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用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来,
并加以证明．
1 1 n (n 1) n2 n2
例６．利用规律计算:
1 1 1 ( 2 1 3 2 4 3 1 )( 2008 1) 2008 2007
例. 用水清洗蔬菜上残留的农药.设用x(x≥1) 单位量的水清洗一次之后，蔬菜残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比 1 为 ，现有a(a≥2)单位量的水，可以 1 x 一次清洗，也可以把水平均分成两份后 清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜 上残留的农药量比较少？请说明理由．
如: 如:
② 如果被开方数是代数和的形式,那么先分解 因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面;
16a 4 a
16a 16 16(a 1) 4 a 1 ③ 将根号外面的正因式经过平方后移到 根号里面去; 1 1 2 2 1 如: a a a a a a a
中考焦点题型
焦点一. 对二次根式意义的理解
例1. x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义
(1) 3 x x 2 (2)
2x 1 x
2
(3) x 1
2
x 1 (4) 2 x
例2.下列根式中,不是最简二次根式是( )
A. 2x
4
2
B. b 1
4
பைடு நூலகம்
2
C. a b
D. x y
专题五 二次根式及其运算
杜桥实验中学初三数学备课组
考点一 ⑴ 形如
二次根式
1.二次根式的意义
a (a≥0)的代数式叫二次根式.
⑵ 二次根式
a≥0, 当a＜0时,
a
有意义,a的取值范围是
在实数范围内没有意义 . a
2.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式,叫做 最简二次根式. ⑴ 被开方数的因数是整数,因式是整式. ⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后, 如果被开方数相同,这几个二次根式就 叫做同类二次根式.
1 例 3.把 ( a 1) 中 根 号外 的 ( a 1) a 1 移 入 根号 内 得 （ ）
A. a 1
C. a 1
B. 1 a
D. 1 a
焦点四.
二次根式的化简求值
例4. (1) 设a,b是实数,且满足 2 2 a +b -6a-2b+10=0, a b 求 的值。 a b
6
6
焦点二.理解二次根式的运算
(1)( 18 24 12) 6
1 1 ( 2) ( 32 2 1 ) ( 0.5 75) 3 27
1 x 1 (3) 4x 6 3x 2 4 x
(4)(3 10)
2007
(3 10)
2007
焦点三.
( a)
2
与
a 异同
2
1 1 (2 3 ) 如： 2 3 2 3 (2 3 )(2 3 )
3.二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式,再合并 同类二次根式
2.有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的 积不含二次根式,则称这两个代数式互为 有理化因式.把分母中的根号化去,叫做分母 有理化.
4.二次根式的乘除法 二次根式的相乘(除),把被开方数相乘(除), 所得的积(商)仍作积(商)的被开方数,并将 运算结果化为最简二次根式.
5.有理数的加法交换律,结合律,乘法分配律, 结合律,乘法对加法的分配律,以及多项式 的乘法公式,都适用于二次根式的运算
注意：最后结果必须化为整式 或者是最简二次根式
考点二 1.
2.
二次根式的主要性质
2
( a) a
︱a︱ = a
2
(a≥0)
a (a＞0)
0 -a
(a =0) (a＜0)
3. 4.
ab a b (a≥0, b≥0)
b a b a
(b≥0, a＞0)
考点三 二次根式的运算 1.因式的外移和内移
① 如果被开方中有的因式能够开得尽方,那么, 就可以用它的算术根代替而移到根号外面;
祝同学们学习愉快
再见
• 有关的数学名言 • ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
( 2) 如 果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4, 那 么 a 2b 3c 的 值 是 多 少 ？
焦点五．利用二次根式成立的条件解决 有关代数式问题
1 1 1 1 例5. 观察下列各式： 1 2 , 2 3 , 3 3 4 4 1 1 3 4 请你将猜想到的规律 5 5
