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机械CAD/CAM基础课程作业姓名曾子敬专业机械电子工程学号 0042日期 2011-12-21武汉科技大学拉格朗日插值法的理解与运用一.引 言在机械设计与制造领域会因为通过大量试验而得来很多测试数据资料，如数表、线图、标准、规范、实验数据等。
我们常常需要对这些繁多而复杂的试验数据进行系统的分析和处理，从而得到希望的演算结果，所以如何有效的处理一系列数据是在机械工程设计中是十分关键的一步。
在传统的设计过程中，这些数据都是通过人工查询手册来获取，但在现代CAD/CAM 系统中，这些数据需要由计算机进行处理，这就需要我们将试验数据以数表和线图的形式输入计算机才能被计算机有效的识别、存储和应用。
在CAD/CAM 中，有两类数表需要进行处理。
一类是彼此之间没有函数关系的数表，如材料的机械性能、物理性能等；另一类是彼此之间存在函数关系，而为了使用方便以表格形式给出的列表函数，如三角函数、对数函数等。
对于数据之间存在某种函数关系而被离散化的数表，虽然离散化后的自变量值和因变量值存在一一对应关系，但是对于这类数表所需完成的查询通常并非恰好是给定的离散值，而是介于离散量之间的自变量和因变量，这就需要解析的方法处理。
常用数表解析法有函数插值法和数据拟合法。
下面以函数插值法中常用的拉格朗日插值法来讨论其理解与运用。
二.函数插值——拉格朗日插值法理解（1）函数插值的含义在科学研究和实际的机械工程设计中，几乎所有的问题都可以用函数y=f(x)来表示其中某些内在的数量关系，但是理想化的函数关系又很难在实际的工程测试结果中得到，对于那些没有明显方程式的函数关系表达式则只能通过求出与原关系式近似的又能反应其原函数特性的一种便于计算的简单函数，即构造一个近似函数来替代原函数。
（2）插值的基本方法插值的基本方法是在插值点附件选取几个合适的节点，利用这些节点构造一个函数g(x)，使g(x)经过所选取的所有节点，在插值点确定的区间上近似用g(x)代替原来的函数f(x)，那么，插值点的函数值可以用构造函数值来代替。
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
插值多项式的误差估计说到插值多项式，哎呀，很多人第一反应就是：这个玩意儿听起来好复杂！就好像把数学书当作枕头，想避开它一样。
可是，你知道吗？其实它真的比你想的要亲民得多，接下来咱们就聊聊这个插值多项式的“误差估计”问题，别担心，我会把它说得有趣、又好懂，保证你不打瞌睡。
咱们要知道啥是插值多项式。
哎，这个名字一听就有点学术味儿，没错，它的确是数学中的一大宝贝。
简单来说，插值多项式就是通过一些已知数据点来构造一个多项式，这个多项式能够“穿过”所有这些点。
比如，你给我几个点的坐标，我就能画出一条曲线，让它正好把这些点串联起来。
听起来挺酷对吧？就像是你在画一条平滑的道路，路上有几个路标，插值多项式就像是帮你描绘这条路的设计师。
好了，讲到这里大家应该都差不多明白了插值多项式是啥东西。
为什么要关心它的误差呢？这就有意思了。
你看，插值多项式是个近似工具，通俗来说就是：它帮你做的事情，可能完美无缺，但也可能会有点差错，尤其是当你插值点的数量多了，误差可能会变得明显。
所以，咱们就需要估计这个误差，弄明白它到底有多大，能不能接受。
你要知道，误差其实就是咱们计算出来的值和实际值之间的差距。
举个例子来说，你在测量一块蛋糕的尺寸，测得说它有30厘米长，实际上它可能是29.8厘米长。
那个0.2厘米的差距，就是误差。
再比如，你去打篮球投篮时，看到篮筐就在眼前，结果投出去的球偏离了一点点——那个偏差就叫误差。
那插值多项式的误差呢，也是类似的道理，只不过它出现在你用数学模型来逼近某些实际情况时。
好啦，怎么估计这个误差呢？咱们得知道它不是随便就能抓住的。
哎，我得告诉你，插值的误差是一个挺狡猾的小东西。
它不只是和你选的点数有关，甚至和这些点的位置有关系。
有时候你选的点再多，误差反而可能会更大！这就像是你搞了个很复杂的程序，想着搞定所有问题，结果反而弄得一团糟。
所以，估计误差时可得小心，别被表面现象给迷惑了。
通常，我们会通过误差公式来估算。
拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()nk k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值１.１. 线性插值的定义假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =,()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ．()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线，如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即()()k kk kk k x x x x y y y x L ---+=++111 (点斜式)， 图１()11111++++--+--=k kk kk k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．y=L 1x ()y=f x ()y k+1y kx k+1x k o yx2 由两点式方程看出，()x L 1由两个线性函数()11++--=k k k k x x x x x l ,()kk kk x x x x x l --=++11的线性组合得到,其系数分别为k y 及1+k y ,即()()()x l y x l y x L k k k k 111+++=． 显然,()x l k 及()x l k 1+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满足条件()1=k k x l ， ()01=+k k x l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．称函数,()x l k （图２）及()x l k 1+（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：图2 图3１.２. 线性插值例题例1. 已知,352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===用线性插值计算.解：由题意取000.320.314567x y =⎧⎨=⎩，⎩⎨⎧==333487.034.011y x ，⎩⎨⎧==352274.036.022y x ．若取34.0,32.010==x x 为节点，则线性插值为：()()00101013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈330365.00167.002.001892.0314567.0=⨯+=.若取36.0,34.021==x x 为节点，则线性插值为：()()11212113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+=≈()330387.00033.002.0018787.0333487.0=-⨯+=.l k+1x ()xy1x k+1x k ol k+1x ()xy1x k+1x k o3２.二次插值２.１. 二次插值的定义若2=n 时,假定插值节点为11,,+-k k k x x x 要求二次插值多项式()x L 2,使它满足()j j y x L =2 (1,,1+-=k k k j )()x L y 2=的几何意义:通过三点的()11,--k k y x ,()k k y x , , ()11,++k k y x 的抛物线.例如()x l k 1-，因为它有两个零点1,+k k x x ，故可表示为：()()()11+---=k k k x x x x A x l . 由()111=--k k x l 得()()11+--=k k x x x x A .所以， ()()()()()11111+--+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l .同理()()()()()1111+-+-----=k k k k k k k x x x x x x x x x l ， ()()()()()k k k k k k k x x x x x x x x x l ----=+-+-+11111.函数()x l k 1-, ()x l k ,()x l k 1+称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间[]11,+-k k x x 上的图形分别为:利用二次插值基函数()x l k 1-, ()x l k , ()x l k 1+,立即可得到二次插值多项式()()()()x l y x l y x l y x L k k k k k k 11112++--++=()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+-===+===+++---.,1 0,1,1,10,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k ko1x k+1x kx k-1l k-1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k+1x ()yxx k-1o1x k+1x k l k x ()yx4显然,它满足条件()j j y x L =2 ()1,,1+-=k k k j . 即()=x L 21-k y ()()()()1111+--+----k k k k k k x x x x x x x x + k y ()()()()1111+-+-----k k k k k k x x x x x x x x + 1+k y()()()()k k k k k k x x x x x x x x ----+-+-1111２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用例2. 已知函数()c ax x f -=2（c a ,为实数 ）。
拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。
这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。
拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。
这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。
它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。
通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。
这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。
如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。
多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。
在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。
然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。
高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。
为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。
除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。
多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。
拉格朗日插值多項i. 式與泰勒多項式的誤差分析朱亮儒★ 曾政清☆ 陳昭地★★國立臺灣師範大學數學系教授☆臺北市立建國高級中學數學教師摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。
關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項一引言有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限><[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下：求中的.除以的餘式為通過的插值多項式。
若有兩實根，則可寫成的型式。
透過因式定理證明插值多項式的唯一性。
設通過的多項式為，求及.插值多項式：通過的多項式可表示為，求的值。
此處暫不處理下面的題型：「設通過的多項式為,求。
」此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。
此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L.,1736-1816>其人奇事，羅列如下：他出生於義大利西北部的杜林(Turin>，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。
他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem>的大數學家。
(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到<[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理>他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。
之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙<1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」泰勒定理有拉格朗日誤差的公式<存在性）。
拉格朗日恆等式：，，.具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。
最得意的巨著《分析力學》。
拉格朗日差值誤差公式<[5]）：若為區間中相異實數，且,則對每一個，存在,使得,其中為函數在的階拉格朗日插值多項式，而為其插值誤差式。
拉格朗日多项式插值法浅析摘要拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。
“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。
下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB 程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。
【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用)(x f y =来表示其某种内在规律的数量关系。
但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映)(x f 的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。
例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。
这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f （x ）。
应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越 准确。
当然，构造组合多项式方法比较多，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的分段差分和系数表等等，这里只对拉格朗日多项式插值法进行深入探讨。
一、拉格朗日多项式插值算法基本原理函数)(x f y =在区间[a,b]上有定义,在是[ a,b]上取定的 N + 1个互异节点, 且在这些点处的函数值)(0x f , )(1x f ,…,)(n x f 为已知, 即 yi =f (xi ) , (N i ...1,0=)，若存在一个和)(x f 近似的函数)(x P N ，满足)()(i i N x f x P = (N i ...1,0=) （1）则称 φ(x) 为 f (x) 的一个插值函数, 点i x 为插值节点，（1）称为插值条件, 区间[a,b]称为插值区间, 而误差函数)()(x P x f E N N -=称为插值余项。
拉格朗日余项与误差计算给定项数n , 求得近似值()n S x , 通过|()|n R x 估计误差, 这一题型几乎是每年AP 最后一道大题的固定模式. 请同学们认真学习. 对误差的估计, 分为两种情况: 一是拉格朗日余项定理, 二是交错级数的余项定理. 我们分别进行论述, 并适当地回顾前面的内容, 以便更加细致地梳理这一知识点.拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder ）的运算首先涉及泰勒公式, 其内容如下: 给定一个函数f (x ), 若可以将其展开成幂级数P (x )的形式如下:20120()()()()()()nn n n n f x P x c c x a c x a c x a c x a ∞=≈=+-+-++-+=-∑ 则必有()()!n n f a c n =. 那么, 泰勒级数的全形可以如下: ()2()()()()()()()()2!!n n f a f a f x f a f a x a x a x a n '''=+-+-++-+ ()0()()!n n n f a x a n ∞==-∑ 其中, 前n 项我们称之为函数在点x =a 处的n 阶泰勒展开式. 所谓的阶, 是指x 的幂次; n 阶就是x 的最高次幂为n , 而不是展开到第n 项. 通常而言, 如果泰勒展开的每一项都存在, 则n 阶泰勒展开应当有n +1项（应当加入常数项）. 而对于某些奇数项为0或偶数项为0的级数, 其项数的计算, 就更加复杂一些, 但n 阶依然是指x 的最高次幂, 而与项数无关.但是, 泰勒展开能够无限地逼近原函数, 是以n 趋向于无穷为前提条件的. 如果我们只是将函数展开到n 阶, 则后面的部分（我们称为余项, remainder ）就被省略了, 这必然会产生误差. 记余项的表达式为R n (x ), 用它表示n 项之后的余项（注意下标是n 而不是n +1）, 我们可以将泰勒展开写成如下形式:()2()()()()()()()()()2!!n n n f a f a f x f a f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ 或者说, ()()()n f x P x R x =+这式子的意思是原函数可以分解为两个部分, 一部分是n 阶泰勒展开, 另一部分就是拉格朗日余项. 那么, 做一个移项, 就可以有: ()()()n R x f x P x =-.这就是说, 用n 阶幂级数来逼近原函数, 其误差就是这一余项. 而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式（实际上还有其他类型的余项表达式, 但AP 不考）, 我们可以用它来估计误差. 为此, 我们先写出函数的第n +1阶展开式:23()(1)()10()()()()()()()()2!3!()()()()()()!(1)!!n n n n n nn f a f a f x f a f a x a x a x a f a f a f a x a x a x a n n n +∞+=''''''=+-+-+-+-+-+=-+∑ 而拉格朗日余项（在具体题目中, 我们也称为拉格朗日误差界Lagrange Error Bound ）在形式上就类似于函数的第n+1阶, 其表达式如下:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, where c is a value between x and a . 其中, 唯一的不同点就是原来(1)()n f a +中的a 变成了c , 并且c 是介于x 与a 之间的一个值. “c 是介于x 与a 之间的一个值”, 之所以这么写, 而不采用不等式的定法, 是因为实际上x 可以小于a （x < c < a ）, 也可以大于a （a < c < x ）; 对这句话的深入理解, 请大家结合后面的具体例题中来讲. 同时, 拉格朗日余项定理像微分中值定理（Mean Value Theorem ）、介值定理（Intermediate Value Theorem ）一样, 都是存在性定理, 即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值）, 但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）. 而如果我们使用麦克劳林式（Maclaurin Series, 即a = 0时的特殊形式）, 就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, where c is a value between x and 0. 这是AP 最容易出题的余项形式, 我们所有的例题都将据此展开.观察拉格朗日余项定理的形式, 对于给定a 、n 和x 的情况下, 如果要确定这个余项的界限, 唯一要确定的就是前面的这个第n +1阶导数的取值范围. 若令有正数(1)()n M f c +=, 则只需要确定M 的范围, 那么, 整个余项的范围也就唯一给定了. 由于误差值可能为正, 也可能为负, 为便利讨论, 我们一般都取其绝对值进行考查, 即:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, 或1()()(1)!n n M R x x a n +=-+. 而对于麦克劳林式, 我们就变成考查:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, 或1()(1)!n n M R x x n +=+的范围. 这时我们就要介绍一个基本定理, 即拉格朗日余项定理:若存在正数M , 使得对a c x ≤≤或x c a ≤≤, 均有(1)()n f c M +≤, 则(1)11()()()()(1)!(1)!n n n n M f c R x x a x a n n +++≤-=-++ 也就是说M 的取值范围其实就由(1)()n f c +(a c x ≤≤ or x c a ≤≤)唯一给定. 这一不等式也叫泰勒不等式. 这是我们进行余项范围估计的主要理论基础. 要注意的是, 尽管在陈述拉格朗日余项时我们说c 的范围是x c a <<或a c x <<, 并没有包括端点值. 但是, 泰勒不等式中, 端点值是包括在内的. 因此, 在计算误差时, 我们通常把c 的取值范围写成x a c ≤≤或x c a ≤≤. 在具体计算中, 确定M 的范围实际上并不像许多同学想象的那么复杂, 关键是结合给定函数的类型进行讨论, 我们在前面讨论函数的幂级数展开时, 已经结合一些具体的公式进行过抽象的分析, 现再考虑一些具体的求近似值的案例来加强其理解.例1 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并估计其误差.Solution 根据基本的公式21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++……,很容易得出的5阶麦克劳林式为: 3511sin 3!5!x x x x ≈-+ 其余项按照拉格朗日余项定理, 可以写成:(51)(6)516()()()(51)!6!n f c f c R x x x ++==+, where c is a value between 0 and x . 要确定范围, 我们只需知道(6)()fc 的范围. 那么, (6)()f c 到底在哪个区间呢？为此, 我们需要写出(6)()f c 的函数表达式.根据泰勒展开的定义, 易有: sin cos ,sin sin ,sin cos ,x x x x x x ''''''==-=- . 那么, 根据三角函数的基本性质, 不论c 取何值, (6)()f c , 即(6)sin sin x x =-, 都必定在[1,1]-的区间中. 于是, 对这个题而言, 我们不需要讨论c 的取值为何(但仍需要写上where c is a value between 0 and x 这句话), 整个余项的取值范围也可以非常明白了:(6)66()()6!6!n f c x R x x =≤ 例2 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 据此估计sin 0.2的值, 并计算其误差.Solution 接上例, 得3511sin 0.20.2(0.2)(0.2)0.198********!5!≈-+≈ 同时, (6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.888888889106!6!n f c R x R -==≤≈⨯. 按照此误差, 真实的sin 0.2应当在80.198********.88888888910-±⨯之间, 即在0.1986692444和0.1986694219之间. 实际上, 如果我们使用TI -84进行计算, 可以发现sin 0.20.1986693308≈. 可见, 使用这一方法的精度还是较高的.注意: 在计算误差值的运算过程中, 一定要注意“＝”号和“≈”号的表达. 在上述表达中, 如果是n 阶的近似, 一定要用≈号; 如果数值除不尽, 也一定要用≈号. 否则, 将会被扣掉一定分数.例3 将cos y x =展开成4阶麦克劳林式, 据此估计cos 0.3的值, 并计算其误差. Solution 240.30.3cos(0.3)10.955337524!≈-+≈ (5)55554()0.3() 2.025105!5!5!f c x R x x -=≤==⨯ 例4 使用x e 的8阶麦克劳林展开式估计2e 的值, 并计算其误差. Solution 234567822222222127.3873015872!3!4!5!6!7!8!e ≈++++++++≈ For this case, 2, 0, 02x a c ==∴≤≤.Besides, (9)()x f x e =, it is increasing for all x R ∈. Hence, 2()c Max e e = for 02c ≤≤.（注意: 在做此题及类似题型的过程中, 必须对c 的取值范围做出说明, 并且根据相应阶的导函数的增减性做出最大值的判断. 此题中需要写出函数的9阶导数然后再说明. ）Thus, (9)2998()2(2)29!9!f c e R ⨯=≤ 这里就遇到一个问题, 2e 的范围是多大呢？实际上, 这正是我们想要估计的范围！为此, 我们只能做一个大致的估算. 因为我们知道 2.7183e =<…, 所以:(9)292998()232(2)20.01269841279!9!9!f c e R ⨯⨯=≤<≈ 这就是说, 即使是使用8阶泰勒展开, 并且使用3e ≈这样大范围的估计, 也可以得出2e 的估计值的误差范围不会超过0.013这样较高精度的估计.交错级数（Alternating Series ）的误差计算相对简单. 其基本定理如下:若交错级数100(1)()n nn n n u v ∞∞+===-∑∑满足下列条件:1. 正项递减, 即10n n v v +≤≤;2. 正项趋零, 即lim 0n n v →∞= 则必有其余项的范围11n n n n R S S u v ++=-<=.其中, S 表示全部和, S n 表示部分和（partial sum ）, 也就是我们高中数学里习惯说的前n 项和. 简单的讲, 交错级数前n 项和的余项, 不会超过接下来这一项的绝对值, 这就是交错级数的余项公式. 其证明从略, 有兴趣的同学可以参看相关的微积分教材, 但我不建议大家在这点上浪费时间. 这个公式在说明条件后, 可以直接套用. 许多AP 的考题, 在要求泰勒展开之后, 肯定会是一个交错级数的类型. 如果这样, 只需简单地将上述两个条件列出, 然后套用此公式即可. 注意上述这两个条件实际上就是交错级数收敛的条件.细心的同学可能会发现, 当我们对sin y x =或cos y x =在x =0处进行泰勒展开时, 它们都是交错级数. 这就意味着其近似应当有两种方法: 拉格朗日余项定理或交错级数的余项定理. 它们的结果似乎是不太一样的. 这需要一定的说明.在例2中, 我们将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并使用拉格朗日余项估计sin 0.2的误差为:(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.8888888891016!6!n f c R x R -==≤≈⨯……（）. 但是, 由于我们知道21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… , 这毫无疑问是一个交错级数, 并且是收敛的, 即同时满足正项递减、趋零这两个条件, 那么, 依据交错级数的余项公式（英文即可写作By Alternating Series Test ）, 其误差应当不会超过其下一项的绝对值（717!x -）, 即: 792.51()396(80.2)710(2)!n R x -⨯<-≈…… 比较（1）式与（2）式, 似乎得出了完全不同的结果. 到底哪个是对的呢？仔细观察会发现, （1）式与（2）式的形式其实非常类似, 其区别仅在于两者的幂次和阶乘数稍有不同, 一个是6, 一个是7, 从而导致结果的不同. 实际上, 造成这一结果的原因在于sin y x =的泰勒展开是一种特殊的类型, 它的全部项次并非通常意义上的:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 如果按照严格的泰勒展开,sin 00=sin cos ,sin (0)1x x ''== sin sin ,sin (0)0x x ''''=-= sin cos ,sin (0)1x x ''''''=-=- (4)(4)sin sin ,sin (0)0x x ==…… 则sin y x =的泰勒展开的完整形式实际上应当写成:34567010101sin 02!3!4!5!6!7!x x x x x x x x =++-+++-+… 如果这样来看, 其展开式就不再是一个交错级数, 就不能使用交错级数的余项定理, 而只能使用拉格朗日余项定理做出例2的结果.只是巧合的是, 这一展开的奇数次项正好为都为0, 因此我们还可以将此级数写成交错级数的类型:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 并且它又满足正项递减、趋零这两个条件, 所以它又可以使用交错级数的余项公式. 并且, 由于拉格朗日余项定理使用的是第n +1阶的展开式, 而将sin y x =展开成交错级数的余项公式中, 实际上我们相当于使用了第n +2阶的展开式, 其误差估计精度更好, 也就不难理解了. 两种方法都是可以的, 拉格朗日误差界不过是一个万能方法, 适合于一切泰勒展开的误差估计; 而交错级数的余项公式适用条件则相对较窄, 但是其估计的精度在特定条件下, 较万能公式要高.那么, 考试时究竟使用哪一种方法呢？这其实取决于题目的问法和条件. 一般来说, 如果考题明确要求了使用“Lagrange Error Bound ”来估计误差, 那么必须使用这一方法; 如果没有特殊说明, 我们一般采用交错级数（没有指定用Lagrange Error Bound 的问题一般都是交错级数的类型）的余项公式, 因为它毕竟在形式上比较简单, 只要写出下一项的表达式, 说明一下正项递减、趋零两个条件, 然后代入x 值就可以了. 另外, AP 的考题通常要求证明某个值的n 阶泰勒展开的误差小于某个值（如1200）, 一般而言, 不论你使用哪种方法都是能够满足这一条件的, 因此不必存有过多的疑虑.习题1. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒展开式.2. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林展开式.3.的n 阶麦克劳林展开式(不要求写出余项的具体表达式). 4. 求函数()(1)ln(1)f x x x =++的带有拉格朗日型余项的n (n >2)阶麦克劳林展开式.5. 求下列函数的麦克劳林公式: (1)()x f x xe =;(2)x x f 2cos )(=.6. 求下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛域:(1)()ln()f x a x =+（0a >）(2)()x f x a = (3)21()32f x x x =++ (4)2()sin f x x = (5)()cos2x f x = (6)1()ln 1x f x x +=-7. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.8. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin 18︒. 解答 1. 24)4(==f 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以 (4)234(4)(4)()(4)(4)(4)(4)(4)(4)2!3!4!f f f f f x x x x ξ''''''=+-+-+-+- 723421111152(4)(4)(4)(4)4645124!16x x x x ξ-=+---+--⋅--, ξ 介于x 与4之间. 2. f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x x x x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2, 故234518sin (sin 2)tan 3cos x x x x ξξξ+=++, ξ介于0与x 之间. 3. 3211(0)1()(1)(0)22f f x x f -''==-=，， 521313()(1)(0)2222f x x f -''''=⋅-=⋅, 21()()21321(21)!!()(1)(0)2222n n n n n n f x x f +---=⋅-= , 注: !!这一双阶乘符号表达依次减2. 其标准描述如下: 当n 是自然数时, n !!表示不超过n 且与n 有相同奇偶性的所有正整数的乘积. 当n 为偶数时n!!=n (n -2)(n -4)…6•4•2; 当n 为奇数时, n !!=n (n-2)(n-4)…5•3•1．23(1)2132121()(1)2222n n n n f x x +-+-+=⋅⋅- 211321()1()2242n n n f x x x x R x n-=++⋅+++ 4. (0)0f =;()ln(1)1(0)1f x x f ''=++=,;1()(0)11f x f x ''''==+,; 21(),(0)1(1)f x f x -''''''==-+. 2()()1(1)(2)!()(2)(0)(1)(2)!(1)n n n n n n f x n f n x ----=>=--+,, f x n x n n n ()()()()!()+-=--+11111 f x x x x n n x R x nn n ()()()()=+-++--+2321611 11(1)1()(1)(1)n n n n R x x n n ξ-+-=⋅++, ξ 介于x 与0之间. 5 (1) 23112!3!(1)!n xx x x e x n -=++++++- ; 342()2!3!(1)!nx x x x f x xe x x n ==++++++- . (2) 24211(1)cos 12!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 24211(1)cos 21(2)(2)(2)2!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 22422(1)2123(2)!n nn x x x n -=-++++ 6. (1) )1ln(ln )]1(ln[)ln(a x a a x a x a ++=+=+ 由于 n n n x n x ∑∞=--=+11)1()1ln(, 则有 11(1)ln()ln ln(1)ln ()(,]n n n x x a x a a x a a a n a -∞=-+=++=+∈-∑(2) 因为∑∞==0!n n x n x e , ln 0(ln )(,)!nx x a n x a a e x n ∞===∈-∞∞∑(3) )12(21112111)2)(1(12312+-+=+-+=++=++x x x x x x x x )11()211()1()2()1(21)1(1000<<---=---=+∞=∞=∞=∑∑∑x x x x n n n n n n n n nn . (4)n n n n x n x x 2202)!2(2)1(21212cos 2121sin ∑∞=--=-= 211212(1)(,)(2)!n n n n x x n -∞+==-∈-∞∞∑. (5) n n nn nn x n x x x 20242)!2()1()!2()1(!41!211cos ∑∞=-=+-+++-= +-+++-=n n x n x x x 242)2()!2()1()2(!41)2(!2112cos 20(1)()()(2)!2n n n x x n ∞=-=-∞<<∞∑. (6)111()ln ln(1)ln(1)+111x f x x x dx dx x x x+==+--=-+-⎰⎰ 10=(1)n n n n n x x dx ∞∞==⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰2323[(1)(1)]x x x x x x dx =-+-++++++⎰21242002(222)221n n n n x x x dx x dx C n +∞∞===+++==++∑∑⎰⎰但是, 我们知道1(0)ln 01f ==, 代入上式有C =0. 故21012ln 121n n x x x n +∞=+=-+∑, 收敛半径显然与ln (1+x )和ln(1－x )相同为1, 可以验证当x = ±1, 级数发散, 故收敛域为(－1, 1).7. 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.121(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e . 8. (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-+==--x x x x f 4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).By Kahn, Fortune Edu 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅+≈---10724.33531311(31063≈+-+≈, 其误差为 5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR . (2) 已知 43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以sin 18︒3090.010(!311010sin 3≈-≈=πππ, 其误差为 44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR .。
完全拉格朗日格式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述1.1概述在数值计算领域，拉格朗日插值是一种常用的数值插值方法。
通过该方法，我们可以根据已知数据点的函数值，推导出一个多项式函数来逼近整个函数曲线。
拉格朗日插值的优点是简单易懂，容易实现，同时具有较高的数值稳定性。
然而，传统的拉格朗日插值存在着一些问题。
由于插值多项式的系数和次数是固定的，当数据点较为稀疏或密集时，传统的拉格朗日插值可能存在数值不稳定的情况，导致得到的插值函数并不准确。
为了解决这个问题，完全拉格朗日格式应运而生。
完全拉格朗日格式是拉格朗日插值的一种改进算法，它克服了传统拉格朗日插值的不足之处，并在某些情况下具有更好的数值稳定性和准确性。
完全拉格朗日格式主要的特点是，在传统拉格朗日插值的基础上，通过添加一系列额外的插值基函数来提高插值的质量。
这些额外的插值基函数，通常是拉格朗日插值基函数的加权和。
通过引入这些额外的插值基函数，完全拉格朗日格式能够更好地逼近复杂的函数曲线，尤其在数据点稀疏或密集的情况下表现更为出色。
它可以兼顾函数的高次精度和数值稳定性，更好地满足实际问题的数值计算需求。
完全拉格朗日格式在科学计算、数值分析和工程应用中具有广泛的应用。
它可以用于曲线拟合、数据插值、信号处理等领域。
通过采用完全拉格朗日格式，我们可以在保持数值稳定性的前提下，获得更加准确的数值计算结果。
总的来说，完全拉格朗日格式是一种改进的拉格朗日插值方法，它在传统拉格朗日插值的基础上添加了额外的插值基函数，从而提高了插值的质量和准确性。
它在数值计算中应用广泛，并能够满足实际问题的需求。
在接下来的正文中，我们将详细介绍完全拉格朗日格式的原理、优点和应用。
通过深入了解这个方法，我们将能够更好地应用它来解决实际问题。
1.2 文章结构文章结构部分介绍了整篇文章的框架和各个部分的内容。
在本文中，我们将按照以下方式组织内容:2. 正文部分:2.1 拉格朗日插值在这一部分中，我们将介绍拉格朗日插值的基本概念和原理。
拉格朗日余项与误差计算给定项数n , 求得近似值()n S x , 通过|()|n R x 估计误差, 这一题型几乎是每年AP 最后一道大题的固定模式. 请同学们认真学习. 对误差的估计, 分为两种情况: 一是拉格朗日余项定理, 二是交错级数的余项定理. 我们分别进行论述, 并适当地回顾前面的内容, 以便更加细致地梳理这一知识点.拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder ）的运算首先涉及泰勒公式, 其内容如下: 给定一个函数f (x ), 若可以将其展开成幂级数P (x )的形式如下:20120()()()()()()nn n n n f x P x c c x a c x a c x a c x a ∞=≈=+-+-++-+=-∑ 则必有()()!n n f a c n =. 那么, 泰勒级数的全形可以如下: ()2()()()()()()()()2!!n n f a f a f x f a f a x a x a x a n '''=+-+-++-+ ()0()()!n n n f a x a n ∞==-∑ 其中, 前n 项我们称之为函数在点x =a 处的n 阶泰勒展开式. 所谓的阶, 是指x 的幂次; n 阶就是x 的最高次幂为n , 而不是展开到第n 项. 通常而言, 如果泰勒展开的每一项都存在, 则n 阶泰勒展开应当有n +1项（应当加入常数项）. 而对于某些奇数项为0或偶数项为0的级数, 其项数的计算, 就更加复杂一些, 但n 阶依然是指x 的最高次幂, 而与项数无关.但是, 泰勒展开能够无限地逼近原函数, 是以n 趋向于无穷为前提条件的. 如果我们只是将函数展开到n 阶, 则后面的部分（我们称为余项, remainder ）就被省略了, 这必然会产生误差. 记余项的表达式为R n (x ), 用它表示n 项之后的余项（注意下标是n 而不是n +1）, 我们可以将泰勒展开写成如下形式:()2()()()()()()()()()2!!n n n f a f a f x f a f a x a x a x a R x n '''=+-+-++-+ 或者说, ()()()n f x P x R x =+这式子的意思是原函数可以分解为两个部分, 一部分是n 阶泰勒展开, 另一部分就是拉格朗日余项. 那么, 做一个移项, 就可以有: ()()()n R x f x P x =-.这就是说, 用n 阶幂级数来逼近原函数, 其误差就是这一余项. 而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式（实际上还有其他类型的余项表达式, 但AP 不考）, 我们可以用它来估计误差. 为此, 我们先写出函数的第n +1阶展开式:23()(1)()10()()()()()()()()2!3!()()()()()()!(1)!!n n n n n nn f a f a f x f a f a x a x a x a f a f a f a x a x a x a n n n +∞+=''''''=+-+-+-+-+-+=-+∑ 而拉格朗日余项（在具体题目中, 我们也称为拉格朗日误差界Lagrange Error Bound ）在形式上就类似于函数的第n+1阶, 其表达式如下:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, where c is a value between x and a . 其中, 唯一的不同点就是原来(1)()n f a +中的a 变成了c , 并且c 是介于x 与a 之间的一个值. “c 是介于x 与a 之间的一个值”, 之所以这么写, 而不采用不等式的定法, 是因为实际上x 可以小于a （x < c < a ）, 也可以大于a （a < c < x ）; 对这句话的深入理解, 请大家结合后面的具体例题中来讲. 同时, 拉格朗日余项定理像微分中值定理（Mean Value Theorem ）、介值定理（Intermediate Value Theorem ）一样, 都是存在性定理, 即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值）, 但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）. 而如果我们使用麦克劳林式（Maclaurin Series, 即a = 0时的特殊形式）, 就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, where c is a value between x and 0. 这是AP 最容易出题的余项形式, 我们所有的例题都将据此展开.观察拉格朗日余项定理的形式, 对于给定a 、n 和x 的情况下, 如果要确定这个余项的界限, 唯一要确定的就是前面的这个第n +1阶导数的取值范围. 若令有正数(1)()n M f c +=, 则只需要确定M 的范围, 那么, 整个余项的范围也就唯一给定了. 由于误差值可能为正, 也可能为负, 为便利讨论, 我们一般都取其绝对值进行考查, 即:(1)1()()()(1)!n n n f c R x x a n ++=-+, 或1()()(1)!n n M R x x a n +=-+. 而对于麦克劳林式, 我们就变成考查:(1)1()()(1)!n n n f c R x x n ++=+, 或1()(1)!n n M R x x n +=+的范围. 这时我们就要介绍一个基本定理, 即拉格朗日余项定理:若存在正数M , 使得对a c x ≤≤或x c a ≤≤, 均有(1)()n f c M +≤, 则(1)11()()()()(1)!(1)!n n n n M f c R x x a x a n n +++≤-=-++ 也就是说M 的取值范围其实就由(1)()n f c +(a c x ≤≤ or x c a ≤≤)唯一给定. 这一不等式也叫泰勒不等式. 这是我们进行余项范围估计的主要理论基础. 要注意的是, 尽管在陈述拉格朗日余项时我们说c 的范围是x c a <<或a c x <<, 并没有包括端点值. 但是, 泰勒不等式中, 端点值是包括在内的. 因此, 在计算误差时, 我们通常把c 的取值范围写成x a c ≤≤或x c a ≤≤. 在具体计算中, 确定M 的范围实际上并不像许多同学想象的那么复杂, 关键是结合给定函数的类型进行讨论, 我们在前面讨论函数的幂级数展开时, 已经结合一些具体的公式进行过抽象的分析, 现再考虑一些具体的求近似值的案例来加强其理解.例1 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并估计其误差.Solution 根据基本的公式21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++……,很容易得出的5阶麦克劳林式为: 3511sin 3!5!x x x x ≈-+ 其余项按照拉格朗日余项定理, 可以写成:(51)(6)516()()()(51)!6!n f c f c R x x x ++==+, where c is a value between 0 and x . 要确定范围, 我们只需知道(6)()fc 的范围. 那么, (6)()f c 到底在哪个区间呢？为此, 我们需要写出(6)()f c 的函数表达式.根据泰勒展开的定义, 易有: sin cos ,sin sin ,sin cos ,x x x x x x ''''''==-=- . 那么, 根据三角函数的基本性质, 不论c 取何值, (6)()f c , 即(6)sin sin x x =-, 都必定在[1,1]-的区间中. 于是, 对这个题而言, 我们不需要讨论c 的取值为何(但仍需要写上where c is a value between 0 and x 这句话), 整个余项的取值范围也可以非常明白了:(6)66()()6!6!n f c x R x x =≤ 例2 将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 据此估计sin 0.2的值, 并计算其误差.Solution 接上例, 得3511sin 0.20.2(0.2)(0.2)0.198********!5!≈-+≈ 同时, (6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.888888889106!6!n f c R x R -==≤≈⨯. 按照此误差, 真实的sin 0.2应当在80.198********.88888888910-±⨯之间, 即在0.1986692444和0.1986694219之间. 实际上, 如果我们使用TI -84进行计算, 可以发现sin 0.20.1986693308≈. 可见, 使用这一方法的精度还是较高的.注意: 在计算误差值的运算过程中, 一定要注意“＝”号和“≈”号的表达. 在上述表达中, 如果是n 阶的近似, 一定要用≈号; 如果数值除不尽, 也一定要用≈号. 否则, 将会被扣掉一定分数.例3 将cos y x =展开成4阶麦克劳林式, 据此估计cos 0.3的值, 并计算其误差. Solution 240.30.3cos(0.3)10.955337524!≈-+≈ (5)55554()0.3() 2.025105!5!5!f c x R x x -=≤==⨯ 例4 使用x e 的8阶麦克劳林展开式估计2e 的值, 并计算其误差. Solution 234567822222222127.3873015872!3!4!5!6!7!8!e ≈++++++++≈ For this case, 2, 0, 02x a c ==∴≤≤.Besides, (9)()x f x e =, it is increasing for all x R ∈. Hence, 2()c Max e e = for 02c ≤≤.（注意: 在做此题及类似题型的过程中, 必须对c 的取值范围做出说明, 并且根据相应阶的导函数的增减性做出最大值的判断. 此题中需要写出函数的9阶导数然后再说明. ）Thus, (9)2998()2(2)29!9!f c e R ⨯=≤ 这里就遇到一个问题, 2e 的范围是多大呢？实际上, 这正是我们想要估计的范围！为此, 我们只能做一个大致的估算. 因为我们知道 2.7183e =<…, 所以:(9)292998()232(2)20.01269841279!9!9!f c e R ⨯⨯=≤<≈ 这就是说, 即使是使用8阶泰勒展开, 并且使用3e ≈这样大范围的估计, 也可以得出2e 的估计值的误差范围不会超过0.013这样较高精度的估计.交错级数（Alternating Series ）的误差计算相对简单. 其基本定理如下:若交错级数100(1)()n nn n n u v ∞∞+===-∑∑满足下列条件:1. 正项递减, 即10n n v v +≤≤;2. 正项趋零, 即lim 0n n v →∞= 则必有其余项的范围11n n n n R S S u v ++=-<=.其中, S 表示全部和, S n 表示部分和（partial sum ）, 也就是我们高中数学里习惯说的前n 项和. 简单的讲, 交错级数前n 项和的余项, 不会超过接下来这一项的绝对值, 这就是交错级数的余项公式. 其证明从略, 有兴趣的同学可以参看相关的微积分教材, 但我不建议大家在这点上浪费时间. 这个公式在说明条件后, 可以直接套用. 许多AP 的考题, 在要求泰勒展开之后, 肯定会是一个交错级数的类型. 如果这样, 只需简单地将上述两个条件列出, 然后套用此公式即可. 注意上述这两个条件实际上就是交错级数收敛的条件.细心的同学可能会发现, 当我们对sin y x =或cos y x =在x =0处进行泰勒展开时, 它们都是交错级数. 这就意味着其近似应当有两种方法: 拉格朗日余项定理或交错级数的余项定理. 它们的结果似乎是不太一样的. 这需要一定的说明.在例2中, 我们将sin y x =展开成5阶麦克劳林式, 并使用拉格朗日余项估计sin 0.2的误差为:(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.8888888891016!6!n f c R x R -==≤≈⨯……（）. 但是, 由于我们知道21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… , 这毫无疑问是一个交错级数, 并且是收敛的, 即同时满足正项递减、趋零这两个条件, 那么, 依据交错级数的余项公式（英文即可写作By Alternating Series Test ）, 其误差应当不会超过其下一项的绝对值（717!x -）, 即: 792.51()396(80.2)710(2)!n R x -⨯<-≈…… 比较（1）式与（2）式, 似乎得出了完全不同的结果. 到底哪个是对的呢？仔细观察会发现, （1）式与（2）式的形式其实非常类似, 其区别仅在于两者的幂次和阶乘数稍有不同, 一个是6, 一个是7, 从而导致结果的不同. 实际上, 造成这一结果的原因在于sin y x =的泰勒展开是一种特殊的类型, 它的全部项次并非通常意义上的:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 如果按照严格的泰勒展开,sin 00=sin cos ,sin (0)1x x ''== sin sin ,sin (0)0x x ''''=-= sin cos ,sin (0)1x x ''''''=-=- (4)(4)sin sin ,sin (0)0x x ==…… 则sin y x =的泰勒展开的完整形式实际上应当写成:34567010101sin 02!3!4!5!6!7!x x x x x x x x =++-+++-+… 如果这样来看, 其展开式就不再是一个交错级数, 就不能使用交错级数的余项定理, 而只能使用拉格朗日余项定理做出例2的结果.只是巧合的是, 这一展开的奇数次项正好为都为0, 因此我们还可以将此级数写成交错级数的类型:21357111sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n +=-+-++-++…… 并且它又满足正项递减、趋零这两个条件, 所以它又可以使用交错级数的余项公式. 并且, 由于拉格朗日余项定理使用的是第n +1阶的展开式, 而将sin y x =展开成交错级数的余项公式中, 实际上我们相当于使用了第n +2阶的展开式, 其误差估计精度更好, 也就不难理解了. 两种方法都是可以的, 拉格朗日误差界不过是一个万能方法, 适合于一切泰勒展开的误差估计; 而交错级数的余项公式适用条件则相对较窄, 但是其估计的精度在特定条件下, 较万能公式要高.那么, 考试时究竟使用哪一种方法呢？这其实取决于题目的问法和条件. 一般来说, 如果考题明确要求了使用“Lagrange Error Bound ”来估计误差, 那么必须使用这一方法; 如果没有特殊说明, 我们一般采用交错级数（没有指定用Lagrange Error Bound 的问题一般都是交错级数的类型）的余项公式, 因为它毕竟在形式上比较简单, 只要写出下一项的表达式, 说明一下正项递减、趋零两个条件, 然后代入x 值就可以了. 另外, AP 的考题通常要求证明某个值的n 阶泰勒展开的误差小于某个值（如1200）, 一般而言, 不论你使用哪种方法都是能够满足这一条件的, 因此不必存有过多的疑虑.习题1. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒展开式.2. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林展开式.3.的n 阶麦克劳林展开式(不要求写出余项的具体表达式). 4. 求函数()(1)ln(1)f x x x =++的带有拉格朗日型余项的n (n >2)阶麦克劳林展开式.5. 求下列函数的麦克劳林公式: (1)()x f x xe =;(2)x x f 2cos )(=.6. 求下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛域:(1)()ln()f x a x =+（0a >）(2)()x f x a = (3)21()32f x x x =++ (4)2()sin f x x = (5)()cos2x f x = (6)1()ln 1x f x x +=-7. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.8. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin 18︒. 解答 1. 24)4(==f 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以 (4)234(4)(4)()(4)(4)(4)(4)(4)(4)2!3!4!f f f f f x x x x ξ''''''=+-+-+-+- 723421111152(4)(4)(4)(4)4645124!16x x x x ξ-=+---+--⋅--, ξ 介于x 与4之间. 2. f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x x x x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2, 故234518sin (sin 2)tan 3cos x x x x ξξξ+=++, ξ介于0与x 之间. 3. 3211(0)1()(1)(0)22f f x x f -''==-=，， 521313()(1)(0)2222f x x f -''''=⋅-=⋅, 21()()21321(21)!!()(1)(0)2222n n n n n n f x x f +---=⋅-= , 注: !!这一双阶乘符号表达依次减2. 其标准描述如下: 当n 是自然数时, n !!表示不超过n 且与n 有相同奇偶性的所有正整数的乘积. 当n 为偶数时n!!=n (n -2)(n -4)…6•4•2; 当n 为奇数时, n !!=n (n-2)(n-4)…5•3•1．23(1)2132121()(1)2222n n n n f x x +-+-+=⋅⋅- 211321()1()2242n n n f x x x x R x n-=++⋅+++ 4. (0)0f =;()ln(1)1(0)1f x x f ''=++=,;1()(0)11f x f x ''''==+,; 21(),(0)1(1)f x f x -''''''==-+. 2()()1(1)(2)!()(2)(0)(1)(2)!(1)n n n n n n f x n f n x ----=>=--+,, f x n x n n n ()()()()!()+-=--+11111 f x x x x n n x R x nn n ()()()()=+-++--+2321611 11(1)1()(1)(1)n n n n R x x n n ξ-+-=⋅++, ξ 介于x 与0之间. 5 (1) 23112!3!(1)!n xx x x e x n -=++++++- ; 342()2!3!(1)!nx x x x f x xe x x n ==++++++- . (2) 24211(1)cos 12!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 24211(1)cos 21(2)(2)(2)2!4!(2)!nn x x x x n -=-++++ 22422(1)2123(2)!n nn x x x n -=-++++ 6. (1) )1ln(ln )]1(ln[)ln(a x a a x a x a ++=+=+ 由于 n n n x n x ∑∞=--=+11)1()1ln(, 则有 11(1)ln()ln ln(1)ln ()(,]n n n x x a x a a x a a a n a -∞=-+=++=+∈-∑(2) 因为∑∞==0!n n x n x e , ln 0(ln )(,)!nx x a n x a a e x n ∞===∈-∞∞∑(3) )12(21112111)2)(1(12312+-+=+-+=++=++x x x x x x x x )11()211()1()2()1(21)1(1000<<---=---=+∞=∞=∞=∑∑∑x x x x n n n n n n n n nn . (4)n n n n x n x x 2202)!2(2)1(21212cos 2121sin ∑∞=--=-= 211212(1)(,)(2)!n n n n x x n -∞+==-∈-∞∞∑. (5) n n nn nn x n x x x 20242)!2()1()!2()1(!41!211cos ∑∞=-=+-+++-= +-+++-=n n x n x x x 242)2()!2()1()2(!41)2(!2112cos 20(1)()()(2)!2n n n x x n ∞=-=-∞<<∞∑. (6)111()ln ln(1)ln(1)+111x f x x x dx dx x x x+==+--=-+-⎰⎰ 10=(1)n n n n n x x dx ∞∞==⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰2323[(1)(1)]x x x x x x dx =-+-++++++⎰21242002(222)221n n n n x x x dx x dx C n +∞∞===+++==++∑∑⎰⎰但是, 我们知道1(0)ln 01f ==, 代入上式有C =0. 故21012ln 121n n x x x n +∞=+=-+∑, 收敛半径显然与ln (1+x )和ln(1－x )相同为1, 可以验证当x = ±1, 级数发散, 故收敛域为(－1, 1).7. 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ. 645.121(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e . 8. (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-+==--x x x x f 4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).By Kahn, Fortune Edu 于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅+≈---10724.33531311(31063≈+-+≈, 其误差为 5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR . (2) 已知 43!4sin !31sin x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间), 所以sin 18︒3090.010(!311010sin 3≈-≈=πππ, 其误差为 44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR .。
i. 拉格朗日插值多項ii. 式與泰勒多項式的誤差分析 iii. 朱亮儒★曾政清☆陳昭地★iv. ★國立臺灣師範大學數學系教授 v. ☆臺北市立建國高級中學數學教師 vi.vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。
viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix. 一 引言x. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi. 求xii. 32()2563f x x x x =-++xiii. (1)(1)(2)(1)(2)(3)a b x c x x d x x x =+-+--+--- xiv. 中的, , , a b c d .xv. ()f x 除以()()x a x b --的餘式為通過()(),(),,()a f a b f b 的插值多項式。
xvi. 若f 有,a b 兩實根，則f 可寫成()()()()f x q x x a x b =--的型式。
xvii. 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。
xviii. 設通過(1,1),(2,3),(3,7)的多項式為()(1)(1)(2)f x a b x c x x =+-+--，求,,a b c 及12f ⎛⎫⎪⎝⎭.xix. 插值多項式：通過(11,3),(12,5),(13,8)的多項式可表示為 xx.(12)(13)(11)(13)(11)(12)()358(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x f x ------=⨯+⨯+⨯------，xxi. 求(11.5)f 的值。
xxii. 此處暫不處理下面的題型：「設通過(1, 1), (2, 3), (3, 7)的多項式為2()f x a bx cx =++,求,,a b c 。
」此類題型將在數學的IV 的聯立方程組章節中處理。
xxiii. 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：xxiv. 他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。
xxv. 他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。
(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi. 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。
xxvii. 之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙（1769-1821,1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」xxviii. 泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。
xxix. 拉格朗日恆等式：xxx. ()2222111,112n n n ni i i i j k k j i i i j k a b a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，xxxi. ()2222a bab a b ⋅=-⨯ ，xxxii. ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅.xxxiii. 具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。
xxxiv. 最得意的巨著《分析力學》。
xxxv. 拉格朗日差值誤差公式（[5]）：若121,,,,n n x x x x + 為[,]a b 區間中相異實數，且1[,]n f Ca b +∈,則對每一個[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈,使得xxxvi.()()()n f x P x R x =+,xxxvii. 其中()P x 為函數()f x 在121, , , , n n x x x x + 的n 階拉格朗日插值多項xxxviii. 式，而()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為其插值誤差式。
xxxix. 美國早期數學家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報告中，曾對多項式近似超越函數有精準的描述。
當時他提出的泰勒級數展開式雖然符合時代的需求，但並未涉及收斂性的問題，有關餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A. L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型([6],[7],[8],[9])。
本文即欲介紹這些餘式型誤差項的初等證明及一些相關應用。
xl. 二 拉格朗日插值多項式誤差項估計 xli. 首先，重述一遍定理：xlii. 定理1.〔拉格朗日插值多項式誤差估計〕([5])xliii. 設121, , , n x x x + 為區間[,]a b 上的(1)n +相異實數，1[,]n f C a b +∈(即(1)n f +在[,]a b 上連續)，則對每一[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈使得xliv. ()()()n f x P x R x -=xlv. 其中()P x 為函數f 在點121,,,n x x x + 的n 階拉格朗日多項式，而xlvi. ()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為插值多項式的誤差式。
xlvii. 證明：當k x x =時，()()k k f x P x =，此時可任取()(,)c x a b ∈都成立。
xlviii. 當,1, 2, , , 1k x x k n n ≠∀=+ 時，設:[, ]g a b → 定義成xlix. []121121()()()()()()()()()()()n n t x t x t x g t f t P t f x P x x x x x x x ++---=------l.則1[, ]n g C a b +∈，且()()0,k g x g x ==1, 2, , , 1k n n ∀=+ ，逐次利用Rolle 定理知存在()(, )c x a b ∈使得()(1)()0n g c x +=。
又對任意(, )t a b ∈，[](1)(1)(1)121(1)!()()()()()()()()n n n n n g t f t P t f x P x x x x x x x +++++=------li. 且()(1)()0n P c x +=，於是可得lii. ()(1)121()()()()()()(1)!n n f c x f x P x x x x x x x n ++-=---+liii. 即()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 。
liv. 由定理1可以得到下面的推論： lv. 推論1-1：lvi. (1)當1[, ]n f Ca b +∈時，(1)()n f t +在[, ]a b 上連續，故有一1n M +使lvii. (1)1max ()n n a t bM ft ++≤≤=，故1121()()()()(1)!n n n M R x x x x x x x n ++≤--⋅⋅-+ 。
lviii. (2)當()f x 一開始就是k 次的多項式函數時，則對[,]a b 內任一大於或等於 lix. k 階以上的拉格朗日多項式就是函數()f x 本身。
lx. 在數值分析中，拉格朗日插值多項式誤差公式具有關鍵性的角色。
lxi. 三 泰勒定理lxii. 利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：lxiii. 定理2.〔泰勒定理(拉格朗日餘式型)〕：lxiv. 設0(, )x a b ∈，1[, ]n f Ca b +∈，則對每一[, ]x a b ∈存在()(,)c x a b ∈使得lxv. ()()()n n f x P x R x -=，lxvi. 其中，()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑為()f x 在0x 點的n 階泰勒多項式，lxvii. ()(1)10()()()(1)!n n n f c x R x x x n ++=-+為()f x 用()n P x 表示的誤差項。
lxviii. 證法(一)(完全平行於定理1)如下：lxix. ○1 當0x x =時，可任取()c x 為(,)a b 內的任一數都成立。
lxx. ○2 當0x x ≠時，設():[,]g t a b → 定義成 lxxi. []1010()()()()()(),()n n n n t x g t f t P t f x P x x x ++-=---- lxxii. 則1[,]n g Ca b +∈且()000()()()()n g x g x g x g x '==== ，lxxiii. 逐次用Rolle 定理知存在()(,)c x a b ∈使得()(1)()0n gc x +=。
lxxiv. 又對任意(,)t a b ∈，lxxv. [](1)(1)(1)10(1)!()()()()()()n n n n n n n gt f t P t f x P x x x +++++=----lxxvi. 且()(1)()0n nP c x +=，於是可得 lxxvii. ()(1)10()()()()()(1)!n n n n f c x f x P x x x R x n ++-=-=+。
lxxviii. 證法(二)([6][8])： lxxix. 設實數Q 滿足lxxx.1()000000()()()()()()()(1)!1!!n n n x x f x f x Q f x f x x x x x n n +⎧⎫-=-+-++-⎨⎬+⎩⎭lxxxi. 並設函數:[,]a b ϕ→ 定義成lxxxii. ()1()()()()()()()()1!!(1)!n n n f t f t Qt f x f t x t x t x t n n ϕ+'⎧⎫=-+-++-+-⎨⎬+⎩⎭lxxxiii. 依(),,,n f f f' 之假設知:[,]a b ϕ→ 為連續且在(,)a b 內可微分，顯然()0x ϕ=且由實數Q 之定義知0()0x ϕ=；於是由Rolle 定理知0,x x 之間有一()c x 使得()()0c x ϕ'=。
