：

例5 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点,

且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)

（1）求证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2

(2) 求线段AB中点的轨迹方程

(3)求ΔAOB面积的最小值.

解 依题意得，直线L的方程为 xa +yb =1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1

（1） ∵直线与圆相切, ∴|a+b-ab|a2+b2 =1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①

（2） 设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= 12

(x>1,y>1)

（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=12 |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2(a-2)(b-2) +3=22 +3, 当且仅当a=b=2+2 时，面积有最小值：22 +3.

三、小结

1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。

2.弦长计算问题要用直角三角形。

3．直线系，圆系的应用

四、【布置作业】 优化设计P115