D18连续性间断点66477

xx0
(3) xl ix0 m f(x)f(x0).
若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C[a,b]. 例如, P (x ) a 0 a 1 x a n x n ( 有理整函数 )
2. f (x) 在点 x 0 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
思考与练习
1. 讨论函数 f(x)x2x23x12间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
在x0,1处 , f (x)连续.
谢谢！
若其中有一个为振荡 , 称 x 0 为振荡间断点 .
内容小结
1. f (x) 在点 x 0 连续的等价形式
xl ix0m f(x)f(x0)
lx i0 [f m (x 0 x ) f(x 0 ) ]0 f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 )
左连续 右连续
间断点分类:
第一类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 均存在 ,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0),称 x 0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x 0 为无穷间断点 .
f(x)f(x0)y
二、 函数的间断点
设 f ( x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一函数 f (x) 在点 x 0 不连续 :

设 f ( x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 x 0 不连续 : (1) 函数 f ( x) 在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f ( x) 不存在;
xx0
(3) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 且 lim f ( x) 存在 , 但
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P65 题*8 提示:
1 1 f( x ) π sin π x sin x
y 1 O 1
x
作业
P65 4 ; 5
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f (x)
xx0
(3)
x x 0
lim f( x ) f( x ) . 0
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若 f ( x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
[a ,b ] . 在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C
n 例如, P ( x ) a a x a x ( 有理整函数 ) 0 1 n
x x 0
lim f( x ) f( x ) 0
x 0 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 0 0
lim [ f ( x x ) f ( x )] 0 0 0
左连续 2 . f (x ) 在点 x 0 间断的类型
第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一 个不存在
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绘制草图
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。

及其性质。
基本初等函数
学生需要熟悉基本初等函数的性 质，如常数函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数等。 这些函数的连续性将在后续课程
中得到应用。
02 连续性概念及性质
连续性定义
如果函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处 有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在， 则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点 x0处的导数记为f'(x0)。
有界性、最值定理、介值定理等。
常见问题及误区提示
对连续性的理解不足
误认为函数在某点有定义就一定连续，或误认为连续函数一定可 导等。
间断点判断错误
对第一类间断点和第二类间断点的判断方法混淆，或误将某类间 断点归为其他类型。
性质应用不当
在求解实际问题时，未能正确应用连续函数的性质，如最值定理、 介值定理等。
感谢您的观看
目的
通过对连续性及间断点的学习，使学生掌握判断函数连续性 的方法，了解间断点的分类及其性质，为进一步学习高等数 学打下坚实基础。
课程内容与目标
课程内容
本课程将介绍函数连续性的定义、性质以及判断方法，重点讲解间断点的分类 （如可去间断点、跳跃间断点等）及其性质。此外，还将通过实例分析，帮助 学生理解和掌握相关知识点。
05 连续性与间断点关系探讨
连续性与可导性关系回顾
连续性是可导性的必要条件
函数在某点连续是其在该点可导的前提，但不连续的函数也可能 在某些点上可导。
可导性蕴含连续性
如果一个函数在某点可导，那么它一定在该点连续。但连续的函数 不一定处处可导。