一次函数与三角形面积问题

一次函数与反比例函数求三角形面积
要求三角形的面积，首先要知道三角形的底和高。

对于一次函数，可以表示为y=ax+b。

设两个点的坐标为
（x1,y1）和（x2,y2），则可以通过这两个点求得直线的斜率
a和截距b。

斜率a即为直线的导数，表示直线的倾斜程度。

然后通过求两点间的距离|x2-x1|作为三角形的底d。

反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个常数。

对于反比例函
数来说，由于分母x不能为0，所以不能计算出具体的斜率。

在求三角形面积时，我们可以假设x的值很小，可以无限接近于0，此时y的值趋于无穷大。

这时我们可以通过取两个非常
小的点（x1,y1）和（x2,y2）求出直线斜率的极限值，即为0。

我们同样通过|x2-x1|计算出三角形的底d。

对于一次函数和反比例函数，计算出底d之后，我们还需要计算出三角形的高h。

通过已有的函数表达式，可以在直线上取
两个点（x,y1）和（x,y2），计算出点到直线的距离即可，即
为三角形的高h。

最后，根据底d和高h，可以计算出三角形的面积S = 1/2 * d
* h。

一次函数与反比例函数求三角形面积一次函数与反比例函数求三角形面积摘要：本文将介绍如何使用一次函数和反比例函数来求解三角形的面积。

这两种函数都与直线相关，而直线在几何学中起着重要的作用。

通过将三角形分割成矩形、直角三角形和平行四边形，我们可以使用一次函数来计算三角形的面积。

另外，我们还可以使用反比例函数来求解含有直角三角形斜边的三角形面积。

本文将详细介绍如何使用这两种函数来计算三角形的面积，并且提供了详细的计算步骤和示例。

第1节：一次函数与三角形面积的关系我们知道，一次函数是指变量的最高次数为1的函数。

在平面几何中，一次函数通常表示直线，直线的方程可以用一次函数的形式表示。

因此，我们可以使用一次函数来描述三角形的边界。

首先，让我们来看一个简单的例子。

假设有一个三角形ABC，其中顶点A的坐标为(x1, y1)，顶点B的坐标为(x2, y2)，而顶点C的坐标为(x3, y3)。

通过顶点A和顶点B，我们可以得到一条直线AB。

假设直线AB的方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。

接下来，我们可以使用直线AB的方程来计算三角形的面积。

三角形的面积可以通过底乘以高的方式计算，其中，底为两个顶点的横坐标之差，高为顶点A到直线AB的距离。

用数学公式表示，三角形ABC的面积为：S = 1/2 * (x2 - x1) * (y1 - (k * x1 + b))在这个公式中，我们已经通过直线AB的方程得到了斜率k和常数b。

通过代入底和高的数值，就可以计算出三角形的面积。

第2节：反比例函数与三角形面积的关系反比例函数是指函数的形式为y = k/x，其中k为常数。

在几何学中，我们可以使用反比例函数来描述平面上的角。

导出三角形的面积公式：假设有一个三角形ABC，其中角A的度数为x°，角的余弦值为y。

根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：cos(x) = y然后，我们可以通过求解cos(x) = y的方程，得到角A的度数x。

一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
在微积分计算中，我们更了解到运用三角形面积公式可以解决许多分段运算的
面积问题，而一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式便是利用这种方法的一个用例。

一次函数与坐标轴围成的三角形的面积公式为：S＝y（x2-x1）/2 。

公式中，
S表示面积，y为所求三角形的另外两个顶点与y轴之间的距离或高度，x2表示该
三角形另外两个顶点的横坐标，x1表示该三角形最低点的横坐标。

因此，我们可以利用一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式来解决各种被一
次函数围成的三角形的面积问题。

特别是在微积分课程中，大学生们可以利用这个公式来解决许多常见的分段积分问题，事半功倍。

此外，这个公式也可以解决高校考试中经常出现的“求某一段函数的积分面积”类型的试题，从而帮助考生了解到其可视化后图像所围成的三角形的线性特性，让考生更清晰地理解它们之间的联系以达成有效的求解。

总之，通过掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式，大学生们可以更加
熟练地解决分段函数的面积问题，且可以更进一步地加深理解这些函数间的关系，从而更好地应对学业中各种考据。

课题：一次函数与三角形面积问题
（第一课时）
一．内容的地位与作用：
本节课是在学习了一次函数的定义、表示方法、图象的画法、求简单的函数表达式的基础上，来研究一次函数与三角形的面积问题。

本节课是初中阶段研究的数形结合的重要一课，给出了研究的基本模式。

它的研究方法更具有一般性和代表性，初步建立数形结合的意识，可为以后学习二次函数和反比例函数打下坚实的基础。

二．教学目标：
1．会求一条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积问题；会根据间接给出的已知条件（面积）确定一次函数的表达式．
2．灵活运用数形结合的思想方法，体会分类讨论的意识．
3．感受数学学习中自主发现，交流探究，勤于思考的精神，善于联系的思维．
三．教学重点：
把一次函数图象与三角形的面积相结合，解决有关的数学问题．
四．教学难点：
由面积确定关键点的坐标
五．教学方法与手段：
采用引导发现、独立思考与小组合作交流相结合
六．数学工具：坐标纸、直尺
七．教学过程：
教学
环节
教学过程学生活动设计意图
环
节
一
引入
问题已知直线l分别与x轴、y轴交于A（2，0）、B（0，4）两点，由已知条件可以得到哪些信息？
（引出课题）学生回答．
由图象总结出
可由点的坐标
确定线段长度，
进而求出面积。

在解决问题的
过程中总结函
数图象与直线
表达式，点坐标
与线段长度之
间的关系。

一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。

北京师范大学出版社八年级上册小专题一次函数中的三角形面积问题数学组周琼2016.11.23一．教学目标：1．通过本节课的学习，了解一次函数中与三角形面积有关的常见的基本图形，掌握在一次函数中求三角形面积的解题策略、基本方法．2．指导学生进一步利用图形直观，学会观察、分析，利用“割补法”有意识地将平面直角坐标系内一般的斜三角形的面积问题转化成“有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形”，或将图形补成一个矩形或梯形并通过有关计算解决问题，进一步体会数形结合思想、建模思想、割补法等数学思想方法．3．通过学生的合作、交流、展示、分享，进一步激发学生学习数学的兴趣和积极性，享受学习的过程，感受成功的快乐，增强学习的自信心与合作学习意识．二．教学重点：教学重点：建模以及“割补法”的灵活运用．教学难点：对较难的图形进行合理的割补，选择最佳解题途径．四．教法与学法学法：自主探究、合作交流、成果分享教法：老师指导下以学生探究学习为主的分享交流、总结提升五．课前准备收集整理周末学生《好题集锦》、多媒体课件、学案．六．教学过程设计教学 教师活动学生活动设计意图环节分享 （板书课题）学生代表 展示学习成 展示1. 图片引入新课，四个学生展示周末自主学习成果，提炼出四 投影并讲 果，培养学生种常见图形．（白板板书，图略）解．能力 ．2. 引导学生观察图形特征，总结解题思路3. 过手练习如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32总 与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y2x2 相交于结点 E （-10,-14） y33提（1）S AOBB升 （ 2）S ACEAOC， x变（ 3）过 A 做 AF//y 轴交 EC 于 F ，DF则 SE式AFE探究4. 挑战自我（一题多解，选择最优解题途径板书解题过程）如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y 2x 2 相交于点1014）33独立思考，检查基础过自主完成，关情况，了解交流评价。

一次函数与三角形面积问题教学设计本教学设计旨在介绍一次函数与三角形面积问题的重要性和应用背景。

一次函数与三角形面积问题是数学中重要的概念，其应用广泛，能够帮助学生理解和应用数学知识。

一次函数是数学中最简单的一种函数，它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数。

一次函数可以描述线性关系，如直线的斜率和截距。

三角形面积问题是几何学中的经典问题，涉及到三角形的面积计算与相关性质。

通过解决三角形面积问题，学生不仅能够掌握计算面积的方法，还能加深对三角形的认识和理解。

在日常生活和实际工作中，一次函数与三角形面积问题有着重要的应用。

例如，建筑师需要计算房屋的地板面积；经济学家需要分析市场的需求曲线；物理学家需要测量三角形形状的物体的面积等等。

因此，通过研究一次函数和三角形面积问题，学生能够培养数学思维和解决实际问题的能力。

接下来，我们将介绍一次函数和三角形面积问题的基本概念，并设计教学活动帮助学生理解和应用这些概念。

教学目标明确学生在研究过程中应达到的目标，例如掌握一次函数与三角形面积问题的基本概念和计算方法。

本教学设计将详细列举教学内容和分步骤的教学方法，包括一次函数的定义、性质和常见例题，以及三角形面积计算公式和实际问题的解决方法。

一次函数的定义和性质一次函数的定义：介绍一次函数的定义，即形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数。

一次函数的性质：讲解一次函数的性质，如斜率 k 的含义、截距 b 的含义、函数图像的倾斜方向等。

一次函数的例题演练一次函数的图像绘制：给出几个一次函数的表达式，要求学生绘制出相应的函数图像，并分析图像的特征。

一次函数的斜率计算：给出一些一次函数的表达式，要求学生计算出相应函数的斜率，并解释其意义。

一次函数的解方程：提供一些一次函数的方程，要求学生解出方程的根，并用图像验证结果。

三角形面积的计算三角形面积的计算公式：介绍三角形面积的计算公式，即面积等于底边长乘以高的一半。

专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，①OD＝AD＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为31．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．D．12【答案】A【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式。

一次函数与坐标轴围成的三角形面积要计算一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，我们首先需要明确一次函数的图像和坐标轴之间的关系。

一次函数的图像是一条直线，而坐标轴是由两条垂直于彼此的直线组成的。

当一次函数与x轴相交时，我们可以找到与x轴相交的两个点，然后通过这两个点和与它们连结的线段来计算三角形的面积。

我们用y = mx + b来表示一次函数的一般形式。

其中，m是斜率，b是y轴截距。

当这个函数与x轴相交时，我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标。

假设我们找到了两个相交点(x1, 0)和(x2, 0)。

接下来，我们可以计算通过这两个点的线段的长度。

线段的长度可以通过两点之间的距离公式来计算，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在我们的情况下，y1和y2都是零，所以这个式子简化为：d=√((x2-x1)²)这个线段的长度就是一次函数与x轴相交的两点之间的水平距离。

现在，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的形式是：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三条边的长度，而s是半周长，s=(a+b+c)/2在我们的情况下，三角形的两条边就是x轴和一次函数的图像，而我们已经计算出了这两条边的长度，记为d。

所以我们可以将这些值代入到海伦公式中来计算三角形的面积：A=√(s(s-d)(s-d)(s-d))由于两边的长度都是d，我们可以简化公式为：A=√((3d/2)(d/2)(d/2)(d/2))A=√((3d/2)(d/2)³)A=√((3d/2)*(d²/4)²)A=√((3d²/8)*d²)A=(d/2)*√(3d²/2)A=(d/2)*√(3)d因此，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是(d/2)*√(3)d。

让我们通过一个具体的例子来计算一下，假设一次函数是y=2x+3、我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标：0=2x+32x=-3x=-3/2所以，我们找到了与x轴相交的两个点(-3/2,0)和(0,0)。