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复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】 例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解.【解】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选：B. 例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】本题首先可根据复数的乘法运算得出33i z =-，然后根据复数z 在复平面内对应的点为()3,3-即可得出结果.【解】()()2i 2i 1i z +=+-，即()()22i 1i 2i 22i i i 2i 33i z =+-=-+-=---，则复数z 在复平面内对应的点为()3,3-，在第四象限，故选：D.例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接利用欧拉公式化简求解，结合三角函数值的符号，即可判定复数对应的点所在的象限，得到答案.【解】由题意，欧拉公式()cos sin i e i R θθθθ=+∈，可得4cos 4sin 4i e i =+，因为cos 40,sin 40<<，所以4i e 复平面内对应的点(cos 4,sin 4)在第三象限.故选：C.【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．i422e π=- B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为12-i【答案】BCD【分析】由i cos isin x e x x =+，将所求复数化为()i ,z a b a R b R =+∈∈的形式，进而逐项判断可得其正误．【解】对A ，因为icos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），所以i4e π=，故A 错；对B ，i 2i e π=为纯虚数，故B 正确；对C ，复数i x e 1=，故C 正确；对D ，i312e π=+其共轭复数为12-，故D 正确． 故选：BCD ．【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．3π3πcos sin 44i ⎫+⎪⎝⎭【分析】根据欧拉公式i cos isin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以13π3πcos sin 1+1244z i i i -⎫==+⎪+⎝⎭.故答案为：3π3πcos sin 244i ⎫+⎪⎝⎭【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限． 【答案】四【分析】根据题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，结合2022是第四象限角，判断出cos 20220,sin 20220><，即可求出结果.【解】由题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，因为2022是第四象限角，所以cos 20220,sin 20220><，而2022i cos 2022isin 2022e =+对应的点是()cos2022,sin 2022在第四象限，故答案为：四.例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据图形求出,OA OB ，进而得到122i,i z z =--=，结合复数的减法运算即可求出12z z -，从而求得所对应的点所在的象限.【解】由图可知()()2,1,0,1OA OB =--=，所以122i,i z z =--=，因此122i i=22i z z -=-----，所以12z z -在复平面内所对应的点为()2,2--，在第三象限，故选：C.例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（ ）A ．B ．5-C ．5D 【答案】C【分析】根据共轭复数的性质得出25z z z ⋅==，结合根与系数的关系得出实数a 的值. 【解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，25z z z ⋅==，∴5a =．故选：C【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论． 【解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A ．3 B ．9C ．6πD ．9π【答案】D【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【解】复数z 满足()13z i --=，表示复数z 对应的点的轨迹是以点()1,1-为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于239S ππ=⨯=.故选：D【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________． 【答案】4【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解】由1||1z =，2||5z =，可得1z ，2z 所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆，12||z z -的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为514-=．故答案为：4．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【答案】【分析】设()i ,z a b a b R =+∈根据已知条件可得复数z 对应的点的轨迹，再利用复数模的几何意义即可求解.【解】设()i ,z a b a b R =+∈，则229a b +=，所以复数z 对应的点(),Z a b 的轨迹为以()0,0为圆心，3r =为半径的圆，即圆229x y +=，()()012i z z a b -=-++，0z z -=表示点(),a b 到点()1,2M -的距离，所以0z z -的最大值是33r OM +=+=+.故答案为：【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________． 【答案】4【分析】令i z x y =+且,x y R ∈，根据复数模的几何意义可知|34i |z --表示(3,4)与圆221x y +=上的点的距离，即可求其最小值.【解】若i z x y =+且,x y R ∈，由题意知：221x y +=即为圆心为(0,0)半径为1的圆， ∵|34i |z --的几何意义：圆221x y +=上的点到点(3,4)的距离， ∴|34i |z --的最小值为圆心(0,0)与(3,4)的距离减去半径1，∴min |34i |14z --==. 故答案为：4【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【答案】3【分析】先分析出z 的轨迹可看成圆()(212:11O x y -+=，根据几何法可以得到z 表示圆上的点到原点的距离，即可求出z 最大值.【解】11z -=的几何意义为复平面动点到定点(距离为1的点的轨迹，可看成圆()(212:11O x y -+=，z 表示圆上的点到原点的距离，所以z 最大值为圆O 1到原点距离加上半径1，即 max 1=3z .故答案为：3.【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．1【分析】设z a bi =+，可求得其轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，根据z 的几何意义可确定所求最大值为圆心到原点距离与半径之和.【解】设z a bi =+，则()1111z i a b i +-=++-=，()()22111a b ∴++-≤，z ∴对应点的轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，z表示z 对应的点到原点的距离，max 11z ∴==.1.例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________.【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出2i z =--，然后根据共轭复数以及复数的模的相关性质即可得出结果.【解】()212i i 12i 2i2i i i 1z -⨯-+====---，则2i z =-+，z ==例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 【答案】3【分析】根据纯虚数满足的条件，得223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解方程即可求出结果.【解】因为复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，所以223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，故答案为：3例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.【答案】25【分析】根据复数的运算性质得到()2i i z -=，再结合复数的除法运算和复数的概念，即可求解.【解】由题意，复数z 满足()2021505412i ii i z ⨯+=-==，可得()()()i 2i i 12=i 2i 2i 2i 55z ⋅+==-+--+， 所以复数z 的虚部为25. 故答案为：25. 例10. 若复数1z 2cos isin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______． 【答案】712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【解】1212cosisincos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2coscosicossinisincosi sinsin34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cossin i 12ππ+=， 所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π. 例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________.【答案】22-- 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数【解】因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭322⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭22=--，故答案为：i 22--例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 【答案】2【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．【解】12||||1z z ==，∴22221211||||||112z z z z -+=+=．故答案为：2．例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.【分析】令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+，由12||z z +=22(cos cos )(sin sin )2A B A B +++=，从而2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，由此能求出12||z z -．【解】复数1z ，2z 满足12||||1z z ==，∴令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+12||z z +=，22(cos cos )(sin sin )2A B A B ∴+++=，整理得2cos cos 2sin sin 0A B A B +=， 又22212||(cos cos )(sin sin )22cos cos 2sin sin 2z z A B A B A B A B -=-+-=--=，12||z z ∴-=例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．【答案】i -【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出． 【解】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++-，4(i)1-=，20214505(i)[(i)](i)i -=-⨯-=-， ∴()202120212021111i i [1(i)]i[1(i)]i i 1i 1(i)1(i)kk k k ==--⋅-----⎛⎫=-===- ⎪+----⎝⎭∑∑，故答案为：i -． 例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值； （2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果. 【解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +．【答案】（1（2）i .【分析】（1）根据复数除法法则化简z ，再由模的定义计算； （2）由i 的幂的性质分组计算得出结论．【解】化简 232i (32i)(23i)69i 4i 5i i 23i (23i)(23i)13z ++++++====--+（1）12i 1i z --=--，∴12i 1i z --=--=（2）计算22345i.i 1,i,1,i,z z z z z ===-=-==有44142431,,1,k k k k z z i z z i +++===-=-()k ∈Z ，且显然44142430k k k k z z z z ++++++=∴234z z z z ++++……20215050z z i +=⨯+=．43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求z 的共轭复数； （2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．【答案】（1）12-；（2）17⎛- ⎝⎭． 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则及两角和正余弦公式得到结果； （2）利用复数的除法运算法则及几何意义得到结果. 【详解】（1）因为2222coscossin sin i sin cos cos sin 99999999z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以221cos isin i 999922z ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故z 的共轭复数为12；（2）因为017z ====-+，所以0z 在复平面内对应的点的坐标为17⎛- ⎝⎭.。
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算（教师版）（正式版）【课前预习】一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是点),(b a Z 到原点)0,0(O 的距离。
2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -== ，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是：12||z z -3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-；(2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。
4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根1,2x =(2) 0∆=⇔方程有两个不相等的实数根1,22b x a-=; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根1,222b x a a=-±. 注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:设方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(*) 注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-== 6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足:2()a bi c di +=+,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω=12-，具有性质3221,,10ωωωωω==++=. 二、基础练习 1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ．(2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述）以复数1z =所对点(1,0)为圆心，1为半径的圆2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为_____{11-+-_______.(2)在复数集内分解因式:223x x -+=____2(x x ____. (3)若实系数一元二次方程的根为1211x x ==,则这个方程为( B ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++=3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于___26___.(2)方程22810()x x t t R -++=∈则t =____9______.4.512i +的平方根为_(32)i ±+__.5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++=__12__. 6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( C )A.2B.3C. 4D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( A )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z满足|3|z +=||z 的最大值是___________，最小值是___________．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________．(3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = _______． 解：(1) |3|z +=，即|(3z --表示以点(A -为圆心，半径的圆．||z 表示圆上的点Z 与原点O之间的距离，||OA =所以所求最大值是(2) ||||2z i z i ++-=表示线段,(0,1),(0,1),|1|BC B C z i -++表示线段BC 上的点Z 到点(1,1)D --1．(3)集合M 表示以点(1,0)E -为圆心，以1为半径的圆，集合P 表示实轴，实轴与圆交于点(0，0)和(-2，0)，则M P = {0,2}-．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为【例题解析】例1. 在复数集中解关于x 的方程： 22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．)(R m ∈分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．2解 (1)24230b ac ∆=-=-< ，所以该方程有一对共轭虚根，所以方程的根为：1233,44x x =-+=-． (2)216m ∆=-， 当0∆>时，即4m >或4m <-时，1,2x = 当0∆=时，即4m =±，若4,2m x ==-；若4,2m x =-=；当0∆<时，即44m -<<时，1,22m x =-．例2. 已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ，求实数p 的值.解：（1）当042≥-=p ∆，即22-≤≥p p 或时，24,242221-+=--=p p x p p x 则4||221-=-p x x ，由5142±=⇒=-p p （2）当042<-=p ∆，即22<<-p 时，24,242221i p p x i p p x -+=--= 则2214||p x x -=-，由3142±=⇒=-p p 综上35±±=或p 。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
【难度】★★ 【答案】由213(10),5z a i a =--+21232[(10)(25)]51z z a a i a a∴+=++-+-+-, ,3,5,01522=-==-+∴a a a a 或解得又分母不为零，3=∴a 2z 1i ∴=-+2z二、实系数一元二次方程例1．（2020·上海高二课时练习）关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根，则（ ）． A ．||2a < B ．||2a =C ．||2a >D ．||2≠a【答案】A【分析】根据判别式小于0，可解得结果.【详解】因为关于x 的方程210()++=∈x ax a R 没有实数根， 所以240a ∆=-<，所以||2a <. 故选：A.i a a z )sin 2()cos (θθ-++=i θ2≤z a【点睛】本题考查了实系数一元二次方程无实根的条件，属于基础题.例2．（2020·上海高二课时练习）方程220x x k -+=的一个根是2i -，则复数k 的值为（ ）. A ．12i + B ．5C ．12i -D ．2【答案】A【分析】将根代入方程，再根据复数运算得结果. 【详解】因为方程220x x k -+=的一个根是2i -，所以2(2)2(2)03442012i i k i i k k i ---+=∴--++=∴=+ 故选：A.【点睛】本题考查方程的根、复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．（2020·上海高二课时练习）设1z ，2z是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）． A ．12z z > B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠，所以21122()10z zz z -+=，所以2121(4z z =-，所以1212z i z ==±，所以12122z i z =±，所以121||||122z i z =±==，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.例4．（2020·上海高二课时练习）当1a >时，方程220x x a ++=有两个根m ，n ，则||||+m n 的值为（ ）．A ．2B ．2aC ．D ．2或【答案】C【分析】根据判别式小于0，可知方程有2个共轭虚根，设(,)m c di c d R =+∈，则n c di =-，根据韦达定理以及模长公式可得结果.【详解】因为1a >，所以440a ∆=-<， 所以,m n 为两个共轭虚根，设(,)m c di c d R =+∈，则n c di =-， 所以22m n c +=-=，22mn a c d ==+， 所以21,1c a d =-=+，所以|||||1||1|m n di di +=-++--===故选：C.【点睛】本题考查了虚根成对定理，考查了复数的模长公式，属于基础题.例5．（2020·上海高二课时练习）对实系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c ，下列结论不成立的是A ．当240b ac -=时，有相等的根B ．当240b ac -<时，有不相等的两虚根C ．两根1x ，2x 满足12c x x a⋅=，12bx x a +=-D ．当0ca>时，两根之积不一定为正 【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根的判别式可判断选项A ，B ；再由根与系数关系可判断选项C ，D.【详解】在实系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中， 当240b ac ∆=-=时，方程有相等的根，所以选项A 正确；当240b ac ∆=-<时，方程有两不相等的共轭虚根，所以选项B 正确； 当240b ac ∆=-≥时，方程两根12,x x，此时12c x x a⋅=，12bx x a +=-成立，当240b ac ∆=-<时，方程两根12,x x，此时12c x x a⋅=，12bx x a +=-成立，所以选项C 正确；由12c x x a⋅=，若0ca >，得两根之积为正数，所以选项D 不正确.故选：D【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判定，以及根与系数间的关系，属于基础题. 例6．（2020·北京市昌平区实验学校高一期中）方程2410x x -+=的两根为1x ，2x ，则1211x x +=________． 【答案】4【分析】由韦达定理求得1212,x x x x +，代入计算． 【详解】由题意124x x +=，121=x x ，所以1212121144.1x x x x x x ++=== 故答案为：4．例7．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，则1211x x +=___________.【答案】43【分析】利用韦达定理代入求解即可.【详解】由方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，利用韦达定理得：1212232x x x x +=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩，1212121143x x x x x x ++==⋅. 故答案为：43. 例8．（2020·上海高二课时练习）已知α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根，则22αβ+=________．【答案】510--i【分析】根据韦达定理以及配方法可求得结果.【详解】因为α，β是方程2(2)430+-++=x i x i 的两根， 所以(2)2i i αβ+=--=-+，43i αβ=+，所以2222()2(2)2(43)i i αβαβαβ+=+-=-+-+510i =--. 故答案为：510--i.【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理，属于基础题.例9．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =______.【答案】12【分析】根据关于x 的实系数的方程有两个虚根，由∆<0解得a 的范围，再根据123x x +=及两根互为共轭，由1232x x ===求解. 【详解】由16160a ∆=-<，得1a <， 因为123x x +=，所以1232x x ===即27404a a -+=， 解得12a =或72(舍)，所以12a =.故答案为：12例10．（2020·上海市金山中学高一期中）已知120,,a x x >为方程220x x a ++=的两个实数根，则1211+x x 的取值范围为______. 【答案】(],2-∞-【分析】由判别式不小于0得出a 的范围，由韦达定理得出1212,x x x x +，把1211+x x 转化为a 的函数后可得结论主．【详解】由题意440a ∆=-≥，1a ≤，又0a >， ∴01a <≤．11a≥， 122x x +=-，12x x a =，∴1212121122x x x x x x a+-+==≤-． 故答案为：(,2]-∞-．例11．（2020·上海高一开学考试）若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2+2k （1﹣k ）的值为__________． 【答案】312【分析】一元二次方程有两个相等的实数根则0∆=，列出方程化简可得k 2+2k 12=，所求等式展开配凑即可得解.【详解】∵关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根， ∴∆＝（﹣2k ）2﹣412⨯⨯（1﹣4k ）＝0，整理得，2k 2+4k ﹣1＝0，即k 2+2k 12=， ∴2222(2)2(1)442224k k k k k k k k k -+-=-++-=--+()211244322k k =-++=-+= 故答案为：312【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，属于基础题.例12．（2020·上海高二课时练习）若1x ，2x 为方程270x x -+=的两个根，则212-=x x ________.【答案】27【分析】在复数范围内解方程，代入计算得到答案.【详解】270x x -+=，故1x =，2x =，故(22212327x x -====.故答案为：27.【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.例13．（2020·上海高二课时练习）实系数方程210ax bx ++=有纯虚根的充要条件是________．【答案】0b =，0a >【分析】根据一元二次方程的求根公式以及充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】充分性：若0b =，0a >，则21ax =-，即21x a =-，解得x =，所以实系数方程210ax bx ++=有纯虚根，充分性满足；必要性：实系数方程210ax bx ++=，2b x a-±=， 若方程210ax bx ++=有纯虚根，则0b =，240b a -<，所以0a >，即0b =，0a >.故答案为：0b =，0a >【点睛】本题考查了复数的概念、充要条件的定义，属于基础题.例14．（2020·上海高二课时练习）已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根． 则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题. 例15．（2018·上海市金山中学高二期中）设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x +=-的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值. 【答案】23πθ=,2a =± 【分析】先计算出方程的复数根，再利用复数相等得到θ满足的方程组，解这个方程组可以得到θ与a 的值.【详解】解：方程2220x x +=-的根为1x i =±.又z 在复平面内对应的点在第一象限，故1z i =+，所以()224sin 121cos 1a θθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩. 解得1cos 2θ=-.又()0,θπ∈，故23πθ=.从而2a =±.所以23πθ=，2a =±. 【点睛】（1）实系数的一元二次方程必有两个复数根且它们是共轭复数.（2）两个复数相等的等价条件是它们的实部与虚部分别相等.例16.在复数范围内分解因式：2223x x ++【难度】★【答案】222223244x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-++=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例17.已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解．【难度】★【答案】920m ∆=-当0∆>时，即920m <时，x =； 当0∆=时，即920m =时，32x =；当0∆<时，即920m >时，x =． 例18已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★ 【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴122αβ=-± 例19.已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值．【难度】★★【答案】14p ∆=-，（1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-；（2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===． 综上，2p =-或52． 例20已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值．【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=；（2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+=== 例21.已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★ 【答案】212121*********||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z z z z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z z z z +=． 令12z t z =，则141t t +=， ∴240t t -+=，∴12t =，即12122z z =±． 例22.（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值；（2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值．【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=；（2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．例23.关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值．【难度】★★ 【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=．①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-． ②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）． （2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b = 所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根．【难度】★★【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()()x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值．【难度】★★ 【答案】53m =-或2m = 5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+，（1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．反思总结对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求022=++y xy x解。
