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初中数学知识归纳统计量的计算与应用统计量是统计学中用于度量和描述数据集合特征的数值指标。
在初中数学中，我们经常会遇到统计量的计算与应用。
本文将对常见的统计量进行归纳，并介绍它们在实际问题中的应用。
一、平均数平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
计算平均数时，首先将所有数据求和，然后除以数据的个数。
平均数常用于表示一组数据的“典型”或“平衡”值。
例如，某班级6位学生的考试分数分别为85、90、78、92、88、95。
我们可以先将这些分数相加，得到85+90+78+92+88+95=528，然后再将总分528除以学生人数6，得到平均分88。
平均数在生活中有很多应用。
比如，我们可以通过计算某商品的平均价格来了解其市场价格水平；又比如，平均年龄可以用来衡量一个国家或地区的人口结构。
二、中位数中位数是按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数。
当数据个数为奇数时，中位数为排序后的中间值；当数据个数为偶数时，中位数为排序后中间两个数的平均值。
对于数据集合{3，7，2，9，1}，将其排序得到{1，2，3，7，9}，可以看出中间位置的数是3，因此中位数为3。
中位数在应用中经常用于衡量数据的“中心位置”，尤其对于有异常值的数据集合更具有稳定性。
比如，某公司员工的年龄数据{23，25，27，29，100}，若使用平均数来衡量，那么受到100这个异常值的影响会使平均年龄看起来很大；而计算中位数时，这个异常值并不能对结果产生显著影响。
三、众数众数是一组数据中出现频次最高的数值。
一个数据集合可能会有一个或多个众数，也可能没有众数。
比如，某班级8位学生的考试分数分别为85、90、78、92、88、95、90、90。
在这个数据集合中，90出现的频次最高，因此众数为90。
众数在统计学中常用于描述数据的“集中趋势”。
例如，通过分析一项产品销售数据中的众数，可以帮助企业了解市场需求，进而调整产品供应。
四、极差极差是一组数据的最大值减去最小值得到的差值。
基本的统计量 知识讲解【学习目标】1. 了解平均数、加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．3. 了解方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．4. 会画频数分布表和频数分布直方图，频率分布直方图，理解其意义和作用.5. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度. 【要点梳理】要点一、平均数和加权平均数如果一组数据：123n x x x x 、、、…，它们的平均数记作x . 这时，()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a 附近上、下波动时，一般选用简化计算公式x x a '=+.其中x '为新数据的平均数，a 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若n 个数12n x x x 、、…的权分别是12n f f f 、、…、，则112212......n nnx f x f x f f f f ++++++叫做这n 个数的加权平均数. 要点诠释：（1）相同数据i x 的个数i f 叫做权，i f 越大，表示i x 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、中位数、众数和截尾平均数1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.3.截尾平均数：一组数据去掉最大值和最小值后，求得的平均数叫做截尾平均数.要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 要点四、方差和标准差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差2s 的计算公式是：()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k 倍.方差的非负平方根叫做这组数据的标准差，用符号s 表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.要点五、频数和频率分组后各个小组内的数据的个数叫做频数.反映各小组中相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图.如果将每小组的频数除以全组数据的总的个数，就可以得到各小组数据的频数与全组数据总个数的比值，我们把这个比值叫做组频率.通常在频率分布直方图中，用每个小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率.因此在频率分布直方图中，纵坐标表示频率与组距的商，即“频率组距”，横坐标的意义与频数分布直方图相同.要点六、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【典型例题】类型一、求平均数、中位数、众数1、某电冰箱专卖店出售容积为182L 、185L 、228L 、268L 四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就作一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．(1)这组数据的平均数有实际意义吗? (2)这组数据的中位数、众数分别是多少? (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数? 【答案与解析】解：(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值． (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．(3)专卖店经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228L 型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．【总结升华】一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选择众数进行决策． 举一反三：【变式】数据1、2、4、4、3、5、l 、4、4、3、2、3、4、5，求它们的众数、中位数和平均数．【答案】解：数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列为：1、1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、5、5，最中间的两个数是3和4，它们的平均数是343.52+=，所以这组数据的中位数是3.5； 这组数据的平均数是1(2122334552) 3.2114x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式()1231n x x x x n⋅⋅⋅++++即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，∴ 候选人甲将被录用．【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用． 举一反三：【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩897885843x ++==（分）．所以8410%9030%8760%87.610%30%60%⨯+⨯+⨯=++（分）．答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?(2)设此班30名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a b +的值． 【答案与解析】解：(1)设该班得80分的有x 人，得90分的有y 人．根据题意和平均数的定义，得257330,763050260570780901003,x y x y +++++=⎧⎨⨯=⨯+⨯+⨯+++⨯⎩ 整理得13,89109,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得8,5.x y =⎧⎨=⎩即该班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16两个数均为80分，所以b ＝80，则a b +＝80＋80＝160．【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系. 举一反三：【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零请根据图表中的信息，回答以下问题.(1)求a 的值；(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数． 【答案】解：(1) a ＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为150(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12． 类型三、方差与标准差4、（2012•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．（1）a ＝_____；＝_______；（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【思路点拨】（1）根据他们的总成绩相同，得出a ＝30－7－7－5－7＝4，进而得出＝30÷5＝6；（2）根据（1）中所求得出a 的值进而得出折线图即可；（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中． 【答案与解析】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，则a ＝30－7－7－5－7＝4， ＝30÷5＝6，故答案为：4，6； （2）如图所示：；（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙；2222221=7676676=1.65s ⎡⎤-++-+-+-⎣⎦乙（）（5-6）（）（4）（） 由于2s 乙＜2s 甲，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中． 【总结升华】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可． 举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由． 【答案】解：1(9582888193798478)858x =+++++++=甲(分)， 1(8375808090859295)858x =+++++++=乙(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知85x x ==甲乙分，所以22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s =-+-++-=甲，22221[(8385)(7585)(9585)]418s =-+-++-=乙．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为x x =甲乙，22s s <乙甲，所以甲的成绩较稳定； ④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩． 类型四、直方图5、一超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其他类同）. 这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为（ ）A.5；B.7；C.16；D.33.【答案】B ；【解析】由图易得这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为5＋2＝7人. 【总结升华】本题主要考查频数分布直方图的意义，小长方形的面积等于频数. 举一反三：【变式】2012年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，全部回收.①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出了频数分布直方图的一部分如图（注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数）.请你根据以上信息，回答下列问题：（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是__________万元；（2）请在图中补全这个频数分布直方图；（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者的人数占被调查消费者总人数的百分比是__________.【答案】（1）6；（2）频数分布直方图为：（3）52％.【解析】被调查的消费者人数中，年收入为6万元的人数最多，所以被调查的消费者的年收入的众数是6万元；因为共发放了1000份调查问卷，所以购买价格在10万到20万的人数为：1000－（40＋120＋360＋200＋40）＝240（人）；打算购买价格10万元以下小车的消费者人数为：40＋120＋360＝520（人），占被调查消费者人数的百分比是。
第五单元电路欧姆定律电功率第15课时电流和电路中考回顾1.(2022·天津中考)手电筒的结构如图所示,按下按键时,电路接通,小灯泡发光。
下列手电筒的电路图正确的是()答案:B2.(2022·四川自贡中考)小谢在做实验时,先连成如图所示的电路,闭合开关S1并观察灯泡亮暗情况后,再闭合开关S2,小谢看到的现象是()A.两只灯泡一直都不亮B.两只灯泡一直亮C.两只灯泡开始都亮,后来L2不亮D.两只灯泡开始都亮,后来L1不亮答案:D3.(2022·天津中考)如图所示的实验电路,闭合开关S后,电流表A的示数为0.5 A,电流表A1的示数为0.3 A。
则通过小灯泡L1、L2的电流分别是()A.0.3 A0.2 AB.0.2 A0.3 AC.0.5 A0.3 AD.0.5 A0.2 A答案:A4.(2022·云南中考)梳过头发的塑料梳子,由于摩擦会带电,摩擦起电的本质是(选填“电荷的转移”或“创造了电荷”)。
将带电的梳子接触验电器的金属小球后金属箔片张开,金属箔片张开的原因是。
答案:电荷的转移同种电荷相互排斥5.(2021·四川成都中考)在探究并联电路中的电流规律实验中:(1)小罗同学设计的实验电路如图甲所示,她选用的电源电压是3 V。
关于小灯泡规格的选择,下列说法正确的是。
A.没有限制,可以任意选取B.小灯泡的额定电压必须为3 VC.小灯泡的规格应该不同D.必须保证小灯泡的额定电流相同(2)小罗同学将电流表接在A处,闭合开关,电流表指针位置如图乙所示。
她的电流表量程选择正确吗?答:。
(3)在得出实验结论时,我们将图甲中A、B处的电流称为支路电流,C处的电流称为电流。
答案:(1)C(2)正确(3)干路模拟预测1.下列常见的物体通常情况下都属于绝缘体的一组是()A.汽油和盐水B.黄铜和石墨C.人体和大地D.塑料和陶瓷答案:D解析:汽油、塑料、陶瓷不容易导电,是绝缘体;盐水、黄铜、石墨、人体、大地都容易导电,是导体,故选项D正确。
数学中考有关统计量的考点中考数学统计量：频数与频率频数与频率的知识扩展频数：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率：频数与数据总数的比值为频率。
频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量。
◎ 频数与频率的特性频数：在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目。
如有一组测量数据，数据的总个数N=148最小的测量值xmin=0.03，最大的测量值xmax=31.67，按组距为△x=3.000将148个数据分为11组，其中分布在15.05～18.05范围内的数据有26个，则称该数据组的频数为26。
频率：如在314159265358979324中，‘9’出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7%频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。
而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
在变量分配数列中，频数(频率)表明对应组标志值的作用程度。
频数(频率)数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数(频率)数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。
中考数学统计量：平均数平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
在统计工作中，平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。
◎ 平均数的知识扩展总体平均数：总体中所有个体的平均数，统计学中常用样本的平均数估计总体的平均数。
平均数的特性平均数的分类:样本平均数：样本中所有个体的平均数。
总体平均数：总体中所有个体的平均数，统计学中常用样本的平均数估计总体的平均数。
平均数的知识对比平均数、中位数和众数关系:联系:平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。
对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
