《向量的概念及运算》课件

向量的概念及线性运算

考纲要求

1. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

2. 理解向量的几何表示。

3. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

一、必备知识

1.向量的相关概念

（1）向量的定义：既有 又有 的量叫做向量。

（2）向量的长度：表示AB的 长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模， 的向量叫做零向量，记作0，

的向量叫做单位向量。

（3）平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量。规定：0与任何向量平行，平行向量也叫 。

（4）相等向量： 的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作ba.

(5)相反向量： 的向量叫做相反向量。

2.向量的线性运算

向量

运算 定义 法则（或几何意义） 运算律

加

法

减

法

数

乘

3.共线向量定理

向量)0(aa与b共线的充要条件是存有唯一一个实数，使得 。

二、必记结论

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即nnnAAAAAAAAAA11433221，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。

2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则)(21OBOAOP

3.若A、B、C是平面内不共线的三点，则

（1）的重心。为ABCPPCPBPA0

（2）的重心。为ABCGPCPBPAPG)(31

4.证明三点A、B、C共线，借助向量，只需证明由这三点A、B、C所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使得(0)abb。

三、题型归纳

（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。）

1 精锐教育学科教师辅导教案

学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：张杰

课程主题：向量的概念与运算 授课时间：2017年9月1日

学习目标 1．掌握并灵活运用向量的概念；

2．会求各种类型的向量运算问题．

教学内容

1．已知Nnnan1123，则数列na的最小项和最大项分别为．

2．已知数列na满足：1a为正整数，为奇数为偶数nnnnnaaaaa1321，如果11a，则20164321aaaaa．

3．数列na与nb的通项公式分别为14nan，23nbn，它们的公共项由小到大排成的数列是nc，则nc的通项公式为．

4．等差数列na的前m项和为30，前m2项和为100，则它的前m3项和为．

2 5．已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nA和nB，且3635nnBAnn，则使得nnba为整数的个数是．

向量的概念

向量的概念与运算

向量的加减运算

向量的数乘运算

1、向量的概念

平面向量的相关概念：

（1） 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

（2） 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；

（3） 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；

（4） 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

（5） 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；

（6） 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．

【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由：

（1）共线向量一定在同一条直线上． （

）

（2）所有的单位向量都相等． （ ）

向量的概念与运算

本周教学内容：

1. 向量的概念；

2. 向量的运算(加法、减法、数乘).

学习要求：

1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；

2. 掌握向量的加法与减法；

3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；

4. 了解平面向量的基本定理.

教学重难点：

1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；

2. 对向量的加法和减法的定义的理解；

3. 实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件.

知识要点：

一、向量的概念

1. 向量的基本概念：

向量：既有大小、又有方向的量.

向量的二要素：大小、方向.

有些向量与起点有关，如位移、力等，有些向量与起点无关，如速度等. 与起点无关的向量叫做自由向量，数学中所谈及向量如无特别说明，均指自由向量.

2. 向量的表示：(1)几何表示法：用有向线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向线段的起点和终点，起点在前，终点在后，或者用英文小写字母，并在字母上加箭头表示，如等.

注意：手写体均需要加箭头. 打印字体中向量一般用黑体来表示.

3. 向量的相关概念：

模：向量的大小称为模. 的模分别记为

零向量：模为零的向量叫做零向量，规定：零向量的方向是任意的.

单位向量：模为一个单位长度的向量叫做单位向量.

相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，则记为，规定：零向量和零向量相等，即

相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量记为.规定：零向量的相反向量是零向量，即

平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，则记为 由于数学中所研究向量与起点无关，于是可以将平行向量平移到同一条直线上，于是平行向量又叫做共线向量. 规定：零向量和任意向量平行.

平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

1、向量的有关概念（向量、零向量、单位向量、相等向量、相反向量）

2、向量的线性运算

向量运算 定义 法则 运算律

加法

求向量a与b的和的运算 （1）交换律：

ba_________

（2）结合律：

cba______

减法 求向量a与b的相反向量b的和的运算

数乘

求实数与向量a的积的运算 （1）aa

（2）当0时；a与a的方向相同；当0时；a与a的方向相反：当0时；0a a__________

a_______

ba________

3、平行向量（共线向量）定理

向量0aa与向量b共线，当且仅当有唯一一个实数A，使ab

4、平面向量基本定理及坐标表示

（1）平面向量基本定理

如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，____________一对实数1、2，使a=________________

其中，不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内的所有向量的一组_________

（2）平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个______________的向量，叫做把向量正交分解

（3）在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个基本向量ji,作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数yx,使yjxia。这样，平面内的任意向量a都可由yx,唯一确定，把有序实数对yx,叫做向量a的坐标，记作yxa,，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。

5、向量的坐标运算及向量共线的坐标表示

（1）坐标表示 若21,xxa，21,yyb，则ba______________