解斜三角形应用举例教学设计
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课题：解斜三角形应用举例（一）
一、教材依据
全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）第五章平面向
量5.10《解斜三角形应用举例》第一课时。
二、设计思想
本节重点利用解斜三角形解决相关实际问题.解斜三角形知识在生产 实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建 模的思想.这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问 题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际 问题的解.强化上述思维过程，既是本节的重点，又是本节难点.
解三角形应用题的另一个难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定 理看成几个“方程“，那么解三角形的应用题实质上就是把已知信息按方 程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的 方程，从而是解题过程简洁.同时，由于具体问题中给出的数据通常是近 似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训 练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求.
三、教学目标
1.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角知识结构:
形的知识解决一些实际问题;
2. 能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定和余弦定理;
3. 通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题,
用数学方法解决实际问题的能力;
4. 使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从
而培养学生学习数学的兴趣.
四、教学重点
利用解斜三角形解决相关实际问题.
五、教学难点
利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题.
六、教学准备
1、教学方法： 启发式、自学辅导法
2、教具:
七、教学过程
1 复习提问正弦定理、余弦定理以及分别用它们解斜三角形的基本情况,
而后指明，实际问题形式多样，简单结论不能概括，提出新的例题引入新
课.
例题一（图） 2新课例题讲解
例题一 CD、设置情境（提出问题）
如上图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的 长度（如图）.已知车厢的最大仰角为60°油泵顶点B与车厢支点A之间 的距离为1.95m, AB与水平线之间的夹角为6° 20' AC长为1.40m,计算
BC的长（保留三个有效数字）.
这是一个应用问题，请同学生们想一想，如何计算?
② 、探索研究
师：什么是最大仰角?
生：最大仰角是车厢立起的最大角度.
师：例题中涉及一个怎样的三角形？在^ ABC中已知什么，要求什么?
生：图中涉及△ ABC，在△ ABC中已知两边和一角，求第三边的长.
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题吗?
③ 、建立数学模型解答
已知△ ABC 的两边 AB= 1.95m, AC= 1.40m,夹角 A= 66° 20'求 BC
的长.
由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结.
解：由余弦定理，得
AB^ - 2-AB ^AC
= r95^+1.40^-2x1.95xl.40xcos66"20*
= 3/751
答：顶杆PC约长1.89m。
如上图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄 CB绕C点旋转时，通过连
杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在 CB位置时，曲柄和连杆成
一条直线，连杆的端点 A在A处，设连杆AB长为340mm,由柄CB长为 85mm,曲柄自CB按顺时针方向旋转80°求活塞移动的距离（即连杆的
端点A移动的距离人丄）（精确到1mm） 师：用实物模型或多媒体动画演示， 让学生观察到B与必重合时，A与人 重合，故■^C = AB+ CB= 425mm,且 人』=—
AC.
②、探索研究
师：通过观察你能建立一个数学模型吗?
生：问题可归结为：已知△ ABC中，BC = 85nun, AB= 34mm,
/ C = 80° 求 AC.
师：如何求AC呢?
生：由已知 ABZC、BC,可先由正弦定理求出/ A,再由三角形内角
和为180°求出/B,最后由正弦定理求出 AC.
②、建立数学模型解答
解：（如图）在^ ABC中，由正弦定理可得:
汕肛空匹沁生02462
AB 340 例题二
CD、设置情境（提出问题） 例题二（图） .fil 解：如图，在△ ABC中由余弦定理得: 因为BC< AB，所以A为税角
A = 14° 15’
••• B = 180°—(A + C)= 85° 45’
又由正弦定理:
“ ^5sin 5 340 xm 85"4? ”/之、
AC = ----------- 二 --------------------- =344 3(mm)
sin C 0.9848 ' '
= (T5 + 5U) —月 C
= (340 十 85)-344 3
= 80.7 角
答：活塞移动的距离为81mm.
3、课时练习
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏
西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方 向航行才能用2小时追上敌舰?
师：你能根据方位角画出图吗?
生：（引导启发学生作图）
师：根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型.
生：例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角
BC，=AC^-^AB^-2^A£^AC-QQSZ3AC
期皿/2x20y)
= 784
；. BC = 28
•••我舰的追击速度为14海里/小时
又在△ ABC中由正弦定理得:
故我舰行的方向为北偏东⑸rcsffl習)
4、总结课时内容
(1)解斜三角形应用题的一般步骤是:
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有
关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型
的解.
④ 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的
解.
即解斜三角的基本思路 AC _ BC
sin S sin A
. * 仍
.. b = arcsin ------ 故十铲晋 (2)解斜三角形应用题常见的几种情况:
②实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中,
次可用正弦定理或余弦定理解之.
②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需
按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解.
③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件
解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.
八、教学反思
本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流, 亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的
“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、 情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的 借鉴。
创设数学情境是“情境.问题•反思•应用”教学的基础环节，教师必须 对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑, 对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
