数值分析拉格朗日插值法.doc

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数值分析拉格朗日插值法
拉格朗日插值的算法设计及应用
【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。

运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。

拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

【关键词】 拉格朗日；插值；公式；算法程序；应用；科学。

一、绪论
约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。

他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。

数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。

然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。

我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。

下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。

二、正文
1、基本概念
已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,⋅⋅⋅,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,⋅⋅⋅,n, (1)
则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称-
x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]
时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。

2、Lagrange 插值公式
（1）线性插值)1(1L
设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足)(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ），（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0
101x x y y --（x-0x ）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式
)(1x L =0l （x ）0y +1l (x)1y .
其中，
0l （x ）=101x x x x --,1l (x)=0
10x x x x --。

均为1次多项式且满足 0l （x ）=1且1l (x)=0。

或0l （x ）=0且1l (x)=1。

两关系式可统一写成)(i i x l =⎩
⎨⎧≠=j i j i 01 。

（3） （2）n 阶Lagrange 插值)(x L n
设已知0x ，1x ，2x ，...,n x 及i y =f(i x )(i=0,1,.....,n),)(x L n 为不超过n 次多项式且满足i i n y x L =)(（i=0,1,...n ）.
易知)(x L n =0l （x ）0y +....+)(x l n n y .
其中，)(x l i 均为n 次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n ）,再由j x （j ≠i ）为n 次多项式)(x l i 的n 个根知)(x l i =c ∏≠=-n
i i j j x x 0.最后，由
⇒=-=∏≠=1)()(0n i j j j i j i x x c x l c=
∏≠=-n i j j j
i x x 0)(1,i=0,1,...,n.
总之，)(x L n =i n i i y x l ∑=0)(，)(x l i =.0∏≠=--n i
j j j i j x x x x 式为n 阶Lagrange 插值公式，其中，)(x l i （i=0,1,...n ）称为n 阶Lagrange 插值的基函数。

3，Lagrange 插值余项
设0x ，1x ，2x ，...,n x ∈[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，)(x L n 为f(x)关于节点0x ，1x ，2x ，...,n x 的n 阶Lagrange 插值多项式，则对任意x ∈[a,b],
).()!
1()()()()()1(x n f x L x f x R n n n ωξ+=-=+其中，ξ位于0x ，1x ，2x ，...,n x 及x 之间（依赖于x ），ω(x)=∏=-n
j j x x 0).(
Eg1:已知函数表sin
6π=0.5000,sin 4π=0.7071,sin 3π=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin 9
2π的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度。

解：（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知：
sin 92π≈1L (92π)=0.5000+6
45000.07071.0ππ--(92π-6π) =0.5000+0.20713
2⨯=0.6381 截断误差，
)92(1πR =)492)(692(2)(sinx ππππ--''310615.736
1821-⨯=⨯⨯≤ππ， 得.105.010615.713--⨯<⨯=ζ知结果至少有1位有效数字。

（2）易知sin 92π≈+⨯=5000.0)3-6)(4-6()33-92)(4-92(
)92(2πππππππππL ⨯----））（（））（（3464392692ππππππππ 0.7071+8660.04
363492692⨯----））（（））（（ππππππππ=7071.0985000.092⨯+⨯⨯-910.8660=0.6434 截断误差为：
≤---'''==ξπππππππx x R )492)(492)(692(6)(sin )92(2210861..09
361861-⨯=⨯⨯⨯πππ 得.105.010861.824--⨯<⨯=ζ知结果至少有两位数字。

比较本题精确解sin
9
2π=0.642787609...,实际误差限分别为0.0047和0.00062。

4，Lagrange 插值算法和程序 function yy=nalagr(x,y,xx)
%用途：Lagrange 插值法数值求解；格式：yy=nalagr(x,y,xx)
%x 是节点向量，y 是节点上的函数值，xx 是插值点（可以多个），yy 返回插值
m=length(x);n=length(y);
if m~=n,error('向量x 与y 的长度必须一致');end
s=0;
for i=1:n
t=ones(1,length(xx));
for j=1:n
if j~=i
t=t.*(xx-x(i))/(x(i)-x(j));
end
end
s=s+t*y(i);
end
yy=s;
用以上程序的Eg1的结果为
>> x=pi*[1/6 1/4];y=[0.5 0.7071];xx=2*pi/9;
>> yy1=nalagr(x,y,xx)
yy1 =
-0.5690
>> x=pi*[1/6 1/4 1/3];y=[0.5 0.7071 0.866];
>> yy2=nalagr(x,y,xx)
yy2 =
0.8023
>> fplot('sin',[pi/6,pi/3]);hold on;
>> plot(x,y,'o',xx,0.6381,'g^',xx,0.6434,'rv');hold off;
图形为
3，Lagrange插值应用
在物理化学，资产价值鉴定工作和计算某一时刻的卫星坐标和钟差等这些方面可以应用Lagrange插值。

采用拉格朗日插值法计算设备等功能重置成本，计算精度较高，方法快捷。

但是这方法只能针对可比性较强的标准设备，方法本身也只考虑了单一功能参数，它的应用范围因此受到了一定的限制。

作为一种探索，我们可以将此算法以及其它算法集成与计算机评估分析系统中，作为传统评估分析方法的辅助参考工具，以提高资产价值鉴定工作的科学性和准确性。

三，结论
拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。

但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。

且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。

参考文献
1，[序号]作者．文章名[J]．学术刊物名，年，卷（期）：引用部分起—止页．
2，约瑟夫·拉格朗日/view/19783.htm#3
3，作者，张玲。

文章名，拉格朗日插值在资产评估中的应用。

4，作者，宫厚诚，李全海。

文章名，基于IGS精密星历的卫星坐标和钟差插值。

5，作者，吴法伦，赵占芬。

文章名，利用计算机绘制物理化学实验中的曲线——拉格朗日插值
附录。