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【课件】人教版高中数学选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质-课件(共91张PPT)

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《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.2课时)

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.2课时)
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr Cnnbn
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以
Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂训练
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左到右第14与第15个数的比
为2:3 .
(2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 __C_15_0 __；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__171_ .
课堂训练
2.选择
（1）( 2 3 3)100 的展开式中，无理项的个数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ）
新知探究
由以上分析可以画出如下图:
新知探究
观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
新知探究
知识要点 1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
新知探究 直线r n 将函数f(r)的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴

高中数学选修2-3优质课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

高中数学选修2-3优质课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

式系数之和，则n的值为
A.15
B.10
C.8
√D.5
解析 令x＝y＝1，得(x＋3y)n的展开式中所有项的系数和为4n，
(7a＋b)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，
故4n＝210，即n＝5.
12成的规律，则a所表示的数是
A.8
√B.6
C.4
D.2
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
解答
(3)所有奇数项系数之和. 解 令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
59－1 将两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 ，
59－1 即所有奇数项系数之和为 2 .
解答
类型三 二项式系数性质的应用 例3 已知f(x)＝( 3 x2 ＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和 大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；
2
，
偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； 解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. 二项式系数之和为 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和； 解 各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
解答
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
反思与感悟
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___ 行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
解析 答案
类型二 求展开式的系数和 例2 设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值. (1)求a0； 解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.

高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数 相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数 相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和 赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求 法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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高中数学人教A版选修2-3课件：1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

高中数学人教A版选修2-3课件：1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

C������
������ -������
������ ������ (������ ≥m), C������ -1 + C������ = C ������ (������ ≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数 -1
������ -1
的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系 数之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如 0 1 果给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n= C������ + C������ + ������ 0 2 1 3 ⋯ + C������ , C������ + C������ + ⋯ = C������ + C������ + ⋯. 从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目 要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系 数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可 得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
(2+10)×9 3 + C12 2
= 274.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第 行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.
1 C������ 时,二项式的展开式的各项依次是 ������ (������ 2 2������

「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件

「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 课件(人教A版选修2-3)

Cr ·320－ r·2r≥Cr＋1·319－ r·2r＋ 1， 20 20 r － － 20－ r r－ C20·3 ·2r≥C20 1·321 r·2r 1， 3（r＋1）≥2（20－r）， 化简得 2（21－r）≥3r，
2 2 解得 7 ≤r≤8 (r∈N)， 5 5 所以 r＝8， 8 即 T9＝C20312·28·x12y8 是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第 2r－1 项系数最大， 于是
如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系 数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an.若 要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x ＝－1，x＝1，两等式相加或相减即可求出结果．
题型一
与杨辉三角有关的问题
【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的 上方，从1开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，
2
(2分)
(4分)
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中
T3＝C2(x3)3(3x2)2＝90x6， 5
2 22
T4＝C3(x3)2(3x2)3＝270x 3 . 5
(6 分)
(2)展开式的通项公式为 假设
2 ＋ r r Tr＋1＝C53 ·x3(5 2r)．
Cr 3r≥Cr－1·3r－1， 5 5 r r Tr＋1 项系数最大，则有 ＋ ＋ C53 ≥Cr 1·3r 1， 5
10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19
的值． [思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在 杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系 数，再利用组合数求解．
解 由图知，数列中的首项是 C2，第 2 项是 C1，第 3 项是 2 2 2 C2，第 4 项是 C1，„，第 17 项是 C10，第 18 项是 C1 ，第 19 3 3 10 2 项是 C11. 1 2 1 ∴S19＝(C2＋C2)＋(C1＋C3 )＋(C4＋C2)＋„＋(C1 ＋C2 )＋C2 2 3 4 10 10 11 1 2 ＝ (C 1 ＋ C 3 ＋ C 1 ＋ „ ＋ C 1 ) ＋ (C 2 ＋ C 2 ＋ „ ＋ C 11 ) ＝ 2 4 10 2 3 （2＋10）×9 ＋C3 ＝274. 12 2 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通

人教A版数学选修2-3配套课件：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质


).
A.第六项 答案:D
B.第三项 D.第五项和第七项
C.第三项和第六项
解析:由二项式定理可知,展开式中,二项式系数与对应的项的系数 的绝对值相等. 由于二项式系数的最大项为 T6,且 而
4 T5=C10 ·x6· 5 5 T6=C10 x
1 5 5 =-C10 中的二项式 ������
6 = C10 ·x-2,且
预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
3.各项二项式系数的和 0 1 2 ������ (1)C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
0 2 4 1 3 5 (2)C������ + C������ + C������ +…=C������ + C������ + C������ +…=2n-1.
1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
5 6 解:T6=C������ (2x)5,T7=C������ (2x)6,依题意有 5 5 6 6 C������ 2 =C������ 2 ⇒ n=8.
故 k=5 或 k=6. 故系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6.
1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

人教版高中数学选修2-3第一章1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 0,1,2,, n 其定义域是：
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
梳理新知
性质 内容 对称性 Cm Cnm 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 n n
增减性 如果二项式的幂指数n 是偶数，那么展开式C 的二项 与最大 式系数最大. 值 n 是奇数，那么展开式中间两项 如果二项式的幂指数 n 1 n 1 C 2 与C 2 的二项式系数最大.
n n
n 2 n
二项式 系数的 和
n 二项式的展开式的各二项式系数的和等于： 2
1 2 n n C0 C C C 2 n n n n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和
n 2 0 2 4 1 3 5 Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2n 1 2
总结反思
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学方法：数学结合 赋值法 函数思想
作业
课本35页练习1.2
k n
——————————————
Tk 1__________ C a b __________ __
n k k
2.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
1 2 3 4 5 6
a b
n
展开式的二项式系数
1 C10 1 C1 1 0 1 2 C2 1 C2 2 C2 1 0 1 3 2 C3 1 C3 3 C3 1 3 C3 0 1 2 3 4 C4 1 C4 4 C4 6 C4 4 C4 1
n
(a b)

人教A版高中数学选修2-3课件：1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)


3n 1
2
2．在的x展2 开3式x 中2x5的系数为（）
A．160B．240C．360D．800
3n 1 2
3.求(1 x) (1 x)2 (1 x)16
的展开式中项x3的系数.
4．已知(1 x) (1 x)2 (1 x)n
a0 a1x a2 x2 an xn , a1 a2 an1
空白演示
在此输入您的封面副标题
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质(二)
一般地，展开式(a的 二b)项n 式系数
有C如C nm n
（对称性）
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
n
（3）当n为偶数时，最大C
2 n
n1 n1
当n为奇数时，=且最大
C
2 n
71
C100 100
（7 C1000 799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期六
变式引申：填空
1）除23以0 7的3余数是；
2）5除55以5 81的5余数是。
例5、求精1.确9到9705.001的近似值。
课堂练习：
1.等C于n1 （ 2）Cn2
4Cn3
2
n1
C
n n
A.B.C3.Dn . 3n 1
那29么的n(展n 开N式,中n 含1)项, 的系(1数是y).6
yn
5.求值：
(1)1 C51 22 C52 24 C53 26 C54 28 C55 210 (2)310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
34 C160 33C170 32 C180 3C190
Cn2
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
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2n C0n C1n C2n L Cnn.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
Cr r3
L
Cr n1
L
C r 1 n1
Cr n1
C r 1 n
事实上，这个表在我国南宋数 学家杨辉1261年所著的《详解九章 算法》一书里已经出现了.所不同 的只是这里的表用阿拉伯数字表示， 在那本书里是用汉字表示（如右r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 n
(n
r).
根据
Cr n1
C r 1 n
Crn，
我们还可以从中发现什么规律呢？
(a+b)1 …………………………
C10
C11
(a+b)2 ………………………… C02 C12 C22
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
C66
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
__________，
1 3 6 L
C2 n1
__________，
1 4 10 L
C3 n1
__________，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
11 121
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
1 33 1
(a+b)4 ………………… 1 4 6 4 1
(a+b)5 …………
1 5 10 10 5 1
(a+b)6 ………… 1 6 15 20 15 6 1
我们还可以从中发现什么规律呢？
(a+b)1 ………………………… (a+b)2 …………………………
L
Cr n1
C r 1 r 1
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 n
(n
r).
根据
Cr n1
C r 1 n
Crn，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r 1
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
在同一行中,每行的两端都是1，与这两个1等距离的
项的系数相等；
(a+b)1 …………………………
11
(a+b)2 ………………………… 1 2 1
(a+b)3 …………………
1 33 1
(a+b)4 ………………… 1 4 6 4 1
(a+b)5 …………
(a+b)6 ………… 1 6 15 20 15 6
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
Cr r3
L
Cr n1
L
C r 1 n1
Cr n1
实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 n
(n
r).
根据
Cr n1
C r 1 n
Crn，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r 1
Cr r 1
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有
《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算
书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经
失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这
种方法出于《释锁》算书，且我国 北宋数学家贾宪（约11世纪）曾 用过，由此可以推断，我国发现 这个表不晚于11世纪.
1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … ……… ……… …
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力 工具，像开方问题、数列问题等.
正因为杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、 概率论都有密切的关系，所以历代数学家从不同角度研究 它的性质.
n = 9时
结合这几个函数图象，我们可以尝试找到一些 二项式系数的规律.
二项式系数的性质
（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等.
事实上，这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到.
直线 r n 将函数 f (r) 的图象分成
2
对称的两部分，它是图象的对称轴.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值.因为
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
C66
实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 n
(n
r).
根据
Cr n1
C r 1 n
Crn，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3
Cr r3
L
Cr n1
实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 n
(n
r).
根据
Cr n1
C r 1 n
Crn，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r 1
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
由
(nk 1)
n1
1 k
k
2
可知，当
n1 k
时，二项式系数是逐渐增大的.
2
由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间
取得最大值.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值.
当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；
当
n
是奇数时，中间的两项
C ，C n1
n 1
2
2
n
n
相等，且
同时取得最大值.
二项式系数的性质
我们可以从中发现，每一行的系数具有对称
性.除此之外,还有什么规律呢？
(a+b)1 …………………………
11
(a+b)2 ………………………… 1 2 1
(a+b)3 …………………
1 33 1
(a+b)4 ………………… 1 4 6 4 1
(a+b)5 …………
1 5 10 10 5 1
(a+b)6 ………… 1 6 15 20 15 6 1
6 1 6 15 20 15 6 1
(a+b)1 …………………………
11
(a+b)2 ………………………… 1 2 1
(a+b)3 …………………
1 33 1
(a+b)4 ………………… 1 4 6 4 1
(a+b)5 …………
1 5 10 10 5 1
(a+b)6 ………… 1 6 15 20 15 6 1
Ckn
n(n1)(n2)L (nk 1) (k 1)!k
Ck 1 n
(nk k
1)
，
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值.因为
Ckn
n(n1)(n2)L (nk 1) (k 1)!k