2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分65 古典概型

开卷速查(六十五) 古典概型
A 级 基础巩固练
1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )
A.13
B.14
C.16
D.112
解析：复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概
率为66×6
＝16. 答案：C
2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )
A.16 B ．14 C.112 D.19
解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件．事件：点P 在x ＋y ＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)
共6个基本事件，故P ＝636＝16.
答案：A
3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )
A.512 B ．712 C.13 D.12
解析：∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4
＋5＝15(个)．
∴P ＝1536＝512，故选A.
答案：A
4．一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，若从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )
A.15 B ．310 C.25 D.12
解析：从袋中任取两个球，其一切可能结果有
(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑
3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红
2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，
红2)共4个结果，∴P ＝25.
答案：C
5．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )
A.12 B ．13 C.14 D.18
解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14，故选
C.
答案：C
6．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y
＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )
A.12 B ．56 C.34 D.23
解析：由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，
所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所
以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上
单调递增的概率为3036＝56.
答案：B
7．从某学习小组的10名同学中选出3名同学参加一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是__________．
解析：从10名同学中选出3名同学有C 310＝10×9×83×2×1
＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C 18＝8种选法，因此甲、乙两名同学
都被选中的概率是8120＝115.
答案：115
8．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2
n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷
两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.
解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，
则m＞n，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)＝15
36＝
5
12.
答案：5
12
9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为__________．
解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
10．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解析：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，
{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝6
15＝2 5.
(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，
共8个，所以P(B)＝8 15.
B 级 能力提升练
11．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．
(1)写出数量积X 的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解析：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；
数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，
OA 3→·OA 5→，共6种；
数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，
共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，
共4种． 故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p 1＝715；
因为去唱歌的概率为p2＝4
15，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2
＝1－4
15＝
11
15.
12．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
(1)2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解析：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝3
6＝1
2.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)
中的概率为P＝3
10.。