数值分析实验一——拉格朗日插值算法报告

一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。

（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。

数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。

在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。

数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。

二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。

（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。

（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。

（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。

三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

引言概述：
拉格朗日插值是一种常用的数值分析方法，旨在通过已知的离散数据点来近似拟合出一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测和估计。

该方法在信号处理、图像处理、金融模型和机器学习等领域具有广泛的应用。

本实验报告将详细介绍拉格朗日插值的原理、算法和实验结果。

正文内容：
1.拉格朗日插值的原理
1.1多项式插值的概念
1.2拉格朗日插值多项式的形式
1.3拉格朗日插值多项式的唯一性证明
2.拉格朗日插值的算法
2.1插值多项式的计算方法
2.2插值多项式的复杂度分析
2.3多点插值方法的优缺点
3.拉格朗日插值的实验设计
3.1实验目的和步骤
3.2数据采集和预处理
3.3插值多项式的建模
3.4实验环境和工具选择
3.5实验结果分析和评估
4.拉格朗日插值的应用案例
4.1信号处理领域中的插值应用
4.2图像处理中的插值算法
4.3金融模型中的拉格朗日插值
4.4机器学习中的插值方法
5.拉格朗日插值的改进和发展
5.1经典拉格朗日插值的局限性
5.2最小二乘拉格朗日插值的改进
5.3多项式插值的其他方法
5.4拉格朗日插值在新领域的应用前景
总结：
拉格朗日插值作为一种经典的数值分析方法，在实际应用中具有广泛的用途。

本文通过介绍拉格朗日插值的原理和算法，以及实验设计和应用案例，全面展示了该方法的特点和优势。

同时，本文还指出了经典拉格朗日插值的局限性，并介绍了一些改进和发展的方向。

可以预见，拉格朗日插值在信号处理、图像处理、金融模型和机器学习等领域将继续发挥重要作用。

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

拉格朗日牛顿插值法实验报告-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN标题：实验一拉格朗日插值法算法与牛顿插值算法一、实验目的：1.体会并了解拉格朗日插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

2.体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

二、实验原理：1.拉格朗日插值法的插值公式：L n(x)=∑y knk=0(x−x0)(x−x1)?(x−x n)(x−x k)(x k−x0)?(x k−x k−1)(x k−x k+1)?(x k−x n)2．牛顿插值法的插值公式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+?+f[x0,x1,?,x n](x−x0)?(x−x n−1)f[x0,x1,?,x k]=∑f(x j)(x j−x0)?(x j−x j−1)(x j−x j+1)?(x j−x k)kj=0三、算法设计与程序流程图：1.拉格朗日插值法算法分析：a.输入节点的个数j。

b.输入节点的横纵坐标。

c.输入新插入的节点的横坐标。

d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。

程序流程图：2.牛顿插值算法分析：a.输入节点的个数j。

b.输入节点的横纵坐标。

c.输入新插入的节点的横坐标。

d.通过两次循环求得新插入节点的纵坐标。

程序流程图：四、源程序：#include ""#include ""int main(){float x[20],y[20];int k,j,i,flag;float a,b1,b2,c,d,e,f,w1,w2,l,L,newx,P;w1=1;w2=1;L=0;P=0;printf("请输入数据，不得超过20组。

\n");printf("输入的数据为几组:");scanf("%d",&j);for(i=0;i<=j-1;i++){printf("第%d组为:\n",i+1);printf("x=");scanf("%f",&x[i]);printf("y=");scanf("%f",&y[i]);}printf("请选择:1,拉格朗日插值。

拉格朗日插值实验报告一、实验目的本实验旨在通过实际实验，深入理解拉格朗日插值法的原理和应用，掌握其计算过程和相关技巧。

二、实验原理Pn(x) = ∑ [yi * li(x)]其中，li(x)称为拉格朗日基函数，具体的计算公式如下：li(x) = ∏ [(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j)利用拉格朗日插值法可以对数据进行插值计算，从而得到原函数未知的点的函数值。

三、实验步骤1.根据实验要求，选择一组离散的数据点，确保它们在横坐标轴上不共线。

2. 使用拉格朗日插值法计算插值多项式的各个基函数li(x)。

3.对插值多项式进行求和，得到最终的插值多项式Pn(x)。

4.在给定的范围内选择一些未知数据点，利用插值多项式Pn(x)计算其函数值。

5.将实际计算的函数值与原函数值进行对比，评估插值方法的准确性和精确度。

四、实验结果以实验要求给定的数据点为例，具体数据如下：x:1,2,3,4,5,6y:5,19,43,79,127,187根据拉格朗日插值法的计算公式，可以得到以下结果：l0(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/(-120)l1(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/120l2(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)/(-48)l3(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)/48l4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)/(-20)l5(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/20插值多项式Pn(x)=5*l0(x)+19*l1(x)+43*l2(x)+79*l3(x)+127*l4(x)+187*l5(x)综合以上计算结果，可以对给定范围内的未知数据点进行插值计算，从而得到相应的函数值。

五、实验分析与结论在实际实验中，我们可以利用拉格朗日插值法对任意给定的函数进行逼近计算，从而得到函数在离散数据点之间的近似值。

拉格朗日插值法实验报告一、实验目的本实验旨在通过使用拉格朗日插值法，以给定的一些数据点为基础，来预测其他未给定数据点的函数值。

通过实验，掌握拉格朗日插值法的具体计算步骤和应用范围。

二、实验原理给定 n+1 个互异的点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中n 为自然数，我们希望通过这些点来构建一个多项式函数 P(x)，满足P(xi) = yi，其中 i = 0, 1, ..., n。

构建多项式的具体步骤如下：1. 对于每个 xi，令Li(x) = ∏ (x - xj) / (xi - xj)，其中 j ≠ i。

2. 最终的多项式P(x) = ∑ yi * Li(x)。

三、实验步骤1. 给定一组数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)。

2. 对于每个 xi，计算Li(x) = ∏ (x - xj) / (xi - xj)，其中 j ≠ i。

3. 构建多项式P(x) = ∑ yi * Li(x)。

4.给定一个新的x值，使用多项式P(x)预测对应的函数值。

四、实验结果和分析在本实验中，我们给定了如下的一组数据点：(0,1)，(1,5)，(2,17)，(3,41)，(4,83)。

根据计算步骤，我们计算出每个Li(x)和多项式P(x)的具体形式如下：L0(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)/(-24)L1(x)=(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)/6L2(x)=(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)/(-4)L3(x)=(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)/6L4(x)=(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)/(-24)P(x)=1L0(x)+5L1(x)+17L2(x)+41L3(x)+83L4(x)使用上述多项式预测x=5时的函数值，得到P(5)=309我们可以将预测值与实际值进行比较，确认预测的准确性。

如果有多组数据点，我们可以使用更多的数据点来构建多项式，提高预测的精度。

数值分析实验报告（拉格朗日插值牛顿插值最小二乘法）(2010-06-02 18:33:33)分类：学习资料分享标签：拉格朗日插值法牛顿插值法最小二乘法求拟合曲线c实验1 拉格朗日插值法一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x 2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n 次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n 个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。

可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define N 100double fun(double *x,double *y, int n,double p);void main(){int i,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;double x[N], y[N],p;cout<<"please input xiangliang x= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"please input xiangliang y= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"please input LagelangrichazhiJieDian p= "<<endl;cin>>p;cout<<"The Answer= "<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause") ;}double fun(double x[],double y[], int n,double p){double z=0,s=1.0;int k=0,i=0;double L[N];while(k<n){ if(k==0){ for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++) s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];return z;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。

北京理工大学珠海学院实验报告
ZHUHAI CAMPAUS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY
班级2012电气2班学号xxxxxxxxx姓名陈冲指导教师张凯成绩
实验题目（实验一）拉格朗日插值实验地点及时间JD501 2013/12/26（6-7节）
一、实验目的
1.掌握用程序语言来编辑函数。

2.学会用MATLAB编写Lagrange.m函数。

二、实验环境
Matlab软件
三、实验内容
1、以书中第55页题目13为例编辑程序来实现计算结果。

2、使用MATLAB进行编写：
第一步：编写Lagrange.m函数，代码如下
第二步：利用这个函数来编辑命令：（可见实验结果中的截图）
x=[0.32,0.34,0.36];
y=[sin(0.32),sin(0.34),sin(0.36)];
x0=0.3367;
yt=Lagrange(x,y,x0)
得出抛物线插值为：0.3304
以及
x=[0.32,0.34];
y=[sin(0.32),sin(0.34)];
x0=0.3367;
yt=Lagrange(x,y,x0)
得出线性插值为：0.3304
的近似值并估计误差。

五、实验结果。

六、总结
通过这次实验我学会用MATLAB软件编辑口令进行计算，实验结果是正确的，我相信在以后的实验中，我可以做好每一步，练习好每一次的上机。

实验难度不是很大，主要要注意标点符号的正确性。

………。

拉格朗日插值实验报告拉格朗日插值实验报告引言：拉格朗日插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些数据点。

该方法在科学计算、数据处理和图像处理等领域中被广泛应用。

本实验旨在通过实际操作和计算，深入了解拉格朗日插值的原理和应用。

实验目的：1. 理解拉格朗日插值的原理和基本思想；2. 学会使用拉格朗日插值方法进行数据逼近；3. 掌握拉格朗日插值的优缺点及适用范围。

实验步骤：1. 收集一组已知数据点，包括自变量和因变量；2. 根据数据点，构造拉格朗日插值多项式；3. 利用插值多项式，计算给定自变量对应的因变量；4. 分析插值结果的准确性和逼近程度。

实验结果与分析：在实验中，我们选取了一组简单的数据点进行拉格朗日插值的计算和分析。

数据点包括自变量x和因变量y，如下所示：x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |y | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 |根据这组数据点，我们构造了拉格朗日插值多项式：L(x) = y₀ * L₀(x) + y₁ * L₁(x) + y₂ * L₂(x) + y₃ * L₃(x) + y₄ * L₄(x)其中，L₀(x)，L₁(x)，L₂(x)，L₃(x)，L₄(x)分别是拉格朗日插值多项式的基函数，计算公式如下：L₀(x) = (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₀ - x₁) * (x₀ - x₂) * (x₀- x₃) * (x₀ - x₄)L₁(x) = (x - x₀) * (x - x₂) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₁ - x₀) * (x₁ - x₂) * (x₁- x₃) * (x₁ - x₄)L₂(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₃) * (x - x₄) / (x₂ - x₀) * (x₂ - x₁) * (x₂- x₃) * (x₂ - x₄)L₃(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₄) / (x₃ - x₀) * (x₃ - x₁) * (x₃- x₂) * (x₃ - x₄)L₄(x) = (x - x₀) * (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃) / (x₄ - x₀) * (x₄ - x₁) * (x₄- x₂) * (x₄ - x₃)通过计算，我们可以得到给定自变量x对应的因变量y的逼近值。

实验名称： 实验一 拉格朗日插值1 引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f (x)在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。

显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。

有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。

所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P (x)作为f (x)的近似值。

插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。

它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。

2 实验目的和要求运用Matlab 编写三个.m 文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。

分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f (0.15)，f (0.31)，f (0.47)的近似值。

已知函数表如下：3 算法原理与流程图（1）原理设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x 0,x 1,…,x n ≤b 上分别取值y 0,y 1,…,y n 。

目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P (x)，满足插值条件P (x i )=y i (i=0,1,…,n)，而在其他点x≠x i 上，作为f (x)近似值。

求插值函数P (x)的方法称为插值法。

在本实验中，采用拉格朗日插值法。

①分段低次插值当给定了n+1个点x 0<x 1<…<x n 上的函数值y 0,y 1,…,y n 后，若要计算x≠x i 处函数值f (x)的近似值，可先选取两个节点x i-1与x i 使x ∈[x i-1,x i ]，然后在小区间[x i-1,x i ]上作线性插值，即得11111)()(------+--=≈i i i i i i i i x x x x y x x x x y x P x f这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。

拉格朗日插值算法及应用实验报告一、引言拉格朗日插值法是一种常用的数值插值方法，可用于在已知数据点之间估计函数值。

该方法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合，从而实现对函数的插值。

本实验旨在通过实际计算的方式探讨拉格朗日插值法的基本原理与应用。

二、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法利用多项式的性质来对给定的数据进行插值。

给定n+1个不同的数据点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，其中x_i表示自变量，y_i表示因变量。

拉格朗日插值多项式的表达式为：P_n(x)=y_0*L_0(x)+y_1*L_1(x)+...+y_n*L_n(x)其中L_i(x)为拉格朗日基函数，定义如下：L_i(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_i-1)(x-x_i+1)...(x-x_n)/[(x_i-x_0)(x_i-x_1)...(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)...(x_i-x_n)]三、应用实验本实验选取了不同的数据点集合，并利用拉格朗日插值法计算相应的拟合多项式，从而对函数进行插值。

数据点集合1：(x_0,y_0)=(0,1)(x_1,y_1)=(1,2)(x_2,y_2)=(2,3)(x_3,y_3)=(3,5)利用拉格朗日插值法得到的多项式为：P_3(x)=1*L_0(x)+2*L_1(x)+3*L_2(x)+5*L_3(x)将基函数带入，得到多项式表达式为：P_3(x)=1/6*x^3-3/2*x^2+11/6*x+1数据点集合2：(x_0,y_0)=(0,1)(x_1,y_1)=(1,4)(x_2,y_2)=(2,9)(x_3,y_3)=(3,16)利用拉格朗日插值法得到的多项式为：P_3(x)=1*L_0(x)+4*L_1(x)+9*L_2(x)+16*L_3(x)将基函数带入，得到多项式表达式为：P_3(x)=1/6*x^3+1/2*x^2+1/3*x+1四、实验结果与讨论通过利用拉格朗日插值法，我们得到了不同数据点集合的拟合多项式。

实验报告课程：数值计算方法与计算班级：实验名称：拉格朗日插值实验姓名实验日期： 2011.09.23 学号实验报告日期： 2011.09.23实验一拉格朗日插值实验一、实验目的1.学习编程拉格朗日插值公式2.运用编程进行计算插值函数二、实验设备及实验环境在机房用WIN-TC程序进行编程。

三、实验原理应用拉格朗日插值公式四、程序源代码#include "stdio.h"main(int argc,char*argv[]){ int i,j,n;float x[10],y[10],lang=0.0,u;printf("input number n=:\n");scanf("%d",&n);printf("input x[i]");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("input y[i]");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&y[i]);printf("input u");scanf("%f",&u);for(i=0;i<n;i++){float tmp=1.0;for(j=0;j<n;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(u-x[j])/(x[i]-x[j]);lang=lang+tmp*y[i];}printf("lagrange=%f",lang);getch();}五、实验结果对一组数据（-2.00，17）（0.00，1.0）（1.00，2.00）（2.00，17.00）进行实验得到拉格朗日插值公式结果如下：六、实验心得体会虽然考了二级，但太久没碰程序，今天开始时还真无从下手，有点混乱，在写程序过程中，因为粗心打错符号，重复符号，导致程序出错，经过细心观察，检查出错误，成功完成程序，好开心呀。

数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。

本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握数值分析中的常见算法，提高运用数值方法解决实际问题的能力，并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。

二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。

实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。

三、实验内容（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点，构建拉格朗日插值多项式，对未知点进行函数值的估计。

2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似，但采用了不同的形式和计算方式。

（二）数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形，通过计算梯形面积之和来近似积分值。

2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法，提高积分近似的精度。

（三）线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式，然后回代求解。

2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过两次前代和回代求解。

（四）非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二，逐步缩小根所在的区间，直到满足精度要求。

2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根，通过迭代逐步收敛到根的近似值。

四、实验步骤（一）函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。

根据给定的数据点和待求点，计算插值多项式的值。

输出插值结果，并与真实值进行比较。

2、牛顿插值法计算差商表。

构建牛顿插值多项式。

进行插值计算和结果分析。

（二）数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。

按照梯形公式计算积分近似值。

分析误差。

2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。

运用辛普森公式计算积分近似值。

比较与梯形公式的精度差异。

（三）线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。

进行消元操作。

回代求解方程。

输出解向量。

2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。

数值分析实验报告实验目的：通过数值分析实验，掌握常用的插值方法，包括拉格朗日插值法和牛顿插值法，并对比它们的优缺点。

实验原理：插值法是一种在已知数据点的基础上，通过构造一个函数来逼近给定数据集以及这个函数本身。

其中，拉格朗日插值法采用一个多项式来逼近数据集，而牛顿插值法则采用一个多项式和差商来逼近。

实验步骤：1.使用拉格朗日插值法：a)根据给定的n+1个数据点，构造一个n次的插值多项式。

b)计算插值多项式在给定点x处的值。

2.使用牛顿插值法：a)根据给定的n+1个数据点，计算差商的递归表达式。

b)利用递归表达式计算插值多项式在给定点x处的值。

3.通过实验数据进行验证，并对比两种插值方法的优缺点。

实验结果与分析：以一个具体的实验数据为例，假设已知数据点为{(0,1),(1,3),(2,5)}，要求在给定点x=0.5处进行插值。

1.拉格朗日插值法：a)构造插值多项式：L(x)=1*(x-1)(x-2)/(1-0)(1-2)+3*(x-0)(x-2)/(1-0)(1-2)+5*(x-0)(x-1)/(2-0)(2-1)=(x^2-3x+2)/2+(3x^2-6x)/(-1)+5x^2/2=-3x^2/2+7x/2+1b)计算L(0.5)=-3(0.5)^2/2+7(0.5)/2+1=22.牛顿插值法：a)计算差商表：f[x0]=1f[x1]=3f[x2]=5f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)=(3-1)/(1-0)=2f[x1,x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)=(5-3)/(2-1)=2f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0)=(2-2)/(2-0)=0b)计算插值多项式：N(x)=f[x0]+f[x0,x1]*(x-x0)+f[x0,x1,x2]*(x-x0)(x-x1)=1+2(x-0)+0(x-0)(x-1)=1+2xc)计算N(0.5)=1+2(0.5)=2对比结果可得到拉格朗日插值法和牛顿插值法得到的插值点的值都为2，验证了所使用方法的正确性。