特殊的平行四边形的判定与性质
一、考什么(知识梳理
考点1:矩形、菱形、正方形的性质
1、矩形:矩形的两条对角线 ,矩形的四个角都是。
2、菱形:菱形的对角线 ,并且每一条对角线平分一组对角;菱形的四条边。
3、正方形:具有矩形、菱形的所有的性质。
4、对称性:矩形、菱形、正方形即是图形,也是图形。考点2:菱形的面积 S 菱形=
2
1ab (其中是a 、b 菱形的对角线的长
考点3:矩形、菱形、正方形的判定 1、矩形:(1有一个角是直角的是矩形。 (2两条对角线的平行四边形是矩形。 (3三个角都是的四边形是矩形。 2、菱形:(1有一组邻边的平行四边形是菱形。 (2两条对角线的平行四边形是菱形。 (3四条边都相等的是菱形。 3、正方形:(1有一组邻边 ,并且有一个角是平行四边形是正方形。 (2有一组邻边的矩形是正方形。 (3有一个角是的菱形式正方形。
考点4:三角形的中位线: 三角形的中位线第三边并且等于第三边的。
考点5:直角三角形斜边上的中线等于。二、怎么考(例题精讲
例1、如图,四边形ABCD 是平行四边形,添加一个条件___可使它成为矩形.
例2、如图,矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点,矩形的边分别平行与坐标轴,点C 在反比例函数2
21
k k y x
++=
的图像上.
若点A 的坐标为(-2,-2,则k 的值为(
A. 1
B. -3
C. 4
D. 1或-3
例3、如图,在一方形ABCD 中.E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED ,
(1求证:△BEC ≌△DEC :
(2延长BE 交AD 于点F ,若∠DEB=140°.求∠AFE 的度数.
例4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE =BC ,DF ⊥AE ,垂足为F ,连接DE .
例1图
(1求证:AB =DF ; (2若AD =10,AB =6,求tan ∠EDF 的值.
例5、如图,正方形ABCD 的边长为3a ,两动点E 、F 分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度
沿BC 、CD 运动,与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH
≌△BCF ,对应边EG =BC ,B 、E 、C 、G 在一直线上。 (1若BE =a ,求DH 的长;
(2当E 点在BC 边上的什么位置时,△DHE 的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值。
三、考前阅兵(课堂练习
1、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交与点O 。已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段有(
A 、2条
B 、4条
C 、5条
D 、6条
2、如图,正方形ABCD 的边长是4,∠DAC 的平分线交DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ 的最小值( A 、2 B 、4 C 、22 D 、42
3、如图,在正方形ABCD 中,点O 为对角线AC 的中点,过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ,且∠EOF =90°,BO 、EF 交于点P .则下列结论中:
(1图形中全等的三角形只有两对;
(2正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍; (3BE +BF =20A ;
(4AE 2+CF 2
=20P ?OB ,正确的结论有( 个.
A .1
B .2
C .3
D .4 4、如图,在菱形ABCD 中,AB =BD ,点
E ,
F 分别在AB ,AD 上,且AE =DF .连接BF 与DE 相交于点
G ,连接CG 与BD 相交于点
H .下列结论:
B
A
C
D
E
F
D
B C
A E F G H
3a 3a C A B
D
O
E F P M N A
E B
C
D
F
G H
第4题图
①△AED ≌△DFB ; ②S 四边形 BCDG =
4
3CG 2;③若AF =2DF ,则BG =6GF .其中正确的结
论(
A .只有①②.
B .只有①③.
C .只有②③.
D .①②③.
5、如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为。
.
6、如图,E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点,且AB =CD .下列结论:①EG
⊥FH ,②四边形EFGH 是矩形,③HF 平分∠EHG ,④EG = 1
2(BC -AD ,⑤四边形EFGH
是菱形.其中正确的个数是(
A .1
B .2
C .3
D .4
7、如图,已知边长为4的正方形ABCD ,E 为BC 的中点,连接AE 、DE ,BD 、AE 交BD
于F ,连接CF 交DE 于G ,P 为DE 的中点,连接AP 、FP ,下列结论:
①DE CF ⊥;②20
3
C D F E S =四边形;③30EAP ∠=?;④FGP ?为等腰直角三角形.,
其中正确结论的个数有( A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,且AE =EF =F A .下列结:①△ABE
≌△ADF ;②CE =CF ;③∠AEB =75°;④BE +DF =EF ;⑤S △ABE +S △ADF =S
△CEF ,其中正确的是____________________________(只填写序号.
9、正方形ABCD 边长为1,E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且AE =BF =CG =DH .设小正方形EFGH 的面积为y ,AE =x . 则y 关于x 的函数图象大致是(
x
y
O D
1 1
x
y
O C 1 1
x
y O B 1 x y
O A
-1
1
B F
C D
A
E
四边形知识点总结 第一部分、特殊四边形的性质与判定 1.四边形的基础知识： ①．过多边形的一个顶点可画（n-3）条对角线. ②．多边形的对角线条数公式是：2) 3n (n -条. ③．n 边形内角和是（n-2)*180° ④．任意多边形的外角和是360° 2．平行四边形的性质： 因为ABCD 平行四边形????????????.54321点对称中心是对角线的交 ）中心对称图形，（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 平行四边形的判定： 是平行四边形 ）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD ????? ? ? ? ?? 54321 3.矩形的性质： 因为ABCD 是矩形?????? ????.4.3;2;1有两条对称轴 形，）中心对称和轴对称图（）对角线相等 （）四个角都是直角（有性质）具有平行四边形的所 （ 矩形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且相等的（边形）对角线相等的平行四（边形）三个角都是直角的四（一个直角 ）平行四边形（4321?ABCD 是矩形. 4．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ?? ?? ? ??????.)5(24321亦可）（对角线垂直的四边形算面积可用对角线乘积的一半条对称轴有形）中心对称和轴对称图 （角）对角线垂直且平分对（）四条边都相等； （有性质；）具有平行四边形的所 （ 菱形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且垂直的（边形）对角线垂直的平行四（形）四条边都相等的四边（一组邻边相等）平行四边形（4321?ABCD 是菱形. 5．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形 ??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四条边都相等，四个 （有性质；）具有平行四边形的所 （ 正方形的判定： ?? ? ? ? ?? ++++对角线互相垂直矩形一组邻边相等矩形一个直角）菱形（对角线相等 ）菱形（)4()3(21?ABCD 是正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． （2）表示方法：用“ABCD记作，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分； （4）面积：①S= 底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． =? 3．平行四边形的判别方法 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念 （1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可． （2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可． （3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． （5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质 （1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
新天宇教育授课讲义 授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形 1 基础知识1.基础知识点(概念、公式） 1.菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质 性质1菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定 菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形． 2.矩形 矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形). 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征) 矩形性质1: 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形的判定方法． 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（菱形 ②有一个角是直角的平行四边形（矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质． 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法： (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． 注意：1、正方形概念的三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等． 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行(即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等(即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分(即：O A=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1．矩形的定义、性质与判定 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2．菱形的定义、性质与判定 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质 菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积
} 第十八章 平行四边形知识点总结 考点题型分析： 证明线段相等：①证明线段所在的两个三角形全等；②在同一个三角形中，利用等角对等边； 一．平行四边形 1.（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）表示方法： ”表示平行四边形，例如,平行四边形ABCD 记作 ABCD ，读作“平行四边形ABCD ”． 2．性质: （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：两组对边分别平行且相等；（3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==?底高ah ；②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形：方法有（5种） ①定义：两组对边分别平行 ②方法1：两组对角分别相等 ③方法2：两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分 ⑤方法4：一组对边平行且相等 二、矩形： （1）定义：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。 注意条件：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可． （2）矩形性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． （3）矩形的判定及证明四边形是矩形：方法有（3种） ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等 三、菱形： （1）菱形的定义：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。 注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可． （2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在 直线，2条）． （2）（2）菱形的判定及证明四边形是菱形：方法有（3种） ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 四、正方形： （1）定义：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （2）正方形性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）． （3）正方形的判定及证明四边形是正方形：方法有（5种） ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； 2．几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ． ② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=1 2 ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2 a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=2 12 a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为 b ，高为h ，则S 梯形= 1 ()2 a b h +． 五、梯形：（选学） （1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意把握：①一组对边平行；② 一组对边不平行 （2）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形． （3）等腰梯形性质：①边：上下底平行但不相等，两腰相等； ②角：同一底边上的两个角相等；对角互补 ③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）． （4）等腰梯形的判定： ① 同一底两个底角相等的梯形；② 对角线相等的梯形． 4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等． ② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等．
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3√10 B 、10√3 C 、9 D 、9√2 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、 8√3 3 - 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值； % （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x 2 +4+√(8?x )2+16 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 ！ 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 D E C
平行四边形 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 (1)平行四边形性质 １）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线:④平行四边形的对角线互相平分． 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. (２)平行四边形判定 １)平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面)：
A B D O C 边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2)三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. ４）平行线间的距离: 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 １）矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ２）矩形的性质: ①矩形具有平行四边形的所有性质; ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形，有两条对称轴,对称中心是对角线的交点． （2)矩形的判定 １）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形． 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一:先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；
学习-----好资料 特殊三角形的定义、性质及判定
等腰三角形 1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3.等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4.等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5.等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6.含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60° ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴 （3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°那么它所对的直角边等于斜边的
学习-----好资料 一半? ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于 30° 两个重要结论的数学解释： 已知：如图4，在△ ABC中，/ C = 90°,贝 ①如果AB = 2BC，那么/ A = 30° ; ②如果/ A = 30°,那么AB = 2BC. 直角三角形 1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“ Rt △”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB = AC且/ A = 90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半” 学习-----好资料
第一章特殊平行四边形 一、矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质： (1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5、矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． ②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． 二、菱形 1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 2．菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等． (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． (4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 3．菱形的判定： (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形． (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形． O D C B A
三．正方形 1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 它们的包含关系如图： 2．正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴． (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形． (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等． (7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22 2 b a S ==． 3．正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)． 四、三角形中位线定理： （1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。、 （2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。
2019年初三数学三角形知识点整理 【编者按】为了丰富同学们的学习生活，查字典数学网初中频道搜集整理了2019年初三数学三角形知识点整理，供大家参考，希望对大家有所帮助! 2019年初三数学三角形知识点整理 ☆内容提要☆ 三角形 分类：⑴按边分; ⑵按角分 1.定义(包括内、外角) 2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中， 3.三角形的主要线段 讨论：①定义②线的交点三角形的心③性质 ①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线 ⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质 5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6.三角形的面积 ⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7.重要辅助线 ⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8.证明方法 ⑴直接证法：综合法、分析法 ⑵间接证法反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。⑹证面积关系：将面积表示出来 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让
平行四边形知识点归纳和题型归类 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义： 的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1） ； （2） ； （3） ； （4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形?=S 4．判定：边：（1） 的四边形是平行四边形； （2） 的四边形是平行四边形； （3） 的四边形是平行四边形． 角：（4） 的四边形是平行四边形； 对角线： 的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都 ； （2）等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1．定义： 的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形?S ４．判定：（1) 的平行四边形是矩形. （2） 的平行四边形是矩形. （3） 的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的 ． 要点三、菱形 1. 定义： 的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积：2 对角线 对角线高＝ ＝底菱形??S 4．判定：（1） 的平行四边形是菱形； （2） 的平行四边形是菱形； （3） 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义：四条边都 ，四个角都是 的 形叫做正方形. 2．性质：（（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 3．面积：=S 正方形边长×边长＝ 1 2 ×对角线×对角线 4．判定：（1） 的菱形是正方形； （2） 的矩形是正方形； （3） 的菱形是正方形； （4） 的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质： 在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
平行四边形知识点归纳和题型归类【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义：的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）； （2）； （3）； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形． 角：（4）的四边形是平行四边形； 对角线：的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都； （2）等底等高的平行四边形面积 . 要点二、矩形 1．定义：的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）边：； （2）角：； （3）对角线：； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 的平行四边形是矩形. （2）的平行四边形是矩形. （3）的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的． 高 底 平行四边形 ? = S 宽 ＝长 矩形 ? S
要点三、菱形 1. 定义： 的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1） 的平行四边形是菱形； （2） 的平行四边形是菱形； （3） 的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义：四条边都 ，四个角都是 的 形叫做正方形. 2．性质：（（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）是中心对称图形，也是轴对称图形. （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 3．面积：=S 正方形边长×边长＝ 1 2 ×对角线×对角线 4．判定：（1） 的菱形是正方形； （2） 的矩形是正方形； （3） 的菱形是正方形； （4） 的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 中点四边形（拓展） 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 顺次连接 各边中点 所得的四 边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 2 对角线 对角线高＝ ＝底菱形??S M G F E D C B A C D E F M G B A B E A C G M F D A F G M B D E C
特殊三角形的定义、性质及判定 |
? 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 | 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ~ 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.
（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； > ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释： 已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 ￥
特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。
四边形知识点总结大全 1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质： 因为ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行 （ABCD 54321??? ? ? ? ? ?? . 5.矩形的性质： 因为ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ A B C D 1 23 4 A B C D A B D O C A B D O C A D B C A D B C O
6. 矩形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形 ??? ???.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 8．菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形 ??? ???.321 分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ C D A B （1） A B C D O （2）（3） C D B A O C D B A O A D B C A D B C O
特殊三角形基本知识点整理
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特殊三角形的定义、性质及判定 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角 形是等腰三角形，其 中相等的两条边分别 叫做腰，另一条边叫 做底边，两腰的夹角 叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1、等腰三角形是对称图形，顶 角平分线所在直线为它的 对称轴 2、等腰三角形两底角相等，即 在同一个等腰三角形中，等 边对等角 3、等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和高线互相 重合，简称等腰三角形的三 线合一 1、（定义法）有两 条边相等的三角形 是等腰三角形 2、如果一个三角形 有两个角相等，那 么这个三角形是等 腰三角形，即，在 同一个三角形中， 等角对等边 等边三角形三条边都相等的三角 形是等边三角形，它 是特殊的等腰三角 形，也叫正三角形 1、等边三角形的内角都相等， 且为60° 2、等边三角形是轴对称图形， 且有三条对称轴 3、等边三角形每条边上的中 线，高线和所对角的角平分 线三线合一，他们所在的直 线都是等边三角形的对称 轴 1、三条边都相等 的三角形是等 边三角形 2、三个内角都等 于60°的三角 形是等边三角 形 3、有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三 角形 直角三角形有一个角是直角的三 角形是直角三角形， 即“R t△” 1、直角三角形的两锐角互余 2、直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3、直角三角形中30°角所对 的直角边等于斜边的一半 4、直角三角形中两条直角边 的平方和等于斜边的平方 （勾股定理） 1、有一个角是直 角的三角形是 直角三角形 2、有两个角互余 的三角形是直 角三角形 3、如果一个三角 形中两条边的 平方和等于第 三条边的平 方，那么这个 三角形是直角 三角形（勾股 定理逆定理）