培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案

【培优竞赛辅导】第二讲 有理数的巧算【赛点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法【专题精讲】【例1】计算下列各题⑴ 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵ 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-【例2】计算：1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+【例3】计算：⑴111111261220309900++++++ ⑵1111133********++++⨯⨯⨯⨯ 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。

①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k =-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+【例4】（第18届迎春杯）计算：11112481024++++【例5】计算：11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++ 【例6】（第8届“希望杯”）计算：【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出：33333123450+++++的值。

【实战演练】1、用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=2、（第10届“希望杯”训练题）11111(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-= 3、已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-⨯+⨯+⨯+则abc =123452468103691215481216205101520254、计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯5、（“聪明杯”试题）212424824()139261839n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅6、11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 提示：22(1)21n n n +=++ 7、48121640133557791921-+-+-=⨯⨯⨯⨯⨯8、计算：23201012222S =+++++9、计算111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值. 10、计算：111132010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234232010+++++++++++++的值。

七年级数学上册第二章有理数一．知识点梳理：（一）有理数的相关概念1.正数和负数可以表示具有的量，既不是正数也不是负数。

2.有理数的分类：（1）有理数可以分为和；（2）有理数可以分为，和 .3.非负数是指；非正数是指 .（二）数轴绝对值相反数1.数轴：规定了的直线叫做数轴。

数轴是研究有理数的工具。

2.任何一个有理数都可以用数轴上的来表示。

3.任何一个数都有两部分组成： .4.相反数：只有的两个数互为相反数，0的相反数是 .一个数a的相反数是 .5. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做这个数的绝对值.一个数a的绝对值可以表示为 .6.绝对值的性质：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是。

7.有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的；正数都与0；负数都 0；两个负数比较，绝对值大的反而（三）有理数的加减运算1.有理数的加法法则：同号两数相加，取的符号，并把绝对值；绝对值不等的异号两数相加，取的符号，并用较大数的绝对值较小数的绝对值;互为相反数的两数相加得；一个数同0相加得。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于这个数的相反数。

3.有理数的运算是先定符号，再定绝对值。

要分清“+”是正号还是加号.4.数轴上点A表示数a，点B表示数b,则点A,B之间的距离是 .5.非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数的值为 .（四）有理数的乘法运算有理数的乘除运算法则：1.两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。

2.任何数与0相乘都得3.几个不等于0的数相乘，积的符号由的个数决定。

当负因数有个数时，积为正；当负因数有个数时，积为负，并把绝对值相乘。

4.几个数相乘，有一个因数为0时，积为5.进行有理数乘法运算时，先确定积的符号，再确定积的绝对值 .6.进行乘除运算时，带分数要化为假分数 .（五）有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数（不为0））等于乘以这个数的倒数（六）乘方的意义及性质1.求n个相同因数a的的运算叫做乘方，记作a n,这里a叫，n叫做 .乘方的结果叫 .2.底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来。

培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析 此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-． 分析 将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]． 解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +）， 知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++． 练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0． 练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5． 练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ． 则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2． 练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201． 方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11， 故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。

初中七年级数学培优有理数的巧算含答案第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607 微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5 计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6 计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7 计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9 计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

有理数培优训练（二）A一、选择题：1、下列说法不正确的是（ ）A.、0小于所有正数; B 、0大于所有负数 C 、0既不是正数也不是负数 D 、0没有绝对值 2、下列说法正确的是（ ）A 、正数和负数互为相反数B 、a 的相反数是负数C 、相反数等于它本身的数只有0D 、a -的相反数是正数 3、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20062006ab +等于( )．A 、0B 、1C 、 1D 、24、设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数，则a b c -+等于（ ） A 、 1 B 、0 C 、1 D 、25、如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A ，B ，C 内填入适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为倒数，则填入正方形A ，B ，C •的三个数依次为（ ）．A 、12，13，1 B 、13，1，12 C 、1，12，13 D 、1，13，126、下列说法正确的是（ ）A 、两个负数相减，等于绝对值相减。

B 、两个负数的差一定大于零。

C 、负数减去正数等于两个负数相加D 、正数减去负数，等于两个正数相减。

7、若三个不等的有理数的和为0，则下面结论正确的是（ ） A 、三个数全为0 B 、最少有两个加数为负数 C 、至少有一个加数为负数 D 、最少有两个加数为正数 8、若a 、b 互为相反数，那么a a +必是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数9、若M =－16－57+48+12－78，N=81.26－93.8+8.74+11，则（ ） A 、M ＞N B 、M ≤N C 、M ＜N D 、M ≥N 二、填空题1、在数轴上与点一2的距离为5个单位的点 个。

它们是 ．2、9-= ；4--的相反数是 ； —〔－﹝+5〕〕＝ .3、已知22(3)0a b b -++-=，则a b += ．4、一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度， 到达的终点表示的数是 。

浙教版七年级上册第二章有理数的运算培优一、选择题1．2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（）A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×1052．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）3．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）A．−9+3=−6B．−9−3=−12C．9−3=6D．9+3=124．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b5．若式子x−2+(y+3)2=0，则(x+y)2025等于（ ）A．−1B．1C．−32025D．320256．计算：(−517)2023×(−325)2024=（ ）A．−1B．1C．−517D．−1757．22023个位上的数字是( )A．2B．4C．8D．68．求1+2+22+23+⋯+22018的值，可令S=1+2+22+23+⋯+22018，则2S=2+22+23+⋯+ 22019，因此2S−S=22019−1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+⋯+52018的值为（ ）A．52018−1B．52019−1C．52019−14D．52018−149．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）A．(12)3米B．(12)5米C．(12)6米D．(12)12米10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题11．用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是 ．12．小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算a*b=3a+2b，请照此程序运算（−4）*3= ．13．定义一种新的运算“(a,b)”，若a c=b，则(a,b)=c，如：(2,16)=4．已知(3,9)=x,(3,y)=4，则x−y= ．14．已知|3a+b+5|+(2a−2b−2)2=0，那么2a2−3ab的值为 ．15．“转化”是一种解决数学问题的常用方法，有时借助几何图形可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图（1）可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．这是将数字求和问题转化为面积求和问题，从而建立数与形的联系，使问题易于解决．利用这样的方法，请观察图（2）计算12+14+18+116+132+164＝ ．16．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ．三、解答题17．（1）计算：(−34−59+712)÷(−136)．（2）计算：−12022−|12−1|÷3×[2−(−3)2]．18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来．−3,|−3|,32,(−2)2,−(−2)19．我们知道，|a|可以理解为|a−0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB=|a−b|，反过来，式子|a−b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是_________．（2）数轴上点A用数a表示，则①若|a−3|=5，那么a的值是_________．②|a−3|+|a+6|有最小值，最小值是_________；③求|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值．20．用“※”定义一种新运算，规定a※b=b2−a，如1※3=32−1=8，（1）求1※2的值；（2）求(1※2)※(−5)的值．21．老师设计了一个有理数运算的游戏．规则如下：（1）若黑板上的有理数为“−4”，求应写在纸条上的有理数；（2）学习委员发现：若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最大整数是多少？22．为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表：每月用水量收费不超过10吨的部分水费1.6元/吨10吨以上至20吨的部分水费2元/吨20吨以上的部分水费2.4元/吨（1）若小刚家6月份用水15吨，则小刚家6月份应缴水费_____ 元．（直接写出结果）（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明算8、9月各用多少吨水？四、综合题23．阅读理解：计算(1+12+13)(12+13+14)−(1+12+13+14)(12+13)时，若把分别(12+13)与(12+13+14)看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下：解：令12+13=x，12+13+14=y，则原式=.(1+x)y−(1+y)x=y+xy−x−xy=y−x=1 4（1）上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可）（2）用上述方法计算：①(1+12+13+14)(12+13+14+15)−(1+12+13+14+15)(12+13+14)；②(1+12+13+…+1n−1)(12+13+14+…+1n)−(1+12+13+…+1n)(12+13+14…+1n−1)；③计算：1×2×3+2×4×6+3×6×9+4×8×12+5×10×151×3×5+2×6×10+3×9×15+4×12×20+5×15×25.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】0.612．【答案】−613．【答案】−7914．【答案】−415．【答案】636416．【答案】3；72817．【答案】（1）26；（2）1618．【答案】图见解答，−3<3<−(−2)<|−3|<(−2)2219．【答案】（1）5，2（2）①8或−2；②9；③102313220．【答案】（1）3（2）2221．【答案】（1）4（2）322．【答案】（1）解：∵小刚家6月份用水15吨，∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（15-10）×2＝26（元），故答案为：26.（2）解：由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得：1.6×10+2（x-10）＝1.75x ，解得：x ＝16，答：小刚家7月份的用水量为16吨.（3）解：因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨．设小刚家9月份的用水量为x 吨，则8月份的用水量为（40-x ）吨，①当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝8，②当10＜x ＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝6不符合题意，舍去．综上：小刚家8月份用水32吨，9月份用水8吨.23．【答案】（1）换元法；整体思想（转化思想）（2）解：①令12+13+14=a ，12+13+14+15=b ，∴b-a=15，∴原式=（1+a ）b-（1+b ）a=b+ab-a-ab=b-a=15；②令12+13+…+1n−1=m ，12+13+14+1n =t ，∴t-m=1n，∴原式=（1+m ）t-（1+t ）m=t+mt-m-mt=t-m=1n；③令1×2×3=x ，1×3×5=y ，∴x y =615=25∴原式=x +2x +3x +4x +5x y +2y +3y +4y +5y =15x 15y =x y =25.。

完整版)有理数培优专题
有理数培优专题
简介
本文档将详细介绍有理数的基本概念、性质和运算规则，以及一些与有理数相关的常见问题和解法。

内容
1.有理数的定义
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。

有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。

2.有理数的四则运算
加法：有理数之间的加法可以通过分数的加法规则进行计算，即分子相加，分母保持不变。

减法：有理数之间的减法可以通过分数的减法规则进行计算，即分子相减，分母保持不变。

乘法：有理数之间的乘法可以通过分数的乘法规则进行计算，即分子相乘，分母相乘。

除法：有理数之间的除法可以通过分数的除法规则进行计算，即将一个有理数乘以另一个有理数的倒数。

3.有理数的性质
有理数的加法满足交换律、结合律和分配律。

有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

有理数的加法和乘法满足分数的相应性质。

有理数的乘法满足0的性质，即任何有理数乘以0的结果都是0.
4.有理数的应用
有理数在日常生活中的应用非常广泛，例如计算物品的价格、测量长度和温度等。

有理数在代数学中也有重要的应用，例如解方程、求解不等式等。

5.有理数的解题技巧
解有理数的运算题可以借助分数运算的规则，如化简分数、通
分等。

解有理数的应用题可以将问题转化为数学模型，然后进行计算。

结论
有理数作为数学的重要分支之一，具有广泛的应用领域以及丰
富的运算规则和性质。

通过研究有理数的定义、运算规则和应用，
可以提高我们的数学思维能力，并且在实际问题解决中发挥重要作用。

【培优竞赛辅导】第二讲 有理数的巧算【赛点解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法【专题精讲】【例1】计算下列各题⑴ 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵ 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-【例2】计算：1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+【例3】计算：⑴111111261220309900++++++⑵1111133********++++⨯⨯⨯⨯反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。

①111(1)1n n n n=-++②1111()()n n k k n n k=-++③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n=-+++++④1111()(1)(1)211n n n n=--+-+【例4】（第18届迎春杯）计算：1111 2481024 ++++【例5】计算：11212312341235859 ()()()() 23344455556060606060 ++++++++++++++++【例6】（第8届“希望杯”）计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出：33333123450+++++的值。

第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案基础夯实： 一、填空题1、计算 1＋（－ 2）＋3＋（－ 4）＋ ⋯ ＋99＋（－ 100）＝ ___-50_ __2、计算 1－3＋5－7＋9－11＋⋯＋97－99＝ ____ -50 _____3、若 m <0，n >0，且| m |>| n |，则 m ＋n ___< _______ 0.（填>、<号）4、如果| a| ＝3，| b| ＝2，若 ab <0，那么 a- b ＝ ___ 5 _____535、 2.25 减去 与 的差，所得的结果 ＝ ____________ - 2 ___8812 、+3、-1.2 的和比它们绝对值的和小 ＝ _____ 7.4__ ___ 26、若实数 a 、b 满足 a b 0，则 ab ＝ ________ -1__ ___ .a b ab17、如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为 1 的长2方形，接着把面积为 1 的长方形等分成两个面积为 1 的正方形，再把面积为 1 的正方形2 4 4 等分成两个面积为 1 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算81 1 1 1 1 1 1 12 4 8 16 32 64 128 2568、已知数轴上有 A 、B 两点， A 、B 之间的距离为 2，点 A 与原点 O 的距离为 6，则所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和为 ___0 ____ ；9、计算 211 1,221 3,231 7,241 15,251 31 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22018-1的个位数字是 _____ 3 ___ .1．0．、．3．.．0．5．万．是．精．确．到． _．_．百_．_．_．_．_．_．位．的．近．似．数．11、地球到太阳的距离大约是 150000000千米，用科学记数法表示为 __1.5 1011 ________________ 米．1．2．、．测．得．某．同．学．的．身．高．约．是． 1．.．6．6．米．，．那．么．意．味．着．他．的．身．高．的．精．确．值． h． 的．取．值．范．围．是．在．1. 6 55h <1. 665二、选择题1、在 1，－1，－2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）A ． 1B ．0C ．－ 1D ．－ 3 2、若 a <0，则| a －（－a ）| 等于（ D ）A ．－ aB ．0C ．2aD ．－ 2a2552563、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ）A．两数一定都是正数B．两数都不为05）7）C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或 3个 5、如果 a < 0，b >0，a ＋b <0，那么下列关系中正确的是（ D ）A ．a > b > －b >－aB ．a >－a >b >－bC ．b >a >－b >－aD ．－a >b >－b > a6、已知两个有理数 a 、b ，如果 ab < 0，且 a ＋b <0，那么（ D ）A ．a > 0，b <0B ．a <0， b >0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大 7、如果 a ＋ b <0， b 0 ，则下列结论成立的是（ B ）aA ．a >0，b >0B ．a <0，b <0C ．a >0，b < 0D ．a < 0，b > 08、、下列命题正确的是（ C ）A ．若 ab > 0，则 a >0，b >0B ．若 ab < 0，则 a <0，b <0C ．若 ab ＝0，则 a ＝0或 b ＝0D ．若 ab ＝0，则 a ＝0且 b ＝0 9、若 a ＋b ＋c ＝0，且 b <c < 0，则下列各式中，错误的是（ C ）A ．a ＋b >0B ．b ＋c <0C ．ab ＋ac >0D ． a ＋ bc >010、若a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则代数式 m cd a b 的值为（ D ）mA ．－3B ．1C ．±3D ．－3或 111、有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则a 2010 b2011等于（ B）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果 （a b ）20011,（a b ） 20021，则 ab 的值是（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．－ 113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由 1 个分裂为 16个，则这个过程要经过（ A ）小时？7A ．2B ．2.5C ． 3D ．3.5三、计算11（1）（ 0.5） （ 3 ） 2.75 （ 7 ） =-2；3735（ 2） 12 3 77 23 35 1 =-1.25 ；4848(13 7 7) ( 11)=- 1； 4 8 12 7 317.48 ( 37) 8.74 ( 88) 174.8 1.9 =-1748 ；2 12(38 61 34) 24 5 ( 1)2 8 6 4 3111 7418 6 8242（ 3） 4 （ 2） （ 5） ［（ 7） （ 3） （ 8）］ =14） 8786）2011=-1.56、(8) 12 (1 0.5) 13 2 ( 3)2 =16※典例剖析例 2】 、阅读材料，解答问题 . 求 1 2 22 23219 220的值 .运用材料以上方法计算：20182 3 2016 20171 5 5 5 5 5 例 3 】计算 21411 例 1 】计算 : (1 1 1 231 1) (1 14 5 2 31) (11 1 1 1 1) (1 1 1 1 623456 2 3 4 5解：令 S 1 2 2 2 23219 220 ①② - ①得 2S S 221 1∴ 2S 2 22 23 24 220 221 ②∴ 1 2 22 23 219 220 221 1112 1 2 3 1 2 3 4 ＋＋ ）＋（＋＋）＋＋＋＋）2334445555＋（510 ＋2＋⋯＋ 48 ＋50 5049)50、计算题141 21．、． 14(1 0.5) 3|2 ( 3)2|=． 6319 2．、．[1 1(3 1 3) 3] 5= ．．248 6 4 4722 1 2 2 2 3．、．|2 ( 52) ( 114)| 32 ( 23)2329510034 ．、．1 1⋯．⋯．．．1 3 3 5 5 7 ．． 2005 2007 =20075、2 32 2 2( 3)2( 5)3( )218 32=-31 ；57 42114(0.25 ) {0.5 ( 0.75) [ ( 2)2]} = 343 ==612.5【例 4】某儿童服装店老板以 30元的价格买进 20 件连衣裙，针对不同的顾客， 30 件连衣裙的售价完全不 相同，若以 45 元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 请问，该服装店售完这 20 件连衣裙后，赚了多少钱？ 答案：328 元 三、培优检测 A 组、今抽查 10 袋盐，每袋盐的标准质量是 100 克，超出部分记为正，统计成下表：盐的袋数 23 3 1 1 每袋超出标 准的克数+1 -0.5+1.5 -22、若 l 3+23+33+⋯ +153＝14400，则 23+43+63+⋯+303＝1152001 2 3 3 6 9 5 10 15 7 14 211 1 1 12 2 2 2 58 58 59 思考题：计算： (1 1 1 1) (4 2 2 2) (58 58)59=88531 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 354 3 4 60 3 45 60 59 60 601 11 1、35571997 1999问：这 10 袋盐一共有多重？答案： 1000 千克 B 组： 995 59978、已知 a 、 b 、c都不等于零，且ababcabc 的最大值是m ，最小值为mn ，求n 的值 =-16 ．mn第二讲 有理数的加减运算中的巧算考点·方法·破译1．理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方法则，并能熟练进行有理数的运算.2．掌握有理数加减乘除乘方混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算 3．能用有理数运算律进行简便运算 .常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑹错位相减法⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 、填空题1、计算 1＋（－ 2）＋3＋（－ 4）＋ ⋯ ＋99＋（－ 100）＝ _______2、计算 1－3＋5－7＋9－11＋⋯＋ 97－99＝ _________3、若 m <0，n >0，且| m |>| n |，则 m ＋n ________ 0.（填>、<号）4、如果| a| ＝3，| b| ＝2，若 ab <0，那么 a- b ＝ _________535、 2.25 减去 与 的差，所得的结果 ＝ ________________8812 、 +3、 -1.2 的和比它们绝对值的和小 ＝ __________ 211 的正方形等分成两个面积为 1 的长21 1 1方形，接着把面积为 1 的长方形等分成两个面积为 1 的正方形，再把面积为 1 的正方形2 4 4等分成两个面积为 1 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算81 1 1 1 1 1 1 1＝ ________ .24 8 163264 1282568、已知数轴上有 A 、B 两点， A 、B 之间的距离为 2，点 A 与原点 O 的距离为 6，则所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和为 _______ ；9、计算 211 1,221 3,231 7,241 15,251 31 归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22018-1的个位数字是 _________10、 3. 05万是精确到 _____ 位的近似数．11、地球到太阳的距离大约是 150000000 千米，用科学记数法表示为 ____________ 米．12、测得某同学的身高约是 1.66 米，那么意味着他的身高的精确值 h 的取值范围是在 二、选择题1、在 1，－1，－2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A ． 1B ．0C ．－ 1D ．－ 36、若实数 a 、b 满足 aa bb 0，则 a a b b7、如图，把一个面积为2、若 a <0，则| a －（－a ）| 等于（ ） A ．－ a B ．0 C ．2a D ．－ 2a3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ） A ．两数一定都是正数 B ．两数都不为 0 C ．至少有一个为负数 D ．至少有一个为正数4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ） A ．1个 B ．2 个5、如果 a < 0，b >0，a ＋b <0， A ．a > b > －b >－a C ．b >a > －b >－a6、已知两个有理数 a 、b ， A ． C ． C ．3个 那么下列关系中正确的是（ B ．a >－a >b >－b D ．－a >b >－b >a 如果 ab < 0，且 a ＋b <0， 那么（ a >0，b <0 a 、b 异号 a ＋b <0， b 0 ， a A ．a >0，b >0 8、、下列命题正确的是（ A ．若 ab > 0，则 a >0， C ．若 ab ＝ 0，则 a ＝0 或 b ＝0 9、若 a ＋b ＋c ＝0，且 b <c < 0，则下列各式中，错误的是（ A ．a ＋ b >0 B ．b ＋c < 0 C ．ab ＋ac >07、如果 则下列结论成立的是（ ）B ．a <0，b <0 ） b >0 D ． 1 个或 3 个 ） ） B ．a <0， D ． a 、b 异号且负数的绝对值较大 b >0C ．a >0，b < 0D ．a < 0，b > 0 B ．若 ab < 0，则 a <0，b <0 D ．若 ab ＝0，则 a ＝0且 b ＝0 ） D ．a ＋bc >0 10、若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则代数式 m cd a b 的值为（ ）m D ．－3或1 A ．－3 B ．1 C ．±3 11、有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则 a 2010 b 2011等于（ ） A ．０ B ．１ C ．－１ D ．２12、如果 (a b)2001 1,(a b) 20021，则 ab 的值是（ ）A ．2B ． 1C ．0 13、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个） 分裂为 16个，则这个过程要经过（ ）小时？ 7 A ．2 B ． 2.5 三、计算D ．－ 1 ，若这种细菌由1个C ．3D ．3.51） ( 0.5) ( 31) 2.75 4 2) 13 77 23 48 34 358 1；3） 4 ( 2) ( 5) [( 7) ( 3) ( 8)]3111 74 18 682424）5）(134 87 172) ( 171) ；6)17.48 ( 37) 8.74 ( 88) 174.8 1.9 ；8) 12 (1 0.5) 1 2 ( 3) 231 1) (1 1 1 1 1) (11 1 14 5 2 3 4 5 6 2 3 4例 2】 、阅读材料，解答问题 . 求1 2 2223219220的值.解：令 S 1 2 2 2 23219 220①② - ①得 2S S 221 1运用材料以上方法计算：1 5 52 5352016 52017 2 3 4 20 212S 2 22 23 24 220 221 ②例 3 】计算1＋（ 1＋2）＋（ 1＋ 2＋3）＋（ 1＋2＋32 3 3 4 4 4 5 5 5※典例剖析7) 212(3 1 34)24 5 ( 1)2011 286411 例 1 】计算 : (1 1 1 23∴ 1 2 22 23 219220 221＋ 4 )＋ ⋯ ＋( 1 ＋ 2 ＋⋯＋ 48＋5 50 50 5049)501 1) (1 1 1 5 623 4【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20 件连衣裙，针对不同的顾客，30 件连衣裙的售价完全不售出件数 6 5 2 3 3 1售价(元)+3 +2 +1 0 —1 -220三、培优检测 A 组一、计算题1、14(1 0.5) 1 |2 ( 3)2|3盐的袋数 2 3 3 1 1每袋超出标准的克数+1 -0.5+1.5 -2、今抽查10 袋盐，每袋盐的标准质量是100 克，超出部分记为正，统计成下表：问：这10 袋盐一共有多重？[12143、|2 ( 52) ( 114)| 32( 23)2 45 4 31111 3 3 5 5 7 2005 20075、( 3)2( 5)3( 2)218 356 、14(0.25 7) {0.5 ( 0.75) [4 ( 2)2]}B 组：14、3 5 5 7 1997 19995、若 l 3+23+33+⋯ +153＝14400，则 23+43+63+⋯+303＝1 2 3 3 6 9 5 10 15 7 14 211 1 1 12 2 2 2 58 58 59思考题：计算： (V 1 1 1) (VI 2 2 2) (58 58)594、计算： 2 22 23 24 25 * 7 219220＝ 62010V 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 35VI 3 4 60 3 4 5 60 59 60 604、计算： 2 222324 25 219 2205、若 |m| m 1，则 20104m 1A ． －１B ．１6、设 1 2b c a c a b |a| |b| |c|． 3 或－1 D ．－３或１13＋23＋33＋43＋⋯＋ n 3的公式并计算C ． 12a b c 0，abc 0，则 A ． -3 B ．1 C7、请你从右表归纳出 13＋23＋33＋43＋⋯＋ 1003的值＝8、已知 a 、 b 、c 都不等于零，且abc abc c的最大值是 abcm ，最小值为mn ，求n 的值．mn的值是( )5、若|m| m 1，则4m 1 ( B )A ．－１B ．１C ．1D ．1226、设a b c 0，abc 0，则 b c a c a b的值是( B ) |a| |b| |c| 的值是 )A ．-3B ．1C ． 3 或－ 1D ．－３或１7、请你从右表归纳出 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋⋯＋n 的公式并计算出13＋23＋33＋43＋⋯＋1003的值＝___(1 2 3 99 100)2_________________________________________________________。

第 2 讲有理数的运算第一部分知识梳理知识点一：有理数加法（1）有理数的加法法例：同号两数相加，取同样的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同 0 相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律：加法的互换律：a+b=b+a；加法的联合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简易运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号同样的数先相加；把相加得整数的数先相加。

知识点二：有理数减法（1）有理数减法法例：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）有理数减法常有的错误：左支右绌，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变为相反数。

（3）有理数加减混淆运算步骤：先把减法变为加法，再按有理数加法法例进行运算；观点解析：减法是加法的逆运算，用法例“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。

转变后它知足加法法例和运算律。

知识点三：有理数乘法（1）有理数乘法的法例：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0 相乘都得 0。

（2）有理数乘法的运算律：互换律： ab=ba；联合律：(ab)c=a(bc)；互换律：a(b+c)=ab+ac。

观点解析：①、“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”②、多个有理数相乘时，积的符号确立规律：多个有理数相乘，如有一个因数为 0，则积为 0；几个都不为 0 的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

③、有理数乘法的计算步骤：先确立积的符号，再求各因数绝对值的积。

知识点四：有理数除法有理数的除法法例：除以一个数，等于乘上这个数的倒数， 0 不可以做除数。

第二讲 有理数的巧算考点·方法·破译1．理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方法则，并能熟练进行有理数的运算.2．掌握有理数加减乘除乘方混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算. 3．能用有理数运算律进行简便运算.常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 基础夯实： 一、填空题1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝__________2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝__________3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝__________5、25.2-减去85-与83-的差，所得的结果 ＝__________212-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝__________6、若实数a 、b 满足0a b a b+=，则abab ＝___________. 7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为_________；9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是__________.10、3.05万是精确到________位的近似数．11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为_________ 米．12、测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值h 的取值范围是在 ．二、选择题1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）A ． 1B ．0C ．－1D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ ）A ．－aB ．0C ．2aD ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）A ．两数一定都是正数B ．两数都不为0C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大7、如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞010、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ ）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ ）小时？7A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 三、计算（1）)217(75.2)413()5.0(+-+---； （2）1853432877431---+-；（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+------- （4）2164118214837--+--+-（5）)711()12787431(-⨯--； （6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯；（7） 2011)1(524)436183(212-⨯÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+- （8）[]22)3(231)5.01(1--⨯⨯---※典例剖析【例1】计算:)51413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++【例2】、阅读材料，解答问题. 求201932222221++++++ 的值.解：令201932222221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++ 运用材料以上方法计算：7201620132555551++•••++++【例3】计算12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：三、培优检测A 组 一、计算题1、|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+-2、5]43)436183(2411[÷÷-+-3、22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ 4、+⨯+⨯+⨯751531311 (2007)20051⨯+5、2232318)52()5()3(-÷--⨯-+--； 6、]})2(34[)75.0(5.0{)4725.0(124--⨯--÷++-B 组：53433323131、199919971751531⨯++⨯+⨯ = ；2、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ ．3、352172515515935312114715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ；4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝5、若||1m m =+，则()201041m +=（ ）A ．－１B ．１C ．12-D ．126、设0a b c ++=，0abc >，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ ）A ．-3B ．1C ． 3或－1D ．－３或１7、请你从右表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值＝__________..8、已知c b a 、、都不等于零，且abc abc c c b b a a +++的最大值是m ，最小值为n ，求mnn m的值．思考题：计算：6059)60585958()602524232()601413121(+++•••+•••+++++•••+++第二讲 有理数的巧算答案基础夯实： 二、填空题1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号）4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____5、25.2-减去85-与83-的差，所得的结果 ＝______-2____212-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则abab ＝_____-1______.7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝____256255______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为___0______；9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____.10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．．11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11101.5⨯_______ 米． 12．．、．测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是．．．．．．在．1.665h 1.655<≤ ．．二、选择题1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ）A ． 1B ．0C ．－1D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ）A ．－aB ．0C ．2aD ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ）A ．两数一定都是正数B ．两数都不为0C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数 4、三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 5、如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ D ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a6、已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ D ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大7、如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（B ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 8、、下列命题正确的是（ C ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 9、若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ C ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞010、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ D ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 11、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ B ）A ．０B ．１C ．－１D ．２12、如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则ab 的值是（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．－113、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过（ A ）小时？7A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 三、计算（1）)217(75.2)413()5.0(+-+---=-2；（2）1853432877431---+-=-1.25；（3）{})]8()3()7[()5()2(4---+-------=1（4）2164118214837--+--+-=878-（5）)711()12787431(-⨯--=-31；（6）9.18.174)88(74.8)37(48.17⨯--⨯+-⨯=-1748；（7） 2011)1(524)436183(212-⨯÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+-=-1.5 （8）[]22)3(231)5.01(1--⨯⨯---=61※典例剖析【例1】计算:)51413121()61514131211()6151413121()514131211(+++⨯+++++-++++⨯++++=61【例2】、阅读材料，解答问题.求201932222221++++++ 的值. 解：令201932222221++++++= S ① ∴ 21204322222222++++++= S ②② - ①得12221-=-S S ∴1222222121201932-=++++++ 运用材料以上方法计算：7201620132555551++•••++++=4122018-【例3】计算12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）==612.5【例4】某儿童服装店老板以30元的价格买进20件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价完全不相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：请问，该服装店售完这20件连衣裙后，赚了多少钱？答案：328元 三、培优检测A 组 一．、计算题．．．．1．、．|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+-=．612．、．5]43)436183(2411[÷÷-+-=72193．、．22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯ =2593-4．、．+⨯+⨯+⨯751531311……．．200720051⨯+=200710035、2232318)52()5()3(-÷--⨯-+--=-31；6、]})2(34[)75.0(5.0{)4725.0(124--⨯--÷++-=312-5343332313问：这10袋盐一共有多重？答案：1000千克 B 组： 4、1999199********⨯++⨯+⨯ = 5997995；5、若l 3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝ 115200 ．6、352172515515935312114715105963321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 52；4、计算：201954322222222+-⋅⋅⋅----- ＝ 65、若||1m m =+，则()201041m +=（ B ）A ．－１B ．１C ．12-D ．126、设0a b c ++=，0abc >，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ B ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１7、请你从右表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出思考题：计算：6059)60585958()602524232()601413121(+++•••+•••+++++•••+++=885。

浙教版七上数学第二章：有理数运算培优训练答案一．选择题：1.答案：C解析：∵8800108.83≈⨯，故精确到百位，故选择C2.答案：D解析：由题意可知，两次交易，总成交额是700+900=1600，总成本是600+800=1400， 总利润是1600-1400=200元，故选D.3.答案：D解析：∵ab ＜0，∴a ，b 异号， ∵a+b ＞0，∴正数的绝对值较大， 故选D ．4.答案：C解析：∵3=x ，162=y ，∴3±=x ，4±=y ∴=+y x 7或1-或1或7-，故选择C5.答案：B 解析：100991...65154143132121199001...3012011216121⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++++ 10099100111001991...6151514141313121211=-=-++-+-+-+-+-=， 故选择B6.答案：A解析：∵1===PR NP MN 数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，且3=+b a ，∴原点应为M 或R ，故选择A7.答案：D解析：当0=a 时，不成立，故①错误； ∵532a a a =⋅，故②正确； ∵4122=-，故③错误； ∵()()()()0228162182534=-=-÷+=-⨯÷-+--，故④正确； ∵2222x x x =+，故⑤正确，故正确答案为②④⑤，故选择D8.答案：A解析：64306032=÷⨯，即进行64次变化，这种变化每四次一个循环， ∴16464=÷，∴经过32分钟后回到开始状态，故选择A9.答案：B解析：输入48=x ，第一次输出24，第二次输出12，第三次输出6，第四次输出3， 第五次输出8，第六次输出4，第七次输出2，第八次输出1，第九次输出6，第十次输出3，第十一次输出8，第十二次输出4，第十三次输出2， 第十四次输出1，接下去第15至20次输出分别是6,3,8,4,2,1,即6次一循环， 第2019次输出()1......335682019=÷-，即为6，故选择B10.答案：A解析：圆转动过程中，以3，2，1，0的顺序四次一循环， ∴()504422018=÷-，故2018-与0重合，故选择A二．填空题： 11.答案：2解析：∵()0212=++-b a ，又∵01≥-a ，()022≥+b ，∴1=a ，2-=b ， ∴()()2112019201820192018=+-=++a b a12.答案：7-或7解析：∵5=a ，∴5±=a ，∵2=b ，∴2±=b ，∵0>ab ，∴b a ,同号，∴725=+=+b a 或725-=--=+b a13.答案：0解析：∵n 为正整数，∴()()01111212=+-=-+-+nn14.答案：10 3028解析：点A 表示1，现将点A 沿数轴做如下移动：第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点21-=A ，第2次将点A 1向右平移6个单位长度到达点42=A ，第3次将点A 2向左移动9个单位长度到达点53-=A ，第4次将点3A 向右移动12个单位到达74=A ......则第6次移动到点A 6时，点A 6在数轴上对应的实数是10；∴第2018次移动，2018A 对应的数为：30281322018=+⨯÷15.答案：12-n解析：∵一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7, 四层二叉树的结点总数为15......，∴第n 层二叉树的结点总数为12-n16.答案：nn 21+ 解析：nn n n n 211...45433432232111......4113112112222+=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-三．解答题：17.解析：（1）原式651569532221732243431441338421==+=+=-++= （2）原式()()()41109422412524832447=-+=-⨯+-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯-=（3）原式()()()192217642178787=-⨯-=-⨯⨯⨯-= （4）原式143181=-+-=18.解析：（1）点B 在点A 右边距A 点4个单位长度，点B 所对应的数是 2 ；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A 运动到﹣6所在的点处时，则A 、B 两点间距离为 12 ； （3）解：在（2）的条件下，经过4秒或者8秒，A 、B 两点相距4个单位。

有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 基础练习1、 计算：（1）)12()9()15(8---+---； （2）)1()2.3(7)56(-+----；（3）21)41(6132-----； （4）)2.4(3112)527()3211(------.2、计算：（1）)]41()52[()3(-÷-÷-； （2）3)411()213()53(÷-÷-⨯-；（3）)5()910()101()212(-÷-÷-⨯-； （4）74)431()1651()56(⨯-÷-⨯-3、计算：（1）)2(66-÷+-； （2）)12(60)4()3(-÷--⨯-；（3）)6()61(51-⨯-÷+-； （4）101411)2131(÷÷-.典例分析：（1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷.随堂练习：（1）)425()327261(-÷+-； （2）]51)31(71[1051---÷.3、对整数10,6,3,2-（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算结果等于24，运算式可以是 、 、 .4、已知a ＜0，且1 a ，那么11--a a 的值是（ ）A 、等于1B 、小于零C 、等于1-D 、大于零5、已知03=++-y x y ，求xyyx -的值.6、若0,0≠≠b a ，≠c 0，求b b a a+cc+的可能取值。

体验中招1、（2009年，茂名）若实数y x ,满足0≠xy ，则yy x xm +=的最大值是 。

………………………………………………最新资料推荐………………………………………七年级数学培优（2）——有理数的巧算 班级：________ 姓名：_________ 知识点精析：“算对与算巧”求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。

这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。

有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。

例题精讲：一. 巧用运算律例1. 计算12345678201220132014S变式题：计算1121231279()()()233444808080二. 巧添辅助数 例2. 计算：三. 巧用倒序相加法 例3、计算：12340272014201420142014 四. 巧用拆项法例4计算111112233420132014变式：.1111144771020112014五、巧用错位相加减法 例5、计算22013201412222变式：22013201415555 六、巧用整体换元法 例6、11111111111111232015232014232015232014七、巧用倒数法 例7、计算：......................................................最新资料推荐 (111171111711)36461218364612183636练习反馈：1. 计算：111111111111112319972319972319972319962、计算：1211230310653、求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++-+++++++++++++++++ （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。