第34讲 三次样条曲线与参数样条曲线

三次样条曲线推导过程三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。

下面是推导三次样条曲线的基本过程：1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中每个点Pi的坐标为(xi, yi)。

我们的目标是找到一个曲线函数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。

2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，每个曲线段由相邻的两个控制点构成。

我们有n个控制点，则会有n个曲线段。

3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连接处保持平滑。

4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定义一些参数。

引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。

假设我们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。

我们需要定义两个参数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。

5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方程。

一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *P_i+3这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。

对每个相邻的控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。

请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。

三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。

那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。

要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。

简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。

您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。

如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。

但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。

三次样条曲线有几个重要的特点。

首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。

这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。

其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。

这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。

比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。

桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。

通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。

再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。

它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。

回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。

每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。

总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。

它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。

怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。

参数样条曲线
在数学和计算科学中，参数样条曲线（Parameterized Spline Curve）是一种常用的曲线拟合方法。

它是一种插值技术，可以生成连续且平滑的曲线，根据给定的数据点集合，通过参数的变化来控制曲线的形状。

参数样条曲线的定义通常涉及一组控制点，这些控制点定义了曲线的形状和位置。

通过调整这些控制点的参数，我们可以得到不同的曲线形状。

这些参数通常是非线性的，这使得曲线具有更大的灵活性和适应性。

在计算机图形学中，参数样条曲线被广泛用于创建平滑的动画曲线，如运动路径、光影效果等。

由于其连续性和平滑性，参数样条曲线在动画制作中具有许多优点。

它们可以很容易地实现自然流畅的运动效果，同时还可以通过调整控制点参数实现复杂的形状变化。

除了计算机图形学，参数样条曲线还在计算机科学的其他领域中得到广泛应用。

例如，在计算机视觉中，参数样条曲线被用于拟合图像中的轮廓线；在机器学习中，参数样条曲线被用于拟合复杂的函数模型。

总之，参数样条曲线是一种强大的数学工具，可以用于生成连续且平滑的曲线。

通过调整控制点参数，我们可以得到各种复杂形状的曲线，并将其应用于计算机科学中的许多领域。

上课内容3/61一、背景知识1.放样与设计设计放样6/61几种典型的设计方法7/619/61打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上描线：用“压子”使“样条”通过型值点三次样条函数及其力学背景三次样条函数及其力学背景模线绘制的一般过程分段：两个“压子”之间可以认为是一段。

数学本质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同模线的形状特征具体地：给出一张函数表选择一个函数φ(x)使得φ(x i)=yi i=0,1…n作为f(x)的近似，这样函数逼近为满足上述关系式的函数φ(x)为f(x)的插值函数12/61对于寻求一个n次的代数多项式插值，必须给出n+1互异的插值基点P n (x)=a+a1x+a2x2+…+anx nPn(xi )=yii=0,1…n压铁(型值点)由于在各小段上M(x)是线性函数，因此可知，在各小段上函数y(x)18/61由样条函数构成的曲线称为样条曲线。

当要求在每个数据点处三阶或更高阶的导数也连续时，就要用高次样条，例如，五次样条有四阶导数连续。

条件:两个端点处的值与一阶导数值,a,a21/61解：设三次插值函数，对y(u)求一阶导数，即，根据端点条件，u=0,y 0,y 0’u=1, y 1,y 1’代入端点条件即二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）例题：曲线段方程y(u)=y 0F 0(u)+ y 1F 1(u) + y ’0G 0(u) + y ’1G 1(u)，式中F 0(u)、F 1(u) 、G 0(u)、G 1(u)称为埃尔米特基函数或三次混合函数。

试描述一下上述四个混合函数对曲线形状的影响。

0001231'10'123123a y a a a a y a y a a a y =+++==++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'1'01032103210001011110001y y y y a a a a 0011'20'311000001033212211a y a y a y a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]00112323'20'31010101'0'110000010()1133212211()()()()a y a y y u uu u u u u a y a y y y F u F u G u G u y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22/61function hermit()%画出Hermit基函数close all;u=linspace(0,1,20);F0=2*u.^3-3*u.^2+1;F1=-2*u.^3+3*u.^2;G0=u.*(u-1).^2;G1=u.^2.*(u-1);F0c=6*u.^2-6*u; %F0的一阶导数F1c=-6*u.^2+6*u; %F1的一阶导数G0c=3*u.^2-4*u+1; %G0的一阶导数G1c=3*u.^2-2*u; %G1的一阶导数subplot(121);plot(u,F0,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数');hold all;plot(u,F1,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1,'--b','LineWidth',2);subplot(122);plot(u,F0c,'-r','LineWidth',2);title('埃尔米特基函数的导数');hold all;plot(u,F1c,'--r','LineWidth',2);plot(u,G0c,'-b','LineWidth',2);plot(u,G1c,'--b','LineWidth',2);23/61 Ferguson曲线Bézier曲线B样条曲线25/61 4. Step3:进行拼接26/61二、三次样条曲线（用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线）5. 结论：m-关系式注意端点条件27/6129/61一个问题z给定一批型值点，如何构造处二阶连续的曲线？三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础xy x i-1x iaby iy i-1(1)按照m 关系式构造出方程组，称该方程组为三切矢方程（组），计算出各型值点处的切矢量；（2）各型值点之间的曲线段表示为：]u G m h u G m [h u F y u F y x y 1i i 01-i i 1i 01-i )()()()()(+++=30/61i1i ii1-i iC mμ2m m λ=+++三切矢方程的普通表达形式121101C m μ2m m λ=++……1-n 1-n 1-n 21-n C m μ2m m λ=++−n n如何求解：（n -1）个线性方程，内节点的m 1、m 2、…、m n -1未知三次样条函数的理论基础三次样条函数的理论基础31/61用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线这样处理，保证了在Pi-1Pi两点间严格为直线，且在直线和曲线的衔接处不会产生波动等现象，同时包括直线段在内的整条曲线有一个统一的表达式。

5.7 三次样条函数在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。

样条函数的主要优点是它的光滑程度较高，保证了插值函数二阶导数的连续性，对于三阶导数的间断，人类的眼睛已难以辨认了。

样条函数是一种隐式格式，最后需要解一个方程组，它的工作量大于多项式拉格朗日型式或牛顿型式等显式插值方法。

定义给定区间上个节点和这些点上的函数值，。

若满足；在每个小区间上至多是一个三次多项式；在上有连续的二阶导数，则称为关于剖分的三次样条插值函数，称为样条节点。

要在每个子区间上构造三次多项式，共需要个条件，由插值条件，提供了个条件；用每个内点的关系建立条件又得到个条件；再附加两个边界条件，即可惟一确定样条函数了。

用待定系数法确定了构造样条函数的存在性和惟一性。

在具体构造样条函数时一般都不使用计算量大的待定系数法。

下面给出构造三次样插值的关系式和关系式的方法。

5.7.1 三次样条插值的M关系式引入记号。

用节点处二阶导数表示样条插值函数时称为大关系式，用一阶导数表示样条插值函数时称为小关系式。

问题5.8给定插值点，怎样构造用二阶导数表示的样条插值函数，即怎样构造关系式？假设。

由于在上为线性函数，故在上做的分段线性插值函数：令，得到（5.29）对积分两次有（5.30）将代入式（5.27）可解出故在上有（5.31）在每个小区间上具有不同的表达式，但由于在整个区间上是二阶光滑的，故有列出每一个关系式，再经计算得：（5.32）其中：由式（5.32）得到个未知数的个方程组。

现补充两个边界条件，使方程组只有惟一解。

下面分三种情况讨论边界条件。

（1）给定的值时，称为自然边界条件），此时阶方程组有个未知量，即（5.33）（2）给定的值，它们分别代入在中的表达式，得到另外两个方程：于是需要解阶的方程组：（5.34）（3）被插函数以为基本周期时，即，即；即。