28.2.2解直角三角形应用举例教学设计

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28.2.2 应用举例

第1课时 解直角三角形的简单应用

1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)

2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.

你能求出车架档AD的长吗？

二、合作探究

探究点：解直角三角形的简单应用

【类型一】 求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.

解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．

解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7m.

答：AB的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计

28.2.2解直角三角形应用（一）

教学时间 课题 解直角三角形应用（一） 课型 新授课

教

学

目

标 知 识

和

能 力 使学生理解直角五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形三角形中．

过 程

和

方 法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

情 感

态 度

价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点 直角三角形的解法．

教学难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学准备 教师 多媒体课件 学生 “预习课文、学习袋、学习用具”

课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图

(一)知识回顾

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系 sinA=ca cosA=cb tanAba

(2)三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

（二） 探究活动

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

3．例题评析

例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=

土城子中学 教学预案

九 年级 数学 学科

课 题 解直角三角形应用举例（1） 设计者 刘文萍 审核者 闫志芬

课 型 问题解决课 授 课

日 期 总编课时 5

教

学

目

标 1学生能够利用解直角三角形的知识解决直角三角形与圆的结合起来的问题

2进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形。

3能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题。

4、通过解决问题逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想。

重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。．

难点 实际问题转化成数学模型。

关键 学会构建直角三角形， 从而利用所学知识把实际问题解决。．

教学方法 引导、点拨、归纳 学 习

方 法 自主 探究

教 学 过 程

教 学 过 程 设 计

一、 旧知回顾（5分钟）

2、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55º．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（ ）

A．500in55°米 B．500co55°米

C．500tan55°米 D．500cot55°米

二、 学习新知：（20分）

探究1：例3 2022年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地球表面343m的圆形轨道上运行如图,当飞船运行到地球表面上，结果取整数

变式练习：如图：已知FQ=√3 ，OQ=1，求扇形这栋高楼

有多高结果精确到 1、讲清仰角、俯角概念

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

2、变式练习：

三、自主探究例题（10分）

数学人教版九年级下册28.2解直角三角形的应用举例教案

一、教学内容

本节课依据数学人教版九年级下册第28章第2节“解直角三角形的应用举例”进行设计。教学内容主要包括以下两个方面：

1. 利用锐角三角函数解直角三角形：回顾正弦、余弦、正切的概念，并通过实际问题的引入，让学生掌握如何运用这些三角函数求解直角三角形的未知边长和角度。

2. 应用举例：结合实际情境，举例说明如何应用解直角三角形的知识解决一些简单实际问题，如测量高度、计算距离等。通过这些例子，使学生感受数学在生活中的应用，提高学生解决问题的能力。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：

1. 培养学生的逻辑推理能力：通过解直角三角形的实际应用，让学生掌握运用锐角三角函数解决问题的方法，提高学生逻辑推理和数学论证的能力。

2. 提升学生的空间想象力：通过实际情境的创设，让学生在解决直角三角形问题时，能够形象地构建几何图形，发展学生的空间想象力。

3. 增强学生的应用意识：结合生活实例，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。

这些核心素养目标与新教材的要求相符，有助于学生全面提高数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解和掌握锐角三角函数的定义及其在解直角三角形中的应用。

- 学会使用正弦、余弦、正切函数解决实际问题中的直角三角形边长和角度的求解。

- 能够将实际问题转化为数学模型，运用解直角三角形的知识进行解决。

举例解释：

- 通过具体案例，如测量树的高度、建筑物的高度等，强调正弦函数在求解对边与斜边的比值中的应用。

- 以实际情境为例，如计算两地之间的距离，演示余弦函数在求解邻边与斜边的比值中的作用。

- 结合实际问题，如确定方向角，引导学生使用正切函数求解直角三角形中的角度。

2. 教学难点

- 理解并内化锐角三角函数的概念，特别是对于函数值在不同象限的正负判断。