线性代数34矩阵秩与向量组秩的关系

矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。

“矩阵的秩与向量组的秩一致。

矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。

”怎样证明？就当做习题练一练。

设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。

分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。

（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。

”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。

分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。

前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。

逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。

（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。

）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。

（画外音：画个示意图最好。

）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。

86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。

矩阵的秩与向量组的秩一致矩阵和向量组是线性代数中非常重要的概念，秩也是矩阵和向量组中的一个重要性质。

矩阵的秩和向量组的秩之间有一个非常重要的关系，本文将对这个关系进行详细的探讨，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。

一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它可以反映出矩阵所包含的线性空间的维数。

在矩阵中，如果某些行或列之间有一定的线性关系，那么这些行或列就会被称为线性相关的行或列，相反，如果行或列之间没有任何线性关系，那么它们就被称为线性无关的行或列。

在进行矩阵的行变换或列变换时，矩阵的秩不会发生改变。

因此，我们可以通过这些变换来简化矩阵的计算，并最终得出矩阵的秩。

其中最常用的方法是高斯消元法和初等矩阵法。

从几何意义上讲，矩阵的秩可以表示为矩阵所包含的向量空间的维数。

在二维平面内的向量空间中，我们可以用一个二维矩阵来表示，这个矩阵的秩就等于所包含向量的个数；同样，在三维空间内，我们可以用一个三维矩阵来表示向量空间，其秩就代表该空间所包含的向量数。

二、向量组秩向量组秩是指一组向量的线性无关的个数，即向量组中最大的线性无关向量个数。

如果向量组中某些向量之间存在线性依赖关系，那么称这些向量是线性相关的。

因此，向量组的秩和矩阵的秩是有密切联系的。

从几何角度来看，向量组的秩可以理解为所构成的向量空间的维数。

当向量组的秩等于向量空间的维数时，这个向量组就可以作为向量空间的一组基，而向量空间中的任何向量都可以表示为这个向量组的线性组合。

矩阵的秩和向量组秩之间有一种非常重要的一致性，即矩阵的秩等于它所包含向量组的秩。

这个定理有以下两种不同的表述方式：1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A所包含的向量组的秩也为r。

这两种表述方式的本质是一样的，它们都说明了矩阵的秩与其所包含的向量组秩是完全一致的。

这个定理在线性代数的理论和实际应用中都发挥着非常重要的作用，因为它可以方便地将矩阵和向量组之间的关系进行转换和应用。

四、应用举例在实际应用中，矩阵的秩与向量组秩的一致性有很多不同的应用。

第三章 向量与向量空间§１ n 维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a （３.１） 或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（３.２）称为一个n 维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如, α,β,γ等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.实际上,n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵,n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α,β和γ为三个任意的n 维向量,其中12(,,,)n a a a = α, 12(,,,)n b b b = β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等,即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等,记为α＝β.定义 3 向量(a 1+b 1,a 2+b 2,…,a n +b n )称为α与β的和,记为α＋β.称向量(ka 1,ka 2,…,ka n )为α与k 的数量乘积,简称数乘,记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, …, 0)称为零向量,记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a 1,-a 2,…,-a n )称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质： （１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２） （α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律） （３） α＋0＝α；（４） α＋（－α）＝0； （５） k (α+β)=k α+k β； （６） （k +l )α=k α+l α； （７） k (l α)=(kl )α； （８） １α＝α； （９） 0α＝0； （１０） k 0＝0.在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１） 如果k ≠0且α≠0, 那么k α≠0.显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(１)～(１１).例1 设()11,1,0=α,()20,1,1=α,()33,4,0α=,求12332ααα+-. 解 ()()()1233231,1,020,1,13,4,0ααα+-=+- ()()()()3,3,00,2,23,4,00,1,2=+-=例 2 设()11,1,1,1α=,()21,1,1,1α'=--,()31,1,1,1α'=--,()41,1,1,1α'=--且()()()123422αβαβααβ+-+=++,求β.解 由()()()123422αβαβααβ+-+=++,得()12342223,5,3,3βαααα'=---=-通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组α１,α２,…,αs 可以排列 成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ,其中αi 为由A 的第i 行形成的子块,α１,α２,…,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组β１,β２,…,βs 可以排成一个n ×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,…,βs ）,其中βj 为Ｂ的第j 列形成的子块,β１,β２,…,βs 称为B 的列向量组.这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.§2线性相关与线性无关定义 5 向量组α１,α２,…,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使1si ii k =∑a=k １α１+k ２α２+…+k s αs ＝0. （3.3）反之,如果只有在k １= k ２ = … =k s =0时(3.3)才成立,就称α１,α２,…,αs 线性无关. 换言之,当α１,α２,…,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k １,k ２,…,k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .当α１,α２,…,αs 为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k １,k ２,…,k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例3 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ εεε 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２,…,k n 都有k １ε1+k ２ε2+…+k n εn ＝(k １,k ２,…,k n ).所以k １ε1+k ２ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1,ε2,…,εn 线性无关.ε1,ε2,…,εn 称为基本单位向量. 例4 判断向量组α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６） 的线性相关性.解 对任意的常数k １,k ２, k 3都有k １α１+k ２α２+ k 3α3=(k １+k 3,k １+2k ２+3k 3,k １+5k ２+6k 3).所以k １α１+k ２α２+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1,k 2=1,k 3=-1满足上述的方程组,因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１,α２,α3线性相关.例5 设向量组α１,α２,α3线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组β１,β２,β3也线性无关.证 对任意的常数都有k １β１+k ２β２+k 3β3=(k １+k 3)α１＋（k １+k ２)α２+(k ２+k 3)α3 .设有k １,k ２,k 3使k １β１+k ２β２+k 3β3=0.由α１,α２,α3线性无关, 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k １,k ２,k 3的取值只有k １=k ２=k 3=0,所以β１,β２,β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β１,β２,…,βt 的一个线性组合,或者说α可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出(示),如果有常数k １,k ２,…,k t 使α＝k １β１＋k ２β２+…＋k t βt . 此时,也记1ti ii k ==∑a β.例6 设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能,写出具体表达式.解 令β=k １α１+k ２α２+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α１,α２,α3,α4线性表出.例7 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解 设 γ=k １α+k ２β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k １=0,代入第二个方程得k ２=7,但k ２不满足第三个方程,故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α１,α２,…,αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.证 设α１,α２,…,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设α１=k ２α２+k 3α3+…+k s αs ,那么-α１+k ２α２+…+k s αs =0,所以α１,α２,…,αs 线性相关.反过来,如果α１,α２,…,αs 线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使k １α１＋k ２α２＋…＋k s αs =0.不妨设k １≠０, 那么32123111.s s k k k k k k =---- αααα即α１能由α２,α3,…,αs 线性表出.例如,向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１） 是线性相关的,因为α3＝３α１-α２.显然,向量组α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１,α２,α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β１,β２,…,βt 线性无关,而向量组β１,β２,…,βt ,α线性相关,则α能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且表示式是惟一的.证 由于β１,β２,…,βt ,α线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k t ,k 使k １β１+k ２β２+…+k t βt +k α=0.由β１,β２,…,βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212t t k k kk k k=---- αβββ, 即α可由β１,β２,…,βt 线性表出.设α＝l １β１+l ２β２+…＋l t βt ＝h １β１+h ２β２＋…＋h t βt为两个表示式.由α－α＝（l １β１+β２+…＋l t βt )-(h １β１+h ２β２＋…＋h t βt )=（l １-h １）β１＋（l ２-h ２）β２＋…＋（l t -h t ）βt ＝0和β１,β２,…,βt 线性无关可以得到l １=h １, l ２=h ２, …, l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α１,α２,…,αs 中每个向量都可由β１,β２,…,βt 线性表出,就称向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组β１,β２,…,βs 线性表出,向量组β１,β２,…,βs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出,那么向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上,如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑ αβ1,1,2,,,pj jm mm lj s ===∑ βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说,向量组α１,α２,…,αt 中每一个向量都可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.因而,向量组α１,α２,…,αs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组α１,α２,…,αs 与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,那么β１,β２,…,βt 也与α１,α２,…,αs 等价.(3) 传递性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,而向量组β１,β２,…,βt 又与12,,,p γγγ等价,那么α１,α２,…,αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.证 设向量组α１,α２,…,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１,α２,…,αr()r s ≤.则有不全为零的数k１,k ２,…,k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α１,α２,…,αs 也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.定理 4 设p 1,p 2,…,p n 为1, 2, …,n 的一个排列,α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 为两向量组,其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα, 即β１,β２,…,βs 是对α１,α２,…,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.证 对任意的常数k １,k ２,…,k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n ns sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑ αααααααααα 和1112221122112211122n n n p p s sp s p p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同,因此k １β１+k ２β２+…+k s βs =0当且仅当k １α１+k ２α２+…+k s αs =0.所以α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 有相同的线性相关性.定理 4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α１,α２,…,αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β１,β２,…,βt .（1）如果β１,β２,…,βs t 线性相关,那么α１,α２,…,αs 也线性相关. (2) 如果α１,α２,…,αs 线性无关,那么β１,β２,…,βs 也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理,设（α１,α２,…,αs ）＝Ａ１,(β１,β２,…,βs ）＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ,如果β１,β２,…,βs 线性相关,就有一个非零的s ×1矩阵Ｘ使（β１,β２,…,βs ）Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A ＝０. 从而（α１,α２,…,αs ）X ＝Ａ１Ｘ＝０.因此α１,α２,…,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.定理6 设A 是一个n 阶方阵,则A 的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是0A =. 证 设()ijnxnA a =,112111n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 122222n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ,12n n n nn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的列到向量组.令11220n n x x x ααα+++= . ()34- 则12,,,n ααα 线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数12,,...,,n x x x 使得()34-式成立,即齐次线性方程组120n x x A x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()35-有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,()35-式存在非零解的充分必要条件是0A =.从而定理得证.推论 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关.例8 试证明n 维列向量组α１,α２,…,αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n n n n n '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ D αααααααααααααααααα证 令矩阵A ={α１,α２,…,αn }则向量组α１,α２,…,αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]111121*********2n n n n n n n n ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦ A ααααααααααααααA αααααααααα 在上式两端取行列式,得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α１,α２,…,αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α１,α２,…,αn +1必线性相关.证 对每个αs 添加等于零的第n +1个分量,得到n +1维向量β１,β２,…,βn +1.易见,由β１,β２,…,βn +1构成的方阵的行列式等于零,因而β１,β２,…,βn +1线性相关,由定理5,易知α１,α２,…,αn +1也线性相关.推论 当m n >时,m 个n 维向量线性相关. 例9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C解 由于｜Ｂ｜＝２≠０,因此Ｂ的行(列)向量组线性无关； 由于｜Ｃ｜＝０,所以C的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出且s ＞t ,那么α１,α２,…,αs线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线 性表出,那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.其中12i i i it p p r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()1,2,,i s = .令Ａ＝（γ１,γ２,…,γs ),则(α１,α２,…,αs )＝（β１,β２,…,βt ）Ａ.由于γ１,γ２,…,γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.且s t >,根据推论知,它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵（k 1,k 2,…,k s ）′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 A γγγ. 从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 αααβββA .即有α１,α２,…,αs 线性相关.推论 1 如果向量组α１,α２,…,αs 可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且α１,α２,…,αs 线性无关,那么s t ≤.推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量.§4 向量组的秩定义 8 设存在向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足（1）部分组12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1i i s α≤≤,都有12,,,ri i i ααα线性相关.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.例10 在向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α３＝（２,－１,４,－１）中,α1,α2为它的一个极大线性无关组.首先,由α１与α２的分量不成比例,所以α1,α2线性无关,再添入α3以后,由α3＝3α1-α 2可知所得部分组线性相关,不难验证α2,α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 若向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足：（1）12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1,2,,i i s α= ,i α可由12,,,ri i i ααα线性表出.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大无关组.由此,向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价.从例10 我们发现：向量组的极大线性无关组可能不是唯一的,但是我们有下面的结论. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组12,,,s ααα的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记为()12,,,s R ααα.例如,例10中向量组α1,α2,α3的秩为2.线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组,所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1,α2,…,αs 能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,那么α1,α2,…,αs 的极大线性无关组可由β１,β２,…,βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1,α2,…,αs 的秩不超过β１,β２,…,βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设,i i i 12κ αα,,α是向量组α1,α2,…,αs 中的一个线性无关的部分组,如果α1,α2,…,αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出,那么由121121i i k i l l l κ+++++ ααα＝０就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l １＝l ２＝…＝l k =l k +1=0.这样,我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+ αα,,α.重复这个过程,最后必可得到α1,α2,…,αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例11 求向量组α1＝(1,-1,0,3),α2＝(0,1,-1,2),α3＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1,α2,α3,α4的一个线性无关的部分组,显然α2不能由α1线性表示,所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,容易证明α3＝α1+α2,但α4不能由α1,α2线性表出,所以α1,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,α4,从而α1,α2,α3,α4的秩为3,α1,α2,α4是它的一个极大线性无关组.在第二章中,我们给出了矩阵的秩的定义和计算方法,那么向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？首先,我们建立一个引理.引理 设1,2,r ααα ,是r 个n 维列向量()r n ≤,则1,2,r ααα ,线性无关的充分必要条件是矩阵A =()1,2,r ααα ,至少存在一个r 阶子式不为零.证 充分性由本章的定理5与定理6的推论可立即得到. 下面证必要性.对向量的个数r 用数学归纳法证明.当1r =时,由1α线性无关知10α≠,从而A 至少有一个1阶子式不为零. 假设 r k =时,结论成立. 当1r k n =+≤时,设12i ii ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1,2,,1,i k =+且1,2,1k ααα+ ,线性无关,则1,2,k ααα ,亦线性无关.由归纳假设,矩阵()1,2,k B ααα= ,至少存在一个k 阶子式不为零.不妨设1112121222120k k k k k kka a a a a a D a a a =≠. ()36-令12,1,2,,1i ii ki a a i k a γ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由()36-式知,12,,,k γγγ 线性无关.而1k +个k 维向量121,,,,k k γγγγ+ 线性相关,由本章的定理2,则1k γ+可由12,,,k γγγ 线性表出,即存在一组确定的数12,,,k C C C ,使得11122k k k C C C γγγγ+=+++ .从而有,110,1,2,,ki k j ijj a C ai k +=-==∑ . ()37-令1211kk j j j n b b C b βαα+=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ ,这里 ,110,1,2,,ki i k j ijj b a C ai n +==-==∑ .则由()37-知：120k b b b ==== .但因121,,,k ααα+ 线性无关,则0β≠,因此必存在某个0s b ≠()k s n <≤.于是1k +阶子式1111,12122,11,11,1k k k k k kk k k s sks k a a a a a a a a a a a a ++++()()()11,2,,i c k i c i k ++-= 111212110000kk s k k kk s sksa a a ab D a a a a b =≠. 下面,我们建立向量组的秩与矩阵的秩的关系.定理10 设A 为m n ⨯矩阵,则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证 只讨论列向量组的情况,类似可讨论行向量组的情况.设 12,,n ααα ,是A 的列向量组,()R A r =,()12,,n R S ααα= ,.首先,由()R A r =,则矩阵A 中至少存在一个阶子式0r D ≠,由本章定理5和定理6的推论知,r D 所在的A 中的r 个列向量一定线性无关,从而s r ≥；另一方面,由()12,,n R S ααα= ,,则必有s 个列向量构成A 的列向量组12,,n ααα ,的极大线性无关组.由引理知这s 个列向量构成的矩阵中至少存在一个s 阶子式不为零,从而r s ≥.于是有r s =.矩阵A 的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩,矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.推论 矩阵A 的行秩与列秩相等.由定理10的证明知,若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式,则r D 所在的r 个行和r 个列就分别是矩阵A 的行向量组和列向量组的一个极大线性无关组.求向量组的秩,只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组.同理,也可以将向量组中的各向量作为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求向量组的秩和极大无关组.例12 求向量组()11,4,1,0,2α=()2,2,5,1,3,2,α=--()30,2,2,1,0α=-,()41,2,5,6,2α=-的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表出.解 把向量组作为列向量组成矩阵A ,利用初等行变换将A 化为最简行矩阵B ：1201120145220326112503260316031622020204A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12010102001000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10030102001000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 易见 ()()3R A R B ==,B 的第1,2,3列线性无关,由于A 的列向量与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的A 的第1,2,3列线性无关,即123,,ααα是该向量组的一个极大无关组.又由矩阵B ,易得41232ααα=-. 例13已知向量组()11,2,1,1α=-()2,2,0,,0t α=()30,4,5,α=--,()43,2,4,1t α=-+-的秩为2,确定t 的值.解 考察矩阵120320421541021A t t ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-+⎢⎥--⎣⎦. 由条件知()2R A =,从而A 的所有3阶子式均为0. 故 由12204124015t t -=-+=-,得 3t =.§5 向量空间定义10 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α,β∈V 和常数k 都有α＋β∈Ｖ,ｋα∈Ｖ,就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R ｎ构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R ３也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合｛０｝构成一个向量空间. 例16 集合V ＝｛（０,ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ）｝｜ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ∈R ｝构成一个向量空间. 例17 集合V ＝｛(ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ）｜ｘ1+ｘ２＋…＋ｘｎ＝１｝不构成向量空间. 例18 设α１,α２,…,αｍ为一个n 维向量组,它们的线性组合 Ｖ＝｛ｋ１α１＋ｋ2α2+…＋k m αm ｜k １,k ２,…,k m ∈R ｝构成一个向量空间.这个向量空间称为由α１,α２,…,αｍ所生成的向量空间,记为L (α１,α２,…,αｍ).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设α１,α２,…,αｍ和β１,β２,…,βs 是两个等价的向量组.对任意的α∈L(α１,α２,…,αｍ)都可由α１,α２,…,αｍ线性表出.而向量组α１,α２,…,αｍ又可由β１,β２,…,βs 线性表出可以知道α也能由β１,β２,…,βs 线性表出,即有α∈L(β１,β２,…,βs ).由α的任意性,得L (α１,α２,…,αｍ)⊆L (β１,β２,…,βs ). 同理,L (β１,β２,…,βs )⊆L ().于是L (α１,α２,…,αｍ)＝L (β１,β２,…,βs ).定义11 如果V １和Ｖ２都是向量空间且V １⊆Ｖ２,就称Ｖ1是Ｖ２的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R ｎ的子空间.R ｎ和｛０｝称为R ｎ的平凡子空间,其他子空间称为R ｎ的非平凡子空间.定义12 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α１,α２,…,αr 满足 (1)α１,α２,…,αr 线性无关；(2) V 中任意向量都可由α１,α２,…,αr 线性表出.那么,向量组α１,α２,…,αr 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数,记作dim V ,并称V 为一个r维向量空间.如果向量空间V 没有基,就说V 的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组,那么V 的基就是它的极大线性无关组,V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时,它的维数不会超过n .定义 13 设12,,r ααα ,是r 维向量空间V 的一个基,则对于任一向量V α∈,有且仅有一组数12,,r x x x ,使1122r r x x x αααα=+++ ,有序数组12,,,r x x x 称为α在基12,,r ααα ,下的坐标,记为()12,,n x x x . 例20 设()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a ,()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ,验证α１,α２,α3是R ３的一个基并将β１,β２用这个基线性表出.解 由｜Ａ｜≠0可以知道α１,α２,α3线性无关.由于3dim 3R =,因此α１,α２,α3是R ３的一个基.设β１＝ｘ11α１＋ｘ21α2＋ｘ3１α3, β2＝ｘ12α１＋ｘ22α2＋ｘ32α3,即(β１,β２）＝（α１,α２,α３)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 那么()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ. 下面,我们给出求1A B -的一个简单方法：如果P １,Ｐ２,…,Ｐｌ为初等矩阵,使Ｐ１Ｐ２…ＰｌＡ＝Ｅ,则 Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｌ故有l １２ＰＰＰB ＝1-A B . 因此只需对矩阵（Ａ┊Ｂ）作初等行变换,当把A 变为E 时,B 就变成了Ａ－１Ｂ.（Ａ┊Ｂ）＝221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因此 12433213213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A B . 所以112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ.即1β和2β在基123,,ααα下的坐标分别是22,,133--和42,1,33.本章小结与补充向量是线性代数中最简单的数组,是矩阵的特殊情形.所谓向量的线性运算与矩阵的线性运算实质上是一致的.在本章中,我们要理解向量组的线性相关、线性无关的概念,了解其有关的重要结论,会判定向量组的线性相关(无关)性；理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义;了解向量组等价的概念及有关性质;了解向量空间、子空间、基与维数的概念;熟练掌握极大无关组、向量组的秩的计算方法.为此,我们进一步强调如下几点：1.如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义过去在学习二、三维直角坐标空间的过程中接触过向量共线、共面的概念,而向量组的线性相关实际上可以看成是对向量共线、共面的概念在向量空间的推广.线性相关与线性无关是两个相互对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：(1)线性相关的向量组存在系数不全为零的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量;(2)线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；(3)以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2.怎样判断向量组的线性相关性方法1：利用定义判断.这是判定向量组的线性相关的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组.方法2：利用行列式判断.这种方法仅适用于向量组中向量的个数与向量的维数相等的情形.设12,,n ααα ,是n 个n 维向量,以12,,n ααα ,为列（行）向量组成矩阵A ,则12,,n ααα ,线性相关的充分必要条件是0A =.方法3：利用向量组的秩(或矩阵的秩)判断. 一个向量组线性无关当且仅当它的秩等于向量组所含向量的个数(即向量组构成的矩阵是满秩的).特别地,如果向量组所含向量的个数多于向量的维数,则该向量组是线性相关的.3.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量组的秩定义为它的极大线性无关组所含向量的个数,然而,直接利用定义来求向量组的秩往往是比较麻烦的,我们通常是将向量组的秩转化为矩阵的秩来求.如果我们将向量组的每个向量作为行(或列)向量构成矩阵A ,则该向量组的秩与矩阵是相等的.4．极大线性无关组的求法方法1：逐个删去法.即对于所给向量组的向量,按自左至右的顺序逐个删去可由其前面的向量线性表出的向量,则所剩向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.方法2：初等变换法.将向量组作为列向量组成矩阵A ,用初等行变换将矩阵A 化为行阶梯形矩阵,则其首非零元所在的列所对应的矩阵A 的列向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.习题三1. 设α１＝（１,１,０）,α2＝（0,１,1）,α3＝（3,4,０）.求α１－α２及3α１＋２α２－α３.2. 设3(α１－α）＋２（α２＋α）＝５（α３＋α）,其中α１＝（２,５,１,３）,α２＝（１０,１,５,１０）,α３＝（４,１,－１,１）.求α.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组α１,α２,…,αｍ线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β１,β２,…,βs可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且α１,α２,…,αm线性相关,那么β１,β２,…,βs也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且表示式是惟一的,那么α１,α２,…,αｍ线性无关.(4) 如果当且仅当λ１＝λ２＝…＝λｍ＝０时才有λ１α１＋λ2α2+…+λmαm+λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ＝０,那么α１,α２,…,αｍ线性无关且β１,β２,…,βm也线性无关.(5) α１,α２,…,αｍ线性相关,β１,β２,…,βm也线性相关,就有不全为0的数λ１,λ２,…,λｍ使λ１α１＋λ2α2+…+λmαm＝λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ.4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β１＝α１＋α２,β2＝α2＋α3,β3＝α3＋α4,β4＝α4＋α1,证明向量组β１,β２,β３,β４线性相关.6. 设向量组α１,α２,…,αr线性无关,证明向量组β１,β２,…,βr也线性无关,这里βｉ＝α１＋α２＋…＋αｉ.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. αｉ＝（αｉ１,αｉ２,…,αｉｎ）,i＝１,２,…,ｎ.证明：如果｜ａｉｊ｜≠0,那么α１,α２,…,αn线性无关.9. 设ｔ１,ｔ２,…,ｔｒ是互不相同的数,ｒ≤ｎ.证明：ａｉ＝（１,ｔｉ,…,ｔｎ－１ｉ）,ｉ＝１,２,…,ｒ,是线性无关的.10. 设α１,α２,…,αs的秩为r且其中每个向量都可经α１,α２,…,αr线性表出.证明：α１,α２,…,αr为α１,α２,…,αs的一个极大线性无关组.11. 求向量组α1=(1,1,1,k),α2=(1,1,k,1),α3=（1,2,1,1）的秩和一个极大无关组.12. 确定向量β3=(2,a,b),使向量组β1=（1,1,0）,β2=（1,1,1）,β3与向量组α1=(0,1,1),α2=(1,2,1),α3=(1,0,-1)的秩相同,且β3可由α1,α2,α3线性表出.13. 设α１,α２,…,αn为一组n维向量.证明：α１,α２,…,αn线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.14. 若向量组（1,0,0）,（1,1,0）,（1,1,1）可由向量组α１,α２,α３线性表出,也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出,则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2) α１＝（６,４,１,－１,２）,α２＝(1,0,2,3,-4),α3＝(1,4,-9,-6,22),α4＝(7,1,0,1,3)；(3) α１＝(1,-1,2,4),α２＝(0,3,1,2),α3＝(3,0,7,14),α4＝(1,-1,2,0),α5＝(2,1,5,6).16. 设向量组α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ秩相同且α１,α２,…,αm能经β１,β２,…,βＳ线性表出.证明α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ等价.17. 设A为ｍ×ｎ矩阵,B为ｓ×n矩阵.证明：ｍaｘ｛R（Ａ）,R（Ｂ）｝≤R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦AB≤R（Ａ）＋R（Ｂ）.18. 设A为ｓ×ｎ矩阵且A的行向量组线性无关,K为r×s矩阵.证明：B＝ＫＡ行向量组线性无关的充分必要条件是R(K)=r.19. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组:(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（２）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.20. 集合V１＝｛（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ)｜ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ∈R且ｘ１+ｘ２+…+ｘｎ＝０｝是否构成向量空间?为什么?21. 试证：由α１＝（1,1,0),α2＝（1,0,1),α3＝（0,1,1)生成的向量空间恰为R３.22. 求由向量α1=(1,2,1,0),α2=(1,1,1,2),α3=(3,4,3,4),α4=(1,1,2,1),α5=(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.23. 设α１＝（1,1,0,0),α2＝（1,0,1,1)；β１＝（2,-1,3,3),β2＝（0,1,-1,-1),证明：L(α１,α２）＝Ｌ（β１,β２）.24. 在R3中求一个向量γ,使它在下面两个基（1）α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1);(2) β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1)下有相同的坐标.25. 验证α1＝（1,-1,0),α2＝（2,1,3),α3＝（3,1,2)为R３的一个基,并把β１＝（5,0,7),β2＝（-9,-8,-13)用这个基线性表示.。

§3 矩阵的秩与向量组的秩定义 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，且所有1+r 阶子式（如果存在的话）全等于零，则称D 为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作)(A R . 并规定零矩阵的秩等于0。

由行列式的性质可知，在A 中当所有1+r 阶子式全等于零时，所有高于1+r 阶的子式也全等于零，因此矩阵A 的秩)(A R 就是A 中不等于零的子式的最高阶数。

显然，A 的转置矩阵T A 的秩)()(A R A R T =.与矩阵的最高阶非零子式和矩阵的秩的定义相对应，可定义向量组的最大无关组和向量组的秩。

定义 设有向量组T ，如果（1）在T 中有r 个向量r ααα ,,,21线性无关；（2）T 中任意1+r 个向量（如果存在的话）都线性相关， 则称r ααα ,,,21是向量组T 的一个最大线性无关组，简称最大无关组，数r 称为向量组的秩。

并规定只含零向量的向量组的秩为0.矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，向量组的最大无关组也可能不止一个。

例如，向量组A :)1,2,1(1-=α ，)1,3,2(2-=α ，)1,1,4(3-=α可构成三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=114132121A方阵A 只有一个3阶子式||A ，且0||=A ，而A 的9个2阶子式恰好都不等于零，因此A 中任何一个2阶子式都是A 的最高阶非零子式。

且21,αα 是向量组A 的一个最大无关组，而32,αα 或31,αα 也都是向量组A 的最大无关组。

例1 全体n 维向量构成的向量组记作n R ，求n R 的一个最大无关组及n R 的秩。

解 我们已经证明了n 维单位坐标向量组E ：n εεε ,,,21是线性无关的，又由定理6的推论3可知，n R 中任意1+n 个向量都线性相关，因此向量组E 就是n R 的一个最大无关组，且n R 的秩等于n .显然，n R 的最大无关组很多，任何n 个线性无关的n 维向量都是n R 的最大无关组。