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幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。
幂函数图像及性质
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
性质：当α0时，幂函数y=xα有以下性质：a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大等。
幂函数的图像
幂函数的性质一、正值性质
当α0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都经过点〔1,1〕〔0,0〕；
b、函数的图像在区间[0,+∞〕上是增函数；
c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0lt;αlt;1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
二、负值性质
当αlt;0时，幂函数y=xα有以下性质：
a、图像都通过点〔1,1〕；
b、图像在区间〔0，+∞〕上是减函数；〔内容补充：假设为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间〔-∞，0〕上单调递增。
其余偶函数亦是如此〕。
c、在第一象限内，有两条渐近线〔即坐标轴〕，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有以下性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点〔0,1〕。
它的图像不是直线。
第 六 节 幂函数与函数的图像变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象知识归纳一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数 2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα<00<α<1α>1p、q都是奇数p为奇数，q为偶数α＝qpα<00<α<1α>1p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α>0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α<0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y ＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y ≥0.比如y＝|sin x|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、解题技巧1．图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称．③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称．⑤y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．⑥y ＝f (|x |)的图象可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0的图象．(3)伸缩变换①y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到． 2．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C 1与C 2的对称性，即要证明C 1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C 2上，反之亦然．3．由于幂函数y ＝x α当α<0时，图象不过坐标原点，故有关幂函数y ＝x α(α<0)的单调性问题，一定要重视分区间讨论．幂函数的定义[例1]幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为________． 幂函数的单调性[例2] (1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.分析：(1)中两个数的指数相同，故可视作幂函数y ＝x m 在x 取x 1＝0.71.3与x 2＝1.30.7时的两个函数值用单调性讨论．(2)中两个数底数不同，指数也不同，可借助中间量0.80.8(或0.70.7)，用指数函数y ＝0.8x 与幂函数y ＝x 0.8的单调性解决．下列各式中正确的是( )幂函数图象的分布规律[例3] 幂函数y ＝x m 2＋3m (m ∈Z)的图象如右图所示，则m 的值为( )A ．－3<m <0B ．－1C ．－2D ．－1或－2函数y ＝x 13 的图象是()函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)幂函数图象与性质的综合应用已知幂函数f (x )＝x m 2－6m ＋5 (m ∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f (x )的解析式为________．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5数形结合的思想[例5] 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．1D ．4已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－12，0)C ．(－13，0)D ．(－14，0)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2， x －1 3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．据解析式作函数的图象[例6] 作出下列函数的图象(1)y ＝x 3|x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝|log 2x －1|; (4)y ＝2|x －1|.y ＝|x -13 |的图象为( )设函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c的图象如图，则a ，b ，c 满足()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a一、选择题1．在下列四个函数①y ＝x 13 ②y ＝x 12 ③y ＝x －2 ④y ＝x 0中，为偶函数的是( )A ．①B ．①③C ．③④D ．①②③④2.已知函数①y ＝3x ；②y ＝ln x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 .则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②2．要将函数y ＝1＋x －1的图象变换成幂函数y ＝x 12 的图象，需要将y ＝1＋x －1的图象( )A ．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B ．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C ．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D ．向右平移一个单位，再向下平移一个单位4.设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且该函数为奇函数的所有a 值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,35.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x的值是______．7.幂函数(p ∈Z)为偶函数，且f (1)<f (4)，则实数p ＝________.三、解答题 8.已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝x m 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．。
