插值法的事后误差估计.
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拉格朗日插值法理论及误差分析拉格朗日插值法理论及误差分析浅析拉格朗日插值法目录:一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x),其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。
注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。
一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数,当f(x)很复杂时,计算量很大,而当f(x)没有可用来计算的表达式时,导数无法准确计算;二是因为即使能得到高阶导数的解析式,但于?的具体位置不知道,所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。
因此,公式并不实用。
2、截断误差的实用估计式既然公式估计误差时不实用,那么实际中如何估计截断误差呢?假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x),利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。
利用公式知,他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn),(n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0),(n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1)f(?)(x?x1)?(x?xn)?n.(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。
利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1x0?式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式,它不需要计算高阶导数,也不用估计插值区间上高阶导数的界。
康斯插值及其误差估计康斯插值法是一种常用的数值分析方法,用于在给定数据点的情况下估计函数在其他点的值。
本文将介绍康斯插值法的基本原理及其误差估计方法。
一、康斯插值法的基本原理康斯插值法是一种多项式插值法,它的基本思想是利用已知数据点的函数值构造一个多项式,然后用这个多项式来估计函数在其他点的值。
假设我们有n个数据点,分别是(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),则康斯插值法的多项式表示为:P(x) = f(x0) + ∑i=1n(ai(x-x0)i)其中,x0是我们要估计函数值的点,f(x0)表示函数在x0点的真实值,ai是多项式的系数,可以通过求解插值条件得到。
插值条件是指多项式必须经过所有的数据点,即:P(xi) = yi,i=1,2,...,n这个条件可以得到n个方程,n个未知数,可以解出多项式的系数。
二、康斯插值法的误差估计由于康斯插值法只是通过已知数据点构造一个多项式进行估计,因此存在误差。
我们需要对这个误差进行估计,以便判断估计值的可靠性。
误差估计的方法是通过拉格朗日余项公式得到的。
假设函数f(x)在[x0,xn]区间内具有n+1阶连续导数,则余项可以表示为:Rn(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xn)f(n+1)(ξ)/n!其中,ξ是x0,x1,...,xn中的某个数,f(n+1)(ξ)表示f(x)在ξ点的(n+1)阶导数。
我们可以利用余项公式来估计插值多项式的误差。
具体来说,我们假设函数f(x)在[x0,xn]区间内具有n+1阶连续导数,且在x0,xn之外的点x的函数值都已知,则插值多项式P(x)的误差可以估计为: |f(x)-P(x)| ≤ M/(n+1)!|(x-x0)(x-x1)...(x-xn)| 其中,M是函数f(x)在[x0,xn]区间内的最大值。
这个公式告诉我们,插值多项式的误差与插值点的数量有关,插值点越多,误差越小。
三、康斯插值法的应用康斯插值法广泛应用于科学计算和工程实践中。
浅析拉格朗日插值法目录:一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日(Lagrange )、牛顿(Newton )、高斯(Gauss )等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中,常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源,它最初来源人们对天体研究——有若干观测点(我们称为节点)计算任意时刻星球的位置(插值点和插值)。
现在,人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用,最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂,如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值:插值问题:根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式,以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ,或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示:图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数,但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数,例如函数()P x ,使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == (3.1)通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点,把()P x 称为()f x 的插值多项式,条件(3.1)称为插值条件,并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式:1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
插值多项式的误差估计说到插值多项式,哎呀,很多人第一反应就是:这个玩意儿听起来好复杂!就好像把数学书当作枕头,想避开它一样。
可是,你知道吗?其实它真的比你想的要亲民得多,接下来咱们就聊聊这个插值多项式的“误差估计”问题,别担心,我会把它说得有趣、又好懂,保证你不打瞌睡。
咱们要知道啥是插值多项式。
哎,这个名字一听就有点学术味儿,没错,它的确是数学中的一大宝贝。
简单来说,插值多项式就是通过一些已知数据点来构造一个多项式,这个多项式能够“穿过”所有这些点。
比如,你给我几个点的坐标,我就能画出一条曲线,让它正好把这些点串联起来。
听起来挺酷对吧?就像是你在画一条平滑的道路,路上有几个路标,插值多项式就像是帮你描绘这条路的设计师。
好了,讲到这里大家应该都差不多明白了插值多项式是啥东西。
为什么要关心它的误差呢?这就有意思了。
你看,插值多项式是个近似工具,通俗来说就是:它帮你做的事情,可能完美无缺,但也可能会有点差错,尤其是当你插值点的数量多了,误差可能会变得明显。
所以,咱们就需要估计这个误差,弄明白它到底有多大,能不能接受。
你要知道,误差其实就是咱们计算出来的值和实际值之间的差距。
举个例子来说,你在测量一块蛋糕的尺寸,测得说它有30厘米长,实际上它可能是29.8厘米长。
那个0.2厘米的差距,就是误差。
再比如,你去打篮球投篮时,看到篮筐就在眼前,结果投出去的球偏离了一点点——那个偏差就叫误差。
那插值多项式的误差呢,也是类似的道理,只不过它出现在你用数学模型来逼近某些实际情况时。
好啦,怎么估计这个误差呢?咱们得知道它不是随便就能抓住的。
哎,我得告诉你,插值的误差是一个挺狡猾的小东西。
它不只是和你选的点数有关,甚至和这些点的位置有关系。
有时候你选的点再多,误差反而可能会更大!这就像是你搞了个很复杂的程序,想着搞定所有问题,结果反而弄得一团糟。
所以,估计误差时可得小心,别被表面现象给迷惑了。
通常,我们会通过误差公式来估算。
代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值 当n=1时:已知 xk, xk+1;yk, y k+1, 求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得:1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见,1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。
()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-,()11kk k kx x l x x x ++-=-则:()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数,或线性插值基函数。
注意:基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值 当n=2时:已知xk-1,xk, xk+1;yk-1, yk, y k+1, 求二次插值多项式 2()L x 使得:211()k k L x y --=,2()k k L x y =,211()k k L x y ++=。
可见,2()L x 是过11(,)k k x y --,(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。
利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时:()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -,()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数,或抛物插值基函数。
数值分析中的插值误差估计方法改进数值分析中的插值方法在实际问题中具有广泛的应用,它可以通过已知数据点来预测未知点的数值。
然而,由于插值方法本质上是一种近似方法,所以误差估计对于评估插值结果的准确性至关重要。
在本文中,将介绍一些改进的插值误差估计方法,旨在提高插值结果的精度和可靠性。
一、局部插值误差估计方法改进在传统的插值方法中,常用的误差估计方法是根据插值多项式的导数或高阶导数来评估插值误差。
然而,这种方法在整个插值区间上都是一致的,无法有效捕捉到插值函数在局部区域的误差特性。
因此,可以考虑改进的误差估计方法,如点云法 (point clouds)。
点云法是一种基于局部关联性的误差估计方法,它通过在插值节点附近构建点云集合,并根据点云集合的分布情况来评估插值误差。
具体步骤为:首先,选择插值节点附近的一组数据点,构建点云集合;然后,计算点云集合中数据点的平均值和标准差,作为误差估计的指标。
通过这种方式,点云法能够更准确地反映插值函数在局部区域的误差情况,从而提供更可靠的误差估计结果。
二、自适应插值误差估计方法改进传统的插值误差估计方法通常采用固定的误差界限来判断插值结果的准确性。
然而,在实际问题中,插值函数的误差分布可能在不同的区域有显著差异,因此需要一种自适应的误差估计方法来适应这种变化。
自适应插值误差估计方法是一种基于局部误差界限的方法,它根据插值函数在不同区域的误差特性来调整误差界限。
具体步骤为:首先,通过初始插值方法得到插值函数;然后,计算插值函数在不同区域的误差界限;最后,根据误差界限对插值函数进行修正,得到更准确的插值结果。
自适应插值误差估计方法的优势在于它能够根据实际问题的特点来自动调整误差界限,从而提高了插值结果的精度和可靠性。
同时,自适应插值误差估计方法还可以减少不必要的计算量,提高算法的效率。
三、混合插值误差估计方法改进除了局部插值误差估计方法和自适应插值误差估计方法外,还可以考虑将两种方法进行混合,以得到更准确的插值误差估计结果。
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科,广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中,我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点,推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下:(1)根据已知数据点构造Lagrange插值多项式:L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中,Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i(2)计算未知点x对应的函数值y:y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂,计算方便。
然而,它也存在着一些问题,比如插值多项式的次数较高时,多项式在插值区间外的振荡现象明显,容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn),我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下:(1)计算差商:f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)(2)根据已知数据点构造Newton插值多项式:N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1(3)计算未知点x对应的函数值y:y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广,可以方便地添加新的数据点进行插值。
拉格朗日插值法理论及误差分析首先,我们先来了解一下拉格朗日多项式的基本概念。
对于给定的n个不同的点(xi, yi),其中xi是x轴上的点,yi是对应的函数值。
拉格朗日多项式的一般形式可以表示为:L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + ... + yn *ln(x)其中,li(x)是拉格朗日基函数,定义为:li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)使用拉格朗日插值法,我们可以根据已知数据点构造出一个多项式L(x),该多项式在给定数据点上与原始函数的值完全相同。
求解出多项式L(x)后,我们可以通过求解L(x)的值得到在x处的近似值。
然而,在实际应用中,我们常常关注的是拉格朗日插值法的误差分析。
即,我们需要评估插值多项式与原始函数之间的误差有多大。
f(x) - L(x),≤ M / (n + 1)! * ,(x - x0)(x - x1)...(x - xn)其中,M是在给定区间上的最大值函数M = max,f^(n+1)(x)。
需要注意的是,这个误差上界取决于插值节点的选择,并且对于特定的节点,可以找到与原始函数完全匹配的插值多项式。
进一步地,如果对于给定的k>n,求得插值多项式L(x)的k阶导数,则该导数也可以与原始函数f(x)的k阶导数具有很大的相似性,从而提供了在估计导数时的一种方法。
总的来说,拉格朗日插值法是一种简单而有效的插值方法,可以对给定数据进行插值和近似,而误差分析能够帮助我们评估插值结果的准确程度。
当然,拉格朗日插值法也有其局限性,例如在大数据集上计算困难,并且在边界条件不明确或节点选择不当时会出现振荡。
因此,在具体应用中,我们需要根据实际情况选择合适的插值方法。
康斯插值及其误差估计康斯插值及其误差估计在计算数值的过程中,插值是一种非常重要的数值计算方法,其主要作用是计算不连续的数据或者不规则的数据,使得数值能够连续化,更好地进行计算和处理。
康斯插值是插值的一个重要方法,其本质是利用曲线拟合的方法,通过插值多项式来对函数进行近似。
本文将介绍康斯插值的基本原理及其误差估计方法。
一、康斯插值的基本原理康斯插值法是基于几何构造的一种数值插值方法。
其主要思想是将插值点连接成一个平滑的曲线,然后利用曲线上各点的函数值进行插值计算。
插值多项式的阶数通常是插值点数减一。
康斯插值的基本原理可以通过一个例子来说明。
假设有三个点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),现在需要在x1和x2之间插值一个函数值yf,此处省略掉一些计算过程,经过计算得到yf的表达式为:yf = y1 + (y1 - y0)/(x1 - x0) * (x2 - x1) + (y2 - y1 - (y1 - y0)/(x1 - x0) * (x2 - x1)) * (x -x1)/(x2 - x1)上式即为康斯插值得到的插值函数表达式。
从表达式中可以看出,康斯插值法的插值多项式可以利用插值点和几何构造来构造,在实际计算中,插值多项式的计算很容易实现。
二、康斯插值的误差估计方法在利用康斯插值法进行数值计算时,由于插值多项式的阶数有限,因此其计算结果会存在一定的误差。
为了更好地掌握康斯插值法的误差情况,需要进行误差分析。
康斯插值的误差分析方法主要有两种:递归求解和上限估计。
1. 递归求解法递归求解法是一种基于龙贝格公式的误差估计方法。
其基本思想是将插值所得多项式在每一级上进行区间分割,然后在每个小区间内求解出多项式的最高级项的系数,并将其与前一级的系数进行比较,以此递归计算误差。
通过多级递归,最终可以得到康斯插值误差的一个比较准确的估计值。
2. 上限估计法上限估计法是一种基于不等式的误差估计方法。
埃尔米特插值误差估计式
1. 埃尔米特插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,其提法为:给定n+1个互异的节点
x0,x1,……,xn上的函数值和导数值求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件H2n+1(xk)=yk H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2,……,n ⒀如上求出的H2n+1(x)称为2n+1次Hermite插值函数,它与被插函数一般有更好的密合度. ★基本思想利用Lagrange插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利用插值条件⒀求出插值函数.
2. 埃尔米特插值误差估计式
前者是对后者的一种补充。
3. 埃尔米特插值余项
1、pchip:
分段三次Hermite 插值多项式(PCHIP)。
2、语法说明
(1)p = pchip(x,y,xq)
返回与xq 中的查询点对应的插值p 的向量。
p 的值由x 和y 的保形分段三次插值确定。
(2)pp = pchip(x,y)
返回一个分段多项式结构体以用于ppval 和样条实用工具unmkpp。
第1章 插 值1.1 插 值插值问题的提出✌导入:插值法是函数逼近的重要方法之一,有着广泛的应用 。
在生产和实验中,函数f(x)或者其表达式不便于计算,或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ,例如,有很多的物理、化学的实验数据;又例如,温度问题、股票的变化问题等。
我们希望建立一个简单的而便于计算的函数g (x),使其近似的代替f (x)。
建立的方法可采用插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。
基本概念由实验或测量的方法得到所求函数 )(x f y = 在互异点n x x x 10, 处的值n y y y ,,,10 构造一个简单函数 )(x φ作为函数 )(x f y = 的近似表达式)()(x x f y φ≈=,使得 n n y x y x y x ===)(,)(,)(2211φφφ (1)这类问题称为插值问题。
)(x f 称为被插值函数,)(x φ 称为插值函数, x 0 , x 1, ... , x n 称为插值节点。
(1)式称为插值条件。
✌插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型,以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
我们知道函数的类型很多,用来作插值函数的种类不同,所求得的插值函数 P(x)逼近f(x)的效果不同,常用的有代数多项式、三角函数式、和有理函数式等。
当选用的是代数多项式,相应的插值问题称为多项式插值。
在多项式插值中,最常见、最基本的函数是求一次数不超过n 的代数多项式:)1()(2210nn n x a x a x a a x P ++++=L这时插值问题变为:求n 次多项式P n (x),使满足插值条件)2(,,2,1,0,)(n i y x P i i n L ==只要求出P n (x)的系数a 0 ,a 1,…, a n 即可,为此由插值条件(2)知P n (x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n n n n n n nn y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a n n L L L L 22101212110022010100而a i (i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde 行列式xxx x xx x x x x x x n n2nnn1211n 0200n 10...1..................1...1),...,,V(=∏∏=-=-=n i i j j i x x 11)(由于x i 互异,所以(4)右端不为零,从而方程组(3)的解 a 0 ,a 1 ,…a n 存在且唯一。
数值分析中的插值误差估计方法改进在数值分析领域中,插值是一种重要的数值逼近方法,用于根据给定的数据点集合来构建一个函数。
然而,插值过程可能会引入误差,而误差的估计对于评估插值结果的准确性至关重要。
本文将探讨数值分析中的插值误差估计方法,并提出一种改进的方法。
一、传统的插值误差估计方法在传统的数值分析中,常用的插值误差估计方法包括理论误差估计和实际误差估计。
1. 理论误差估计理论误差估计方法是基于插值理论的推导,通过分析插值函数与原函数之间的差异来估计误差。
其中最常见的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
这些方法能够给出误差的上界,但并不能提供实际误差的具体数值。
2. 实际误差估计实际误差估计方法是基于给定的数据点来计算插值函数在数据点处的误差。
最常见的方法是残差法。
残差法通过计算插值函数在数据点处的残差来估计误差。
但由于数据点有限,残差法并不能准确反映插值函数在整个区间上的误差情况。
二、改进的插值误差估计方法为了改进传统的插值误差估计方法,我们可以考虑以下两种改进方法。
1. 区间误差估计传统的插值误差估计方法大多只考虑了插值函数在给定数据点处的误差,没有对整个插值区间内的误差进行估计。
为了更准确地评估插值结果的误差,我们可以采用区间误差估计方法。
区间误差估计方法通过将插值区间划分为若干个小区间,并在每个小区间内估计误差,然后将这些误差进行累加或求平均来得到整个插值区间的误差估计。
2. 自适应误差估计在传统的插值误差估计方法中,我们一般会事先给定一个误差限制,并根据这个限制来选择插值节点。
然而,在实际问题中,我们往往无法事先确定一个合适的误差限制。
为了解决这个问题,我们可以采用自适应误差估计方法。
自适应误差估计方法通过不断调整插值节点的密度,从而使得插值误差在整个插值区间上保持在一个可接受的范围内。
这种方法可以根据实际需要自动调整误差限制,并提供一个更准确的误差估计。
三、结论插值误差估计是数值分析中一个重要的课题,对于提高插值结果的准确性和稳定性具有重要意义。
插值法的事后误差估计
已知
解要用线性插值求
为。
经计算易得在
,试用线性插值求
点的值,可取
的解析式,故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。
为此,
为节点的线性插值式为
,则有
的近似值,并估计插值误差。
为插值节点,记线性插值式但是,由于不知道
下面用另外一种方法来估计误差。
设以
其中
均属于由
和所决定的区间。
假设
和
,结果有
在该区间内变化不大,则将上面两个式子相除,消去近似相等的
整理得
(1)这表明,
再计算出
的插值误差。
由此可得
大致等于
的误差估计
,按此估计式,只要
进一步还可以考虑用事后误差估计式(1)对
大致误差值,如果用这个误差值作为
进行修正。
因为式(1)给出了
的的一种补偿,得到
可以期望,
是
(2)的更好的插值结果。
可以算得
在本题中,利用上述
事实上,被插值函数
精度的确提高了。
为
,按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同,
值得说明的是,这并不只是简单的巧合。
将式(2)展开即可证明,上述
插值多项式。
根据这种思想,人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。
就是抛物。