2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《圆的方程》

8.4 圆的方程一、选择题1．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的曲线关于x ＋y ＝0成轴对称图形，则( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＋F ＝0 C ．E ＋F ＝0D ．D ＋E ＋F ＝0答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 解析：由题意知∠POQ ＝2π3，∴Q 点为(－12，32)．答案：A3．(·合肥调研)过点A (1，－1)、B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案：C4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案：D 二、填空题5．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为________． 答案：16．过两圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝10，C 2：(x ＋2)2＋(y －7)2＝12，交点所在的直线方程为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，x 2＋y 2＋4x －14y ＋41＝0，两式相减得12x －4y ＋10＝0，即6x －2y ＋5＝0.答案：6x －2y ＋5＝07．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 解析：由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题8．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.解答：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.∴圆心为C (7，－3)．又|CB |＝65， 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③ 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8. 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.9．已知圆满足①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55.求该圆的方程．解答：设所求圆心为P (a ，b )，半径为r ，则圆心到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，又圆被x 轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1，∴劣弧所对圆心角90°，故r ＝2b ，即r 2＝2b 2，∴2b 2－a 2＝1① 又∵P (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为55， 得|a －2b |5＝55，即a －2b ＝±1.②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1，于是r 2＝2b 2＝2，所以，所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.10．如图，已知点P 到两个定点M (－1,0)，N (1,0)的距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程． 解答：设P 点坐标为(x ，y )，根据已知条件可得|PM |∶|PN |＝ 2.即(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①设PM 的方程为y ＝k (x ＋1)，即k x －y ＋k ＝0. 由N 到PM 的距离为1得|k －0＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.∴y ＝33(x ＋1)，② 或y ＝－33(x ＋1)．③解①②联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝3＋1，或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝3－1，解①③联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝－3－1， 或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝1－ 3.∴P 点坐标为(2＋3，3＋1)、(2－3，3－1)、(2＋3，－3－1)、(2－3，1－3)． 因此所求直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. ★选做题1．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：B2．(·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程．(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无数多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． 解答：(1)由于直线x ＝4与圆C 1没有交点，则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即k x －y －4k ＝0，圆心C 1到直线的距离为d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1.由已知条件：d 2＝1，即(7k ＋1)2k 2＋1＝1.整理得48k 2＋14k ＝0，解得k ＝0，或k ＝－724.所求直线方程为y ＝0，或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，即k x －y ＋b －a k ＝0，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )，即x ＋k y －a －k b ＝0.根据已知条件得|－3k －1＋b －k a |k 2＋1＝|4＋5k －a －k b |1＋k 2，去绝对值整理得(a ＋b －2)k ＋(a －b －3)＝0或(a －b ＋8)k －(a ＋b －5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0a －b －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0.解得⎩⎨⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32b ＝132.所以满足条件的点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫52，－12或⎝⎛⎭⎫－32，132.。

核心素养提升练十九圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·南昌模拟)已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )A.x2+y2=2B.x2+y=C.x2+y2=1D.x2+y2=4【解析】选A.AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.2.(2019·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a 的取值范围是( )A.B.∪(1,+∞)C.D.∪[1,+∞)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,所以-<a<1.3.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.1+B.2C.1+D.2+2【解析】选A.由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+.【变式备选】设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6B.4C.3D.2【解析】选B.如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.4.方程|y|-1=表示的曲线是( )A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆【解析】选D.由已知,|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心,1为半径,直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆.5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积时,该圆的圆心的坐标为( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,r max==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).【变式备选】当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为( )A. B.C. D.【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2,若表示圆,则4-k2>0,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.6.(2018·九江模拟)已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线(A,B是切点),C是圆心,那么四边形PACB的面积的最小值是( )A. B. C. D.【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,则C(1,1),当|PC|最小时,四边形PACB的面积最小,|PC|min==2,此时|PA|=|PB|=.所以四边形PACB的面积S=2×××1=.7.(2018·吉大阴中模拟)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0) (t>0),若圆C上存在点P,使得·=0,则t的最小值为( )A.3B.2C.D.1【解析】选D.由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆,当两圆外切时有=t min+1⇒t min=1,即t的最小值为1.【变式备选】(2018·岳阳模拟)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.【解析】设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆,又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-1,y+),所以|++|=.问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.因为圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,所以的最大值为+1.答案: +1二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·郑州模拟)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为________.【解析】圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=59.(2019·伊春模拟)设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P,则直线AB的方程是【解析】x2+y2-4x-5=0,所以圆心为C ,因此k CP==1 ,所以k AB=-1,AB:y-1=-,x+y-4=0.答案:x+y-4=010.经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程为__________.【解析】方法一(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.方法二(直接法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.因为弦的垂直平分线过圆心,所以由得即圆心坐标为(4,-3),半径为r==5,所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.答案:(x-4)2+(y+3)2=25(20分钟40分)1.(5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1,由点斜式得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.2.(5分)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的标准方程为( )A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1【解析】选C.到两直线3x-4y=0和3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得所以圆M的圆心坐标为(-3,-1),又两平行线之间的距离为=2,所以圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.3.(5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________. 【解析】设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0), =(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6,即·的最大值为6.答案:6【一题多解】设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1, =(2,0), =(x+2,y),所以·=2x+4,所以·的最大值为6.答案:6【变式备选】已知圆O:x2+y2=1的弦AB长为,若线段AP是圆O的直径,则·=________;若点P为圆O上的动点,则·的取值范围是________.【解析】因为圆O:x2+y2=1的弦AB长为,且线段AP是圆O的直径,所以∠PAB=45°,则·=2××=2.不妨设A,B,P(x,y),且-1≤y≤1,则·=·(0,-)=- y+1∈[-+1, +1].答案:2 [-+1, +1]4.(12分)(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,经过函数f(x)=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程.(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得,其图象与两坐标轴的交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),将交点坐标代入圆的方程得解得所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.(2)由(1)知圆心坐标为,-,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.5.(13分)已知圆O:x2+y2=1,点A(-1,0),点B(1,0).点P是圆O上异于A,B的动点.(1)证明:k AP·k BP是定值.(2)过点P作x轴的垂线,垂足为Q,点M满足2=-,求点M的轨迹方程C.(3)证明:k AM·k BM是定值.【解析】(1)由已知,直线AP,BP斜率存在,AB是圆O的直径,所以AP⊥BP,所以k AP·k BP=-1是定值.(2)设P(m,n),M(x,y),则Q(m,0), =(0,-n), =(x-m,y-n),因为2=-,所以2(0,-n)=-(x-m,y-n),即即①因为点P在圆O上,所以m2+n2=1,②将①代入②得,x2+=1,又点P异于A,B,所以x≠±1,即点M的轨迹方程C为x2+=1(x≠±1).(3)由已知,直线AM,BM斜率存在,k AM=,k BM=,由(2)知x2-1=-,所以k AM·k BM=·==-9,即k AM·k BM是定值.。

9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。

§9.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件． 3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )(5)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) 题组二 教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1B ．0<a <1C．a>1或a<－1 D．a＝±4答案 A解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选A.题型一 圆的方程例1 (1)已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. (2)(2018·鞍山模拟)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为____________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 方法一 所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )． 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝(a －b －3)22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ， ∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ， 即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为_____________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.题型三 与圆有关的最值问题例3 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 C解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C.4．(2018·锦州调研)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.6．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________. 答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2. 12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线， 连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1， |CQ |＝|5＋3|2＝42， 则|QM |的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________． 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________． 答案 2 2 解析x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.15．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号，故选C. 16．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C 的方程．解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

听课正文 第50讲 圆的方程1.圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准 方程(r>0)圆心 ,半径一般 方程(D 2+E 2-4F>0)圆心为-D 2,-E 2,半径为12√D 2+E 2-4F2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)的位置关系:(1)若M (x 0,y 0)在圆外,则 . (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则 . (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则 . 常用结论常见圆的方程的设法:标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点 x 2+y 2=r 2x 2+y 2-r 2=0过原点 (x-a )2+(y-b )2=a 2+b 2x 2+y 2+Dx+Ey=0圆心在 x 轴上(x-a )2+y 2=r 2x 2+y 2+Dx+F=0圆心在y 轴上x 2+(y-b )2=r 2x 2+y 2+Ey+F=0与x 轴 相切(x-a )2+(y-b )2=b 2x 2+y 2+Dx+Ey+14D 2=0与y 轴 相切(x-a )2+(y-b )2=a 2x 2+y 2+Dx+Ey+14E 2=0题组一 常识题1.[教材改编] 若点(5a+1,12a )在圆(x-1)2+y 2=1的内部,则实数a 的取值范围是 .2.[教材改编]已知A(3,4),B(-5,6),则以线段AB为直径的圆的方程是.3.[教材改编]圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.题组二常错题◆索引:忽视表示圆的条件D2+E2-4F>0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围.4.若方程x2+y2-mx+y+m2=0表示一个圆心在y轴右侧的圆,则实数m的取值范围是.5.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为.6.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为.探究点一圆的方程的求法例1(1)[2018·伊春二中月考]过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4(2)经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为.[总结反思]求圆的方程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.变式题 (1)在△ABC 中,已知A (0,3),B (4,0),若直线l :8x-6y-7=0与线段AB 交于点D ,且D 为△ABC 的外心,则△ABC 的外接圆的方程为 .(2)圆心为直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点,且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是 .探究点二 与圆有关的最值问题微点1 斜率型最值问题例2 (1)[2018·深圳三模] 已知x ,y 满足x 2+y 2-4x-2y-4=0,则2x+3y+3x+3的最大值为 ( )A .2B .174 C .295 D .134√13 (2)[2018·抚州临川一中月考] 点M (x ,y )在圆x 2+(y-2)2=1上运动,则xy 4x 2+y 2的取值范围是( )A .(-∞,-14]∪[14,+∞) B .(-∞,-14]∪[14,+∞)∪{0} C .[-14,0)∪(0,14] D .[-14,14][总结反思] 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.求形如k=y-bx-a 的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a ,b )和(x ,y )的直线斜率的最值问题.微点2 截距型最值问题例3 (1)已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2+4y-1=0,则√2x+y 的最大值是 ,最小值是 .(2)已知P (x ,y )在圆(x-1)2+(y-1)2=5上运动,2x+ay (a>0)的最大值为8,则其最小值为 .[总结反思]若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by 代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由Δ≥0求得u的范围,进而求得最值.微点3距离型最值问题例4(1)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为()A.4B.6C.3√2+1D.1+√10(2)已知动点P(x,y)满足x2+y2-|x|-|y|=0,O为坐标原点,则√x2+y2的最大值为.[总结反思]若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把(x-a)2+(y-b)2看作是点(a,b)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解.微点4利用对称性求最值例5已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A出发,经x轴反射到圆C上的最短路程的长是()A.6√2-2B.8C.4√6D.10[总结反思]求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.应用演练1.【微点3】圆x2+y2-4x-4y+6=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是()A.2√2,√2B.3√2,√2C.4,2D.4√2,2√22.【微点3】已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为()A.2-√22B.2±√22C.3-√22D.3±√223.【微点4】已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-2)2=14上的点,则|PM|-|PN|的最大值为()A.4B.92C.112D.74.【微点2】若实数x,y满足x2+y2+8x-6y+16=0,则x+y的最小值为.5.【微点1】P(x,y)是圆(x-4)2+y2=4上的点,则yx的取值范围是.6.【微点3】[2018·浙江五校联考]已知圆C:x2+(y+1)2=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥π2,则|EF|的最小值是.探究点三与圆有关的轨迹问题例6(1)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π(2)[2018·合肥二模]圆C过点M(5,2),N(3,2)且圆心在x轴上,点A为圆C上的点,O为坐标原点,连接OA,延长OA到P,使得|OA|=|AP|,则点P的轨迹方程为.[总结反思]与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.变式题(1)已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,则P点的轨迹方程是()A.(x+2)2+y2=4(y≠0)B.(x+1)2+y2=1(y≠0)C.(x-2)2+y2=4(y≠0)D.(x-1)2+y2=1(y≠0)(2)已知圆M的圆心在直线x-2y+4=0上,且与x轴交于两点A(-5,0),B(1,0).又D(-3,4),点P在圆M上运动,则以AD,AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q的轨迹方程为.。

课后限时集训（四十五）圆的方程(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．若方程（2m2＋m－1）x2＋（m2－m＋2）y2＋m＋2＝0的图形表示一个圆，则实数m等于（)A．3 B．－3C．1 D．－1B［由题意得2m2＋m－1＝m2－m＋2，所以m＝－3或m＝1。

当m＝1时,原方程为2x2＋2y2＋3＝0，不能表示圆；当m＝－3时，原方程为x2＋y2＝错误!,该曲线表示圆．故选B．］2．动点P与定点A(－1,0），B（1,0)的连线的斜率之积为－1，则点P的轨迹方程是（）A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1（x≠0)C．x2＋y2＝1（x≠±1)D．y＝错误!C［设P（x，y),由题意可知k PA·k PB＝－1，即错误!·错误!＝－1（x≠±1），∴y2＋x2＝1（x≠±1）．故选C。

]3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( ）A．1＋错误!B．2C．1＋错误!D．2＋2错误!A［由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1）2＝1，则圆心坐标为（1，1),半径为1，所以圆心到直线的距离为错误!＝错误!,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋错误!,故选A.］4．已知三点A(1,0），B(0，3)，C(2，错误!)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（) A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!B［设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则错误!解得错误!即圆的方程为x2＋y2－2x－错误!y＋1＝0.∴△ABC外接圆的圆心为错误!，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为错误!＝错误!.］5．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是（)A．(x＋1）2＋y2＝2 B．(x＋1）2＋y2＝8C．（x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8A[直线x－y＋1＝0与x轴的交点为（－1,0）．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0）．因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离,即r＝d＝错误!＝错误!,则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.]二、填空题6．若不同的四点A（5，0)，B（－1,0）,C（－3，3），D（a,3)共圆，则a的值为________．7［设过A,B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。

专题48圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.基础知识融会贯通圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.重点难点突破【题型一】圆的方程【典型例题】一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，则，解得，．∴圆的标准方程为．故选：D．【再练一题】方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0变形为：（x+2m）2+（y﹣1）2＝4m2+1﹣5m，若其表示圆，则有4m2+1﹣5m＞0，解可得：m或m＞1，即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；故选：C．思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【题型二】与圆有关的最值问题【典型例题】已知方程，则x 2+y 2的最小值是 ．【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（﹣1，0）为圆心，半径r的圆，设t，则t 的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t ≤1，即t ，即t 的最小值为，则x 2+y 2的最小值是； 故答案为：【再练一题】在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：（x ﹣k ）2+（y +k ﹣4）2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2+y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝ ．【解答】解：根据题意，圆C 1：（x ﹣k ）2+（y +k ﹣4）2＝1的圆心为（k ，4﹣k ），半径r ＝1，则圆心在直线y ＝﹣x +4上，点P 为圆C 1上任意一点，过点P 作圆C 2：x 2+y 2＝1的一条切线，切点为Q ， 当C 1C 2的连线与直线y ＝﹣x +4垂直时，线段PQ 长最小，此时有1，解可得：k ＝2； 故答案为：2．思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【题型三】与圆有关的轨迹问题【典型例题】设P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2＝28 B ．（x +2）2+y 2＝7 C ．（x +2）2+y 2＝28D ．（x ﹣2）2+y 2＝7【解答】解：∵P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝2，|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PQ |＝|F 1Q |＝2，∴Q 的轨迹是以F 1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝28． 故选：C ．【再练一题】设定点F （1，0），动圆D 过点F 且与直线x ＝﹣1相切．则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＝4yB ．x 2＝2yC ．y 2＝4xD ．y 2＝2x【解答】解：因为动圆C 过定点F （1，0），且与定直线l ：x ＝﹣1相切，所以由抛物线定义知：圆心C 的轨迹是以定点F （1，0）为焦点，定直线l ：x ＝﹣1为准线的抛物线， 所以圆心P 的轨迹方程E 为：y 2＝4x ； 故选：C ．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．基础知识训练1．【西安市2019届高三年级第一次质量检测】若直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=无交点，则点(,)P b a与圆C 的位置关系是（ ） A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．不能确定【答案】C 【解析】直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=1>，即221a b +<，∴点(),P b a 在圆C 内部. 故应选C.2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】圆22430x y x +−+=关于直线3y x =对称的圆的方程是（ ） A．(()2211x y +−=B ．()2221x y +−= C ．()2211x y +−= D ．()(2211x y −+=【答案】D 【解析】由题意得，圆22430x y x +−+=方程即为()2221x y −+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1． 设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则123222b a b a ⎧⋅=−⎪⎪−⎨+⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y −+=．故选D ．3．【广东省2019年一月普通高中学业水平考试】已知圆C 与y 轴相切于点()0,5，半径为5，则圆C 的标准方程是( )A ．()()225525x y −+−= B ．()()225525x y ++−=C ．()()22555x y −+−=或()()22555x y ++−= D ．()()225525x y −+−=或()()225525x y ++−= 【答案】D 【解析】由题意得圆C 的圆心为()5,5或()5,5−，故圆C 的标准方程为()()22x 5y 525−+−=或()()22x 5y 525++−=.故选D.4．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】直线l 是圆224x y +=在(−处的切线，点P 是圆22430x x y −++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D 【解析】圆224x y +=在点(−处的切线为:4l x −+=，即:40l x −+−=， 点P 是圆22(2)1x y −+=上的动点，圆心(2,0)到直线:40l x −+=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d −=−=．故选：D ． 5．【北京市房山区2019届高三上学期期末考试】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】设M （x ，y ），P （a ，b ） 由B （6，0），M 是AP 的中点 故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点，∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4， 整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1．△为坐标原点）为直角三角形，若，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为 ,故两圆相交，故M 有两个；若，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若，这样的M 点不存在，故使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个 故选：C.6．【闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于AB 、两点，分别过AB 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)−，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++−=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(2)26x y +++=D ．22(1)(2)2x y ++−=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =−设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my −−= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '−，()21,B y '−，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y −⨯−+−−= ()12121030y y y y ⇒−++= 即101240m −+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m −，即()1,1−=∴圆的方程为：()()22115x y ++−=本题正确选项：A7．【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】已知圆M ：16)6()6(22=−+−y x ，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为,N O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为（ ）A ．12B ．6C ．D ．【答案】A 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边OM =N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，直线OM 的方程为0x y −=，点()7,5到直线OM=，所以N 到直线OM 的距离的最大值为故OMN ∆的面积的最大值为1122⨯=. 8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】过双曲线的右支上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 设双曲线的左右焦点为，连接，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．9．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)】已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】如图所示，由几何图形易知点M的坐标为有最小值，其面积为：.故选：A.10．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P满足PA PB=，当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ） A ．12x x BC．3D．3【答案】A 【解析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),||||PA PB == ， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +−+=⇒−+= ，当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大， 此时面积为122⨯⨯=故选：A11．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知圆，圆分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由圆，圆，可知圆圆心为，半经为1，如图， 圆圆心为，半经为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交，则为满足使最小的点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，与圆的交点，最小值为，而，的最小值为，故选A.12．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线(0)y kx k =>关于y 轴对称，则k 的最小值为（ ）A ．3B C ．D ．【答案】D 【解析】圆C 经过()()0,1,0,3，∴圆心在()()0,1,0,3的垂直平分线2y =上，又圆C 与x 轴正半轴相切，∴圆的半径为2，设圆心坐标为()00,2,0x x >，由()220234x +−=得0x =，∴圆心坐标为)，设OM 的斜率为0k ，因为0k >，所以00k <， 当0k 最大时k 最小，设0:OM y k x =（00k <），由图可知当0y k x =与圆相切时0k 最大，2=，解得0k =−，此时k =， 即k的最小值为 D.13．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】已知圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0，过点P （1，﹣1）可作圆的两条切线，则实数k 的取值范围是_____．【答案】,10,33⎛⎫⎛⎫−−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】解：因为方程x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0表示一个圆， 所以222240k k +−>，解得：33k −<<∵过点P （1，﹣1）可作圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0的两条切线， ∴P （1，﹣1）在圆的外部， 则12+（﹣1）2+k ﹣2+k 2＞0， 即k 2+k ＞0，解得k ＜﹣1或k ＞0．由3310k k k ⎧−<<⎪⎨⎪⎩＜﹣或＞可得：13k −<<−或03k << ∴实数k的取值范围是,10,33⎛⎫⎛⎫−−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：,10,33⎛⎫⎛−−⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭14．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆C 经过点(1,3),(2,2)A B ，并且直线:320m x y −=平分圆C ，则圆C 的方程为________________. 【答案】22(2)(3)1x y −+−=【解析】由题意，线段AB 的垂直平分线方程为：5322y x −=−， 即10x y −+= ，联立10320x y x y −+=⎧⎨−=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩则圆心C 为(2,3)，圆C 的半径1r ==故所求圆的方程为22(2)(3)1x y −+−=15．【湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1 【解析】 ∵点在椭圆上运动，，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.16．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点M (1，0) ．若在圆O 上存在点A ，在圆C ：2227()((0)2x y r r −+=>上存在点B ，使得△MAB 为等边三角形，则r 的最大值为____． 【答案】8 【解析】圆()2227:+022C x y r r ⎛⎫⎛⎫−+=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7,22C ⎛⎫⇒− ⎪ ⎪⎝⎭ 由题意可知：13MA ≤≤，5MC == 又55r MB r −≤≤+且MA MB =若r 最大，则MA 需取最大值3，且M 在圆C 内部 可得()2,0A −，又MA 与MB 成角为60设(),B x y ，则直线MB所在直线方程为：)1y x =− 又9MB ==解得：122x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或522x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩（舍）1,22B ⎛⎫⇒− ⎪ ⎪⎝⎭时r 取最大值max8r ⇒=== 本题正确结果：817．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试】已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =−上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B. （1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +−=（2）见证明 【解析】解：（1）解：当M 的坐标为(0,1)−时，设过M 点的切线方程为1y kx =−，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=−⎩消y 得2440x kx −+=. (1)令2(4)440k ∆=−⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +−=．（2）证明：设0(,1)M x −，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x −=−即2111124y x x x =−，切线MB 的方程为2222()42x x y x x −=−即2221124y x x x =−．又因为切线MA 过点0(,1)M x −，所以得201111124x x x −=−. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x −，所以得202211124x x x −=−. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x −=−的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =−．因为2110(,1)4x MA x x =−+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =−+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=−−+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=−+++++−+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =−代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．18．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A −，(1,2)B ．（Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程； （Ⅱ）求圆C 的标准方程；（Ⅲ）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】（Ⅰ）1y x =−+；（Ⅱ）22(1)4x y −+=；（Ⅲ）0x =或3480x y +−=. 【解析】解：（Ⅰ） 设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=−，得1CD k =−. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =−+.(II ) 设圆C 的标准方程为222()x a y r −+=，其中(,0)C a ，半径为r （0r >）.由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =． 所以 圆心(1,0)C ，||2r CA ==，所以 圆C 的标准方程为22(1)4x y −+=．(III ) 由(I )设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==．圆心C 到直线的距离||1d CF ===.(1) 当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1CF =，符合题意. (2) 当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，即20kx y −+=， 由题意得1d ==，解得：34k =−．故直线l 的方程为324y x =−+，即3480x y +−=． 综上直线l 的方程0x =或3480x y +−=．19．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】平面直角坐标系中，已知点A （2,1），B（1,3），动点P （x,y ）满足PA =.（Ⅰ）求P 的轨迹方程并指出它是什么曲线；（Ⅱ）过A 点的直线l 与P 的轨迹有且只有一个公共点，求直线l 的方程．【答案】（I ）22(5)10x y +−=，以点(0,5)为半径的圆；（II ）350x y −−=和350x y +−=【解析】（I=化简得2210150x y y +−+=， 整理得22(5)10x y +−= 它是一个以点(0,5)为半径的圆. （II ）A 在圆外，则l 与圆相切，且斜率存在，设其方程为：1(2)y k x −=−整理得120kx y k −+−=圆心(0,5)到直线l的距离d ==13k =−或3故l 的方程为：350x y −−=和350x y +−=20．【湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷（四)】如图，已知圆O 的方程为222x y +=，M 是直线2x =−上的任意一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别是P ，Q ，线段PQ 的中点为N.（1）当点M 运动到x 轴上时，求出点P ，Q 的坐标；（2）当点M 在x 轴上方运动且60PMQ ∠=︒时，求直线PQ 的方程； （3）求证：2OM ON OP ⋅=，并求点N 的轨迹方程.【答案】（1）(1,1)−，(1,1)−−；（2）10x y −+=；（3）证明见解析，220(0)x y x x ++=≠.【解析】（1）当M 运动到x轴上时：OP =，2OM =由OP MP ⊥得：MP OP ==∴直线PQ 垂直平分线段OM ∴则点,P Q 的横坐标为1−又,P Q 在圆222x y +=上可知点P 的坐标为()1,1−，点Q 的坐标为()1,1−− （2）连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上 设M 的坐标为()()2,0m m −>60PMQ ∠= 30OMP ∴∠=，则：2OM OP ===2m =，即()2,2M −∴直线OM 的斜率为1−，又OP OQ =，MP MQ =PQ OM ∴⊥，则直线PQ 的斜率为1设直线PQ 的方程为：y x b =+，又30OMP ∠=60POM ∴∠=，122ON OP ==即点()0,0O 到直线PQ 的距离为22=，解得：1b =或1b =−（舍去） ∴直线PQ 的方程为：10x y −+=（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n − 连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上由（2）知PQ OM ⊥，又OP MP ⊥，可知：PNO MPO ∆∆即OP ONOM OP=，即：2OM ON OP ⋅=2=……① 又//OM ON ，则2nx y =−，即：()20yn x x=−≠……② 将②代入①，得22x y x +=0x <化简得点N 的轨迹方程为：()2200x y x x ++=≠21．【河北省邢台市2018-2019学年高一下学期第三次月考】已知圆222()():M x a y a r ++−=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +−=与圆M 相切. （1）求圆M 的方程；（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围. 【答案】（1）229x y +=（2）(1,0]− 【解析】解：（1）因为圆M 的圆心(,)M a a −在直线y x =上，所以a a −=，即0a =， 因为直线34150x y +−=与圆M 相切，所以3r ==，故圆M 的方程为229x y +=.（2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A −，(3,0)B . 设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.因为2||||||PM PA PB =⋅，所以22x y +=所以22229x y −=.因为直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23yk x =−， 则221222229919218218y x k k x x x −===+−−−. 因为22222299x y x y ⎧−=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x −<≤−−，则29110218x −<+≤−. 故12k k 的取值范围为(1,0]−.22．【福建省三明市第一中学2018-2019学年高一下学期学段考试（期中)】已知以点(3,4)C 为圆心的圆C被直线l ：34200x y +−=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）求过(0,2)A 与圆C 相切的直线方程；（3）若Q 是x 轴的动点，QR ，QS 分别切圆C 于R ，S 两点.试问：直线RS 是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）22(3)(4)4x y −+−=；（2）2y =或1225y x =+；（3）见解析 【解析】（1）圆心(3,4)C1=，设圆的半径为R ，则2214R =+=，圆C 为22(3)(4)4x y −+−=.（2）设过点(0,2)的切线方程为2y kx =+，即20kx y −+=，圆心(3,4)C 到直线20kx y −+=2=，解得0k =或125， 所以过点(0,2)的切线方程为2y =或1225y x =+； （3）由题意2CSQ CRQ π∠=∠=，则R ，S 在以QC 为直径的圆上，设(,0)Q a ，则以QC 为直径的圆的方程：2223(3)16(2)24a a x y +−+−+−=. 即22(3)430x y a x y a +−+−+=， 与圆C ：2268210x y x y +−−+=， 联立得：(3)34210a x x y −−++−=，令3034210x x y −=⎧⎨+−=⎩得，33x y =⎧⎨=⎩，故无论a 取何值时，直线RS 恒过定点(3,3).能力提升训练1．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ）A B ．6C ．D ．2【答案】A 【解析】P 为圆C 上任意一点，圆的圆心()8,0C ，半径4r =，如下图所示，4PC =，8OC =，2AC = 12AC PC PC OC ∴== PAC OPC ∴∆∆12PA OP ∴=，即2OP PA = 2PB PA PB OP ∴+=+ 又PB OP OB +≥（当且仅当P 为线段OB 与圆C 的交点时取等号）2PB PA OB ∴+≥==2PB PA +本题正确选项：A2．【浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】是边长为2的等边三角形，是边上的动点，，则的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为，所以的轨迹是以为直径的圆， 设为直径的, 连接，根据圆的几何性质可得为所求，是直径，，，最小值，故选C. 3．【河南省名校联考2019届高三联考（四)】已知抛物线1C ：22(0)y px p =>与圆2C ：2212110x y x +−+=交于A ，B ，C ，D 四点.若BC x ⊥轴，且线段BC 恰为圆2C 的一条直径，则点A的横坐标为（ ）A ．116 B ．3 C ．113D ．6【答案】A 【解析】圆2C ：2212110x y x +−+=可化为()22265x y −+=，故圆心为()6,0，半径为5，由于BC ⊥x 轴和线段BC 恰为圆2C 的一条直径，故()()6,5,6,5B C −.将B 点坐标代入抛物线方程得2512p =，故2512p =，抛物线方程为2256y x =.设26,25a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即AC AB ⊥,也即0AC AB ⋅=，所以22666,56,502525a a a a ⎛⎫⎛⎫−−⋅−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得42364711062525a a −+=，解得227536a =，故A 点横坐标为266275112525366a =⨯=.故选A.4．已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点,则的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】求得关于直线的对称点为，由对称性可得，则，由于，，5．【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．6．【四川省宜宾县第二中学校2018届高三高考适应性考试】若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为，且，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为动点在直线上，动点Q在直线上，直线与直线狐仙平行，动点在直线上，动点在直线上，所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，设该直线为，其方程为，因为线段的中点为，且，点在圆的内部或在圆上， 设直线角圆于，可得点在线段上运动，因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以的最小值为为最大， 联立 ，解得，当重合时，的最大值为，即的最大值为，所以的取值范围是.7．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考（七)】已知圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y −+−=，直线AM与圆C 相切于点M ，若点A 的坐标(,)a b ，且点A 满足AM AO =（其中点O 为坐标原点），则32a b +=______．【答案】3 【解析】根据题意，圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y −+−=，其圆心为(2,3)，半径1r =，直线AM 与圆C 相切于点M ，则22222(2)(3)1AMAC r a b =−=−+−−，222AO a b =+，若AM AO =，则2222(2)(3)1a b a b −+−−=+，变形可得：46120a b −−+=，则有332a b +=； 故答案为：3．8．【江苏省扬州市2018-2019学年度高二第一学期期末调研测试】已知圆()22:16C x y +−=，AB 为圆C上的两个动点，且AB =G 为弦AB 的中点.直线:20l x y −−=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时， PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为________．【答案】(,0)(3,)−∞+∞【解析】圆()22:16C x y +−=AB G =为弦AB 的中点，2CG ∴=，G 的轨迹是以C 为圆心，以2为半径的圆，设PQ 中点为(),2M a a −，2PQ ∴=，且当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则以C 为圆心以2为半径的圆与以M 为圆心以1为半径的圆外离，3>，即230a a −>，解得0a <或3a >，∴线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为()(),03,−∞+∞，故答案为()(),03,−∞+∞.9．【河北省磁县滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试】若直线l ：与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______． 【答案】【解析】 由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立。

2020年高考数学一轮总复习：圆的方程[基础梳理] 1．圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F ＞0.2．以A (x 1，y1)，B (x 1，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. [四基自测]1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)答案：D2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案：C3．△AOB 中，A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，则△AOB 外接圆的方程为________． 答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的圆心到直线y ＝x ＋1的距离为________． 答案：2考点一 求圆的方程◄考基础——练透[例1] (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2(2)(2019·长沙模拟)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253D.43(3)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：(1)由题意可得圆的半径为r ＝2，则圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )，由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋(b －3)2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为 d ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (3)因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m2＝(1＋m )21＋m 2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m 2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(1)D (2)B (3)见解析求圆的方程的方法续表1．将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B. 答案：B2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0考点二 与圆有关的最值问题◄考能力——知法[例2] (1)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．35 B ．6 5 C ．415D ．215解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦AC 为圆的直径为25，BD 为最短弦，则AC 与BD 互相垂直，ME ＝2，BD ＝2BE ＝2×5－2＝23， 四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BDC＝12×BD ×EA ＋12×BD ×EC ＝12×BD ×AC ＝12×23×2 5 ＝215，选D. 答案：D(2)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求yx 的最大值与最小值； ②求y －x 的最大值、最小值； ③求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．(2019·广西南宁联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B.15 C.1215D.1155解析：由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示圆(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.故选B. 答案：B2．(2019·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解析：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以，所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.数学运算、直观想象——利用圆求最值的学科素养在数学中，涉及的代数式或者线段长度最值时，如果动点在圆上运动，可借助圆求解.[例1] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋c ＝2b ，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 的长度的最大值是________．解析：由已知a ＋c ＝2b ，可知动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点Q (1，－2)，所以点M 在以PQ 为直径的圆x 2＋(y ＋1)2＝2上，因为圆心(0，－1)到点N 的距离为5，故可得MN 的长度的最大值是5＋ 2. 答案：5＋ 2[例2] 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：记a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则可得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即(x －12)2＋(y －32)2＝2，故可知|c |的最大值为圆心到坐标原点的距离加上圆的半径，即为1＋ 2. 答案：1＋ 2[例3] 已知变量a ，θ∈R ，则(a －2cos θ)2＋(a －52－2sin θ)2的最小值为________．解析：问题可转化考虑：求直线x －y －52＝0上的动点A (a ，a －52)到圆x 2＋y 2＝4上的动点B (2cos θ，2sin θ)的距离的平方的最小值．因为圆心到直线的距离是5，所以所求最小值为(5－2)2＝9. 答案：9课时规范练 A 组 基础对点练1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1 C ．m ＜14D ．m ＞1解析：由D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4－20m ＞0，解得：m ＞1或m ＜14. 答案：B2．(2019·太原模拟)两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－15∪[1，＋∞)解析：联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得P (a,3a )，因为点P 在圆内，所以(a －1)2＋(3a －1)2＜4， 所以－15＜a ＜1. 答案：A3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：因为圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|3×2－4×(－1)＋5|32＋(－4)2＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 答案：C4．(2019·贵阳监测)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎨⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D. 答案：D5．(2019·河南六校联考(一))圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －1)2＋(y －3)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4。

第48讲圆的方程考纲要求考情分析命题趋势1.掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置.2016·江苏卷，182015·全国卷Ⅰ，142014·陕西卷，12求圆的方程，利用圆的性质求解最值.分值：5分1．圆的定义及方程定义平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：__(a，b)__半径：__r__一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F22(1)理论依据：__点__与__圆心__的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，①(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；②(x 0 －a )2＋(y 0 －b )2__>__r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0 －b )2__<__r 2⇔点在圆内． 3．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做__坐标原点__，x 轴，y 轴，z 轴统称__坐标轴__，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向时，中指一定指向z 轴的__正方向__.(3)空间一点M 的坐标为有序实数组(x ，y ，z )，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的__横坐标__，y 叫做点M 的__纵坐标__，z 叫做点M 的__竖坐标__.(4)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝__(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2__，AB 的中点P 的坐标为__⎛⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) (2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( × )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( √ )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20 ＋Dx 0 ＋Ey 0＋F >0.( √ ) (5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )解析 (1)错误．t ≠0时，方程表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆． (2)错误．a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0即－2<a <23时表示圆．(3)正确．因为A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0得方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，反之也成立．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.(5)正确．设M (x ，y )是圆上异于直径端点A ，B 的点，由y －y 1x －x 1·y －y 2x －x 2＝－1得(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.显然A ，B 也满足上式．所以以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2．已知点A (1，－1)，B ( －1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( A ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝12(－1－1)2＋(1＋1)2＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 ∵方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0， ∴－2<a <23.4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 满足的条件是( A ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1<a <1.5．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则M 点的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1__.解析 由长方体的几何性质，得M 为AC 1的中点，在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)，则中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1.一 求圆的方程求圆的方程的方法(1)方程选择的原则：求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 【例1】 根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－ 4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解析 (1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (3)如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.二 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)求y x的最大值和最小值．解析 方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0变形为(x －2)2＋y 2＝3表示的图形是圆．(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.(3)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋(－1)2＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.三 与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的方法求解与圆有关的轨迹问题应根据题设条件的不同采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝ 90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.四空间直角坐标系中的对称问题解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点(1)看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称，明确哪些量发生了变化，哪些量没发生变化．(2)记清各类对称点坐标间的对称关系，是解决此类问题的关键．(3)可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点P关于原点、坐标轴、坐标平面的对称的特点，以便解决其他问题．【例4】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心是坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析由题意得，点B与点A关于xOz平面对称，故点B的坐标为(－2,3，－1)；点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)．由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1), C 1(2,3,1), D 1(2，－3,1)．1．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( D )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D ．2．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( D )A ．3 5B ．6 5C ．4 5D ．215解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5， 圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径， ∴|AC |＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得|ME |＝2， ∴|BD |＝2|BE |＝25－2＝2 3. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12|BD |×|EA |＋12|BD |×|EC | ＝12|BD |×(|EA |＋|EC |)＝12|BD |×|AC | ＝12×23×25＝215，故选D ． 3．已知抛物线C 1：x 2＝ 2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2 解析 由题设知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4，故选A ． 4．已知点A (1，－2,1)关于平面xOy 的对称点为A 1，则|AA 1|＝__2__. 解析 易知A 1(1，－2，－1)，所以|AA 1|＝(1－1)2＋(－2＋2)2＋(1＋1)2＝2.易错点 忽视圆的方程中的隐含条件致误错因分析：忽视圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的隐含条件D 2＋E 2－4F ＞0而导致错误．【例1】 若过点(0,0)作圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k －1＝0的切线有两条，则k 的取值范围是________.解析 因为方程表示圆，所以k 2＋(2k )2－4(2k 2＋k －1)＞0， 即3k 2＋4k －4＜0，解得－2＜k ＜23.①由题意，得点(0,0)在圆外，所以2k 2＋k －1＞0， 解得k ＞12或k ＜－1.②由①②，得－2＜k ＜－1或12＜k ＜23，故k 的取值范围是(－2，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23.答案 (－2，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 【跟踪训练1】 若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 原方程变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1， ∵方程表示圆，∴－34a 2－a ＋1>0，即(a ＋2)(3a －2)<0，∴－2<a <23，故只有a ＝0.课时达标 第48讲[解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现． 一、选择题1．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( A ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 设对称圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，圆心(1,2)关于直线y ＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 设圆心坐标为(0, a )，则(1－ 0)2＋(2－a )2＝1， ∴a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线相切的圆的方程为( C )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1162＝125B ．x 2＋(y －1)2＝1625C ．(x －1)2＋y 2＝925D ．(x －2)2＋y 2＝3625解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线x 216－y 29＝1的渐近线为y ＝±34x ，即3x ±4y＝0.由已知，得圆的半径长等于点F 到直线3x ±4y ＝0的距离，即r ＝|3×1|32＋42＝35，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝925. 4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( A )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22D ．3－22解析 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2＝322，则点C 到直线AB 的最短距离为322－1.又因为|AB |＝22，所以△ABC 面积的最小值为12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( B ) A ． 5 B ．10 C ．9D ．5＋2 5解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x －2y ＝b ，则x －2y 可看作直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值，此时|1＋4－b |5＝ 5.∴b ＝10或b ＝0，∴x －2y 的最大值是10.6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，右焦点F (c,0)，方程ax 2－bx －c＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝8的位置关系为( C )A ．点P 在圆外B ．点P 在圆上C ．点P 在圆内D ．不确定解析 ∵e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，∴b a＝1，∴a ＝b ，c ＝2a ，∴方程ax 2－bx －c ＝0可化为x 2－x －2＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－ 2.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1＋22<8，∴点P 在圆内，故选C ． 二、填空题7．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1__.解析 依题意设圆心为(a,2a －3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a |＝|2a －3|，解得a ＝1或a ＝3，即r ＝1或3，故圆的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.8．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆C 的方程是__x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0__.解析 设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1,0)，由点A ，C 关于直线x ＋y －1＝0对称，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＋1×(－1)＝－1，a －12＋b 2－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 9．若过点P (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 . 解析 圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，因为过点P (a ，a )能作圆的两条切线，所以点P 在圆的外部，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，3－2a >0，解得a <－3或1<a <32. 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 三、解答题10．(2018·广东湛江模拟)已知△ABC 的顶点坐标分别为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 的中点．(1)求AB 边所在直线的方程；(2)求以线段AM 为直径的圆的方程．解析 (1)因为A (－1,5)，B (－2，－1)，所以由两点式得AB 的方程为y －5－1－5＝x －(－1)－2－(－1)，整理得6x －y ＋11＝0.(2)因为M 是BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋42，－1＋32， 即M (1,1)，所以|AM |＝(－1－1)2＋(5－1)2＝25，所以圆的半径为 5.所以AM 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12，5＋12，即中点为(0,3)，所以以线段AM 为直径的圆的方程为x 2＋(y －3)2＝5.11．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E .由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.①又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.12．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解析 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5. 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，而|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22， 所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.所以P (x 1，y 1)在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，即此两圆有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．。

第三节圆的方程知识点一 圆的方程 1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 3．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：由题1＋1＋4m >0，所以m >－12.故选A.3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程为( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .因为|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2.所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 知识点二 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系 1．若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. 2．若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. 3．若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.考向一求圆的方程【例1】 (1)(2019·广东珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【解析】 (1)由题意设圆心坐标为(a ，－a )，则有|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.(2)解法1：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法2：记A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，连接AB ，由圆过点A (0,0)，B (2,0)，知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1,1)，BC 的中点为(32，12)，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC 的垂直平分线为直线y＝x －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.【答案】 (1)B (2)x 2＋y 2－2x ＝0一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过已知条件及圆的性质求出圆的基本量；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.应用待定系数法求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标和半径，常设为圆的标准方程求解；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常设为圆的一般方程进行求解.(1)若圆C 过点(0，－1)，(0,5)，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝9或(x －8)2＋(y －2)2＝73.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4或(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.解析：(1)依题意，设圆心的坐标为(a,2)，圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋9＝r 2，|a －4|2＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，r ＝73，故圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝9或(x －8)2＋(y －2)2＝73.(2)由题意可得所求圆的圆心在第一象限或第二象限，当圆心在第一象限时，圆心为(2,2)，半径为2，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.当圆心在第二象限时，圆心为(－2,2)，半径为2，故圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.考向二 与圆有关的最值问题 方向1 与基本不等式有关的最值【例2】 圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3B.203 C ．4D.163【解析】 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥1310＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号，故选D. 【答案】 D方向2 与距离有关的最值【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．【答案】 A方向3 与斜率有关的最值【例4】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．1．(方向1)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b 的最小值为8.解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x ＋y ＝2.点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，∴a ＋b ＝2，∴1a ＋9b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b )＝1210＋b a ＋9a b ≥12×(10＋6)＝8，当且仅当b a ＝9a b ，即b ＝3a 时取等号，所以1a ＋9b 的最小值为8.2．(方向2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：解法1：由已知得点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动，d 的最大值为圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离与圆x 2＋y 2＝1的半径之和，即d max ＝21＋m 2＋1≤3(当且仅当m ＝0时取“＝”)．∴当θ，m 变化时d 的最大值为3.解法2：由题意可得d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m 2＋1＝|m 2＋1(m m 2＋1sin θ－1m 2＋1cos θ)＋2|m 2＋1＝|m 2＋1sin (θ－φ)＋2|m 2＋1(其中cos φ＝m m 2＋1，sin φ＝1m 2＋1)，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1，m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3，故选C. 3．(方向3)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则y －4x －2的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0 解析：将原方程，整理得(x －1)2＋(y －1)2＝1，y －4x －2表示的是圆上的点和点(2,4)之间的连线的斜率，设y －4x －2＝k ，即kx －y －2k ＋4＝0，则由|k －1－2k ＋4|1＋k2≤1，解得k ≥43，故选B. 考向三 与圆有关的轨迹问题【例5】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(1)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( D )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0(2)已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点P ，动点Q 满足P A →＝2AQ →，则点Q 的轨迹方程为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1 解析：(1)由题意得|PC |2－22＝|PO |，所以(x －3)2＋(y ＋4)2－4＝x 2＋y 2，即6x －8y －21＝0，故选D.(2)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由P A →＝2AQ →，得x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ，代入圆的方程，得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.。

【三维设计】高考数学一轮复习第3节圆的方程我来演练一、选择题1．(2012·合肥模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x－1＝0 B．x2＋y2－2x－3＝0C．x2＋y2＋2x－1＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝4.展开得x2＋y2－2x－3＝0.答案：B2．(2012·银川模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.答案：B3．(2011·大连模拟)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解析：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a>0，即a<2.由圆心在直线上，可得b＝－2，∴a－b<4.答案：A4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.答案：D5．(2011·石家庄模拟)已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6B.112 C ．8 D.212 解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1， 即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为 d ＝|3×0－4×1－12|32＋－42＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112. 答案：B二、填空题6．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确的是________(要求写出所有正确命题的序号)．解析：圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．答案：①③7．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是__________．解析：根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为(1，12)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －12)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －12)2＝1 三、解答题8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)．即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.9．(2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB u u u r 的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解：(1)设AB u u u r ＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB u u u r ·OA u u u r ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝－8，若AB u u u r ＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB u u u r ＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB u u u r ＝OA u u u r ＋AB u u u r ＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x . 设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.10.如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为等腰直角三角形，A (－2,0)，C (a,0)(a >0)，设△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N .(1)若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2)若直线AB 截圆N 所得弦长为4，求圆N 的标准方程． 解：(1)由已知得B (0,2)，∴M (－1,1)．∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.又直线CD 的方程为x ＋y －a ＝0，∵圆M 与直线CD 相切， ∴|－1＋1－a |2＝ 2.又a >0，∴a ＝2.即直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心N (a 2，a2)．∴圆心N 到直线AB 的距离为|a 2－a 2＋2|2＝ 2.又∵直线AB 截圆N 所得的弦长为4，∴22＋(2)2＝a 22.∴a ＝±23(负值舍去)．∴圆N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.。