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高考数学教案《古典概型》

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12.5 古典概型
典例精析
题型一 古典概率模型的计算问题
【例1】一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产
现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类10辆.
(1)求z 的值；
(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,
9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为50×40＝2 000辆，所以z
＝2 000－100－150－300－450－600＝400.
(2)由(1)知C 类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为1200，即5辆轿车中有2辆
舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n ＝10种不同取法，记事件A ：至少有1辆舒适型轿车，则事件A 表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A 包含：基本事
件数为m ＝7种，所以P(A)＝710.
(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，记事件B ：从样本中任取
一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B 包含的基本事件有6种，所以P(B)＝68
＝34.
【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.
【变式训练1】已知△ABC 的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC 是锐角三角形的概率.
【解析】依题意不妨设a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1(n ＞1，n ∈N)，从而有a ＋b ＞c ，即n ＞2，所以△ABC 的最小边为2，要使△ABC 是锐角三角形，只需△ABC 的最大角C 是锐角，cos C ＝(n －1)2＋n2－(n ＋1)22(n －1)n ＝n －42(n －1)
＞0，所以n ＞4， 所以，要使△ABC 是锐角三角形，△ABC 的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，…，9}中，“任取
三个连续正整数”共有6种基本情况，“△ABC 是锐角三角形”包含4种情况，故所求的概率为46
＝23.
题型二 有放回抽样与不放回抽样
【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x ，y ，z)记录结果，则x ，y ，z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有
8×8×8＝83 种，因此，P(A)＝33
108＝0.512.
(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x ，y ，z)，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种.设
事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6＝336， 所以P(B)＝336720≈0.467.
方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x ，y ，z)记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但(x ，y ，z)，(x ，z ，y)，(y ，x ，z)，(y ，z ，x)，(z ，x ，y)，(z ，y ，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120.按同样的方法，事件B 包含的基本
事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.
【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.
【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：
(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率；
(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.
【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概
率为P ＝410＝25；
(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P ＝525
＝15.
题型三 古典概型问题的综合应用
【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n ＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n.
【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A ，
P(A)＝C22C24·C22C25＝16×110＝160.
(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.
由题意，得P(B)＝1－34＝14.
P(B1)＝C12C12C24·C2n C2n ＋2＋C22C24·C12C1n C2n ＋2＝2n23(n ＋2)(n ＋1)
， P(B2)＝C22C24·C2n C2n ＋2＝n(n －1)6(n ＋2)(n ＋1)
. 所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2n23(n ＋2)(n ＋1)＋n(n －1)6(n ＋2)(n ＋1)
＝14，化简得7n2－11n －6＝0，解得n ＝2或n ＝－37(舍去)，故n ＝2.
【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C16个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C16×C14＝24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C110×C19＝90，
所以概率为2490＝415.
(2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9＝90.
方法一：(分类计数原理)
①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5＝30.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24＋24＋3090
＝1315. 方法二：(利用对立事件)
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3＝12.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1－1290＝1－215＝1315.
总结提高
1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n 必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m 其可能性大小必须是相同的.只有
在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)＝m n 得出的结果才是正确的.使用
公式P(A)＝m n 计算时，确定m 、n 的数值是关键所在.
2.对于n 个互斥事件A1，A2，…，An ，其加法公式为P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.
4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又
不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.。

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古典概型的教案

古典概型的教案

古典概型的教案一、教学目标1、知识与技能目标理解古典概型的两个基本特征：有限性和等可能性。

掌握古典概型的概率计算公式，并能运用其解决简单的概率问题。

2、过程与方法目标通过对实际问题的分析，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

通过实际问题的解决，让学生体会数学模型的建立过程，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过合作学习，培养学生的团队合作精神和创新意识。

二、教学重难点1、教学重点古典概型的概念及特征。

古典概型概率计算公式的应用。

2、教学难点如何判断一个试验是否为古典概型。

古典概型中基本事件个数的计算。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些生活中的随机现象，如抛硬币、掷骰子等，引导学生思考这些现象中存在的概率问题，从而引出本节课的主题——古典概型。

2、讲授新课（1）古典概型的概念给出一些试验的例子，如：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面或反面朝上的情况。

从装有 2 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，观察球的颜色。

引导学生分析这些试验的共同特点，总结出古典概型的概念：如果一个随机试验具有以下两个特征：有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

则称这样的随机试验为古典概型。

（2）古典概型的概率计算公式设古典概型中基本事件的总数为 n，事件 A 包含的基本事件个数为m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n通过具体的例子，如抛掷一枚质地均匀的硬币，求正面朝上的概率，来帮助学生理解和应用这个公式。

（3）古典概型的应用例 1：一个口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出两个球，求摸出的两个球都是白球的概率。

分析：首先判断这个试验是否为古典概型。

因为从 5 个球中摸出 2个球，基本事件的总数是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等，所以是古典概型。

《古典概型》教学设计(教案)与教学设计说明

《古典概型》教学设计(教案)与教学设计说明

《古典概型》教学设计（教案）与教学设计说明一．教材分析（一）教材的地位和作用本节课是高中数学必修3第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学生学习了随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率的准确值，学习它有利于理解概率的概念，有利于解释生活中的一些问题。

同时古典概型也是后面学习几何概型、条件概率的基础，因此在教材中有着承上启下的作用，在概率论中占有重要的地位。

（二）教学目标根据新课改理念,以教材为背景，设计本节课的教学目标如下：1、知识与技能目标：(1)理解并掌握古典概型的概念及其概率计算公式；(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数。

2、过程与方法目标：通过两个课前模拟实验让学生理解古典概型的特征；通过观察类比各个试验结果让学生归纳总结出古典概型概率计算公式，体现了化归的重要思想；使学生掌握用列举法，及用数形结合思想和分类讨论的思想解决概率计算问题。

3、情感态度与价值观目标：通过古典概型这一数学模型的学习，使学生对现实生活中的一些数学问题进行思考和判断，发展学生数学应用意识，提高学习兴趣，在不同的探究活动中形成锲而不舍的探究精神。

3.教学重点，难点教学重点：古典概型的概念及其概率计算公式的应用；教学难点：古典概型的概念及基本事件个数的判断.二．学情分析高一学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识和能力方面尚需进一步培养.通过前面的学习，学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，这三者形成了学生思维的“最近发展区”.多数学生对数学学习有一定的兴趣，因此能够积极主动参与自主学习，合作探究，讨论交流，但由于学生各方面能力发展不够均衡，仍有小部分学生这方面能力需要加强.三．教法学法分析结合新课改教学理念，为了更有效的实现教学目标，教学中我采用模拟实验、制作科学小视频、自主学习、合作探究、讨论交流，分组展示、质疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参与程度，真正做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。

古典概型教学设计(汇总5篇)

古典概型教学设计(汇总5篇)

古典概型教学设计（汇总5篇）篇1：古典概型教学设计古典概型教学设计一、教材分析本节课的内容选自《一般高中课程标准试验教科书数学必修3（A）版》第三章中的3.2.1节古典概型。

它支配在随机大事之后，几何概型之前，同学还未学习排列组合的状况下教学的。

古典概型是一种特不的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有重要的地位，是学习概率必不行少的内容，同时有利于理解概率的概念及利用古典概型求随机大事的概率。

二、教学目标依据本节教材在本章中的地位和大纲要求以及同学实际,本节课的教学目标制定如下:①结合一些具体实例，让同学理解并把握古典概型的两个特征及其概率计算公式，培育同学猜想、化归、观看比较、归纳询问题的力气。

②会用列举法计算一些随机大事所含的基本领件数及大事发生的概率, 渗透数形结合、分类争辩的思想方法。

③使同学初步学会把一些实际询问题转化为古典概型,关键是要使该询问题是否中意古典概型的两个条件，培育同学对各种不同的实际状况的分析、推断、探究，培育同学的应用力气。

三、教学的重点和难点重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式。

难点：如何推断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机大事包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。

四、学情分析高一（x）班是一个xx班，同学数学基础比较薄弱，对数学的了解比较浅显，课堂同意容量较低。

本课的学习是建立在同学基本了解了概率的意义，把握了概率的基本性质，明白了互斥大事和对立大事的概率加法公式。

同学基本具备了确信的归纳、猜想力气，但在数学的应用意识与应用力气方面尚需进一步培育。

多数同学能够乐观参与争论，但在合作沟通意识方面，进展不够均衡，有待加强。

五、教法学法分析本节课属于概念教学，依据这节课的.特点和同学的认知水平，本节课的教法与学法定为：为了培育同学的自主学习力气，激发学习爱好，借鉴布鲁纳的发觉学习理论，在教学中实行以询问题式引导发觉法教学，利用多媒体等手段，引导同学进行观看争辩、归纳总结。

人教古典概型教案模板范文

人教古典概型教案模板范文

1. 知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P(A) = A包含的基本事件的个数 / 基本事件的总数；（3）学会运用列举法、列表法、树状图方法解题。

2. 过程与方法：（1）通过探究现实生活中具体的概率问题，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3. 情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点。

教学重点：1. 掌握古典概型的概念及概率计算公式；2. 能正确判断一个试验是否是古典概型，分清古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。

教学难点：1. 判断一个试验是否是古典概型；2. 计算古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。

教学准备：1. 多媒体课件；2. 纸笔、骰子等教学工具；3. 学生预习相关基础知识。

一、创设情境，导入新课1. 教师通过生活中的实例引入概率的概念，如掷骰子、抛硬币等，激发学生的学习兴趣。

2. 提问：如何计算这些事件发生的概率？引导学生思考，为新课的引入做好铺垫。

二、新课讲授1. 讲解古典概型的定义及特点，强调试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每个基本事件出现的可能性相等。

2. 讲解古典概型的概率计算公式：P(A) = A包含的基本事件的个数 / 基本事件的总数。

3. 通过实例讲解列举法、列表法、树状图方法在解决古典概型问题中的应用。

三、课堂练习1. 教师给出几个古典概型问题，让学生运用所学知识进行解答。

2. 学生独立完成练习，教师巡视指导。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调古典概型的定义、特点及概率计算公式。

2. 强调列举法、列表法、树状图方法在解决古典概型问题中的应用。