自同构群阶为4p~2qr的有限群

自同构群的阶等于其阶两倍的有限p-群
伍星;马玉龙;刘海林
【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(031)012
【摘要】假设G是一个有限非循环p-群,并且G的阶大于p2,如果| G |整除| Aut(G)|,则称群G为LA-群.考虑了满足2|G|=|Aut(G)|的有限p-群G,其中p≠2,分类了满足这一条件的某些有限p-群类.
【总页数】3页(P189-191)
【作者】伍星;马玉龙;刘海林
【作者单位】云南大学数学与统计学院,昆明650091;云南大学数学与统计学院,昆明650091;云南大学数学与统计学院,昆明650091
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.自同构群的阶等于其阶p倍的有限p-群 [J], 马玉龙;伍星;刘海林;
2.自同构群的阶等于其阶两倍的有限p-群 [J], 伍星;马玉龙;刘海林;
3.自同构群的阶等于其阶p倍的有限p−群 [J], 马玉龙;伍星;刘海林
4.两类p-群族的自同构群的阶 [J], 蓝永红
5.自同构群的阶为2^tpq(1≤t≤3)的有限Abel群G [J], 石静静;周芳;
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四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。

与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。

四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。

本文主要研究四元数群的自同构群。

自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。

在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。

了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。

自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。

此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。

因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。

在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。

然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。

最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。

希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。

1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。

文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。

1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。

1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。

2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。

同构意义下p2阶群的完全分类
P2阶群是一类重要的群，它们在数学、物理和计算机科学等领域都有重要的应用。

P2阶群的完全分类是一个重要的问题，它可以帮助我们更好地理解P2阶群的性质。

P2阶群的完全分类可以分为两类：一类是有限群，另一类是无限群。

有限群是指元素个数有限的群，它们可以被完全分类，比如二阶群、三阶群、四阶群等。

无限群是指元素个数无限的群，它们也可以被完全分类，比如无限二阶群、无限三阶群、无限四阶群等。

有限群的完全分类可以通过构造群的表示来实现，比如二阶群可以用一个
2×2的矩阵来表示，三阶群可以用一个3×3的矩阵来表示，四阶群可以用一个
4×4的矩阵来表示，以此类推。

无限群的完全分类可以通过构造群的表示来实现，比如无限二阶群可以用一个无限维的矩阵来表示，无限三阶群可以用一个无限维的矩阵来表示，以此类推。

P2阶群的完全分类是一个重要的问题，它可以帮助我们更好地理解P2阶群的性质，并且可以为研究者提供有用的信息。

有限群和无限群的完全分类都可以通过构造群的表示来实现，这是一个重要的研究课题，也是一个有趣的课题。

第38卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l.38N o.2J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2013文章编号:10005471(2013)02000105关于散在单群的自同构群的一个新刻画①高彦伟,曹洪平西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:设G是有限群,K1(G)是G的最高阶元的阶,K2(G)是G的次高阶元的阶,K3(G)是G的第三高阶元的阶.证明了:每一个散在单群的自同构群G均可被G的阶和K i(G)(其中iɤ3)唯一刻画.关键词:有限群;散在单群;自同构群;元的阶中图分类号:O152.1文献标志码:A人们在研究群的结构时,总是希望能够用群的最基本的特征对其进行描述.众所周知,群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念,也是描述群的两个重要的数量.那么能否用这两个数量对群进行纯数量刻画,就成了群论研究者感兴趣的一个课题.令πe(G)表示群G中元的阶的集合,文献[1]提出了这样的猜想:设G为群,H为有限单群,则G≅H当且仅当πe(G)=πe(H),|G|=|H|.文献[1-6]利用πe(G)和|G|刻画了一些有限单群.最近,文献[7]完成了文献[1]提出的猜想的证明.在此基础上,文献[8]利用πe(G)和|G|唯一地刻画了所有散在单群的自同构群.令K1(G)为G的最高阶元的阶,K2(G)为G的次高阶元的阶,文献[9]利用|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画了所有的散在单群.本文将尝试着利用|G|和群G中一些较高阶元的阶去唯一地刻画所有散在单群的自同构群,并证明如下定理:定理1设G为群,H为散在单群,则G≅A u t(H)当且仅当|G|=|A u t(H)|,K i(G)= K i(A u t(H)),其中iɤ3.本文所涉及的群均为有限群,单群均为非交换单群,G p为G的一个S y l o w p子群,其它所用的符号都是标准的,参见文献[10-12].1预备知识由文献[11]知,下列散在单群的自同构群同构于自身:M11,M23,M24,C o1,C o2,C o3,J1,J4,R u,F i23, L y,T h,B,M.文献[9]已证明了上述散在单群均可由|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画,所以本文只对J2,M12,M22,F iᶄ24,H N,OᶄN,J3,S u z,H s,H e,M c l,F i22的自同构群进行讨论.为了方便,我们在表1中列出了上述散在单群的阶及其元素阶的集合,在表2中,我们列出了上述散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元的阶.①收稿日期:20120511基金项目:国家自然科学基金(11171364);重庆市自然科学基金(C S T C.2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:高彦伟(1987),男,河南南阳人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:曹洪平,副教授.表1 一些散在单群的阶及其元素阶的集合H |H |πe (H )J 227㊃33㊃52㊃71,2, ,8,10,12,15M 1226㊃33㊃5㊃111,2, ,6,8,10,11M 2227㊃32㊃5㊃7㊃111,2, ,8,11F i ᶄ24221㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃291,2, ,18,20, ,24,26, ,30,33,35,36,39,42,45,60H N 214㊃36㊃56㊃7㊃11㊃191,2, ,12,14,15,19,20,21,22,25,30,35,40O ᶄN 29㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃311,2, ,8,10,11,12,14,15,16,19,20,28,31J 327㊃35㊃5㊃17㊃191,2, ,6,8,9,10,12,15,17,19S u z 213㊃37㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,15,18,20,21,24H s 29㊃32㊃53㊃7㊃111,2, ,8,10,11,12,15,20H e 210㊃33㊃52㊃73㊃171,2, ,8,10,12,14,15,17,21,28M c l 27㊃36㊃53㊃7㊃111,2, ,12,14,15,30F i 22217㊃39㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,16,18,20,21,22,24,30表2 一些散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元素的阶S |S |K 1(S )A u t (J 2)28㊃33㊃52㊃724A u t (M 12)27㊃33㊃5㊃1112A u t (M 22)28㊃32㊃5㊃7㊃1114A u t (F i ᶄ24)222㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃2984A u t (H N )215㊃36㊃56㊃7㊃11㊃1960A u t (O ᶄN )210㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃3156A u t (J 3)28㊃35㊃5㊃17㊃1934S |S |K 1(S )K 2(S )A u t (S u z )214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃134030A u t (H s )210㊃32㊃53㊃7㊃113020A u t (H e )211㊃33㊃52㊃73㊃174230A u t (M c l )28㊃36㊃53㊃7㊃113024S|S |K 1(S )K 2(S )K 3(S )A u t (F i 22)218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃134236302 定理1的证明定理1的证明将由下面的3个定理给出.定理2 设G 为群,H =J 2,M 12,M 22,F i ᶄ24,H N ,O ᶄN ,J 3.则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K 1(G )=K 1(A u t (H )).证 必要性是显然的,只需证充分性.由于证明过程类似,因此只对H =J 2的情况讨论.当H =J 2时,注意到|A u t (J 2)|=28㊃33㊃52㊃7,K 1(A u t (J 2))=24,证明分3步完成:(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7}⊆π(M ).事实上,假设7ɪπ(M ),而5∉π(M ),则5ɪπ(G /M ).令M 7为M 的S yl o w7子群,由7 |G |知,|M 7|=7.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 7)M ,于是G /M ≅N G (M 7)/N G (M 7)ɘM ,故5ɪπ(N G (M 7)).于是N G (M 7)中有35阶子群,而35阶群是循环群,故G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).当5ɪπ(M )时,假设7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 5为M 的S yl o w5子群,则|M 5|=5i (1ɤi ɤ2).同理可知7ɪπ(N G (M 5)),故N G (M 5)中有7阶子群,不妨设为L 7.令K =M 5L 7,由S y l o w 定理知L 7◁_K ,显然M 5◁_K ,且M 5ɘL 7=1,故K 为M 5和L 7的直积.所以K 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当5ɪπ(M )2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.时,7ɪπ(M ),故{5,7}⊆π(M ).又因{5,7}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含两个不同的素数5和7,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于7 |G|,从而7 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.(b )M /N ≅J 2.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (J 2)|,且5㊃7||M /N |,7为|M /N |的最大素因子,则由A t l a s 表知M /N 可能同构于J 2,L 3(4),A 7或A 8.若M /N ≅L 3(4),A 7,A 8,则5|M /N |,而52||G |,5⫮|N |,故5||G /M |.类似步骤(a )的证明知G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾,故M /N ≅J 2.(c )G ≅A u t (J 2).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即J 2<~G /C <~Au t (J 2),比较阶有G /C ≅J 2或G /C ≅A u t (J 2).若G /C ≅J 2,则|C |=2,于是G 中有30阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (J 2),从而C =1,G ≅A u t (J 2).定理3 设G 为群,H =S u z ,H s ,H e ,M c l ,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ2.证 必要性是显然的,只需证充分性,分4种情形证明:情形1 当H =S u z 时,注意到|A u t (S u z )|=214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (S u z ))=40,K 2(A u t (S u z ))=30.(a )同定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅S u z .由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (S u z )|,且11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知M /N 可能同构于A 13或S u z .若M /N ≅A 13,由于A 13中有35阶元,所以M 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=40,K 2(G )=30矛盾.故M /N ≅S u z .(c )类似定理2中步骤(c )的证明知G ≅A u t (S u z ).情形2 当H =H s 时,注意到|A u t (H s )|=210㊃32㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (H s ))=30,K 2(A u t (H s ))=20.(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7,11}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7,11}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7,11}⊆π(M ).事实上,假设11ɪπ(M ),而7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 11为M 的S y l o w11子群,由11 |G |知,|M 11|=11.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 11)M .于是G /M ≅N G (M 11)/N G (M 11)ɘM ,故7ɪπ(N G (M 11)),于是N G (M 11)中有77阶子群.而77阶群是循环群,故G 中有77阶元,这与K 1(G )=30矛盾.所以当11ɪπ(M )时,7ɪπ(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).所以当11ɪπ(M )时,有{5,7}⊆π(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,有{5,11}⊆π(M );当5ɪπ(M )时,有{7,11}⊆π(M ).故{5,7,11}⊆π(M ).又因{5,7,11}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7,11}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含3个不同的素数5,7,11,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于11 |G |,从而11 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅H s .(c )G ≅A u t (H s ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G(췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即3第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. All Rights Reserved.H s <~G /C <~Au t (H s ),比较阶有G /C ≅H s 或G /C ≅A u t (H s ).若G /C ≅H s ,则|C |=2,于是G 中有22阶元,这与K 1(G )=30,K 2(G )=20矛盾.所以G /C ≅A u t (H s ),从而C =1,G ≅A u t (H s ).情形3 当H =H e 时,注意到|A u t (H e )|=211㊃33㊃52㊃73㊃17,K 1(A u t (H e ))=42,K 2(A u t (H e ))=30.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且7㊃17||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知M /N ≅H e .(c )G ≅A u t (H e ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即H e <~G /C <~Au t (H e ),比较阶有G /C ≅H e 或G /C ≅A u t (H e ).若G /C ≅H e ,则|C |=2,于是G 中有34阶元,这与K 1(G )=42,K 2(G )=30矛盾.所以G /C ≅A u t (H e ),从而C =1,G ≅A u t (H e ).情形4 当H =M c l 时,注意到|A u t (M c l )|=28㊃36㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (M c l ))=30,K 2(A u t (M c l ))=24.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11||M/N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅M c l .(c )G ≅A u t (M c l ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即M c l <~G /C <~Au t (M c l ),比较阶有G /C ≅M c l 或G /C ≅A u t (M c l ).若G /C ≅M c l ,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张,且C ɤZ (G ).由于M c l 的舒尔乘子为3,所以C ɤ/G ᶄ,从而C ɘG ᶄ=1.又因G /C ≅M c l ≅(G /C )ᶄ=G ᶄC /C ,所以G =G ᶄC ,G =G ᶄˑC .但M c l ≅G /C ≅G ᶄ,所以G ≅M c l ˑC ,于是K 1(G )=30,K 2(G )=22,这与K 1(G )=30,K 2(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (M c l ),从而C =1,G ≅A u t (M c l ).注1 当H =H s ,H e ,M c l 时,|Z 2ˑH |=|A u t (H )|,且K 1(Z 2ˑH )=K 1(A u t (H )).但Z 2ˑH 与A u t (H )不同构,故A u t (H )不能用|A u t (H )|和K 1(A u t (H ))来刻画.定理4 设G 为群,H =F i 22,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ3.证 必要性是显然的,只需证充分性.当H =F i 22时,注意到|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (F i 22))=42,K 2(A u t (F i 22))=36,K 3(A u t (F i 22))=30.(a )类似定理3中情形2步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅F i 22.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (F i 22)|,且3㊃11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知,M /N 可能同构于A 13,S u z 或F i 22.若M /N ≅A 13,则35 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.同步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.若M /N ≅S u z ,则37 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.类似步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.故M /N ≅F i 22.(c )G ≅A u t (F i 22).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]中的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡ4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即F i 22<~G /C <~Au t (F i 22),比较阶有G /C ≅F i 22或G /C ≅A u t (F i 22).若G /C ≅F i 22,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张.若C 在G 中有补,则G ≅C ˑF i 22,这时K 1(G )=42,K 2(G )=30,这与K 1(G )=42,K 2(G )=36矛盾;若C 在G 中没有补,则G ≅C .F i 22≅2.F i 22,由A t l a s 表知K 1(G )=30,这与K 1(G )=42矛盾.所以G /C ≅A u t (F i 22),从而C =1,G ≅A u t (F i 22).注2 |Z 2ˑF i 22|=|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,且K 1(Z 2ˑF i 22)=K 1(A u t (F i 22))=42.但Z 2ˑF i 22与A u t (F i 22)不同构,故A u t (F i 22)不能用|A u t (F i 22)|和K 1(A u t (F i 22))来刻画.参考文献:[1]S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e S p o r a d i c S i m p l eG r o u p s [M ].N e w -Y o r k :W a l t e r d eG r u y t e r ,1989:531-540.[2] S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o no f S o m e S i m p l eG r o u p s o f L i eT y p e [J ].C o n t e m p o r a r y M a t h ,1989,82:171-180.[3] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA l t e r n a t i n g G r o u p s [J ].S o u t h e a s tA s i a nB u l l e t i no fM a t h e m a t i c s ,1992,1(6):81-90.[4] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o n o f S u z u k i -R e e g r o u p s [J ].S c i e n c e i nC h i n a :S e rA ,1991,34(6):14-19.[5] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .A C h a r a c t e r i s t i cP r o p e r t y f o rE a c hF i n i t eP r o j e c t i v eS p e c i a lL i n e a rG r o u p [M ].N e w -Y o r k :S p r i n g e r ,1989:171-180.[6] S H IW u -j i e .P u r eQ u a n t i t a t i v eC h a r a c t e r i z a t i o no fF i n i t eS i m p l eG r o u p s [J ].P r o g r e s s i nN a t u r eS c i e n c e ,1994,4(3):316-326.[7] V A S I L E V A V ,G R E C H K O S E E V A M A ,MA Z U R O V VD.C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e F i n i t e S i m p l eG r o u p s b y S p e c t r u m a n dO r d e r [J ].A l g e b r a a n dL o g i c ,2009,48(6):385-409.[8] 申 红.阶对有限群的刻画[D ].重庆:西南大学,2011.[9] 何立官.群的阶及最高阶元素的阶与群的结构[D ].重庆:西南大学,2012.[10]HU P P E R TB .E n d l i c h eG r u p p e n I [M ].H e i d e l b e r g -N e w Y o r k :S p r i n g -V e r l a g ,1967.[11]C O NWA YJH ,C U R T I SRT ,N O R T O NSP ,e t a l .A t l a s o fF i n i t eG r o u ps [M ].O x f o r d :C l a r e n d o nP r e s s ,1985.[12]徐明耀.有限群论导引(上册)[M ].2版.北京:科学出版社,1999:34.O naN e wC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA u t o m o r p h i s m G r o u p s i nS p o r a d i c S i m p l eG r o u ps G A O Y a n -w e i , C A O H o n g -p i n g S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :L e t G b e a f i n i t e g r o u p ,K 1(G )d e n o t e s t h e l a r g e s t e l e m e n t o r d e r o f G ,K 2(G )t h e s e c o n d l a r ge s t o r d e r ,a n d K 3(G )t h e t h i r d l a r g e s t o r d e r .I t h a s b e e n s h o w n t h i s p a p e r t h a t t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p G of e v e r y s p o r a d i c s i m p l eg r o u p c a nb eu n i q u e l y d e t e r m i n e db y th e o r d e r o f G a n d Ki (G ),w h e r e i ɤ3.K e y wo r d s :f i n i t e g r o u p ;s p o r a d i c s i m p l e g r o u p ;a u t o m o r p h i s m g r o u p ;t h e e l e m e n t o r d e r 责任编辑 廖 坤5第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. 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有限维代数的自同构群
有限维代数的自同构群（Finite-dimensional Self-Similar Group）指的是一类特殊的几何结构，可以在互联网中被用来建模和分析复杂的数据。

有限维度的自同构群可以被认为是一种把复杂的关系和数据通过有限维代数的方式来表示的数学结构。

它以其独特的性质，可以在互联网中模拟，构建各种复杂的网络结构，体现出复杂数据间的特殊变化规律。

有限维代数的自同构群在互联网中经常用来建模社交网络，以及商业交易、推荐系统和金融数据分析等场景。

它的最大优势在于其能够利用有限的数据量及时有效地模拟出更复杂的数据关系。

此外，它还可以帮助更好地预测未来可能发生的事情，有效地防范及解决网络相关的问题。

另外，有限维代数的自同构群还可以被用来构建几何图搜索算法，可以提高图像识别和文本挖掘任务的效率。

此外，它还可以把文本挖掘任务进行精确性和高效性结合，在有限的计算资源下获得更高的效果。

总而言之，有限维代数的自同构群既有助于解决复杂的数据分析和模拟任务，也能够利用有限维度的数据建立复杂的网络结构，发挥着强大地功能，真正成为了大数据时代中一颗重要的瑞士军刀。