实验1拉格朗日插值与牛顿插值

杜丁坤 20171506003 自动化1班实验二 插值法一、实验目的和要求(1)学会Langrange 插值、Newton 插值和Hermite 插值等基本插值方法．(2)学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题(3) 按照题目要求完成实验内容、写出相应的Matlab 程序给出实验结果．(4)对实验结果进行分析讨论．(5)写出相应的实验报告．一、 实验内容1. Lagrange 插值公式.练习11=2=3=，利用Lagrange 拉格朗日插值的函数%%%%%%%%%function yi=Lagrange(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endp=zeros(1,n);for k=1:nt=ones(1,n);for j=1:nif j~=kif abs(x(k)-x(j))<epserror('the DATA is error');return;endt(j)=(xi-x(j))/(x(k)-x(j));endendp(k)=prod(t);endyi=sum(y.*p);%%%%%主函数是：%%%%%X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Lagrange(X,Y,xi)练习21=2=3=，利用Newton 进行比较。

牛顿插值函数%%%%%%%%function yi=Newton(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endA=zeros(n,n);A(:,1)=y;for j=2:nfor i=1:n-j+1A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));endendX1=xi*ones(1,n)-x;X=ones(1,n);for p=2:nfor q=1:p-1X(p)=X(p)*X1(q);endendY=zeros(1,n);for r=1:nY(r)=A(1,r)*X(r);endyi=sum(Y);%%%%%%%%%%主函数：X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Newton(X,Y,xi)三、实验要求要求在实验前必须预习，将实验内容事先准备好，否则不允许上机。

一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。

（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

计算方法与实习实验报告学院：电气工程学院指导老师：***班级：160093******学号：********实习题一实验1 拉格朗日插值法一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：L n(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+y n l n(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0)n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点x i(i=0,1,…,n)中任一点x k(0<=k<=n)作一n 次多项式l k(x k)，使它在该点上取值为1，而在其余点x i(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为L n(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+y n l n(x) 上式表明：n 个点x i(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是l k(x)的零点。

可求得l k三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define N 100double fun(double *x,double *y, int n,double p);void main(){int i,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;double x[N], y[N],p;cout<<"please input xiangliang x= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"please input xiangliang y= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"please input LagelangrichazhiJieDian p= "<<endl;cin>>p;cout<<"The Answer= "<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause") ;}double fun(double x[],double y[], int n,double p){double z=0,s=1.0;int k=0,i=0;double L[N];while(k<n){ if(k==0){ for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++) s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];return z;}五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。

实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。

插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。

本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。

实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。

2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。

3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。

4. 运行程序，得到插值结果。

5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。

实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。

2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。

实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。

2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。

3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。

实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。

插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。

插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。

不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。

插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

西华数学与计算机学院上机实践报告课程名称：计算方法年级：2012级上机实践成绩：指导教师：严常龙姓名：贺容英上机实践名称：拉格朗日插值和牛顿插值法学号：上机实践日期：yyyy.mm.dd 上机实践编号：1312012070102209 上机实践时间：2014.10.27一、目的1．通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解；2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。

二、内容与设计思想自选插值问题，编制一个程序，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。

（从课件或教材习题中选题）已知y=f(三、使用环境操作系统：win7软件环境：vs2012四、核心代码及调试过程4.1核心代码1、拉格朗日插值法代码如下double lagrangesf(point points[],int t){int n=t;int i,j;double x,tmp=1,lagrange=0;printf("请输入需要计算的x的值：");scanf("%lf",&x);for(i=0;i<=n-1;i++){tmp=1;for(j=0;j<=n-1;j++){if(j!=i)tmp=tmp*(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x);}lagrange=lagrange+tmp*points[i].y;}printf("lagrange(%lf)=%lf\n",x,lagrange);return 0;}2、牛顿插值法代码如下double newtonsf(point points[],int t){int n=t;int i,j;double d[maxt+1];double x,tmp,newton=0;printf("差商表\n");printf("***************************************************\n"); printf("x ");for(i=0;i<=n-1;i++){printf("%lf ",points[i].x);}printf("\n");printf("y ");for(i=0;i<=n-1;i++){d[i]=points[i].y;printf("%lf ",points [i].y);}printf("\n");for(i=0;i<n-1;i++){printf("%d阶差商",i+1);for(int t=1;t<=i+12;t++)printf(" ");for(j=n-1;j>i;j--){d[j]=(d[j]-d[j-1])/(points[j].x-points[j-i-1].x);//计算差商printf("%lf ",d[j]);}printf("\n");}printf("***************************************************\n"); printf("请输入需要计算的x的值：");scanf("%lf",&x);tmp=1;newton=d[0];for(i=0;i<n-1;i++){tmp=tmp*(x-points[i].x);newton=newton+tmp*d[i+1];}printf("newton(%lf)=%lf\n",x,newton);return 0;}3、主函数中负责输入被插值点的输入，以及拉格朗日插值法和牛顿插值法的调用，代码如下int n=0;int i,j;point points[maxt+1];double x,tmp=0,lagrange=0;do{printf("请输入被插值点数目：");scanf("%d",&n);if(n>maxt){printf("被插值点数超出范围%d",maxt);return 0;}}while(n<=0);printf("请输入被插值点:\n");for(i=0;i<=n-1;i++){scanf("%lf%lf",&points[i].x,&points[i].y);}printf("lagrange插值\n");lagrangesf(points,n);printf("newton插值\n");newtonsf(points,n);system("pause");4.2、调试过程1、在拉格朗日插值法调试过程中，累乘过程中用来承载累乘的tmp没有重新赋值为1，导致结果始终不正确。

拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。

在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。

插值法正是为了解决这个问题而诞生的。

二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。

它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。

拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。

三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。

它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。

牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。

四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。

拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。

因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。