高中数学必修五 等差数列(一)

1 9.等差数列的概念

教学目标 班级：_____ 姓名：____________

1.了解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的性质.

2.能熟练应用等差数列的通项公式解决有关问题.

教学过程

一、 等差数列的概念.

观察下面数列，看看它们有什么特点？

（1） 1，2，3，4，5，……

（2） 10，9，8，7，6，......

（3） 5，5，5，5，5，......

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1.等差数列的定义：若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么该数列叫做等差数列，该常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.即daann1.

2.等差中项：若三个数bAa,,构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2baA.

3.等差数列的通项公式：数列}{na的首项为1a，公差为d，则其通项公式为

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二、等差数列概念的应用.

1.等差数列的定义：daann1

例1：证明通项公式为52nan的数列}{na是等差数列.

总结：等差数列的定义是证明数列为等差数列的常用方法.

注意：用定义法证明等差数列时，2n（要始终保持下标为正整数，若下标出现1n，则11n，即2n）；1n的情况要单独讨论.

2.等差中项的性质：

（1）判断数列为等差数列：若212nnnaaa，则}{na是等差数列.

（2）解题思路：若题中“已知cba,,成等差数列”，则必考等差中项的性质，即bca2.

2 例2：已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，求m和n的等差中项.

§2

等差数列

2.1 等差数列

第1课时 等差数列的概念及其通项公式

学 习 目 标 核 心 素 养

1.理解等差数列的概念．(难点)

2．掌握等差数列的判定方法．(重点)

3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．

2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.

1．等差数列的概念

阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．

文字

语言 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d表示

符号

语言 若an－an－1＝d(n≥2),则数列{an}为等差数列

思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{an}是等差数列吗？

[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．

(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？

[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．

如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？

[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．

(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？

[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．

3．等差数列通项公式的推导

如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…

所以a2＝a1＋d,

a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d,

§2.3 等差数列的前n项和(一)

课时目标

1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．

2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．

1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)．

2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝na1＋an2；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋12n(n－1)d.

3．等差数列前n项和的性质

(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为d2.

(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．

(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.

一、选择题

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )

A．13

B．35

C．49 D．63

答案 C

解析 S7＝7a1＋a72＝7a2＋a62＝49.

2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则a1d等于( )

A.12 B．2

C.14 D．4

答案 A

解析 由题意得：

10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，

∴10a1＋45d＝20a1＋40d，

∴10a1＝5d，∴a1d＝12.

3．已知等差数列{an}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )

A．－9 B．－11 C．－13 D．－15

苏教版必修五第2章 数列（2.2等差数列）说课稿

2019.10.

1

《2.2.3等差数列的前n项和（1）》说课稿

江苏省清浦中学 时坤明

【教材分析】

数列在高中数学中占据非常重要的位置，主要以等差数列与等比数列为核心内容展开。本节课是在学习了等差数列通项公式及简单性质的基础上进行了进一步研究，该内容也为日后学习各种数列的求和作出了引领与铺垫。

等差数列的前n项和公式是数列求和的最基本公式。不论是公式的获取过程，还是公式推导及方法的发现过程，都是数学家们发现数学结论和数学方法的重要过程。

苏教版必修五旧教材中本课内容是以计算一堆钢管总数为例，从身边的生活实际出发，运用从特殊到一般的方法，进一步发现等差数列的前n项和公式的推导方法。此法虽然比较实用，导向性比较明确，但个人认为其方式给予学生的思考空间比较狭隘、思维路径比较简短、思维方式过于单一。参考2019年新出版的人教版高中数学必修五新教材中本课内容开头直接给出问题“?1004321”，对学生的思维方法没有作出任何限定，给了学生广阔的想象空间。教师可以根据学情因地制宜的安排导入新课的方式，便于让学生更好的掌握本课内容。除此而外，在例题及习题的编排上，新教材比旧教材更加注重了实用，题目也变得更加灵活，这也是新课程理念和思想在课标教材中的又一体现。

【学情分析】

本课之前，学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质。大部分学生对高斯算法有一定的认识，甚至有些同学对此算法原理比较熟练，然而熟练的只是高斯算法中的“?1004321”这样一种特殊数列的求和，对于一般等差数列的求和方法和公式，学生却没有详细了解。

江苏省常州高级中学是江苏省一所名校，学生的知识面、动脑能力、动手能力等各方面综合素质较高。针对这一情况，教师所设置教学内容应具有一定的梯度性、关联性、灵活性及发散性。教师应给予学生足够的展示平台和发挥空间，要处理好预设与生成的关系。把握本质、紧扣主题，在达成目标的情况下适度外延，丰富知识内涵，体现数学的科学价值、人文价值及审美价值。