几何中的公理化方法

中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。

这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。

一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。

一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。

从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。

③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。

二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。

从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。

几何公理体系是指一组基本的几何公理，它们是几何学中最基本的规则和假设。

这些公理是几何学中所有其他定理和推论的基础，因此被认为是几何学的基础。

几何公理体系有多种形式，其中最著名的可能是欧几里得几何公理体系。

它包括五个基本的公理，以及一些其他的推论和定理。

这些公理是：
1.结合公理：给定直线上的两点，存在一条且仅存在一条通过这
两点的直线。

2.顺序公理：在同一条直线上，如果两点A和B被另一点C所分
隔，那么A、C两点间的距离小于C、B两点间的距离。

3.合同公理：给定两个三角形，如果它们的两边及夹角相等，则
这两个三角形是全等的。

4.平行公理：通过直线外的一点，有且仅有一条直线与已知直线
平行。

5.连续公理：所有给定的点都在同一直线上。

这些公理是几何学的基础，所有的其他几何定理和推论都可以从这些公理推导出来。

欧几里得几何公理体系是第一个系统地使用公理化方法的科学体系，对后来的数学和其他学科产生了深远的影响。

《几何学》辅导纲要第一章 公理化方法与非欧几何主要内容：1．几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义 2．希尔伯特公理体系的结构3．公理系统的相容性、独立性和完备性 4．罗氏几何和黎曼几何的数学模型 重点掌握：1．公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。

2.公理法的结构是原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明. 3．三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。

4．欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。

5．公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。

6．几何公理: 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。

在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。

因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。

7．公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时，称这个公理系统是相容的或无矛盾的。

8．欧几里得的第五公设：在一平面上如果直线l 与另外两条直线b a ,相交，有一侧的两个同侧内角βα,的和小于两直角，则直线a 与b 在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。

baαβl9．公理法的基本思想：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。

全部元素的集合构成了这种几何的空间。

在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。

10．公理系统的独立性：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这条公理在公理系统中是独立的。

如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

【题目】欧几里得原本与公理化方法公设5的证明【正文】1. 欧几里得几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部几何学著作，被认为是古代几何学的集大成之作。

其中，欧几里得的公设5引起了数学界的广泛讨论和争议。

2. 公设5，即平行公设，是欧几里得几何原本中的一个公设，它表述为“通过外一点，有且只有一条与给定直线平行的直线”。

这一公设在几何学中扮演着重要的角色，但在数学发展的过程中，曾经引发了一场反思和重构的运动。

3. 公理化方法的提出为数学领域带来了一场革命。

公理化方法的核心思想是将数学基础建立在一系列不需要证明的公设上，通过这些公设推导出更加复杂的数学定理。

公理化方法的出现，使得数学的逻辑性和严密性得到了极大的提升。

4. 那么，欧几里得的公设5是否真的需要成为基础的公设呢？这个问题一直困扰着数学家们。

在公设5的基础上，我们可以建立出完善的几何体系，但是也存在一些几何体系不满足公设5的情况。

那么，是否可以通过修改公设5或者找到替代的公设来构建更加完善和广泛适用的几何体系？5. 对于公设5的证明，数学家们做出了各种不同的尝试和探索。

有人试图使用反证法来证明公设5的必然性，也有人尝试构建基于非欧几里得几何的几何体系来证明公设5的可替代性。

这些努力都为我们提供了深刻的思考和启示。

6. 个人观点：在我看来，公设5的证明是数学领域一个非常有趣和挑战性的问题。

无论是从欧几里得的原本还是公理化方法的角度出发，都可以发现这个问题的深刻意义和价值所在。

我认为我们应该从不同角度和方法出发，去思考和探索这个问题，以寻求更加严密和丰富的几何体系。

7. 总结回顾：通过对欧几里得原本与公理化方法公设5的证明的讨论，我们不仅能够了解数学发展历程中的重要里程碑，还能够思考数学基础和逻辑推演的本质。

这个问题的探讨和解决，将为数学领域带来丰富的思想碰撞和新的发展方向。

【结尾】通过本文的探讨，相信读者对欧几里得原本与公理化方法公设5的证明有了更加深入和全面的了解。

几何公理和公理系统1．几何公理公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定．在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止．因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理．数学区别于其他学科的主要特征之一是它的推理论证的演绎性质．为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，但数学却不行．三角形内角之和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实性是经事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的．几何的其他命题也是如此．公理是怎样选定的呢?有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一直线”这条公理；有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理．公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲的空想．譬如罗氏平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏平行公理的出现做了必要的准备．这就是为什么到19世纪才产生罗氏几何的原因．理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前头，“虚数”和“非欧几何”等等都是这样．判断一个理论或公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果如何而定．只有实践才是检验真理的惟一标准．2．几何公理系统用公理化方法建立一门几何学演绎体系时，最根本的是确立该几何学的公理体系．作为一门集合学基础的原始概念和全部公理称该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间．例1欧几里得几何学中的几种不同的公理系统．（1）希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年～1943年，德国人）给出的公理系统．希尔伯特公理系统纲要：几何基础五组公理计20条，其中连续公理组和平行公理组与希尔伯特给出的顺序不同，根据需要这里把他们的顺序作了对调．其中平行公理是：欧氏平行公理平面上通过已知直线外一点最多有一条直线与已知直线不相交．（2）欧几里得《几何原本》和学几何中的公理系统．（3）别列标金著《初等几何教程》（上卷马忠林译，下卷赵慈庚等译，高等教育出版社）中的公理系统．（4）科士青著《几何学基础》（苏步青译，商务印书馆）中的公理系统．该公理系统以运动公理组代替希尔伯特公理系统中的合同公理组，原始概念采用“运动”，用运动关系定义“合同”关系．（5）伯克霍夫（G．Birkhoff,1884年～1944年，美国人）在1932年提出以“距离”和“角度”作为原始概念的公理系统．其欧氏平面几何的公理系统大意如下：原始元素为“点”“直线”;原始关系为“距离”：两点A、B的距离是一个非负的实数，记做d(A,B);“角度”：三个不同的有序点A、O、B的角度是一个实数，记做，其值域为≤≤公理1（刻度尺公理）任意直线上的点与实数一一对应，任意两点A、B所对应的数、之差的绝对值称为A、B两点间的距离，即d(A,B)=公理2通过两已知点有且只有一条直线公理3（量角器公理）通过一点O的射线l、m…与实数α一一对应，≤α≤．若异于O的点A、B，分别在l、m上，则l、m 所对应的数、之差就是,即变动．公理4（相似公理）若与，对于某一常数k>0，有，，且夹角，则必有，，．这个公理系统不再需要顺序、合同、连续、平行等公理．相似形的存在是与平行公理等价的．例2罗巴切夫斯基（1793年～1856年，俄国人)几何的公理系统．罗氏几何是非欧几何之一，产生于19世纪30年代，主要是围绕着对欧几里得第五公设的研究和证明中逐步形成的．我们在下一章及第五章里将详细地叙述罗氏几何的基本内容．这里仅给出罗氏平面几何的公理系统，其纲要如下罗巴切夫斯基平行公理在平面上，过直线外一点至少有两条直线与已知直线不相交．以上纲要表与欧氏平面几何的希尔伯特公理系统纲要表相比较，绝对公理系统部分完全相同，所演绎出来的全部内容为两种几何所共有，称为绝对几何，所差的是平行公理不同．在罗氏几何产生后不久，又产生了一另一种非欧几何，即黎曼(B．Riemann，1826年～1866年，德国人)几何．它不是完全建立在绝对公理系统之上的，需对合同公理等加以改造，其平行公理是：黎曼平行公理在平面上，过直线外一点不存在直线与已知直线不相交(即平面上任何两条直线都相交)．由于欧氏、罗氏、黎氏三条平行公理的差异很大，根据它们所推出的几何命题也有很大的差异，例如欧氏平面上，三角形内角之和等于180°．罗氏平面上，三角形内角之和小于180°．黎氏平面上，三角形内角之和大于180°．。

公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。

欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。

欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。

欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。

以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。

2.任意线段可以无限延伸成一条直线。

3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4.所有直角都相等。

5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。

其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。

然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。

在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。

因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。

现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。

通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。

例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。

通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。

尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。

总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。

2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。

3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。