高一向量知识点+例题

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向量知识点

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC

（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差。

③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6、平面向量基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2

二.平面向量的坐标表示 ji,分别为与x轴，y轴正方向相同的单位向量

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

（1）若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy

（2）若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy

（3）若a=(x,y)，则a=(x, y) （4）若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy

（4）若1122,,,axybxy，则1212abxxyy ，若ab，则02121yyxx

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积） 规定00a

2向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：22||aaaa

5乘法公式成立：

2222abababab； 2222abaabb222aabb

6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则a·b=1212xxyy 3

8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,

OB=b,则∠AOB= （001800）叫做向量a与b的夹角

cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b

10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝O02121yyxx平面向量数量积的性质

11、向量的三角不等关系bababa

注意取等条件（共线）

例题。

例1。已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）。设cCA,bBC,aAB且b2CN,c3CM；

（1）求c3ba3；职 （2）求满足cnbma的实数m,n的值；

（3）求M，N的坐标及向量MN；

例2。已知bkabkb,12|b|,5|a|与互相垂直， 则k？

例3。已知AD，BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，且bBE,aAD则BC=？

例4。已知baba,13|ba|,2|b|,3|a|与求的夹角。

4

例5。已知|b||a|,8|b|,4|a|与夹角是1500；

计算：（1）)ba2)(b2a(； （2）|b2a4|；

练习：1 已知向量1(3,2),(5,1),2OMONMN则等于（ ）

A．)1,8( B．)1,8( C．)21,4( D．)21,4(

2 已知向量(3,1),(1,2),ab则32ab的坐标是（ ）

A．)1,7( B．)1,7( C．)1,7( D．)1,7(

3 已知(1,3),(,1),abx且a∥b，则x等于（ ）

A．3 B．3 C．31 D．31

4 若(3,4),(5,12),ab则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．6563 B．6533 C．6533 D．6563

5 若4,6mn，m与n的夹角是135，则mn等于（ ）

A．12 B．212 C．212

D．12

6.已知,2,3,32abababab且与垂直，则等于

7已知等边三角形ABC的边长为1，则ABBC

8.设12ee、是两个单位向量，它们的夹角是60，则1212(2)(32)eeee

1.已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，(2,)OAm，(,1)OBn，(5,1)OC，且OAOB，求实数m，n的值．

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2.已知4,5,abab与的夹角为60，求3ab

3 平面向量(3,,4),(2,),(2,),abxcy已知a∥b，ac，求bc、及bc与夹角

4．已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：

（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.

5．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD→.

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6．设a＝（cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb(t∈R)

求（1）a·b；（2）u的模的最小值.

7．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP→＝OA→＋tAB→

求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

8．已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.

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一、选择题

1.已知两点3,2M，5,5N，12MPMN，则P点坐标是 （ ）

A．8,1 B．31,2 C．31,2 D．8,1

2．下列向量中，与向量(1,1)a平行的向量是 （ ）

A．(0,2)b B．(2,0)c C．(2,2)d D．(2,2)f

3．a(2,1)，b3,4，则向量a在向量b方向上的投影长度为 （ ）

A．25 B．2 C．5 D．10

4．在三角形ABC中，C=450， a=5 ,b=4, 则CABC （ ）

A．102 B．202 C．210 D．-202

5．已知baba,),5,2(),3,(的夹角为钝角，则的范围是 （ ）

A．215 B．215 C．56 D．56

6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s，则鹰飞行的速度为 （ ）

A．20m/s B．3380m/s C．20m/s D．80m/s

7．O为平面中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（OAOP）·（ACAB）

=0，则点P的轨迹一定过△ABC的 （ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

8.已知OAa,OBb，C为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上据C较近的一个三等

分点用,ab表示OD的表达式为 （ ）

A.4a5b9 B.9a7b16 C.2ab3 D.3ab4

9．已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且ABPCPBPA，则点P与ABC

的位置关系是 （ ）