第二讲 速算与巧算

第2讲速算与巧算计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1：四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：总和数=基准数×加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

练习：1.求下面10个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

2.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

练习：1.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

2.计算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12=求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

第2课 小数的速算与巧算（二）【知识概述】若干个数排成一列称为“数列”，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项（1a ），最后一项称为末项（n a ）。

从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为“等差数列”，后项与前项之差称为公差（d ），数列中的数的个数称为项数（n ）。

对于等差数列，我们要熟练运用三个公式：通项公式：第n 项＝首项＋（项数－1）×公差，n a ＝1a ＋（n －1）×d项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1，n ＝（n a －1a ）÷d ＋1求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2，和＝（1a ＋n a ）×n ÷2例1 计算8.376÷3.2÷2.5 7.68÷2.5÷0.4例2 计算（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7） 1.1÷（1.1÷1.2）÷（1.2÷1.3）÷（1.3÷1.4）例3 已知等差数列0.2，0.5，0.8，1.1，1.4，…。

（1） 这个数列的第13项是多少？（2） 4.7是其中的第几项？1、有一列数0.1，0.5，0.9，1.3，1.7，…。

（1） 它的第1000项数是多少？（2） 492.1是它的第几项？2、一只小虫沿着笔直的树干往上跳。

它每跳一次都能升高0.04米。

它从离地面0.1米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一次落脚点，那么它第100个落脚点正好是树梢。

这棵树高多少米？例4 如果一个等差数列的第4项为2.1，第6项为3.3，求它的第8项。

1、如果一个等差数列的第5项是11.9，第8项是16.1，求它的第11项是多少？2、在12.4和24.5之间插入10个数以后，使它们成为一个等差数列，插入的10个数中，最小的是几？最大的是几？例5 计算：0.3＋0.7＋1.1＋…＋9.9（1）计算：0.1＋0.2＋0.3＋…＋7.7＋7.8 （2）计算：200－0.3－0.6－0.9―…―5.1－5.4例6 算式0.1＋0.3，0.3＋0.6，0.5＋0.9，…是按一定规律排列的，求它的第2000个算式的和。

三年级华罗庚学校数学课本第二讲：速算与巧算（二）第二讲速算与巧算（二）一、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1 计算123×4×25① 125×2×8×25×5×4② 解：①式=123×（4×25）=123×100＝12300 ②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。

例2计算24×25① 56×125② 125×5×32×5③ 解：①式=6×（4×25）=6×100=600 ②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000 ③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000 3.应用乘法分配律。

例3 计算175×34①＋175×66 67×12+67×35②＋67×52+6 解：①式=175×（34+66）=175×100=17500 ②式=67×（12＋35＋52＋1）＝67×100＝6700 （原式中最后一项67可看成67×1）例4 计算123×101123×99①② 解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123 ＝12300＋123=12423 ②式=123×（100-1）=12300-123=12177 4.几种特殊因数的巧算。

第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A 和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？。

第2讲 速算与巧算【知识概述】小数、分数、整数的四则混合运算一样，都是按先乘除，后加减的顺序进行。

整数运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。

乘法分配律是最常见的一种运算定律。

另外，分数的运算技巧和方法主要有凑整法、裂项法、代数法等。

运算定律和性质1．加法运算定律：a ＋b ＝b ＋a(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)2．乘法运算规律：a ×b ＝b ×a(a ×b)×c ＝a ×(b ×c)a ×(b ＋c) ＝a ×b ＋a ×c3．带符号搬家1）在加减混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a －b ＋c ＝a ＋c －b a ＋b －c ＝a －c ＋b2）在乘除混合运算中，交换任意两个数的位置，结果不变，但要注意符号要跟着数一起走。

a ÷b ÷c ＝a ÷c ÷b a ÷b ×c ＝a ×c ÷b4．添括号、去括号添加括号原则： a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c) a ×b ×c ＝ a ×(b ×c)a ＋b －c ＝a ＋(b －c) a ×b ÷c ＝ a ×(b ÷c)a －b －c ＝a －(b ＋c) a ÷b ÷c ＝ a ÷(b ×c)a －b ＋c ＝a －(b －c) a ÷b ×c ＝ a ÷(b ÷c)【典型例题】例1 )851741()731375.3(--- 【思路点拨】按照四则混合运算法则计算，需要通分，再做分数的加减法，计算比较复杂。

通过观察算式两个括号中有731和741、3.375和851可以试图用先去括号，再添括号凑整进行简便计算。

第二讲—速算与巧算例一：加法巧算：聪明的你能找到简便的方法计算吗？9+99+999+9999+99999解析：（1）此题中所有加数都是由数字9组成，因此我们考虑用凑整法，例如 把9转化为（10－1），99转化成（100－1），……练习8+98+998+9998+99998+999998= 2.34+3.45+4.66+5.54=例二：乘除法巧算：25×96×125= 400000÷125÷25÷32=解析：在乘法计算时，如果两数的乘积是整十、整百、整千的数，可以依据乘法的交换律和结合律把它们先乘起来。

在利用除法运算性质时，把后面的除法运算转变成乘法运算，比如将32分解为8×4.在数学竞赛中，都有一定数量的计算题，在加法计算中，主要用到的有加法交换律、结合律；减法的性质；在乘法运算中，主要用到的有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律；除法的性质等，只要根据试题的特点，寻找某种规律或应用某些公式把试题分解、变形、凑整等，会大大提高我们的运算能力和运算速度哦。

练习：63×275÷7÷11= 34×172－17×71×2－34=9999×9999+19999= 123×456÷789÷456×789÷123=例三：九余数验证法:(1)437+506=943 (2)6332—4748=1584(3)68×95=6460 (4)6786÷78=87 (5)3470÷73=47 (39)解析：九余数验证的用法：先算出每个数各位上的数字和，再用这个和减9，和中一共有几个9就减去几个9，最后再比较剩下来的几个数是否构成相同运算的等式。

练习：1、3264+1265=45292、8711—3517=49943、126×39=49144、2154÷58=385、10004÷254=39 (98)例4：比大小不用笔算，你能指出哪道算式的得数大吗？请说明理由。