八年级数学下册 18.1《勾股定理的应用(第三课时)》课案(教师用) 新人教版

网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；

【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .

探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，

∴OB＝ a，



∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .


∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，

∴ ＝3，即a＝2.


∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.

《勾股定理的应用》教案【教学内容】人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第十七章《勾股定理》【教材分析】勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。

它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。

勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，是在学习了勾股定理的基础上设计的一节应用探究课，它是上一节课的巩固与延伸，也为后面学习几何知识打下基础。

【学情分析】在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些数学问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是建构数学模型还有困难，自主学习能力也有待于加强。

【教学目标】知识与技能：1、复习巩固勾股定理；2、探索勾股定理的应用。

数学思考1、通过对勾股定理的应用的讲解，引导学生在实验过程中感悟事情的多面性，学会从不同角度看待问题。

2、通过转化的数学思想，培养学生观察、实验和进行简单逻辑推理的能力。

解决问题1、正确运用勾股定理去解决简单的与勾股定理有关的计算和证明问题。

2、经历勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

情感、态度与价值观在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，掌握勾股定理在实际问题中的应用；在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想，培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

【教学重点】勾股定理的实际应用。

【教学难点】勾股定理的灵活应用。

关键：把握好直角三角形的三边关系，充分利用勾股定理错误！未找到引用源。

【教学准备】多媒体课件、矩形纸片、用矩形纸片做成的正方体、剪刀【教学时间】1课时【教学方法】小组合作探究法【教学过程】一、创设情境，导入新课1、视频展示勾股定理的悠久历史（情感教育）2、课前热身(1)如图，在△ABC中，∠C = 90°，若BC = 8cm， CA = 6cm，则线段AAB= ？依据：在直角三角形中，两直角边的 等于 的 。

一、教学内容分析勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力.运用勾股定理证明直角三角形全等的HL判定定理，从中进一步确认，在直角三角形中，只要两边的大小确定，则这个三角形的形状大小就确定了．运用勾股定理，通过作直角三角形，画出了长度为无理数的线段，并学习在数轴上画出无理数表示的点的方法．通过本课的学习，体会勾股定理在数学中的地位和作用．教学时，应引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数形结合和分类讨论的思想.二、教学目标1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.2.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理，能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.三、教学重难点【重点】勾股定理的实际应用问题.【难点】用勾股定理作出长度为无理数的线段.四、教学方法启发法、探究法.五、教学过程（一）情境导入数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.意图：让学生通过生活中的实际问题来引发思考，导入本节勾股定理的应用学习.效果：学生知道了勾股定理的应用在生活中无处不在.（二）新课讲授1.勾股定理的应用举例：例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？问题1 木板进门框有几种方法？问题2 你认为选择哪种方法比较好？你能说出你这种方法通过的最大长度是什么？学生发现横着或竖着都进不去，应当想到试试斜着通过门框，把实际问题转化为一个直角三角形的问题，求出直角三角形的斜边长再作比较.例2 AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？问题1 下滑前梯子底端B离墙角O的距离是多少？问题2 下滑前后梯子与墙面、地面构成的两个直角三角形，什么量没有发生变化？问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度？如何计算？意图：让学生能从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为了解直角三角形的问题.效果：学生通过例题初步将勾股定理应用到了生活的实际问题中.归纳总结利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.练一练两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米，CB=120米，则AB 为( A )意图：归纳勾股定理解决实际问题的一般步骤，并通过练习来巩固所学.效果：通过归纳和练习，使学生学会了学习的方法.解决问题如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.解：由题意得AC =2，BC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2= AC2+ BC2=22+12=5△AB=5，即最短路程为5.归纳在立体图形中求最短距离的方法：意图：运用勾股定理解决最短问题，让学生直观的体会转化的数学思想.效果：学生学会了将立体图形转化为平面图形，再利用勾股定理来解决最短问题.2.用勾股定理证明“HL”思考在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，△C=△C′=90°，AB=AB′AC=A C′．求证：△ABC△△A′B′C′.教师引导学生通过画图探究得到直角三角形全等的判定方法，运用勾股定理更容易证明.意图：发挥学生自主性，通过对勾股定理的理解，进一步熟悉定理.建立勾股定理与全等的联系，在解决实际问题或在数学应用时，往往活学互用，体会内在联系.效果：学生加深了对勾股定理的理解，知道了知识点之间是互相联系的.3.用勾股定理在数轴上表示无理数探究我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示√13的点吗？问题 1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3，2.5的点吗？问题2 求下列三角形的各边长.问题3 长为13的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？思考根据上面问题你能在数轴上画出表示13的点吗？步骤：A，使OA=3;l△OA，在l上取一点B，使AB=2;O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示13的点.归纳总结 利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类比迁移 类似地，利用勾股定理可以作出长为532、、...的线段.教师指导学生寻找长为√2，√3，5，...这样的包含在直角三角形中的线段.从而得到一个“数学海螺”.意图：利用勾股定理和数轴上的点表示实数，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解，规范学生的作图语言和作图方法.效果：学生学会了如何在数轴上作图找到表示无理数的点.例4 如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求a 的值.易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.意图：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论.效果：学生加深了对数轴上无理数的作图的理解.（三）课堂练习1. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行（B ）A. 8米B.10米C.12米D.14米2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都是格点，则线段AB 的长度为（A ）3.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？解：(1)在Rt△ ABC 中，根据勾股定理得△这条“径路”的长为5米.（2）他们仅仅少走了(3+45)×2=4(步).4.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）？解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.△AA'=2×3×2=12，A'B'=5，△AB'=13. 即梯子最短需13米.意图：应用勾股定理解决生活中的实际问题和几何中的最短问题.效果：检测了学生对勾股定理应用的掌握情况.（四）课堂小结先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.方法：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.2.利用勾股定理证明“HL”方法：（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.（五）作业布置完成配套练习六、板书设计方法：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.2.利用勾股定理证明“HL”方法：（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.七、课后反思本节课创设蚂蚁觅食的情境导入，抛出问题，激发学生学习本节课来解决问题的好奇心，让学生体会数学源于生活，数学服务于生活.授课过程中注重用一系列的问题来启发学生的思考，引导学生对知识运用的探究和方法的归纳总结，让学生学会学习.本节课将几何图形直观的展示给学生，有意培养学生几何直观的数学核心素养.。

新人教版八年级下册数学 第3课时 勾股定理的几何应用 优质课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 勾股定理的几何
应用
第一页，共二十六页。
1 课时讲解
用勾股定理在数轴上表示实数
勾股定在几何问题中的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂小 结
等于________cm.
12 5
第二十三页，共二十六页。
勾股定理的几何应用
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，
再求这个直角三角形的角度和面积： 综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
的点．
17
第十页，共二十六页。
知1－练
2．如图，点C表示的数是( ) D
A．1
B. 2 C．1.5
D.
1－练
3． 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以
点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于
例 1 如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为 a 5 知1－讲
的段．(保留作图痕迹，不写作法)
导引：利用 5a＝ a2 （2a）可2 以作出．
图1
如图2，先作出与已知线段AB垂直，
且与已知线段的端点A相交的直线l，
在直线l上以A为端点截取长为2a的线
段AC，连接BC，则线段BC即为所求．
解：如图2，BC就是所求作的线段．
的线段能是直角边的长
13
为正整数的直角三角形的斜边吗？