椭圆的参数方程中参数的取值范围

椭圆有关知识点总结1. 椭圆的定义和性质椭圆是一个圆心不在原点的闭合曲线，其形状类似于椭球的截面。

椭圆有一些独特的性质：•椭圆的定义：椭圆可以通过一个定点F（焦点）和到定点F的距离之和等于常数2a（长轴长度）的所有点构成。

椭圆定点F到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。

•椭圆有两个焦点和一条长轴，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。

•椭圆还有一个重要的性质是：椭圆上各点到两个焦点的距离之和是一个常数，即2a。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程是横轴为x轴、焦点在原点的情况下的方程。

标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

如果椭圆的焦点不在原点，可以通过平移坐标系的方式将椭圆移动到原点，再进行运算。

3. 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程进行表示。

参数方程是通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t的取值范围是0到2π。

4. 椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点，它们位于椭圆的长轴上，离椭圆中心距离为c，c的计算公式为：c = sqrt(a^2 - b^2)椭圆的直径是椭圆上任意两点之间的距离，直径的长度为2a。

5. 椭圆的离心率离心率是描述椭圆形状的重要参数，表示焦点与椭圆中心之间的距离与长轴长度的比值。

离心率的计算公式为：e = c / a离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，表示椭圆退化为一个圆。

6. 椭圆的主轴和次轴椭圆的主轴是椭圆的长轴，次轴是椭圆的短轴。

椭圆的主轴与次轴垂直，并且主轴的长度大于等于次轴的长度。

7. 椭圆的面积和周长椭圆的面积通过长轴和短轴的长度计算：S = π * a * b其中，π为圆周率。

椭圆的周长无法用简单的公式表示，但可以使用近似公式来计算，其中一种近似公式为：L ≈ π(a + b) * (1 + (3h / (10 + √(4 - 3h))))其中，h为长轴与短轴之差的绝对值的一半。

12椭圆的参数⽅程（教师版）12. 椭圆的参数⽅程主备：审核：学习⽬标：1. 了解椭圆的参数⽅程的推导过程及参数的意义；2. 掌握椭圆的参数⽅程，并能解决⼀些简单的问题.学习重点：椭圆参数⽅程的应⽤，学习难点：椭圆参数⽅程中参数的意义.学习过程：⼀、课前准备：阅读教材2729P P -的内容，理解椭圆的参数⽅程的推导过程，并复习以下问题：1. 写出圆⽅程的标准式和对应的参数⽅程.（1）圆222x y r +=参数⽅程为：cos sin x r y r θθ=??=?（θ为参数）；（2）圆22200()()x x y y r -+-=参数⽅程为：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ为参数）. 2.做⼀下类⽐：（1）①22()()1y x r r +=，②22cos sin 1θθ+=，你能否将他们联系起来？答：可以看出，cos x r θ=，sin y r θ=，所以可得圆的参数⽅程cos sin x r y r θθ=??=? . （2）①22221y x a b+=，②22cos sin 1θθ+=，你会有什么结论？答：可以看出，cos x a θ=，sin y b θ=，所以可得椭圆的参数⽅程cos sin x a y b θθ=??=? . ⼆、新课导学：（⼀）新知：1.如图，以原点为圆⼼，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是⼤圆半径OA 与⼩圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂⾜为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂⾜为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数⽅程.【分析】点M 的横坐标与点A 的横坐标相同，点M 的纵坐标与点B 的纵坐标相同. ⽽A 、B 的坐标可以通过引进参数建⽴联系，【解析】设xOA θ∠=，(,)M x y ，则(cos , sin )A a a θθ，(cos , sin )B b b θθ，所以cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.即为点M 的轨迹参数⽅程.消去参数θ得:22221y x a b+=即为点M 的轨迹普通⽅程. 在椭圆的参数⽅程中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a b >，θ称为离⼼⾓，规定参数的取值范围是[0,2)θπ∈.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221b a y x +=（0a b >>）的参数⽅程是：cos sin x b y a θθ=??=?为参数（）. 3.椭圆的参数⽅程中离⼼⾓θ的的⼏何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.（⼆）典型例题【例1】把下列普通⽅程化为参数⽅程.（1）22149x y += （2） 22116y x += 【解析】（1）2cos 3sin x y ??=??=?（θ为参数）（2）cos 4sin x y ??=??=?（θ为参数）动动⼿：1.把下列参数⽅程化为普通⽅程（1）3cos 5sin x y ??=??=?（?为参数）；（2）8cos 10sin x y ??=??=?（?为参数）.【解析】（1）221925y x +=；（2）22164100y x +=. 2.已知椭圆的参数⽅程为2cos sin x y θθ=??=?（θ为参数），则此椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标是(3,0)±，离⼼率是3. 【例2】已知A 、B 两点是椭圆22194 y x +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第⼀象限的椭圆弧上求⼀点P ，使四边形OAPB 的⾯积最⼤.【解析】椭圆的参数⽅程是3cos 2sin x y θθ=??=?，设椭圆上的点(3cos ,2sin )P αα，因为AOB S ?的⾯积⼀定，所以只需APB S ?最⼤即可.即求点P 到直线AB 的距离的最⼤值，直线AB 的⽅程为132y x +=，即2360x y +-=4sin()d πα==+66，所以当4a π=时，d 有最⼤值，⾯积最⼤，这时点P的坐标是. 动动⼿：动点P (,)x y 在曲线22y 194x +=上变化，求23x y +的最⼤值和最⼩值. 【解析】曲线的参数⽅程为3cos 2sin x y θθ=??=?，设椭圆上的点(3cos ,2sin )P αα，则236cos 6sin 62)4x y πθθθ+=+=+，所以23x y +最⼤为6262-.【例3】已知⽅程226sin 29cos 8cos 90y y x θθθ---++=.（1）试证：不论θ如何变化，⽅程都表⽰顶点在同⼀椭圆上的抛物线；（2）θ为何值时，该抛物线在直线14x =上截得的弦最长？并求出此弦长.【解析】（1）把原⽅程化为())cos 4(2sin 32θθ-=-x y ，知抛物线的顶点为()θθsin 3,cos 4，设顶点坐标为(,)x y ，则有4cos 3sin x y θθ=??=?，它在椭圆191622=+y x 上. （2）令14x =，代⼊设226sin 29cos 8cos 90y y x θθθ---++=得226sin 9cos 8cos 190y y θθθ--+-=设上⽅程的两根为1y 、2y ，则126sin y y θ+=，2129cos 8cos 19y y θθ=-+-，所以2121212||()4d y y y y y y =-=+-22(6sin )36cos 32cos 76θθθ=+-+11232cos θ=-所以，当θπ=时，弦长最⼤为12.三、总结提升：1.椭圆的参数⽅程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很⼤的优越性，具体表现在最⼤距离、最⼩距离、最⼤⾯积等；在求解过程中，将问题转化为三⾓函数的问题，利⽤三⾓函数求最值.2.椭圆参数⽅程中的参数θ的⼏何意义，⼀定要利⽤图形观察弄清楚.四、反馈练习：1.椭圆23x y ββ==（β为参数）的焦点坐标是（ C ）A. (1,0)- ，(1,0)B. (2,0)- ，(2,0)C. (0,1)- ，(0,1)D. (0,2)- ，(0,2)2.直线2360x y -+=与椭圆3cos 4sin x y ββ=??=?的位置关系是（ B ） A.相切 B. 相交不过焦点 C. 相交且过焦点 D. 相离3. 14922=+y x 上⼀点P 与定点(1,0)之间距离的最⼩值是（ A ）B.C. 2D.4. 已知过曲线3cos 4sin x y θθ=??=?()θθπ≤≤为参数，0上⼀点P 与原点O 的连线OP 的倾斜⾓为4π，则P 点坐标是 ( D ) A . (3,4) B . 1212(,)55-- C . (3,4)-- D . 1212(,)55 5. 设椭圆的参数⽅程为()πθθθ≤≤?==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，M 、N 对应的参数为21,θθ，且21x x <，则12,θθ⼤⼩关系是12θθ>.6.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最⼤距离和最⼩距离．【解析】设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 245d θθ--=122cos()244πθ+-= 当cos()14πθ+=-时，max 12(22)5d =；当cos()14πθ+=时，min 12(22)5d =．五、学后反思：。

椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为(x －h )2a 2＋(y －k )2b 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝h ＋a cos φy ＝k ＋b sin φ(φ是参数)．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ2y ＝cos θ(θ为参数)的一个焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫32，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选C.椭圆的普通方程为x 2＋(2y )2＝1，即x 21＋y 214＝1.c 2＝a 2－b 2＝1－14＝34，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0.故选C. 2．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数，0≤φ<2π)的离心率为( )A.23 B ．35C.32D ．53解析：选A.由⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos φy 5＝sin φ，所以x 29＋y 25＝1，所以a ＝3，b ＝5，c ＝2，e ＝23.3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的最大距离为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选C.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到原点的距离为4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ≤2，当且仅当cos θ＝±1时，取得最大值．故选C.4．椭圆x 24＋y 22＝1的参数方程是____________；椭圆(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是____________．解析：因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，所以x 24＋y 22＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))，同样可知(x －1)225＋(y ＋1)216＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))．答案：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝2sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos φy ＝－1＋4sin φ(φ为参数，φ∈[0，2π))利用椭圆的参数方程求最值(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(1)对于椭圆和圆上的动点M (x ，y )，求目标函数z ＝f (x ，y )的最值问题，均可利用参数方程表示动点坐标把目标函数转化成关于参数的三角函数，然后利用三角函数有界性求其最值．(2)利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．解：椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89. 2．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3，0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝(5cos θ－3)2＋(4sin θ)2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝(3cos θ－5)2＝|3cos θ－5|≤8， 当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5，0)．利用椭圆的参数方程求轨迹方程已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程，并说明它是什么图形．[解] 由题意知A (6，0)、B (0，3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ. 消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.此即为动点G 的轨迹方程，它表示中心在点(2，1)，对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆．(1)本题也可用代点转移法求解，即设G (x ，y )，C (x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋x 13y ＝0＋3＋y 13即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x －6y 1＝3y －3，因为C (x 1，y 1)在椭圆x 236＋y 29＝1上，所以x 2136＋y 219＝1，所以(3x －6)236＋(3y －3)29＝1即(x －2)24＋(y －1)2＝1.(2)对比两种解法，可知利用参数方程求解更简单易行．1.已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6，6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA中点Q 的轨迹方程．解：设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．所以9(x －3)2＋16(y －3)2＝36，即为所求．2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 的中点的轨迹方程．利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0，α∈[0，2π))．(1)把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程．(2)设射线l 与椭圆C 相交于点A ，把射线l 绕极点逆时针旋转90°得到射线OB ，与椭圆C 相交于点B ，试确定1|OA |2＋1|OB |2是否为定值．若为定值，求出此定值，若不为定值，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝sin β(β为参数)，所以椭圆C 的普通方程为x 22＋y 2＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 22＋y 2＝1，可得ρ2cos 2 θ2＋ρ2sin 2 θ＝1，化简得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2.(2)由(1)得椭圆的极坐标方程可化为ρ＝21＋sin 2θ，在极坐标系中，可设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2，将A ，B 坐标分别代入ρ＝21＋sin 2θ中，有ρ1＝21＋sin 2α，ρ2＝21＋cos 2α，所以1ρ21＝1＋sin 2 α2，1ρ22＝1＋cos 2α2，则1ρ21＋1ρ22＝32，即1|OA |2＋1|OB |2＝32. 故1|OA |2＋1|OB |2为定值32. 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．证明：设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1)． 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.所以|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.所以|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．1．椭圆参数方程中参数的几何意义椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ有明确的几何意义，对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，φ称为该椭圆的离心角，φ的最大范围是R ，最小范围是[0，2π)．如果φ的范围比[0，2π)还小，那么该参数方程表示的图形不是一个椭圆而是椭圆的一部分．2．椭圆参数方程的推导过程如图以坐标原点为圆心，分别以a ，b (a >b >0)为半径画两个同心圆，角φ(0≤φ<2π)的终边分别交两圆于A 、B ，作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，BM ⊥AA 1于M .设M (x ，y )，由三角函数定义可知x ＝OA 1＝|OA |cos φ＝a cos φ，y ＝A 1M ＝B 1B ＝|OB |sin φ＝b sin φ，于是得动点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)．3．椭圆参数方程和普通方程的互化互化的依据是sin 2φ＋cos 2φ＝1，由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ可得⎩⎪⎨⎪⎧xa ＝cos φyb ＝sin φ，于是两式平方相加得到普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，由普通方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x a ＝cos φ，yb＝sin φ就能化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ.4．椭圆的参数方程不是唯一的对于同一个椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，选取离心角作为参数可求得参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，若选取其他量作为参数，也可求得相应的参数方程，只是参数的几何意义就不明确了，例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sinφ2y ＝b cos φ2(φ为参数)也是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的一个参数方程．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，此椭圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2，则P 点的离心角为( )A.π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π6解析：选B.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫532，2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32sin θ＝12， 又0≤θ<2π，所以θ＝π6.2．已知P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是____________．解析：设P (4cos θ，22sin θ)，M (x ，y )，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2y ＝0＋22sin θ2即⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)， 消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝13．椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋2sin t，(t 为参数)，点P 为椭圆上对应t ＝π6的点，求直线OP 的斜率．解：当t ＝π6时，x ＝1＋3cos π6＝1＋332，y ＝－2＋2sin π6＝－1.所以直线OP 的斜率k ＝yx＝－11＋332＝4－6323. [A 基础达标]1．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝2sin φ，(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ，(φ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9cos φy ＝4sin φ，(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝9sin φ，(φ为参数)解析：选B.把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝(A ．πB ．π2C ．2πD ．32π解析：选A.因为点(－a ，0)中x ＝－a ，所以－a ＝a cos θ， 所以cos θ＝－1，所以θ＝π. 3．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C.点M 的坐标为(1，23)，所以k OM ＝2 3.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝2＋sin 2θ， 得x ＋y －2＝0(－1≤x ≤0，1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.可知两曲线交点有1个．5．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3，4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C ．(－3，4)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选D.因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.6．设点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，则点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离分别为______，______．解：设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 答案：125(2＋2) 125(2－2) 7．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝4sin t ，(t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________． 解析：当t ＝π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M (1，23)，同理N (3，2)．k MN ＝23－21－3＝－2.答案：－28．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ<2π)恒有公共点，则b 的取值范围是____________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .因为恒有公共点，所以方程有解．令f (θ)＝b ＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ－φ)(tan φ＝12)．所以－25≤f (θ)≤2 5. 所以－25≤b ≤2 5. 答案：[－25，2 5 ]9．如图，由椭圆x 24＋y 29＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．解：椭圆x 24＋y 29＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)， 所以设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2cos θ2＝2cos θ，y ＝3sin θ2，消去θ，得x 24＋4y 29＝1，即为所求的轨迹方程． 10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α，(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. [B 能力提升]11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a >b >0，θ为参数)上一点M 与两焦点F 1、F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2. 证明：因为M 在椭圆上，所以由椭圆的定义，得：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝4a 2.在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1||MF 2|＝b 2cos 2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin α＝b 2tan α2. 12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴正半轴交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为坐标原点)，求离心率e 的取值范围．解：由题意知A (a ，0)，若存在点P ，使OP ⊥AP ，则点P 必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P (a cos φ，b sin φ)，0<φ<π2或3π2<φ<2π. 因为OP ⊥AP ，所以k OP ·k AP ＝－1，即b sin φa cos φ·b sin φa cos φ－a＝－1. 所以b 2sin 2φ＋a 2cos 2φ－a 2cos φ＝0，即(a 2－b 2)cos 2φ－a 2cos φ＋b 2＝0.解得cos φ＝b 2a 2－b 2，或cos φ＝1(舍去)．由0<φ<π2或3π2<φ<2π，得0<cos φ<1， 所以0<b 2a 2－b 2<1，把b 2＝a 2－c 2代入， 得0<a 2－c 2c 2<1，即0<1e 2－1<1，解得22<e <1. 13．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．14．(选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的方程．(2)若点A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1， 由题意设圆C 2的半径为R ，则方程为(x －R )2＋y 2＝R 2，由D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3， 直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32代入(x －R )2＋y 2＝R 2得R ＝1，故圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上， 所以ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1， ρ22cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π24＋ρ22sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝1， 即ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝54.。

椭圆标准方程参数方程椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（a＞|F1F2|）的动点P的轨迹。

F1、F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度2c称为椭圆的焦距。

设O为坐标原点，x轴的正方向与F1F2的延长线的方向重合，椭圆的中心C为原点O，椭圆的长轴与x轴的正方向重合，则椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]其中a＞b＞0。

参数方程是指用参数方程表示的函数方程，参数方程是用参数形式表示的函数方程。

对于椭圆的参数方程，我们可以采用以下形式：\[x = a \cos t\]\[y = b \sin t\]其中t为参数。

接下来，我们将分别从标准方程和参数方程两个方面来详细介绍椭圆的相关知识。

首先，我们来看标准方程。

对于椭圆的标准方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

当a＞b时，椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上；当a＜b时，椭圆的长轴在y轴上，短轴在x轴上。

而椭圆的离心率e的计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)，其中c为焦距。

根据离心率的不同，椭圆可以分为圆形（e=0）、椭圆（0＜e＜1）、抛物线（e=1）和双曲线（e＞1）四种情况。

接下来，我们来看参数方程。

椭圆的参数方程为\[x = a \cos t, y = b \sin t\]，其中t为参数。

通过参数方程，我们可以用参数t的变化来描述椭圆上的点的位置。

当参数t在0到2π之间变化时，椭圆上的点将被完整地描述出来。

参数方程的优点在于可以直观地描述曲线的形状，并且便于进行曲线的分析和计算。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择使用椭圆的标准方程或参数方程来进行相关计算和分析。

对于不同的问题，选择合适的表示方式可以使问题的解决更加简洁和直观。

综上所述，椭圆的标准方程和参数方程是描述椭圆的重要数学工具，它们分别从代数和几何的角度描述了椭圆的形状和特征。

轴线不与坐标轴平行的椭圆参数方程椭圆是一种特殊的椭球曲线，它具有两个焦点和一个长轴和短轴。

在笛卡尔坐标系中，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，t为参数，取值范围为0到2π。

我站在公园的草地上，远眺着天空中盈盈的明月。

这个月亮，就像一个轴线不与坐标轴平行的椭圆，它的形状与普通的圆相比更加长而扁。

月光洒在大地上，犹如一层轻柔的面纱，给人以温暖与宁静。

我想起了小时候，每当月圆之夜，我总是会和家人一起走出家门，寻找那个挂在天空中的椭圆。

我们会找到一个安静的地方，坐下来，聆听着月光下的自然之声。

蟋蟀的鸣叫，蛙鸣的声音，还有微风轻拂树叶的声音，都让人感到心旷神怡。

而现在，我独自一人站在这片草地上，感受着月光的温暖。

我闭上眼睛，想象着自己站在那个轴线不与坐标轴平行的椭圆上，随着月光的引导，开始旋转起来。

我感受到了自由与美好，仿佛整个世界都围绕着我旋转。

这个椭圆的长轴指向远方，短轴指向天空。

我不禁想象，如果我能够跳跃离开地面，站在这个椭圆的中心，是否能够触摸到天空的边缘呢？我想，这一定是一种美妙的感觉，仿佛可以触摸到梦想的尽头。

月光下，我开始思考人生的意义。

就像这个轴线不与坐标轴平行的椭圆一样，每个人都有自己独特的轨迹和方向。

有时候，我们会迷失在生活的追逐中，忽略了内心的声音。

而当我们站在高处，俯瞰整个世界时，或许能够找到自己真正的轨迹。

站在这个椭圆上，我感受到了生活的多样性和无限可能。

每个人都有自己的轨迹和目标，就像椭圆的焦点一样，我们不断向着自己的目标前进。

而在这个旅程中，我们会经历风雨，也会感受到阳光的温暖。

月光渐渐变得柔和，我知道这个轴线不与坐标轴平行的椭圆即将消失在天空中。

但是，它给我留下了深刻的印象和启示。

无论我们走到哪里，无论我们是否迷失，我们都应该相信自己，坚持自己的梦想，找到自己的轨迹，成为一个轴线不与坐标轴平行的椭圆，散发出独特的光芒。

首先我们来看一下椭圆的基本定义和参数方程。

椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长度。

接下来我们来考虑椭圆的参数方程。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)在这里，a和b分别代表椭圆的长短半轴，t代表参数。

根据这个参数方程，我们可以进一步讨论参数t的取值范围。

对于x = a*cos(t)和y = b*sin(t)两个方程，我们知道cos(t)和sin(t)的取值范围都是[-1, 1]。

x的取值范围是[-a, a]，y的取值范围是[-b, b]。

接下来我们来分析参数t的取值范围。

由于cos(t)和sin(t)的周期都是2π，所以参数t的取值范围可以是[0, 2π)。

这个范围可以覆盖椭圆的整个轨迹。

在椭圆的参数方程中，参数t的取值范围[0, 2π)对应了椭圆的整个轨迹。

通过改变参数t的取值，我们可以描绘出椭圆上的各个点的位置，从而形成整个椭圆曲线。

椭圆的参数方程中参数t的取值范围是[0, 2π)，而对应的x和y的取值范围分别是[-a, a]和[-b, b]。

通过参数方程，我们可以清晰地描述椭圆曲线的形状和位置。

个人观点和理解方面，我认为椭圆的参数方程是一种非常有趣和灵活的描述椭圆的方式。

通过引入参数t，我们可以更加直观地理解椭圆曲线的形状和特性。

参数方程的使用不仅简化了对椭圆的描述，还使得对椭圆的分析更加方便。

以上是对椭圆的参数方程中参数的取值范围的深度和广度的讨论，希望对您有所帮助。

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在我们深入探讨椭圆的参数方程的基础上，让我们进一步思考一下参数方程的性质以及它们对椭圆曲线的影响。

让我们回顾一下椭圆的参数方程：x = a*cos(t)和y = b*sin(t)。

2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)中心在C (x 0，y 0)的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.题型一 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解 由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ. 由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.题型二 双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M 的离心角.【例2】 直线AB 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的中心O ，与双曲线交于A ，B 两点，P 是双曲线上的任意一点.求证：直线P A ，PB 的斜率的乘积为定值. 证明 如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α，b tan α，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b tan θ.∵AB 过原点O ，∴A ，B 的坐标关于原点对称， 于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a cos θ，－b tan θ，从而：k P A ·k PB ＝b （tan α－tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α－1cos θ·b （tan α＋tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α＋1cos θ ＝b 2（tan 2 α－tan 2 θ）a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2 α－1cos 2 θ＝b 2a 2为定值.【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？解 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x . 不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，b tan φ，则直线MA 的方程为 y －b tan φ＝－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a cos φ.①将y ＝ba x 代入①，解得点A 的横坐标为 x A ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.同理可得，点B 的横坐标为x B ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.设∠AOx ＝a ，则tan α＝ba .所以，▱MAOB 的面积为S ▱MAOB ＝|OA |·|OB |sin 2α ＝x A cos α·x B cos α·sin 2α＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2φ－tan 2φ4cos 2α·sin 2α ＝a 22·tan α＝a 22·b a ＝ab 2.由此可见，平行四边形MAOB 的面积恒为定值，与点M 在双曲线上的位置无关.题型三 参数方程的应用若曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2 (g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2， 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230.由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150 m/s 的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t 的水平位移为x ，垂直距离为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝593－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2). 令y ＝0，得t ≈11 s ，代入x ＝150 t ，得x ≈1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值. 解 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数).代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85).所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.2.点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离. 解 设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5.即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2).3.已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20t cos π6，y ＝20t sin π6－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. 解 (1)令y ＝20t sin π6－12gt 2＝0， 即4.9t 2－10t ＝0. 解得t ＝0或t ≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒.(2)由y ＝10t －4.9t 2，得y ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－10049t ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －50492＋25049.所以当t ＝5049时，y max ＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数.证明 设d 1为M 点到渐近线y ＝x 的距离，d 2为M 点到渐近线y ＝－x 的距离， 因为M 点在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α，tan α.d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α2，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α＋tan α2，d 1·d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos 2α－tan 2α2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数.[P 36思考交流] 参照求圆的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1其中a ＞b ＞0，则点A 的坐标为(－a ，0)，设AP 的斜率为k .直线AP 的方程为y ＝k (x ＋a )由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得直线AP 与椭圆的交点的横坐标，x 1＝－a ，x 2＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2. 直线AP 与椭圆交点的纵坐标为y 1＝0，y 2＝2ab 2k b 2＋a 2k2即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2，2ab 2k b 2＋a 2k 2. ∵点P 是椭圆任意的不同于A 的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2，y ＝2ab 2kb 2＋a 2k2(k 为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k 表示直线AP 的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同. [P 37思考交流]1.双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ中，参数的几何意义是什么？答 参数的几何意义是以原点为圆心，a 为半径的圆的半径的旋转角. 2.试求双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程.答 如图：分别以a ，b 为半径，原点为圆心作同心圆. 设OA ＝a ，OB ＝b ，A 为圆上任一点.∠AOx ＝φ(参数)，B 为圆与y 轴的交点，过B 作平行于x 轴的直线交OA 的延长线于B 1点，在Rt △OBB 1中，∠BB 1O ＝φ，BB 1＝btan φ. 过A 的切线交y 轴于A 1点，A 1P ⊥y 轴，A 1P ⊥B 1P . 设点P 的坐标为(x ，y )，在Rt △OAA 1中，∠OA 1A ＝φ，OA ＝a ，OA 1＝asin φ. x ＝BB 1＝b tan φ，y ＝OA 1＝asin φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sin φ(其中φ为参数)，∴y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φ，y ＝a sin φ(φ为参数).3.试求抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x ，y )与其顶点连线斜率的倒数t 为参数. (2)以抛物线上任意一点(x ，y )的纵坐标y 0为参数. 答 (1)抛物线y 2＝2px ，p 为焦点到准线的距离. 抛物线上任意一点M (x ，y )，∠MOx ＝α，则yx ＝tan α代入y 2＝2px 中y ·tan α＝2p .∴y ＝2p tan α.x ＝y 22p ＝12p ·（2p ）2tan 2 α＝2p tan 2α.设t ＝1tan α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .其中t 为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 即为所求.(2)⎩⎨⎧x ＝y 22p ，y ＝y 0(y 0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标.【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3)D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)，∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3.答案 A二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1， a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±13(x －3).答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________. 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1，∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2.故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0， ∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833. 答案 833三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ， |QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3，∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1).则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得：x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2.∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ，∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p 4. (2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p .y ＝0时，x ＝a ＋2p ，∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)，∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ， 则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2，当a 最大时，S △NAB 取最大值，故a ＝－p 4时，S 取最大值为2p 2.。

椭圆方程的解析表达式引言椭圆是数学中一个重要的概念，在几何学、代数学、物理学等领域具有广泛的应用。

研究椭圆的性质和特征是解决相关问题的关键。

而椭圆方程的解析表达式是从方程的角度描述椭圆特征的一种方式。

本文将介绍椭圆方程的解析表达式及其一些基本性质。

椭圆方程的定义椭圆的图像是一个封闭曲线，在平面上具有两个称为焦点的特殊点。

在直角坐标系中，椭圆的方程通常表示为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b是正实数，分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。

椭圆方程的解析表达式为了进一步理解椭圆的特征，我们可以从解析的角度表示椭圆方程。

解析表达式用参数方程形式表示椭圆上的点的坐标。

将椭圆方程中的自变量x表示为a*cosθ，y表示为b*sinθ，其中θ是参数，该参数的取值范围为[0, 2π]。

则椭圆方程可表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a表示椭圆的长半轴长度，b表示椭圆的短半轴长度。

这样，我们可以通过给定不同的θ值，计算出对应的点的坐标，从而得到椭圆的图像。

椭圆方程的性质椭圆方程具有一些基本性质，值得我们关注和研究。

1. 中心点：椭圆的中心点位于原点(0, 0)。

2. 焦点和焦半径：椭圆的焦点位于椭圆主轴的两个端点，且焦点与中心点的距离为`c = sqrt(a^2 - b^2)`。

焦半径是从焦点到椭圆上的任意一点的线段长度。

3. 主轴：椭圆的主轴是经过中心点的椭圆的最长轴线，长度为2a。

长半轴和短半轴分别是主轴的半径。

4. 离心率：椭圆的离心率e是定义为焦半径与长半轴a的比值，即`e = c / a`。

离心率描述了椭圆的偏心程度，通常取值范围为[0, 1)。

5. 几何性质：椭圆上的点满足任意一点到两个焦点的距离之和等于2a，即`PF1 + PF2 = 2a`，其中PF1和PF2分别表示一点到两个焦点的距离。

总结本文介绍了椭圆方程的解析表达式，并介绍了椭圆的一些基本性质。

椭圆的原理椭圆是一种特殊的二维图形，具有以下特点：1. 定义：椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂的距离之和等于常数2a的点的轨迹，其中a是椭圆的长半轴的长度。

2. 构造方法：可以通过以下步骤来构造一个椭圆：a. 在平面上选择两个不重合的点F₁和F₂。

b. 在F₁和F₂之间画一条线段D，并选择一个点A作为线段D的中点，并在D上选择一个点B。

c. 过点A和B作两条垂直于线段D且长度为a的线段，分别交线段D于点C和点C'。

d. 连接F₁和C，F₂和C'，得到的曲线就是椭圆。

3. 方程形式：椭圆的方程一般形式为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。

4. 参数方程：椭圆也可以通过参数方程来表示，常用的参数方程形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ是参数，取值范围是[0,2π]。

5. 椭圆的性质：a. 长轴和短轴：椭圆的长半轴的长度a大于短半轴的长度b，且a、b之间存在关系a² - b² = 1。

b. 焦点：椭圆上的两个点F₁和F₂称为焦点，满足F₁C +F₂C' = 2a。

c. 准线：连接两个焦点的直线称为准线，其长度等于2a。

d. 切线：经过椭圆上一点的直线称为切线，切线与椭圆的切点处垂直于椭圆的长轴。

e. 对称性：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。

f. 离心率：椭圆的离心率e定义为离心距c与长轴长a之比，即e = c/a。

g. 离心率的范围：椭圆的离心率e满足0 < e < 1，当e=1时，椭圆退化为线段。

h. 关系与其他几何图形：当a=b时，椭圆退化为圆；当a>b 时，椭圆是个椭球的剖面；当a=b=0时，椭圆退化成两个焦点重合的点。

椭圆在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如天体轨道、电子轨道、天文学中的行星运动模型、椭圆锥的结构设计等。

椭圆参数方程
建筑，是历史上古今灿烂明晰的凸显，也是运用许多几何形状创新美学精彩作品之一。

椭圆参数方程与建筑有着千丝万缕的联系，无论现代建筑还是传统古迹，都时刻反映着它的存在。

椭圆参数方程主要针对的是椭圆，它是圆形的一种变体。

椭圆参数方程的定义是：椭圆的一般方程是一阶参数方程，表示为：X = F(t)，其中F(t)是有界的函数，定义域为[-1,1]。

在传统的古迹建筑中，椭圆参数方程的运用更加明显，个别建筑如大里建筑，其建筑门楼屋顶便是典型的椭圆形状，这种几何状都采用椭圆参数方程作为几何形状学上的模型来定义。

此外，多环设计也可以通过椭圆参数方程构成，多环结构最优美的例子则是古希腊的卫城云梯，在这里则可以清晰看到椭圆参数方程的踪影。

除了古迹建筑外，现代建筑也广泛采用椭圆参数方程。

主流的现代建筑便有大量椭圆形状出现，这种风格更多的体现在材质的选择上。

椭圆的外观特点，夹带着优雅的柔美和略带奢华的气质，通过椭圆参数方程的描述而得以体现，让建筑外表更加生动有趣。

椭圆参数方程在建筑方面的运用独具一格，不仅让建筑外表更加具有现代主义的风格，也为古迹建筑注入活力，大大提升了整体的美学水准。

不论是现代的新式建筑还是传统的古迹建筑，椭圆参数方程所绘制的几何状都给其带去了美学和时尚的气息，椭圆形态也成为现代主义建筑风格中不可或缺的艺术元素。

高考数学知识点：椭圆的参数方程_知识点总结
高考数学知识点：椭圆的参数方程椭圆的参数方程：
椭圆的参数方程是，θ∈[0，2π）。

椭圆的参数方程的理解：
如图，以原点为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN∈Ox，垂足为N，过点B作BM∈AN，垂足为M，求当半径OA绕点O 旋转时，点M的横坐标与点A的横坐标相同，点M的纵坐标与点B的纵坐标相同．而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系．设，由已知得，即为点M的轨迹参数方程，消去参数得，即为点M的轨迹普通方程。

(1)参数方程，是椭圆的参数方程,高考物理；
(2)在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．a>b,称为离心角，规定参数的取值范围是[0，2π）;。

椭圆的参数方程公式椭圆是高中数学中常见的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的参数方程公式及其几何特性，帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

一、椭圆的参数方程公式椭圆的参数方程公式为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，取值范围为[0, 2π]。

通过这个参数方程公式，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。

当参数t从0到2π变化时，点在椭圆上按顺时针方向依次遍历。

二、椭圆的几何特性1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线段，长轴的长度为2a；短轴是通过椭圆中心并且垂直于短轴的直线段，短轴的长度为2b。

2. 焦点和离心率：椭圆有两个焦点，分别位于长轴上，与中心距离分别为c和-c，其中c满足a^2 = b^2 + c^2。

离心率e是一个描述椭圆形状的参数，计算公式为e = c/a。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆形状较扁；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆形状较细长。

3. 焦点和直径：椭圆上的任意一条直径都经过两个焦点之一。

直径长的一半等于长半轴的长度。

4. 弦和弦长：椭圆上的任意一条弦都经过椭圆中心。

弦长等于长轴的长度乘以sinθ，其中θ是弦与长轴之间的夹角。

5. 切线和法线：椭圆上的任意一点处的切线是通过该点并且与椭圆曲线相切的直线；法线是通过该点并且垂直于切线的直线。

6. 面积和周长：椭圆的面积为πab，其中π是圆周率；周长没有简洁的公式，可以通过数值积分来计算。

三、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和实际应用中都有广泛的应用。

1. 天体运动：行星、卫星等天体的轨道大多为椭圆。

通过椭圆的参数方程，可以描述和预测天体的运动轨迹。

2. 电子轨道：原子中的电子围绕原子核的轨道也呈椭圆形。

椭圆的参数方程可以用来描述电子的运动状态。

高中椭圆知识点高中椭圆知识点椭圆是一种常见的几何图形，它在高中数学中占据着重要的地位。

椭圆的性质和公式是我们学习椭圆的基础。

下面我们来详细了解一下高中椭圆的知识点。

1. 概念和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，而常数称为离心率，离心率的范围是0到1之间。

椭圆的中点称为中心，中点到焦点的距离称为焦距，中点到椭圆上任意一点的距离称为半径。

椭圆有一些重要性质，如：- 椭圆的长轴是通过两个焦点和中心的连线，并且长度是两个焦点之间的距离的两倍。

- 椭圆的短轴是通过中心并且垂直于长轴的直线，并且长度是两焦点之间的距离的两倍。

- 椭圆的离心率小于1，离心率等于0时椭圆退化为一个圆。

2. 方程和参数表示椭圆可以通过方程和参数两种方式进行表示。

椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长短轴半径。

椭圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中θ是取值范围在0到2π之间的变量。

3. 单位圆和三角函数椭圆可以与单位圆进行联系，单位圆的方程为x^2 + y^2 = 1。

通过变换可以将椭圆的方程转化为单位圆的方程，并将椭圆上的点转化为单位圆上的点。

这样，椭圆上的点的坐标可以用三角函数的值来表示。

4. 轨迹问题椭圆的轨迹问题是椭圆的一个重要应用，可以解决一些实际问题。

例如，一个点在线段上移动，当这个线段的两个端点是椭圆上的两点时，这个点的轨迹就是椭圆。

利用这个性质，可以解决一些航天、工程等领域中的问题。

5. 椭圆和焦点直线的性质椭圆上的点到两个焦点所在直线的距离之和等于常数。

利用这个性质可以证明椭圆的对称性及其他性质。

以上就是高中椭圆的一些基本知识点。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解椭圆的性质和应用。

在解题过程中，可以根据已知条件，利用这些知识点进行推导和求解，从而得到满意的答案。

椭圆的直角坐标方程怎么化成参数方程椭圆是一个非常常见的几何形状，它可以用直角坐标方程和参数方程来描述。

在本文中，我们将讨论如何将椭圆的直角坐标方程转化为参数方程。

椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

这个方程描述了一个以原点为中心的椭圆。

a和b的值决定了椭圆在x和y轴上的形状和大小。

当a = b时，椭圆变成一个圆。

椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t表示椭圆上的点在参数空间中的参数值。

这个参数方程表示了椭圆上的每一个点。

通过改变参数t的值，我们可以得到椭圆上不同位置的坐标点。

t的取值范围一般是0 <= t <= 2*pi。

从直角坐标方程到参数方程的转化我们可以通过代入x和y的表达式将直角坐标方程转化为参数方程。

首先，我们来看看如何从直角坐标方程中解出x的表达式：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1将上式整理：(x/a)^2 = 1 - (y/b)^2再开平方根得到：x/a = sqrt(1 - (y/b)^2)移项得到：x = a * sqrt(1 - (y/b)^2)同样的方式，我们可以解出y的表达式：y/b = sqrt(1 - (x/a)^2)y = b * sqrt(1 - (x/a)^2)这样，我们得到了椭圆的参数方程。

参数t的取值范围在参数方程中，t的取值范围一般是0 <= t <= 2*pi。

这是因为sin(t)和cos(t)的周期都是2*pi，当t取到2*pi时，参数方程的值和原始的点重合，形成一个完整的椭圆。

当t的取值范围超过0 <= t <= 2*pi时，我们会得到重复的点，但是这些点在椭圆上位置是一样的。

总结通过将椭圆的直角坐标方程代入参数方程的表达式，我们可以将直角坐标方程转化为参数方程，从而得到椭圆上每一个点的坐标。