Ch2_2插值余项与误差估计

格式：ppt
大小：731.50 KB
文档页数：16

下载文档原格式

Ch2_2插值余项与误差估计

§
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)

1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得

计量经济学ch2 双变量模型：系数估计

9
28
10
29
需求量
消平费均者需数求量量
46 47 48 49 50 51 7 48
45 46 47 48
5 46
42 44 46 48
5 44
38 42 44 46 47
6 42
39 40 42 43
5 40
35 37 38 39 42 43 7 38
34 36 38 40
5 36
32 33 34 35 36 37 7 34
五、案例6：通货膨胀率和设备利用率
理论分析（当产能利用率超过95%以上,代表设备使用率接近全部,通货膨胀的压力将随产能无法应付而急速升高)
数据表7-4 散点图估计和结果结论的经济意义
案例6：通货膨胀率和设备利用率
设备利用率是指每年度设备实际使用时间占计划用时的百分比。是指设备的使用效率。是反映设备工作状态及生产效率的技术经济指标。
反向拍卖反向拍卖也叫拍买，常用于政府采购、工程采购等。由采购方提供希望得到的产品的信息、需要服务的要求和可以承受的价格定位，由卖家之间以竞争方式决定最终产品提供商和服务供应商，从而使采购方以最优的性能价格比实现购买。
定向拍卖这是一种为特定的拍卖标的物而设计的拍卖方式，有意竞买者必须符合卖家所提出的相关条件，才可成为竞买人参与竞价
密封递价拍卖称招标式拍卖。由买主在规定的时间内将密封的报价单（也称标书）递交拍卖人，由拍卖人选择买主。这种拍卖方式，和上述两种方式相比较，有以下两个特点：一是除价格条件外，还可能有其他交易条件需要考虑：二是可以采取公开开标方式，也可以采取不公开开标方式。拍卖大型设施或数量较大的库存物资或政府罚没物资时，可能采用这种方式。

ch2-4Hermite插值

则Hermite插值多项式为：
H ( x ) hi ( x ) yi H i ( x ) y'i
i 0
n
Hermite插值多项式的构造
hi ( x )在x j ( j i )处的函数值与导数值均为0，
故可设 : hi ( x ) [a b( x xi )] [l i ( x )]2
这里li(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( xi ) 1 h'i ( xi ) 0 (i 0,1,, n) 代入得
hi ( xi ) b l ( xi ) 2[a b( x xi )]l i ( xi )l i ( xi ) a 1; b 2al i ( xi ) 0
2. Hermite插值的基本定理；
3. Hermite插值多项式的构造 4.分段三次Hermite插值； 5.一般插值问题。
对x x1 1有：h0 (1) 0, h1 (1) 1, H 0 (1) 0,
(0) 0可设由条件h0 (0) 1, h0 (1) 0, h0 h0 ( x ) (ax b)( x 1)
(0) 0, 得b a 1 利用h0 (0) 1, h0 所以h0 ( x ) ( x 1)( x 1) 1 x
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) '( xi ) y
' i
( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑），使插值函数和被插函数的密和程度更好。
二、 Hermite插值问题的提法
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)

代数插值算法与误差估计

代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值当n=1时：已知 xk, xk+1；yk, y k+1，求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得：1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见，1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。

()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-，()11kk k kx x l x x x ++-=-则：()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数，或线性插值基函数。

注意：基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值当n=2时：已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1，求二次插值多项式 2()L x 使得：211()k k L x y --=，2()k k L x y =，211()k k L x y ++=。

可见，2()L x 是过11(,)k k x y --，(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。

利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时：()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -，()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数，或抛物插值基函数。

线性插值与二次插值公式ppt课件

11
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)

y0

y1 x1

y0 x0
(x

x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似函数。

数值分析课件CH2_赖志柱201303

Numerical Analysis
2.2.1 Lagrange插值多项式
20
数值分析
Numerical Analysis
21
数值分析
Numerical Analysis
22
数值分析
Numerical Analysis
23
数值分析
Numerical Analysis
24
数值分析
Numerical Analysis
8
数值分析
Numerical Analysis
2.1.2 多项式插值
9
数值分析
Numerical Analysis
• 求插值函数 P( x) 的方法称为插值法，插值点在插值区间内的叫内插值，否则称为外插值。
10
数值分析
Numerical Analysis
• 若 P( x) 为分段的多项式，就称为分段插值。 • 若 P( x) 为三角多项式，就称为三角插值。 • 若 P( x) 为有理分式(函数)，就称为有理插值。
• 为函数 f 在 xi 上的零阶均差(差商)，称
f [ xi , x j ]
f [ xi ] f [ x j ] xi x j
,(i j )
• 为 f 在 xi , x j 上的一阶均差(差商)，称
47
数值分析
Numerical Analysis
f [ xi , x j , xk ]
25
数值分析
Numerical Analysis
26
数值分析
Numerical Analysis
27
数值分析
Numerical Analysis
28

Ch2插值法

Ch2. 插值法§1. 插值问题引例矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。

第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。

但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。

解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。

定义设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。

i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。

若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。

定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。

证令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组），其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。

数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。

在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。

下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。

-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。

2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。

-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。

-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。

3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。

4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。

-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。

5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。

-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。

6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。

-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。

-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。

8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。

Ch2(2)牛顿插值法

于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]

ch2-3分段线性插值

而当插值点x接近数据表尾时，则采用向后插值公式。
插值法
第三节分段线性插值法
分段线性插值法的一般理论分段线性插值多项式的构造分段线性插值余项和误差估计
简单的分段高次插值多项式
分段线性插值法
一般来说，高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。
h2 R( x ) f ( x ) ( x ) M, 8 其中h max ( xi 1 xi ), M max f ( x )
0 i n 1 a xb
分段线性插值多项式的构造
证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时
f ( )( x xi )( x xi 1 ) f ( x ) ( x ) R( x ) 2!
Newton向后插值公式为
t ( t 1) N 3 ( x 4 th) 0.64422 0.07958t 0.00563 2! t ( t 1)( t 2) 0.00083 3!
x x4 0.57891 0.7 t 1.2109 h 0.1
Newton向前插值公式为
等距节点插值公式
t ( t 1) N 3 ( x0 th) 0.38942 0.09001t 0.00480 2 t ( t 1)( t 2) 0.00083 6 x x0 t (0.57891 0.4) / 0.1 1.7891 h
sin 0.57891 N 3 (0.57891) 0.38942 0.09001 1.7891 1.7891 0.7891 0.00480 2 1.7891 0.7891 0.2109 0.00083 0.54711 6

数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件

x4 94

1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7

L1 (7)

13 5

2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)

( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3

a0 a0

a1 x0 a1 x1

插值及其误差

（1）用tan x 表格直接计算tan 5。

（2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。

并讨论这两个结果中误差变化的原因。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。

1 插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。

其基本问题是：已知函数()f x 在区间[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 处的函数值()()0,1,,i i y f x i n ==，求一个至多n 次多项式 ()01n n n x a a x a x ϕ=+++（1）使其在给定点处与()f x 同值，即满足插值条件()()n i i i x f x y ϕ==（2）()n i x ϕ称为插值多项式，()0,1,,i x i n =称为插值节点，简称节点，[],a b 称为插值区间。

从几何上看，n 次多项式插值就是过1n +个点()()(),0,1,,i i x f x i n =，作一条多项式曲线()n y x ϕ=近似曲线()y f x =。

n 次多项式（1）有1n +个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n +个方程010000111101nn n n n nn n na a x a x y a a x a x y a a x a x y ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（3）记此方程组的系数矩阵为A ，则()01111det 1n nn nnx x x x A x x =是范德蒙特(Vandermonde)行列式。

当01,,,n x x x 互不相同时，此行列式值不为零。

因此方程组（3）有唯一解。

这表明，只要1n +个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。

插值多项式与被插函数之间的差()()()n n R x f x x ϕ=-称为截断误差，又称为插值余项。

数值分析--第2章插值法

数值分析--第2章插值法第2章插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。

反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。

此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。

解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。

这类方法称为曲线（数据）拟合法。

设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。

称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。

若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。

若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。

若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。

§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。

数值分析 Cht2 插值法

其中 l 0 ( x )和 l1 ( x )也是线性插值多项式，并满足 l 0 ( x 0 ) 1， l 0 ( x 1 ) 0， l1 ( x 0 ) 0， l1 ( x 1 ) 1, 称为线性插值基函数.
几何图示
再考察 n 2时 , 假定给定插值节点x 0 , x 1 , x 2，要求二次插值多项式L2 ( x )，满足 L2 ( x 0 ) y 0 , L2 ( x 1 ) y1 , L2 ( x 2 ) y 2 .
由 l k ( x k ) 1得到 Ak , 于是 , lk ( x )
从而得到在 n 1个节点 x 0 , x 1 , , x n 上的 n 1个 n 次拉格朗日基函数 l 0 ( x ), l1 ( x ), , l n ( x ).
也就是 , lk ( x ) ( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
(x x
j0
n
j
),
(2.14)
若 max | f ( n 1 ) ( x ) | M n 1 , 则
a xb
| Rn ( x ) |
M n1 ( n 1)!
| n 1 ( x ) |,
(2.16)
当 n 1时 , 线性插值余项 R1 ( x ) 1 2 f ( ) 2 ( x ) 1 2 f ( )( x x 0 )( x x1 ),

数值分析ch2最佳逼近和最小二乘法

10/23/2018 9:35:56 AM
第2章最佳逼近和最小二乘法
在[0,1]上，当最佳平方逼近空间 M span 1, x, x2, , x n 时，法方程系数
矩阵为 Hilbert 矩阵
1
1 2
1 1
1
n
1
1
H 2 3
n2
1 1
1
n 1 n 2
2n 1
当 n 较大时 Hilbert 矩阵和对应的法方程组 Hx b 是病态的，用数值方法
求解方程组 Hx b 是不稳定的。为了避免求解病态方程组,通常找M 中的
一组正交多项式。常用的正交多项式有：勒让德多项式，切比雪夫多项式，
拉盖尔多项式，埃尔米特多项式等。
正交多项式:若多项式序列i
(
x),
x
[a,
b] i0
满足
j ,k
b a
(
x)
j
(
x)k
(
x)dx
0, Ak
0,
jk ( j, k 0,1, 2,
函数的最佳逼近问题：
对于给定的函数 f (x)，要求在一个简单函数类 B 中，寻找一个函数 s(x) B ，
使得 s(x) 与 f (x) 的误差在某种度量下达到最小，这一问题称为最佳逼近问题，
s(x) 称为 f (x)的最佳逼近函数。
函数最佳逼近常用的误差度量标准
2 范数: (x) f (x) s(x) min f (x) y(x) ,最佳平方逼近或均方逼近
1
f b (x) f 2(x)dx 2
2
a
其中(x) L2[a,b] 为权函数，在(a,b)上非负，且满足：
（1） b x j (x)dx a

第5章插值法2

.
f ( x) 关于节点 xi , xi 1 , , xi k 的k阶差商可通过在点 xi 1 , xi 2 ,, xi k 和在点 x , x ,, x 处的两个 k 1 i i 1 i k
阶差商来计算，即
f [ xi , xi 1 ,
, xi k ] , xi k ] f [ xi , xi 1 , xi k xi , xi k 1 ]
f ( x j )( j 0,1,
, k ) 的线性组合表示，即
f [ x0 , x1,

j 0 k
, xk ]
f (x j ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
( x j x0 )( x j x1 )
这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性.
f [ xi 1 , xi 2 ,
差商的基本性质:
（1）差商与函数值的关系：
f ( x) 在互异节点 x j ( j 0,1,
, k ) 上的 k 阶差商可由
f ( x j )( j 0,1,
, k ) 的线性组合表示，即
f [ x0 , x1,

j 0 k
, xk ]
f (x j ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
n 1 次插值多项式的基础上，增加一个节点
xn ,只需要再由 Nn 1 ( x) 加上一个 n 次项，便得到了
Nn ( x) ，而无须重新构造插值多项式.
这种插值方法，称为Newton插值方法.
利用差商定义1可得到计算
ak 的递推算法.
差商表5-4各列第一个数据作为系数 ak ，得到牛顿插值公式

2 插值法计算方法课件及实验教学课件

xk1 )( x xk1 )( x xk 1 )( xk xk 1 )( xk
xn ) xn
)
称为基本插值多项式.
2.2 Lagrange插值-Lagrange插值多项式
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
n k0
yk
( x x0 ) ( xk x0 )
故可设 Rn( x) K ( x)n1( x)
其中 K ( x) 待定,
对于 [a,b] 上异于 xi的任意一点 x xi 作辅助函数
F (t ) f (t) Pn (t ) K ( x) n1 (t )
则F(t)满足：
(1) F ( x) F ( xi ) 0 (i 0,1,, n)
L1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
显然， l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式，在节点x0,x1上满足条件：
l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.
即
1 lk (x j ) 0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
于是
F (n1) ( ) 0
f (n1) ( ) K ( x)(n 1)! 0
f (n1) ( )
K(x) (n 1)!
从而定理得证.
例2 估计例1中的截断误差
f ( x) x
解
R1 ( x)
f
" (
2!
)
2
(x)
1 8
32
(
x
x0
)(x
x1
)
[x0 , x1 ]
max R1 (115)

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

M 2 = max | f ′′( x )| = f ′′(169 )| ≤ 1.14 × 10 −4 |
M 3 = max | f ′′′( x )|= f ′′′(144 )|≤ 1.51 × 10 −6 |
144 ≤ x ≤ 225
2010-122010-12-31 7
N 2 = ω 2 ( x )| = (175 − 169 )(175 − 225)| = 300 | |
且 ϕ ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) − K ( x )ω n + 1 ( xi ) = Rn ( xi ) − K ( x)ω n +1 ( xi ) = 0
注意t与x 的区分
也可令ϕ (t ) = R( x )ω n + 1 (t ) − R (t )ω n + 1 ( x )
2010-122010-12-31 2
f ( x) − Pn ( x) − K ( x)ω n +1 ( x) = 0 若引入辅助函数ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t ) 则有 ϕ (x ) = f ( x ) − Pn ( x ) − K ( x )ω n + 1 ( x ) = 0
§2.2 .3 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y = f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x ) = ∑ y j l j ( x )
j =0 n
满足
但
Ln ( xi ) = f ( xi )
∀x ∈ [a, b]
i = 0,1, L, n Ln ( x) = f ( x) 不会完全成立
i = 0,1, L, n
因此, 若令x ≠ xi , ϕ (t )在区间[a, b]上至少有n + 2个零点, 即
ϕ ( x) = 0 , ϕ ( xi ) = 0 , i = 0,1,2,L , n
由于Pn ( x)和ω n +1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则ϕ (t )也可微
i =0
n
则
f ( n + 1 ) (ξ ) ω n + 1 ( x) | Rn ( x )| = (n ( n + 1)!
1 ≤ M n+1 Nn+1 ( n + 1)!
2010-122010-12-31
6
例1: 在上节例1.中, 若f ( x ) = x , 三个节点为144 ,169 ,225
用线性插值计算，取 x0 = 0.32, x1 = 0.34, 由公式（2.1）
2010-122010-12-31 9
sin 0.3367 ≈ L (0.3367) 1
y1 − y0 = y+ (0.3367 − x0 ) x1 − x0
= 0.314567 + 0.01892 ×0.0167 0.02
= f ( n +1) (ξ ) − K ( x) ⋅ (n + 1)! = 0
4
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = (n + 1)!
所以
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)
的值并估计截断误差. 解由题意, 取
y − yk L (=) .34, k + = +1 333487, − xk ) x 0= y y k 0. (x 1 x1 1 xk +1 − xk
x0 = 0.32, y0 = 0.314567,
（点斜式），
x2 = 0.36, y2 = 0.352274.
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n + 1个零点
设其中
Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
ω n +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
(11.25 − 10)(11.25 − 12) (11.25 − 10)(11.25 − 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 − 10)(11 − 12) (12 − 10)(12 − 11)
2010-122010-12-31
= 2.420426
15
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式
ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t )
由于因此
2010-122010-12-31
( ϕ ( n+1) (t ) = f ( n +1) (t ) − Pn( n +1) (t ) − K ( x)ω nn +1) (t ) +1 ( + ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − Pn( n +1) (ξ ) − K ( x)ω nn 11) (ξ ) +
N 3 = ω 3 ( x )| = (175 − 144 )(175 − 169 )(175 − 225 )|= 9300 | |
1 1 ≤ M 2 N 2 ≤ × 1.14 × 10 − 4 × 300 ≤ 1.71 × 10 −2 | R1 ( x )| 2! 2
1 1 | R2 ( x )| ≤ M 3 N 3 ≤ × 1.51 × 10 − 6 × 9300 ≤ 2.35 × 10 −3 3! 6
n
Lagrange型余项
其中 ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ξ ∈ ( a , b ) , 且依赖于x.
i =0
2010-122010-12-31 5
设
M n + 1 = max| f ( n + 1 ) ( x )|
a ≤ x ≤b
N n + 1 = ω n + 1 ( x )|= ∏ ( x − xi )| | |
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 − 10)(11.25 − 11)(11.25 − 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
2010-122010-12-31
16
= 0.330374.
2010-122010-12-31 12
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 由（2.18）, 截断误差限
R2 (x) ≤ M3 (x − x0 )( x − x1)(x − x2 ) , 6
其中
′ M3 = m ax f ′′(x) = cos x0 < 0.828,
从以上分析可知, 在求 175时用Lagrange二次插值比线性插值的误差更小
2010-122010-12-31 8
例2 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487,
sin 0.36 = 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
< 0.178×10−6.
2010-122010-12-31
14
例
给定函数表
x lnx
10
11
12
13
2.302585 2.397895 2.484907 2.56494 9 用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 − 11)(11.25 − 12) ln11.25≈L2(11.25) = (10 − 11)(10 − 12) × 2.302585
2010-122010-12-31 3
根据Rolle定理, ϕ ′(t )在区间(a, b)上有至少n + 1个零点再由Rolle定理, ϕ ′′(t )在区间(a, b)上有至少n个零点依此类推
在区间( a, b)内至少有一个点ξ , 使得ϕ (t )的n + 1阶导数为零
ϕ ( n +1) (ξ ) = 0
= 0.330365.
2010-122010-12-31
10
由（2.17）,其截断误差
R (x) ≤ 1 M2 (x − x0 )(x − x1) , 2
1 1 f ′′(ξ )ω2 (x) = f ′′(ξ )(x − x0 )(x − x1), 2 2
x0 ≤x≤x1
其中
R (x) = 1
M2 = m f ′′(x) = m −sin x = sin x1 ≤ 0.3335, ax ax
x0 ≤x≤x2
于是
R2 (x) =
1 f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1)(x − x2 ), 6
ξ ∈[x0 , x2 ]
2010-122010-12-31
（2.18）
13
R2 (0.3367) = sin 0.3367 − L2 (0.3367)
1 ≤ ×0.828×0.0167×0.033×0.0233 6
x0 ≤x≤x1
于是பைடு நூலகம்
R (0.3367) = sin 0.3367 − L (0.3367) 1 1
1 ≤ ×0.3335×0.0167×0.0033 2

Ch2_2插值余项与误差估计

合集下载