第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程
知识梳理
一、理解复数的几何意义
(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数2
2
(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点
(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点
的距离.
二、实系数一元二次方程
实系数一元二次方程2
0(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么
（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a
-；
（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a
-
； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a
-±，
在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：
（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．
（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．
（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．
例题解析
一、复数的几何意义
例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，
12z z +=122z z -的值是______.
【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2
2
2
2a b b
a a
b +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由
2
2
2
424a a b a b b --+=⋅求解.
【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b
因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以2
2
2
218a a b b a b
+⋅+=+=，
即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以2
2
2
44524b b
a a a
b -=⋅-+=，
解得352a b -=
所以122z z -的值是
故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值
范围是__________. 【答案】[]3,7
【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r
为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出
圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，
∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r
为半径的圆．
|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，
圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．
例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足
|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点
A 和
B ，则AOB ∠的最大值是_____________.
【答案】
2
π
【分析】根据|||1|z i z -+-=
z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合
M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.
【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距
，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ
上的点，如下图所示：
显然当2
AOB POQ π
∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为
2
π. 故答案为：
2
π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.
例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.
【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43
z x i x x
⎛
⎫=-+
- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公
式，得到z =.
【详解】
由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则
24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==
当且仅当2
225
x x
=
，即x =
故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.
例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y
+的最小值是（ ）
A 、18
B 、6
C
、
D
、
3
【难度】★★ 【答案】 B
例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★
【答案】[ 【巩固训练】
1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】1
2．设O 为坐标原点，已知向量1
OZ 、2
OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5
3
21-++=
， 212),()52(12
z z R a i a a
z +∈-+-=
若其中是实数，求2z 的值。 【难度】★★ 【答案】由213(10),5z a i a =
--+21232[(10)(25)]51z z a a i a a
∴+=++-+-+-, ,3,5,01522=-==-+∴a a a a 或解得又分母不为零，3=∴a 2z 1i ∴=-+
2z
二、实系数一元二次方程
例1．（2020·上海高二课时练习）关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根，则（ ）． A ．||2a < B ．||2a =
C ．||2a >
D ．||2≠a
【答案】A
【分析】根据判别式小于0，可解得结果.
【详解】因为关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根， 所以240a ∆=-<，所以||2a <. 故选：A.
i a a z )sin 2()cos (θθ-++=i θ2≤z a
【点睛】本题考查了实系数一元二次方程无实根的条件，属于基础题.
例2．（2020·上海高二课时练习）方程220x x k -+=的一个根是2i -，则复数k 的值为（ ）. A ．12i + B ．5
C ．12i -
D ．2
【答案】A
【分析】将根代入方程，再根据复数运算得结果. 【详解】因为方程220x x k -+=的一个根是2i -，
所以2(2)2(2)03442012i i k i i k k i ---+=∴--++=∴=+ 故选：A.
【点睛】本题考查方程的根、复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.
例3．（2020·上海高二课时练习）设1z ，2z
是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则
1z 与2z 的关系是（ ）． A ．12z z > B ．12z z <
C ．12=z z
D ．不确定
【答案】C
【分析】将方程两边同时除以22z ，化为
12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出1
2
z z ，再求出其模，即可得到答案.
【详解】因为22
11220+=z z z ，且20z ≠，
所以21122(
)10z z
z z -+=
，所以2121(4
z z =-，
所以
1212z i z ==±，
所以
12122
z i z =±，
所以121||||122z i z =±==，所以
12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.
例4．（2020·上海高二课时练习）当1a >时，方程220x x a ++=有两个根m ，n ，则
||||+m n 的值为（ ）．
A ．2
B ．2a
C ．
D ．2或【答案】C
【分析】根据判别式小于0，可知方程有2个共轭虚根，设(,)m c di c d R =+∈，则
n c di =-，根据韦达定理以及模长公式可得结果.
【详解】因为1a >，所以440a ∆=-<， 所以,m n 为两个共轭虚根，
设(,)m c di c d R =+∈，则n c di =-， 所以22m n c +=-=，22mn a c d ==+， 所以21,1c a d =-=+，
所以|||||1||1|m n di di +=-++--===故选：C.
【点睛】本题考查了虚根成对定理，考查了复数的模长公式，属于基础题.
例5．（2020·上海高二课时练习）对实系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c ，下列结论不成立的是
A ．当240b ac -=时，有相等的根
B ．当240b ac -<时，有不相等的两虚根
C ．两根1x ，2x 满足12c x x a
⋅=，12b
x x a +=-
D ．当
0c
a
>时，两根之积不一定为正 【答案】D
【分析】根据实系数一元二次方程根的判别式可判断选项A ，B ；再由根与系数关系可判断选项C ，D.
【详解】在实系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中， 当240b ac ∆=-=时，方程有相等的根，所以选项A 正确；
当240b ac ∆=-<时，方程有两不相等的共轭虚根，所以选项B 正确； 当2
40b ac ∆=-≥时，方程两根12,x x
，
此时12c x x a
⋅=
，12b
x x a +=-成立，
当2
40b ac ∆=-<时，方程两根12,x x
，
此时12c x x a
⋅=，12b
x x a +=-成立，所以选项C 正确；
由12c x x a
⋅=，若0c
a >，得两根之积为正数，所以选项D 不正确.
故选：D
【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判定，以及根与系数间的关系，属于基础题. 例6．（2020·北京市昌平区实验学校高一期中）方程2410x x -+=的两根为1x ，2x ，则
12
11
x x +=________． 【答案】4
【分析】由韦达定理求得1212,x x x x +，代入计算． 【详解】由题意124x x +=，121=x x ，
所以121212114
4.1
x x x x x x ++
=== 故答案为：4．
例7．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程22430x x +-=的两个根为
1x ､2x ，则12
11
x x +=___________.
【答案】
43
【分析】利用韦达定理代入求解即可.
【详解】由方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，
利用韦达定理得：1212232x x x x +=-⎧⎪
⎨⋅=-⎪⎩，
121212114
3
x x x x x x ++==⋅. 故答案为：
4
3
. 例8．（2020·上海高二课时练习）已知α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根，则
22αβ+=________．
【答案】510--i
【分析】根据韦达定理以及配方法可求得结果.
【详解】因为α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根， 所以(2)2i i αβ+=--=-+，43i αβ=+，
所以2222()2(2)2(43)i i αβαβαβ+=+-=-+-+510i =--. 故答案为：510--i
.
【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理，属于基础题.
例9．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）已知关于x 的实系数方程
222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =______.
【答案】
1
2
【分析】根据关于x 的实系数的方程有两个虚根，由∆<0解得a 的范围，再根据
123x x +=
及两根互为共轭，由123
2
x x ===
求解. 【详解】由16160a ∆=-<，得1a <， 因为123x x +=，
所以1232
x x ==
=
即27
404a a -+=， 解得12a =或7
2(舍)，
所以1
2
a =.
故答案为：
12
例10．（2020·上海市金山中学高一期中）已知120,,a x x >为方程220x x a ++=的两个实数根，则
12
11
+x x 的取值范围为______. 【答案】(],2-∞-
【分析】由判别式不小于0得出a 的范围，由韦达定理得出1212,x x x x +，把12
11
+x x 转化为a 的函数后可得结论主．
【详解】由题意440a ∆=-≥，1a ≤，又0a >， ∴01a <≤．
1
1a
≥， 122x x +=-，12x x a =，
∴121212112
2x x x x x x a
+-+==≤-． 故答案为：(,2]-∞-．
例11．（2020·上海高一开学考试）若关于x 的一元二次方程
12
x 2
﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2
+2k （1﹣k ）的值为__________． 【答案】3
12
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根则0∆=，列出方程化简可得k 2
+2k 1
2
=，所求等式展开配凑即可得解.
【详解】∵关于x 的一元二次方程
12
x 2
﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根， ∴∆＝（﹣2k ）2
﹣412
⨯⨯（1﹣4k ）＝0，
整理得，2k 2+4k ﹣1＝0，即k 2+2k 12
=， ∴2222(2)2(1)442224k k k k k k k k k -+-=-++-=--+
()
211244322k k =-++=-+= 故答案为：312
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，属于基础题.
例12．（2020·上海高二课时练习）若1x ，2x 为方程270x x -+=的两个根，则
212-=x x ________.
【答案】27
【分析】在复数范围内解方程，代入计算得到答案.
【详解】270x x -+=，故1x =，2x =，
故(22212327x x -====.
故答案为：27.
【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
例13．（2020·上海高二课时练习）实系数方程210ax bx ++=有纯虚根的充要条件是________．
【答案】0b =，0a >
【分析】根据一元二次方程的求根公式以及充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】充分性：若0b =，0a >，则21ax =-，
即21x a =-，解得x =，所以实系数方程210ax bx ++=有纯虚根，充分性满足；
必要性：实系数方程210ax bx ++=，2b x a
-±=， 若方程210ax bx ++=有纯虚根，则0b =，240b a -<，
所以0a >，即0b =，0a >.
故答案为：0b =，0a >
【点睛】本题考查了复数的概念、充要条件的定义，属于基础题.
例14．（2020·上海高二课时练习）已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12
λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.
【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根． 则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．
∴(4,5)=-m ，
由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．
∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210
t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12
λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题. 例15．（2018·上海市金山中学高二期中）设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x +=-的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值. 【答案】23
πθ=,2a =± 【分析】先计算出方程的复数根，再利用复数相等得到θ满足的方程组，解这个方程组可以得到θ与a 的值.
【详解】解：方程2220x x +=-的根为1x i =±.
又z 在复平面内对应的点在第一象限，故1z i =+，所以()224sin 121cos 1a θθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
. 解得1cos 2
θ=-.又()0,θπ∈，故23πθ=.从而2a =±.所以23πθ=，2a =±. 【点睛】（1）实系数的一元二次方程必有两个复数根且它们是共轭复数.
（2）两个复数相等的等价条件是它们的实部与虚部分别相等.
例16.在复数范围内分解因式：2223x x ++
【难度】★
【答案】222223244x x x x ⎛
⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
11222x x ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
例17.已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．
【难度】★
【答案】920m ∆=-
当0∆>时，即920m <时，x =； 当0∆=时，即920m =时，32
x =；
当0∆<时，即920
m >时，x =． 例18已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2
αβ
∈R ，求βα的值．
【难度】★★ 【答案】∵2αβ
∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=
∴122
αβ=-± 例19.已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的
值．
【难度】★★
【答案】14p ∆=-，
（1）当0∆≥时，即14
p ≤时，12,x x
是实根，∴12||3x x -==
，即32p =⇒=-；
（2）当0∆<时，即14
p >
时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32
x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2
p x x x ===． 综上，2p =-或52． 例20已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．
【难度】★★
【答案】212m ∆=-，
（1）当0∆≥时，
即m ≥
m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；
（2）当0∆<
时，即m -<<
||||2||αβα+=== 例21.已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求
12z z ． 【难度】★★ 【答案】212121*********||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴12221121
1z z z z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴1221
41z z z z +=． 令12z t z =，则141t t +=， ∴240t t -+=，
∴12t =
，即12122
z z =±． 例22.（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值；
（2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值．
【难度】★
【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=；
（2）由题意2
(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．
例23.关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值．
【难度】★★ 【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2
(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．
（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．
①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．
当根为2时，440a a -+=．得43
a =
． 当根为2-时，440a a ++=．得45
a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）． （2）当0
b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2
，所以b = 所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
【巩固训练】
1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；
（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则
12b x x a +=-，12c x x a
=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则
221212||()x x x x -=-；
（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根．
【难度】★★
【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确
2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．
【难度】★★
【答案】27
3．已知,0x y ≠且，求20092009()()x y x y x y
+++的值. 【难度】★★
【答案】1
4．关于x 的方程22
2(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值．
【难度】★★ 【答案】5
3m =-
或2
m = 5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，
（1）求()f t 的解析式；
（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．
【难度】★★
【答案】（1
）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．
（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12
t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；
当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．
所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212
t t +=⨯=．
反思总结
对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求022=++y xy x
解
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数 的开方运算（教师版）（正式版） 【课前预习】 一、知识梳理 1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是点),(b a Z 到原点)0,0(O 的距离。 2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ ，122112||||||z z Z Z Z Z -== ，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是：12||z z - 3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z (1)线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1； (3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<； (4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。 4.一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>? 方程有两个不相等的实数根1,2x =(2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a -=; (3) 0?
复数 一、考点、热点回顾 1.复数的有关概念 （1）复数 ①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部. 注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）???? ?实数（b ＝0） 虚数（b ≠0）?????纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0 （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等的充要条件 设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部. （2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应 复平面内的点Z （a ，b ）. （2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ → . 6.复数的模 复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2. 注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小. 二、典型例题 考点一、复数的概念 例1、下列命题： ①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程 知识梳理 一、理解复数的几何意义 (1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数2 2 (,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点 (,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点 的距离. 二、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么 （1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a -； （2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a - ； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a -±， 在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法： （1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）． （2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．
例题解析 一、复数的几何意义 例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==， 12z z +=122z z -的值是______. 【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2 2 2 2a b b a a b +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由 2 2 2 424a a b a b b --+=⋅求解. 【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b 因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以2 2 2 218a a b b a b +⋅+=+=， 即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以2 2 2 44524b b a a a b -=⋅-+=，
一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义 若复数1z ，2z 满足2 12z z =，则称1z 是2z 的平方根． 2．复数的平方根的求法 2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R 即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质 复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义 类似的，若复数1z ，2z 满足3 12z z =，则称1z 是2z 的立方根． 5．1的立方根 设复数13 22 i ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ①31ω=， ①2 1322 i ωω==- -． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论 2(1)2i i -=-，2(1)2i i += 二、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的2 4b ac ?=-为根的判别式，那么 （1）0?>?方程有两个不相等的实根242b b ac a -±-； 复数的方根与实系数一元二次方程 知识梳理 图1 图2
（2）0?=?方程有两个相等的实根2b a - ； （3）0?的椭圆方程： 12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程： 12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程（练习） 夯实基础 一、单选题 1．（2021·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知复数131i z i +=-，i 为虚数单位，则z 为（ ） A B C D ．2．（2021·湖南长沙市·长沙一中高一月考）欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数83 i e π 在复平面内对 应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．（2020·全国高一）在复平面内，复数534z i i =-（i 为虚数单位），则z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝ ⎭ D ．43,55⎛⎫ - - ⎪⎝ ⎭ 4．（2021·江苏高一单元测试）设复数z 满足|z ﹣1|=1，则z 在复平面内对应的点为(x ， y )，则（ ） A ．(x +1)2+y 2=1 B ．(x ﹣1)2+y 2=1 C ．x 2+(y ﹣1)2=1 D ．x 2+(y +1)2=1 5．（2021·全国高一课时练习）复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1,2i ,5＋2i ，则由 A ， B ， C 所构成的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
6．（2021·全国高一课时练习）设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( ) A B ． C D ．7．（2021·全国高一课时练习）已知复数z 满足11z i z -=+ ，则1z += A ．1 B ．0 C D ．2 二、填空题 8．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高一月考）已知(2)i z i +=(i 为虚数单位)，则 ||z =___________. 9．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）若复数 ()()222483z m m m m i =+-+-+，()m R ∈的共轭复数z 对应的点在第一象限，则实数 m 的取值范围为___________. 10．（2021·全国高一课时练习）以下四个命题： ①满足1 z z = 的复数只有±1，±i ； ②若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数； ③|z ＋z |＝2|z |； ④复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ，其中正确的有_____. 11．（2021·全国高一课时练习）设复数z 1、z 2在复平面内的对应点分别为A 、B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i )＝3－i ，则|z 2|＝______. 12．（2021·全国高一课时练习）已知z 1,z 2∈C,|z 1+z 21|=2,|z 2|=2,则|z 1-z 2|为________. 13．（2020·上海大学附属中学高二期末）关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．
第 1 页 共 5 页 2021年新教材高中数学必修第二册：复数的几何意义 1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C. 2．向量a ＝(－2,1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i 解析：选D 向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.故选D. 3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5) 解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．故选B. 4．设O 为原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA ―→对 应的复数为( ) A ．－1＋i B ．1－i C ．－5－5i D ．5＋5i 解析：选D 因为由已知OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(－3，－2)，所以BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2,3) －(－3，－2)＝(5,5)，所以BA ―→对应的复数为5＋5i.故选D. 5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点 D ．两个圆 解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A. 6．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞) 7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.
人教B版必修第四册第十章复数 10.1.2 复数的几何意义(wd无 答案) 一、单选题 (★) 1. 已知i为虚数单位，则 A．B． C．D．3 (★★) 2. 已知复数，，其中 i为虚数单位，则下列选项中正确的是（） A．B．C．D． (★) 3. 已知 i为虚数单位，若，其中 x， y是实数，则（） A．4B．C．D．2 (★) 4. 复数的共轭复数是（） A．B．C．D． (★★) 5. 若复数与互为共轭复数，则复数的模＝（）. A．B．C．D． (★★) 6. 已知复数的共轭复数在复平面内对应的点在直线上，则 a 的值等于（） A．-2B．2C．1D．-1 (★★) 7. 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为点，则向量对应的复数为( )
A．B． C．D． (★★) 8. 当时，复数在复平面内对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 (★★) 9. 复数z 1＝a＋2i，z 2＝－2＋i，如果|z 1|<|z 2|，则实数a的取值范围是( )． A．－1
第七章 复数 7.1 复数的概念 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 一、教学目标 1、熟悉并掌握复数代数形式的加、减运算及法则； 2、正确认知复数加、减运算的几何意义； 二、教学重点、难点 重点：复数的加、减运算及其几何意义. 难点：熟练掌握复数的加、减运算及其几何意义. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数(complex number) a --复数z 的实部(real part) b --复数z 的虚部(imaginary part) 复数相等1,z a bi =+2z c di =+ 12z z a c =⇔=且b d = 【问题】我们已经将数扩充到复数集，是否可以像实数集一样，讨论发现复数的相关运算？ （二）阅读精要，研讨新知 【发现】复数加、减法的运算和法则 已知复数12(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 12()()z z a c b d i +=+++ 1221z z z z +=+ 123123()()z z z z z z ++=++
【复数加减运算的几何意义】复数12(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，分别对应于 向量12,OZ OZ ，且12(,),(,)OZ a b OZ c d ==，则 12(,)OZ OZ a c b d +=++ 复数的加、减运算几何意义 1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d +=+++←−−−→+=++一一对应 1212()()(,)z z a c b d i OZ OZ a c b d -=-+-←−−−→-=--一一对应 【例题研讨】阅读领悟课本76P 例1、例2（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.） 例1 计算(56)(2)(34)i i i -+---+. 解：(56)(2)(34)11i i i i -+---+= 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点111222(,),(,)Z x y Z x y 之间的距离. 解：由已知，111222(,),(,)Z x y Z x y 对应于复数111222,z x y i z x y i =+=+ 所以点111222(,),(,)Z x y Z x y 之间的距离为 121221||||||Z Z Z Z z z ==-2211|()()|x y i x y i =+-+ 2121|()()|x x y y i =-+-222121()()x x y y =-+- 【小组互动】完成课本77P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.
【新教材】7、1、2 复数的几何意义 教学设计（人教A版） 复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础、通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用、 课程目标: 1、理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系; 2、掌握实轴、虚轴、模等概念; 3、掌握用向量的模来表示复数的模的方法、 数学学科素养 1、数学抽象:复平面及复数的几何意义的理解; 2、逻辑推理:根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式; 3、数学运算:根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模; 4、数学建模:根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣、 重点:理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量． 难点:根据复数的代数形式描出其对应的点及向量、 教学方法:以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具:多媒体。 一、情景导入 提问:实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢? 要求:让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察、研探、 二、预习课本，引入新课
阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出? 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是虚数? 要求:学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复平面 2．复数的几何意义 ( 1)复数z ＝a ＋b i( a ，b ∈R) 复平面内的点Z (a ，b ) 、 (2)复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→ 、 [规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为( 0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数． 3．复数的模 ( 1)定义:向量OZ ―→ 的 模 r 叫做复数z ＝a ＋b i( a ，b ∈R)的模． ( 2)记法:复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|、 ( 3)公式:|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2( r ≥0，r ∈R)． 四、典例分析、举一反三 题型一 复数与复平面内的对应关系 例1求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6 a ＋3 ＋( a 2－2a －15)i( a ∈R )对应的点Z 满足下列条件: ( 1)在复平面的第二象限内． ( 2)在复平面内的x 轴上方、 【答案】( 1) a ＜－3、 ( 2)a ＞5或a ＜－3、 【解析】( 1)点Z 在复平面的第二象限内，
10.1.2 复数的几何意义 最新课程标准：1.理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点) 3.理解复数模的概念，会求复数的模．(难点) 知识点一 复数的几何意义及复数的模 1．复平面 (1)定义：________________来表示复数的平面叫做复平面； (2)实轴：在复平面内，________叫做实轴，单位是________，实轴上的点都表示________； (3)虚轴：在复平面内，________叫做虚轴，单位是________，除________外，虚轴上的点都表示________； (4)原点：原点(0,0)表示________． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应 ________________. (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应平面向量OZ → . 为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ → ，并且规定，相等的向量表示________复数． 3．复数的模 向量OZ → 的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，且|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点二 共轭复数 1．定义 如果两个复数的实部________，而虚部____________，则这两个复数叫做互为共轭复数． 2．表示 复数z 的共轭复数用z － 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，则z － ＝a －b i. [基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( ) (3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( ) 2．复数z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)其中θ∈⎝⎛⎭ ⎫π，3 2π，则复数z 在复平面上所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________，________. 题型一 复数与复平面内点的关系 例1 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上；
问题导学 一、复数的加减运算 活动与探究1 (1)(1＋3i)＋(－2＋i)－(2－i)＝__________． (2)已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝b －3i ，a ，b ∈R ，当z 1－z 2＝(1－i)＋(1＋2i)时，a ＝__________，b ＝__________． 迁移与应用 1．[(a －b )－(a ＋b )i]－[(a ＋b )－(a －b )i](a ，b ∈R )等于( )． A ．－2b －2b i B ．－2b ＋2b i C ．－2a －2b i D ．－2a －2a i 2．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)． (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加、减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 二、复数加减法几何意义的应用 活动与探究2 已知平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 对应的复数分别为1＋i,4＋3i ，－1＋3i ． 试求：(1)AD u u u r 对应的复数； (2)DB u u u r 对应的复数； (3)点C 对应的复数． 迁移与应用 1．已知复数z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋i ，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，则21P P u u u u r 对应的复数为( )． A ．－4＋5i B ．4－5i C ．－3＋2i D ．3－2i 2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA u u u r 对应的复数为1＋2i ，向量BC uuu r 对应的复数为3－i ，求： (1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积． 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB u u u r 对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】 1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i (2)z 2＋z 1z 1＋(z 2＋z 3) 预习交流1 3－4i －1＋2i 2．(2)终点 被减向量 预习交流2 －3－2i 课堂·合作探究
复数几何意义及运算 一、知识梳理 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ →. 3.复数的运算 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：z1 z2＝ a＋b i c＋d i＝ （a＋b i）（c－d i） （c＋d i）（c－d i）
＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2 (c ＋d i ≠0). 小结： 1.i 的乘方具有周期性 i n ＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ， i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3 (k ∈Z ). 2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 3.两个注意点 (1)两个虚数不能比较大小； (2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0， a －1≠0，解得a ＝2，故选B. 答案 B
实系数一元二次方程 一、单选题 1．设1z ，2z 是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）． A ．12z z > B ．12z z < C ．12=z z D ．不确定 【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22 z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案. 【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠， 所以21122()10z z z z += ，所以2121(4 z z =-， 所以1212 z i z ==±， 所以 1212z i z =±， 所以121||||122z i z =±=，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题. 2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈ ，代入方程得220,20, a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个. 故答案选：C 【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.
3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ） A ．12 B ．72 C ．12或72 D ．不存在 【答案】A 【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <， 利用根与系数的关系可得()2 212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则1222212 2244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294 m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ， ()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a < ()2 212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=-> 设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以1222212 2244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x += ，即123x x +==，即2294 m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72 m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12 m = 所以12 a = 故选：A 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题 4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,4) 【分析】由已知可得∆<0，求解即可.
复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性: i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =—i ， i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C 。 3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪ =+≠≠⎧⎨≠⎨⎪ ≠=⎩⎩ 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+ 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅， （2)()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←−−− →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈↔一一对应 复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=（a +bi ）+(c +di ）=(a +c ）+(b +d )i 。 (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1—z 2=(a +bi )—(c +di ）=(a -c ）+(b —d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义:复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈;OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b ）+（c ， d )=（a +c ，b +d ）＝（a +c ）+(b +d )i 复数减法的几何意义:复数z 1-z 2的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-，两 个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z = z B －z A 。，B A AB z AB z z ==-为两点间的距离. 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的
复数与一元二次方程 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。 从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n 次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。 复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。 知识梳理 知识梳理1. 复数的平方根与立方根 1、复数的平方根 如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2 )(，则称bi a +是 di c +的一个平方根。 【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为z 。 2、复数的立方根 若复数21,z z 满足23 1z z =，则称1z 是2z 的立方根。 【注】1的立方根有三个：1，ω，2 ω（其中i 2 321+-=ω），满足210ωω++=。 知识梳理2. 实系数的一元二次方程的根的分布 1.实系数的一元二次方程02 =++c bx ax （a 、b 、c R ∈，且0≠a ） (1)当042 >-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；
复数 复数的概念和基本运算 【知识精讲】 1 复数的定义 1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算， 便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定： ① i 可与实数进行四则运算； ② 12-=i ；这样方程12 -=x 就有解了，解为i x =或i x -= 3）复数的定义要注意以下几点： ○ 1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘 ○ 2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等 复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a c b d =⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+. 2 复数的分类 对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠ ⊂. 3 复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模 向量→ OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即
11.1 复数 一．复数的有关概念 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． 规定i 2=-1 (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)． (5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． 二．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系． 三．复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则 设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则 ①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；
②减法：； ③乘法：； ④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d ++-++-===+≠++-+． （2）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++． （3）复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅， ，1231213()z z z z z z z +=+. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 考向一 复数的基本概念 【例1】（1）复数12z i =-的虚部是 。 （2）已知复数12i z i +=，则||z = 。 12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=+⋅+=-++()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅