高一7-1向量概念、加减运算知识梳理、经典例题、课后练习带答案

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1 环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：

学 员 编 号 ： 年 级 ：高一 课 时 数 ：3

学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：

课 题

授课日期及时段

教 学 目 的

重 难 点

【考纲说明】

1、理解平面向量的概念和几何表示，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示.

2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算.

3、本部分在高考中占5分.

【趣味链接】

1、向量最初被应用于物理学，被称之为矢量。很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量.

2、大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.

3、大陆与台湾在2008年12月25日开通了直航，在此之前乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.

【知识梳理】

一、 向量的基本概念与线性运算

1、向量的概念

（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

（2）零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行.

（3）单位向量：模为1个单位长度的向量，常用e表示．

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2 （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a∥b，平行向量也称为共线向量

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为ba，大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx.

（6）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作a,零向量的相反向量仍是零向量.

若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0.

2、向量的线性运算

（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.

（2）向量的减法 ：求向量a加上b的相反向量的运算叫做a与b的差．

向量的减法有三角形法则，ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）.

（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a的积的运算，记作λa．

①aa；

②当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反； 当0时，0a，方向是任意的.

③数乘向量满足交换律、结合律与分配律.

二、平面向量的基本定理与坐标表示

1、平面向量的基本定理

如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2、平面向量的坐标表示

（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.显然0=（0,0），(1,0)i，(0,1)j．

（2）设OAxiyj.则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若OA=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立

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3 EFDCBA（O是坐标原点）．

3、平面向量的坐标运算

（1）若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy．

（2）若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy，221212()()ABxxyy．

（3）若a=(x,y)，则a=(x, y)．

（4）若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy．

（5）若1122,,,axybxy，则1212abxxyy．

【经典例题】

【例1】（2010全国）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CBa，CAb，1,2ab，则CD=（ ）

A.1233ab B.2133ab C.3455ab D.4355ab

【例2】（2009湖南）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

A．0ADBECF B．0BDCFDF

C．0ADCECF D．0BDBEFC

【例3】（2009全国）设非零向量a、b、c满足cbacba|,|||||，则ba, （ ）

A．150° B.120° C.60° D.30°

【例4】（2012辽宁）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（ ）

A．a∥b B．a⊥b C．{0,1,3} D．a+b=ab

【例5】(2009广东)已知平面向量a=,1x（），b=2,xx（－），则向量ab ( )

A. 平行于x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线

C. 平行于y轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线

【例6】（2012浙江）设a,b是两个非零向量，以下说法正确的是（ ）

A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b

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4 B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb

D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

【例7】若向量,2,2,()abababa 满足，则向量ba与的夹角等于 .

【例8】已知平面上的向量PA、PB满足224PAPB,2AB，设向量2PCPAPB，则PC的最小值是 .

【例9】（2009湖南）已知向量(sin,cos2sin),(1,2).ab

（1）若//ab，求tan的值；（2）若||||,0,ab求的值。

【例10】已知A、B、C分别为ABC△的三边a、b、c所对的角，向量)sin,(sinBAm，)cos,(cosABn，且Cnm2sin.

（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若Asin，Csin，Bsin成等差数列，且18)(ACABCA，求边c的长.

【课堂练习】

1、（2012重庆）设,xyR,向量4,2,,1,1,cybxa,且cbca//,,则ab （ ）

A．5 B．10 C．25 D．10

2、（2009浙江）已知向量(1,2)a，(2,3)b．若向量c满足()//cab，()cab，则c（ ）

A．77(,)93 B．77(,)39 C．77(,)39 D．77(,)93

3、（2009全国）已知向量2,1,10,||52aabab，则||b( )

A. 5 B. 10 C. 5 D. 25

4、（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC ( )

A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直

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5 5、 在ABCBCABABC则已知向量中),27cos2,63cos2(),72cos,18(cos,的面积等于（ ）

A．22 B．42 C．23 D．2

6、（2007海南）已知平面向量(11)(11)，，，ab，则向量1322ab （ ）

A．(21)， B．(21)， C．(10)， D．(12)，

【课后作业】

1、（2008广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（ ）

A．1142ab B．2133ab C．1124ab D．1233ab

2、（2012安徽）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)OP,将向量OP按逆时针旋转34后,得向量OQ则点Q的坐标是（ ）

A．(72,2) B．(72,2) C．(46,2) D．(46,2)

3、（2009辽宁）平面向量a与b的夹角为060，(2,0)a，1b 则2ab( )

A. 3 B. 23 C. 4 D. 2

4、 已知平面向量(3,1),(,3),//,abxabx则等于（ ）

A．9 B．1 C．－1 D．－9