考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题7 解析几何 第27练 Word版含解析

第28练 椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.2．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.3．(2016·课标全国丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点．P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 设M (－c ，m )，则E⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.4．(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将线段AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 5．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．(1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．高考必会题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．变式训练1 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若△AF 1B 的面积为403，求椭圆C 的方程． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形， a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c ，由1AF B S＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝53，所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.方法二 设|AB |＝t ，因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ， 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a ，由1AF B S ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝53， 所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.题型二 直线与椭圆相交问题例2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解 由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决．求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式．变式训练2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 的一个动点，直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 交于A，B 两点，求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，∴e ＝c a ＝32，∴2c ＝3a ，即4c 2＝3a 2，又∵过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2，∴c 2a 2＋1b 2＝1，∴34a 2a 2＋1b 2＝1，即b 2＝4，又a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋34a 2，即a 2＝16，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)联立直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 的方程， 得⎩⎨⎧y ＝34x ＋32，x 216＋y 24＝1消去y ，整理可得7x 2＋12x －52＝0，即(7x ＋26)(x －2)＝0，解得x ＝2或x ＝－267，∴不妨设A (2，3)，B (－267，－337)，则|AB |＝(2＋267)2＋(3＋337)2＝10719，设过P 点且与直线l 平行的直线L 的方程为y ＝34x ＋C ，L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离， 即△P AB 的边AB 上的高，只要L 与椭圆相切， 就有L 与边AB 的最大距离，即得最大面积． 将y ＝34x ＋C 代入x 216＋y 24＝1，消元整理可得：7x 2＋83Cx ＋16C 2－64＝0， 令判别式Δ＝(83C )2－4×7×(16C 2－64) ＝－256C 2＋28×64＝0， 解得C ＝±28×64256＝± 7. ∴L 与AB 的最大距离为|－7－32|(34)2＋1＝219(27＋3)19，∴△P AB 面积的最大值为12×10719×219(27＋3)19＝107(27＋3)． 题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2) 如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解．变式训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上，且离心率为12.(1)求椭圆方程；(2)过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程． 解 (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上， ∴令y ＝0，得焦点(2,0)，∴c ＝2， ∵离心率e ＝c a ＝12，∴2a ＝12，解得a ＝4，∴b 2＝16－4＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点， P 为线段AB 的中点，∴由题意，x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，⎩⎨⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y2212＝1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0，∴k l ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－94，∴l 的方程为y －1＝－94(x －3)，即9x ＋4y －31＝0.高考题型精练1．(2016·课标全国乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 B解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ， OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，代入解得a 2＝4c 2，故椭圆离心率e＝c a ＝12， 故选B.2．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，则|P A |＋|PF 1|的最大值是( ) A ．6 B ．6＋2 2 C ．6－ 2 D ．6＋ 2答案 D解析 |P A |＋|PF 1|＝|P A |＋2a －|PF 2|≤2a ＋|AF 2|＝6＋2， 当P ，A ，F 2共线时取最大值，故选D.3．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，直线AP 的方程为( ) A ．y ＝－33x ＋2 3 B ．y ＝33x ＋2 3 C ．y ＝－3x ＋2 3 D ．y ＝3x ＋2 3答案 D解析 椭圆x 29＋y 25＝1中a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，由题意，设F ′是左焦点，则△APF 周长＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF ′| ＝4＋6＋|P A |－|PF ′|≤10＋|AF ′|(A ，P ，F ′三点共线，且P 在AF ′的延长线上时，取等号)， 直线AP 的方程为x －2＋y23＝1，即y ＝3x ＋23，故选D.4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －14＝0D ．x ＋2y －8＝0答案 D解析 设这条弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎨⎧ x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236＋k y 1＋y 29＝0， 又弦中点坐标为(4,2)，故k ＝－12， 故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12(x －4)， 整理得x ＋2y －8＝0，故选D.5．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______，∠F 1PF 2的大小为________.答案 2 2π3解析 根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2c ＝27，在△F 1PF 2中，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12， 所以∠F 1PF 2＝2π3. 6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，过右焦点F 2的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 是弦AB 的中点，直线OM (O 为原点)的斜率为14，则△ABF 1的周长等于__________，斜率k ＝________.答案 8 －3解析 依题意得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝8， 即|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝8，△ABF 1的周长为8.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0. 又y 1＋y 2x 1＋x 2＝2y 02x 0＝y 0x 0＝14， 因此y 1－y 23＋(x 1－x 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－3，k ＝－3. 7．(2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为 B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0， ①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23， 则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [3,15]解析 圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．9．设椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，上顶点为A (0,2)，离心率为255. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设B 1(－2,0)，B 2(2,0)，过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵c a ＝255，∴1－b 2a 2＝45， 即b 2a 2＝15，又∵b 2＝4，∴a 2＝20， ∴椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2，∴直线l 的方程为x ＝±2y －2，即x ±2y ＋2＝0.10．(2016·课标全国乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过点B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)， 点A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．11．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . (1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，b 3，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)． 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .。

解答题专项规范练姓名：________ 班级：________ 学号：________1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B . (1)求角C 的大小； (2)求a ＋b c 的最大值．2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ； (2)求二面角B —AC —A 1的余弦值．3．已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．4.设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)经过点M (－2，－1)，离心率为22.过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值；(3)∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．答案精析解答题专项规范练71．解 (1)sin A ＋3cos A ＝2sin B ， 即2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2sin B ， 则sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝sin B . 由于0<A ，B <π，又a ≥b 进而A ≥B ， 所以A ＋π3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝π3.(2)由正弦定理及(1)得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝23[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3] ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 当A ＝π3时，a ＋b c取最大值2.2．(1)证明 由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB ⊥BB 1. 又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C . (2)解 建立如图所示的坐标系O —xyz .其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1,0)，B (0，－1,0)，C (0,0，3)，A 1(2,1,0)．AB →＝(－2,0,0)，AC →＝(－2,1，3)，AA 1→＝(0,2,0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ABC 的法向量， 则n 1·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0.取x 2＝3，得n 2＝(3，0,2)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77.因此二面角B —AC —A 1的余弦值为－77. 3．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 由于S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.4．解 (1)由于二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0， 所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0. 由于二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c的图象的对称轴是x ＝a ＋c3a.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2－c 2＋ac 3a <0， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．5．(1)解 由题设，得4a 2＋1b 2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，② 由①②解得a 2＝6，b 2＝3， 椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0， －2，x 1是该方程的两根， 则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2.设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)， 同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k2. 因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)， 故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k 28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．(3)解 设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ，假设∠PMQ 为直角， 则k ·(－k )＝－1，k ＝±1.若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)，与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不行能为直角．。

第7练 抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应当重点训练函数性质的综合应用力量，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他学问的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题力量.常考题型精析题型一 函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减.2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性依据内函数和外函数同增异减的法则推断.3.定义域不关于原点对称的函数肯定是非奇非偶函数.4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.例1 (1)(2022·湖北改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为________.(2)(2022·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系亲密，争辩问题时可转化到只争辩部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其留意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性. 变式训练1 (1)(2021·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为__________________________.(2)(2021·盐城模拟)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围.题型二 函数的周期性与对称性的应用重要公式：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )关于x ＝a 对称. 2.若对于任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )的周期为T .例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________.点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则全部正确命题的序号为________. 题型三 分段函数例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f (x )解析式时，肯定要首先推断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3 (2022·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.高考题型精练1.(2021·安徽改编)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________. ①y ＝ln x; ②y ＝x 2＋1； ③y ＝sin x;④y ＝cos x .2.(2021·陕西改编)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.3.(2022·山东改编)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为__________.4.(2022·江西改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝________.5.下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是________. ①f (x )＝1x －x;②f (x )＝x 3； ③f (x )＝ln x;④f (x )＝2x .6.函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 1214)·f (log 1214)，则a ，b ，c 的大小关系是__________.7.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是________________.8.(2021·无锡模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是____________.9.(2022·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________.10.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________. 12.已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 其中正确命题的序号为________.答案精析第7练抓重点——函数性质与分段函数常考题型典例剖析例1(1)[－66，66](2)(－1,3)解析(1)由于当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝12(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2<x<2a2时，f(x)＝12(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝12(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝12(|x－a 2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，0≤x≤a2，－a2，a2<x<2a2，x－3a2，x≥2a2.因此，依据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观看图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a≤6 6.(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称.又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.变式训练1(1)c＜a＜b解析由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，∴f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0).(2)解∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f(x)在[－2,2]上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2<m<1.②综合①②可知，实数m的取值范围是[－1,1).例2(1)1(2)336解析(1)由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x＝1对称，知f(x)的周期为4，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2 016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2 015)＋f(2 016)＝1＋0＝1.(2)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]×336＝336.变式训练2①②④解析令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，f(－2)＝0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；依据①可得f(x＋4)＝f(x)，可得函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，②正确；依据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故假如方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x22＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确.故正确命题的序号为①②④. 例3 解 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x ).当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，如图.当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减； 当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增.当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； 当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增. 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增. 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3].变式训练3 (－∞，2]解析 f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.常考题型精练 1.④解析 对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故④正确. 2.12解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 3.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.4.14解析 由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.5.①解析 “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易推断f (x )＝1x －x 符合.6.b >a >c解析 由于函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称.所以函数y ＝xf (x )为奇函数. 由于[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减. 由于1<20.2<2,0<ln 2<1，12log 14＝2，从而0<ln 2<20.2<12log 14，所以b >a >c .7.[－94，0]∪(2，＋∞)解析 由x <g (x )得x <x 2－2， ∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞). 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0].综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞).8.(－∞，－2]∪(－1，－34)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34.9.516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝－316＋12＝516. 10.1解析 依题意，得h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 11.⎣⎡⎭⎫14，13解析 依据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.12.①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，明显这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确.。

回扣7 解析几何1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8．范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度．②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径)．③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦．④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c 与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近．(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解．9．定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值．10．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r 2当成r ；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件． 7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．8．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．9．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误．10．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．1．直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为() A ．[0，π) B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪(π2，π)答案C解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于() A ．2或－1 B ．2 C ．－1 D ．以上都不对 答案C解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意．所以a ＝－1.故选C.3．直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于() A ．1 B ．－1 C.12D ．－12 答案C解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0,0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2.所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2，解得a ＝12，故选C.4．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于() A ．43B ．3 3 C ．23D. 3 答案C解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，而圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是() A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案B解析 圆O 1(－2,2)，r 1＝1，圆O 2(2,5)，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条．故选B.6．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么() A ．m ∥l ，l 与圆相交 B ．m ⊥l ，l 与圆相切 C ．m ∥l ，l 与圆相离 D ．m ⊥l ，l 与圆相离 答案C解析 以点P 为中点的弦所在的直线的斜率是－ab ，直线m ∥l ，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点， 所以a 2＋b 2<r 2，圆心到ax ＋by ＝r 2， 距离是r 2a 2＋b2>r ，故相离．7．(2016·四川)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是() A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案B解析 建系如图，则易知B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)．设M (x ，y )，P (a ，b )，∵PM →＝MC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝3－x ，y －b ＝0－y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x －3，b ＝2y ，即P (2x －3，2y )，又∵|AP →|＝1. ∴P 点在圆①：x 2＋(y －3)2＝1上， 即(2x －3)2＋(2y －3)2＝1， 整理得，⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14(记为圆②)， 即M 点在该圆上，求|BM →|的最大值转化为B 点到圆②上的一点的最大距离， 即B 到圆心的距离再加上该圆的半径：|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋122＝494. 8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为()A.255B.41717C.35D.45 答案A解析 ∵c ＋b 2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.9．(2016·课标全国丙)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________. 答案4解析 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°， 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.10．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________． 答案16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|QF 1|＋|PF 1|)＝16，∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16.11．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由于焦点(1,0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 12．(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．答案(x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.13．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，焦点是(0，2)，(0，－2)，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的斜率为2，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值． 解(1)由已知椭圆的焦点为(0，2)，(0，－2)， 故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1，将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0， 解得a 2＝4或a 2＝1(舍)， 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得 4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)＞0，可得m 2＜8，① 由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3. 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝ 2.当且仅当2m 2＝16－2m 2， 即m ＝±2时取等号(满足①式)， 所以△ABC 面积的最大值为 2.。

第28练直线与圆[题型分析·高考展望]直线与圆是解析几何的基础，在高考中除对本部分学问单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中，对相关学问进行考查.单独考查时，一般为填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的推断与应用是本部分的重点.常考题型精析题型一直线方程的求法与应用例1(1)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为__________.(2)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.点评(1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②判定两直线平行与垂直的关系时，假如给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的状况，还要考虑斜率不存在的状况.(2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？题型二圆的方程例2(1)(2021·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB＝2.①圆C的标准方程为____________________________.②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.(2)(2021·南通模拟)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切.①求圆C的方程；②求以圆C内一点B⎝⎛⎭⎫2，－52为中点的弦所在直线l3的方程.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过争辩圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2已知圆C：(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 (R>0)与y轴相切，圆心C在直线l：x－3y＝0上，且圆C截直线m：x－y＝0所得的弦长为27，求圆C的方程.题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2021·重庆改编)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(2)已知直线l 过点P (0,2)，斜率为k ，圆Q ：x 2＋y 2－12x ＋32＝0. ①若直线l 和圆相切，求直线l 的方程；②若直线l 和圆交于A ，B 两个不同的点，问是否存在常数k ，使得OA →＋OB →与PQ →共线？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.点评 争辩直线与圆位置关系的方法(1)争辩直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题. (2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 (2022·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积.高考题型精练1.(2021·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为______________.2.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________.3.(2021·南通模拟)已知直线l 1：a (x －y ＋2)＋2x －y ＋3＝0 (a ∈R )与直线l 2的距离为1，若l 2不与坐标轴平行，且在y 轴上的截距为－2，则l 2的方程为____________.4.(2021·徐州模拟)已知点A (1,2)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P (x,0)满足P A ＝PB ，在y 轴上有一点Q (0，y )，它在线段AB 的垂直平分线上，则△OPQ 的面积为________.5.(2021·广东改编)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是________________.6.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是____________.7.(2021·苏州模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________.8.若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________.9.已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________. 10.若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________. 11.与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________. 12.如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？假如是，求出其定值；假如不是，请说明理由.答案精析专题7 解析几何第28练 直线与圆常考题型典例剖析 例1 (1)2x －y －1＝0解析 由题意知圆心C (3,0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0. (2)解 设B (4y 1－10，y 1)， 由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上， 可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1,7)，∵点A ′(1,7)，B (10,5)在直线BC 上， ∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0.变式训练1 解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交l 于P ，若P ′(异于P )在直线上， 则AP ′＋BP ′ ＝A ′P ′＋BP ′>A ′B .因此，供水站只有在P 点处，才能取得最小值，设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1· ⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处.例2 (1)①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎫AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x－1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1. (2)解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3， 由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.变式训练2 解 圆C ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2(R >0)与y 轴相切，则|x 0|＝R .① 圆心C 在直线l ：x －3y ＝0上，则x 0＝3y 0.② 圆C 截直线m ：x －y ＝0所得的弦长为27，则2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x 0－y 0|22＝27.③ 把①②代入③，消去x 0，y 0得R ＝3， 则x 0＝3，y 0＝1或x 0＝－3，y 0＝－1.故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 例3 (1)6解析 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴AB 2＝40－4＝36.∴AB ＝6.(2)解 ①将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4. 圆心Q (6,0)，半径r ＝2.由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|1＋k 2.由于直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝0或k ＝－34，所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0. ②将直线l 的方程和圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0， 由于直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)>0， 解得－34<k <0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，x 1x 2＝361＋k 2，而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ →＝(6，－2). 由于OA →＋OB →与PQ →共线， 所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)，整理得(1＋3k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4(k －3)1＋k 2＋12＝0，解得k ＝－34. 又由于－34<k <0，所以没有符合条件的常数k .变式训练3 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆. 由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上. 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .由于ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又OM ＝OP ＝22， O 到l 的距离为4105，PM ＝4105，所以△POM 的面积为165.常考题型精练 1.－43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线肯定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.2.45解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方. 由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上， 所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.3.4x ＋3y ＋6＝0解析 由题意可知，直线l 1过直线x －y ＋2＝0与2x －y ＋3＝0的交点P (－1,1)，由两条直线间的距离为1可得，点P 到直线l 2的距离为1，设l 2的方程为y ＝kx －2，则|－k －1－2|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，故l 2的方程为y ＝－43x －2，即4x ＋3y ＋6＝0. 4.92解析 由题意知直线AB 的斜率为k ＝4－4＝－1，线段AB 的中点坐标为(3,0)，故其垂直平分线的方程为y ＝x－3，该直线与x 轴交于点P (3,0)，与y 轴交于点Q (0，－3)，故△OPQ 的面积为S ＝12×3×3＝92.5.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 6.[2，22)解析 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，如图，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围是[2，22). 7. 3解析 如图所示，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.依据对称性可知四边形P ACB 面积等于 2S △APC ＝2×12×P A ×r ＝P A ，故P A 最小时，四边形P ACB 的面积最小， 由于P A ＝PC 2－1，故PC 最小时，P A 最小，此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0， 故PC 的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0 的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以P A ＝PC 2－1＝22－1＝ 3.故四边形P ACB 面积的最小值为 3.8.(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，又(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2， 依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 9.x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴圆C 的圆心在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解之得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33.∴圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.10.π解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝12.又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积为 S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.11.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2， 即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2， 故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 12.解 (1)设圆A 的半径为R . ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝||－1＋4＋75＝25.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN . ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1.由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴A Q →·B P →＝0. ∴B Q →·B P →＝(B A →＋A Q →)·B P →＝B A →·B P →＋A Q →·B P →＝B A →·B P →. 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52. 则B P →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，又B A →＝(1,2)， ∴B Q →·B P →＝B A →·B P →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .∴B Q →·B P →＝B A →·B P →＝－51＋2k －10k1＋2k＝－5. 综上所述，B Q →·B P →是定值，且B Q →·B P →＝－5.。

第30练与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望]抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点．考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上．体验高考1．(2015·四川)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， 当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2．(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案A解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1. ∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3．(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为() A.33B.23C.22D ．1 答案C 解析如图，由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立．故选C. 4．(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝⎛⎭⎫p 22＋5＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5．(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小， 所以有|PQ |min ＝p 2＝1⇒p ＝2. 高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．解(1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5 ＝110|(y 0－4)2＋36|， 当y 0＝4时，(d 1)min ＝185， 此时x 0＝y 206＝83， ∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185. (2)设抛物线的焦点为F ，则F (32，0)，且d 2＝|PF |， ∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110， ∴(d 1＋d 2)min ＝6110. 点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．变式训练1(1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________．(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2,1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为()A ．(14，1)B ．(14，－1) C ．(1,2) D ．(1，－2)答案(1)9(2)B解析(1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离．所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1)． 题型二抛物线的标准方程及几何性质例2(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．方法一(1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223. 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．方法二(1)解同方法一．(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12， 从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．变式训练2已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝－2时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值．解(1)设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，由点M(2,1)在抛物线C上，得4＝2p，则p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(x P，y P)，Q(x Q，y Q)，则x2P＝4y P，x2Q＝4y Q，由|OP|＝|OQ|，得x2P＋y2P＝x2Q＋y2Q，即(y P－y Q)(y P＋y Q＋4)＝0.又y P>0，y Q>0，则y P＝y Q，|x P|＝|x Q|，即线段PQ关于y轴对称．∴∠POy＝30°，y P＝3x P，代入x2P＝4y P，得x P＝43，∴该等边三角形边长为83，S△POQ＝48 3.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＝4y1，x22＝4y2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2. ∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3. 题型三直线和抛物线的位置关系例3已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0,6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值． 解(1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ，则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ， 可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程．(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ， k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0， ∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6. 又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4,2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0， 解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12,18)．∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48. 点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．变式训练3(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．高考题型精练1．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案C解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°.在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，求得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于()A ．22B ．23C ．4D ．2 5答案B解析设抛物线方程为y 2＝2px ，则点M (2，±2p )．∵焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴⎝⎛⎭⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)， 故M (2，±22)．∴|OM |＝4＋8＝2 3.3．设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值是()A ．6B ．8C ．9D ．12答案D解析由抛物线方程，得F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|F A |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6.因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0,0)，则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6，所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝|F A |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于() A.2B.22C.12D ．2 答案D解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4， 所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.5．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为() A.12B.23C.34D.43答案D解析抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p 2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6．从抛物线y 2＝2x 上的点A (x 0，y 0)(x 0＞2)向圆(x －1)2＋y 2＝1引两条切线分别与y 轴交B ，C 两点，则△ABC 的面积的最小值是______．答案8解析设B (0，y B )，C (0，y C )，A (x 0，y 0)，其中x 0＞2，所以直线AB 的方程，化简得(y 0－y B )x －x 0y ＋x 0y B ＝0，直线AB 与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得(x 0－2)y 2B ＋2y 0y B －x 0＝0，同理可得：(x 0－2)y 2A ＋2y 0y A －x 0＝0，故y C ，y B 是方程(x 0－2)y 2＋2y 0y －x 0＝0的两个不同的实根，所以y C ＋y B ＝2y 02－x 0，y C y B ＝x 02－x 0， 所以S ＝12|y C －y B |x 0＝x 20x 0－2＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥8， 所以当且仅当x 0＝4时，S 取到最小值8，所以△ABC 的面积的最小值为8.7．如图，从点M (x 0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案6解析由题意得P (2,4)，F (2,0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝________. 答案12解析由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9．已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________． 答案2 2解析设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2， 得x 0＝2，y 0＝4×2＝22，又焦点F (1,0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案0或－8解析因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m 2， 所以P (－m 4，34m )． 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ， 解得m ＝0或m ＝－8.11．(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝ |AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |) ＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。

一、选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q3．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为()A ．[4,5] B.⎣⎡⎦⎤4，112 C.⎣⎡⎦⎤4，132 D ．[4,7]4．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )5．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合6．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]8．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4二、填空题9．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，则数列{x n }的通项公式为__________．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为________________________________________________________________________． 11．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为_____________________________________． 12．如图所示，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是__________________________________________．13．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为____________．14．(2021·丽水调研)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 15．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.答案精析小题精练小题精练11．B [选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的全部点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的全部点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．]2．A [“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．]3．B [y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，留意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.]4．C [∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C.]5．C [由(1,2,0)×(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．] 6．C [对于C ，在平面α内存在c ∥b ，由于a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中肯定推出a ∥b .] 7．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω (k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， 故⎝⎛⎭⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎨⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )，又4k ＋12<2k ＋54，∴k <38.∴当k ＝0时，12≤ω≤54.]8．B [∵2a 2b ＝2a ＋b ＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选B.] 9．x n ＝2n ＋1解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.10．a n ＝1n (n ＋1)解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 亦即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).∴a n ＝1n (n ＋1). 11．(0,1]解析 依据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x ＋1x>0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 12．①②③解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， ∴CB ⊥AC ，CB ⊥P A ，CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .故③正确．又∵E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影， ∴AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PCB .∴AF ⊥PB .又∵PB ⊥AE ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF ， 故①②正确．∵AF ⊥平面PCB ，∴AE 不行能垂直于平面PBC .故④错误． 13．y ＝±22x解析 由双曲线的性质可推得|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ， cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－9b 22ac ＝－ac ，又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2，即b a ＝22，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .14．20解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.15. 3解析 由二倍角公式可得 sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32， 即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.。

第28练 椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.2．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.3．(2016·课标全国丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点．P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 设M (－c ，m )，则E⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.4．(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①将线段AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 5．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．(1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线P A 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．高考必会题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．变式训练1 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若△AF 1B 的面积为403，求椭圆C 的方程． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形， a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c ，由1AF B S＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝53，所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.方法二 设|AB |＝t ，因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ， 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a ，由1AF B S ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝53， 所以椭圆C 的方程为x 2100＋y 275＝1.题型二 直线与椭圆相交问题例2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)解 由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决．求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式．变式训练2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 的一个动点，直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 交于A，B 两点，求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，∴e ＝c a ＝32，∴2c ＝3a ，即4c 2＝3a 2，又∵过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2，∴c 2a 2＋1b 2＝1，∴34a 2a 2＋1b 2＝1，即b 2＝4，又a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋34a 2，即a 2＝16，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)联立直线l ：y ＝34x ＋32与椭圆C 的方程， 得⎩⎨⎧y ＝34x ＋32，x 216＋y 24＝1消去y ，整理可得7x 2＋12x －52＝0，即(7x ＋26)(x －2)＝0，解得x ＝2或x ＝－267，∴不妨设A (2，3)，B (－267，－337)，则|AB |＝(2＋267)2＋(3＋337)2＝10719，设过P 点且与直线l 平行的直线L 的方程为y ＝34x ＋C ，L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离， 即△P AB 的边AB 上的高，只要L 与椭圆相切， 就有L 与边AB 的最大距离，即得最大面积． 将y ＝34x ＋C 代入x 216＋y 24＝1，消元整理可得：7x 2＋83Cx ＋16C 2－64＝0， 令判别式Δ＝(83C )2－4×7×(16C 2－64) ＝－256C 2＋28×64＝0， 解得C ＝±28×64256＝± 7. ∴L 与AB 的最大距离为|－7－32|(34)2＋1＝219(27＋3)19，∴△P AB 面积的最大值为12×10719×219(27＋3)19＝107(27＋3)． 题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2) 如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解．变式训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上，且离心率为12.(1)求椭圆方程；(2)过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程． 解 (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在直线x －2y －2＝0上， ∴令y ＝0，得焦点(2,0)，∴c ＝2， ∵离心率e ＝c a ＝12，∴2a ＝12，解得a ＝4，∴b 2＝16－4＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵过P (3,1)作直线l 与椭圆交于A ，B 两点， P 为线段AB 的中点，∴由题意，x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，⎩⎨⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y2212＝1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0，∴k l ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－94，∴l 的方程为y －1＝－94(x －3)，即9x ＋4y －31＝0.高考题型精练1．(2016·课标全国乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 B解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ， OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，代入解得a 2＝4c 2，故椭圆离心率e＝c a ＝12， 故选B.2．已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，则|P A |＋|PF 1|的最大值是( ) A ．6 B ．6＋2 2 C ．6－ 2 D ．6＋ 2答案 D解析 |P A |＋|PF 1|＝|P A |＋2a －|PF 2|≤2a ＋|AF 2|＝6＋2， 当P ，A ，F 2共线时取最大值，故选D.3．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，直线AP 的方程为( ) A ．y ＝－33x ＋2 3 B ．y ＝33x ＋2 3 C ．y ＝－3x ＋2 3 D ．y ＝3x ＋2 3答案 D解析 椭圆x 29＋y 25＝1中a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，由题意，设F ′是左焦点，则△APF 周长＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF ′| ＝4＋6＋|P A |－|PF ′|≤10＋|AF ′|(A ，P ，F ′三点共线，且P 在AF ′的延长线上时，取等号)， 直线AP 的方程为x －2＋y23＝1，即y ＝3x ＋23，故选D.4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －14＝0D ．x ＋2y －8＝0 答案 D解析 设这条弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236＋k y 1＋y 29＝0，又弦中点坐标为(4,2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12(x －4)，整理得x ＋2y －8＝0，故选D.5．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______，∠F 1PF 2的大小为________. 答案 22π3解析 根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2c ＝27， 在△F 1PF 2中，根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝2π3.6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，过右焦点F 2的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 是弦AB 的中点，直线OM (O 为原点)的斜率为14，则△ABF 1的周长等于__________，斜率k ＝________. 答案 8 －3解析 依题意得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝8， 即|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝8，△ABF 1的周长为8. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0.又y 1＋y 2x 1＋x 2＝2y 02x 0＝y 0x 0＝14， 因此y 1－y 23＋(x 1－x 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－3，k ＝－3.7．(2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2. 代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是________． 答案 [3,15]解析 圆心C (1,0)为椭圆的右焦点， P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →) ＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1， 显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]， 所以P A →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．9．设椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，上顶点为A (0,2)，离心率为25 5.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设B 1(－2,0)，B 2(2,0)，过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c a ＝255，∴1－b 2a 2＝45， 即b 2a 2＝15，又∵b 2＝4，∴a 2＝20， ∴椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由题意知直线l 的倾斜角不为0， 故可设直线l 的方程为：x ＝my －2. 代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2，∴直线l 的方程为x ＝±2y －2，即x ±2y ＋2＝0.10．(2016·课标全国乙)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过点B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．11．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点， 证明：MN ⊥AB .(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，b 3，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ， 故e ＝c a ＝255.(2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

第7练 抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．体验高考1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 当52－b ≥1，即b ≤32时，5224－＝，b 解得b ＝12. 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.3．(2016·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b24， 当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0.所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，故选A.4．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减， 所以f (x )的最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时的图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.5．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝124＝2， 故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 高考必会题型题型一 函数单调性、奇偶性的应用1．常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减．2．若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断．3．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数．4．奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例1 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得，－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是[32，2)．点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性． 变式训练1 (1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1] 答案(1)B(2)D解析(1)∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.(2)由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数可得a＞0，故0＜a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：(1)若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a对称．(2)若对于任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2 015)＋f(2 016)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x ＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________.答案(1)1(2)336解析(1)由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x＝1对称，知f(x)的周期为4，∴f(2 015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2 016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2 015)＋f(2 016)＝1＋0＝1.(2)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．变式训练2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号是________． 答案 ①②③解析 令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确． 所以正确命题的序号为①②③. 题型三 分段函数例3 (1)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． (2)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(－1，32)B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)C ．(－1，14)∪(14，＋∞)D ．(－1，－34)∪(14，＋∞)答案 (1)－25(2)B解析 (1)由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)＞1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32.f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确．点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )的解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．变式训练3 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)答案 D解析 由x ＜g (x )得x ＜x 2－2， ∴x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x ＜－1或x ＞2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8. ∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时， 函数的值域为(2，＋∞)；当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．高考题型精练1．设函数f (x )为偶函数，对于任意的x ＞0，都有f (2＋x )＝－2f (2－x )，已知f (－1)＝4，那么f (－3)等于( )A ．2B ．－2C ．8D ．－8 答案 D解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝4，f (－3)＝f (3)， 当x ＝1时，f (2＋1)＝－2·f (2－1)， ∴f (3)＝－2×4＝－8，∴f (－3)＝－8.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2) D ．f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53＜f (2)，即f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)． 4．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 答案 A解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x－1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，112211(log )(log )44＝，c f 则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B 解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，121log 24＝， 从而0.21210ln 22log 4，<<< 所以b >a >c .7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ， 需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.故选C. 8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．答案 f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)解析 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4.所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴， 所以f (2 016)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z .当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图．直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案①②④解析1＋2x＋1－2x2＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于－x＋x＋22＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.12．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，即x ＋a x－2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a ＞3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立．令h (x )＝3x －x 2，3 22＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a＞2.而h(x)＝3x－x2＝－⎝⎛⎭⎫x－。

第23练 空间几何体的三视图及外表积与体积[题型分析· (高|考 )展望] 三视图是 (高|考 )的热点和重点．其考查形式多种多样 ,选择题、填空题和综合解答题都有出现 ,而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识 ,涉及到三视图、空间几何体的外表积和体积以及综合解答和证明．体验 (高|考 )1．(2021·陕西)一个几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的外表积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱 ,底面半径为1 ,高为2 ,那么外表积为 S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.2．(2021·课标全国乙)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．假设该几何体的体积是28π3,那么它的外表积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π答案 A解析 由题意知 ,该几何体的直观图如下列图 ,它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体 ,其外表积是球面面积的78和三个14圆面积之和 ,由几何体的体积易得球的半径为2 ,那么得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π ,应选A. 3．(2021·北京)某三棱锥的三视图如下列图 ,那么该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12 D ．1答案 A解析 由三视图知 ,三棱锥如下列图．由侧(左)视图得高h ＝1 ,又底面积S ＝12×1×1＝12 ,所以体积V ＝13Sh ＝16.4．(2021·浙江)某几何体的三视图如下列图(单位：cm) ,那么该几何体的外表积是______cm 2 ,体积是________cm 3.答案 72 32解析 由三视图可知 ,该几何体为两个相同长方体的组合 ,长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ,其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3) ,由于两个长方体重叠局部为一个边长为2的正方形 ,所以外表积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)．5．(2021·浙江)某几何体的三视图如下列图(单位：cm) ,那么该几何体的外表积是________cm 2 ,体积是________cm 3.答案 80 40解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成 ,上面正方体的边长为2 cm ,下面长方体的底面边长为4 cm ,高为2 cm ,其直观图如图：其外表积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．(高|考)必会题型题型一三视图识图例1(1)在如下列图的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) ,(2,2,0) ,(1,2,1) ,(2,2,2) ,给出编号为①、②、③、④的四个图,那么该四面体的正(主)视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下列图,那么该几何体的侧(左)视图为()答案(1)D(2)B解析(1)由三视图可知,该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2) ,(0,2,0) ,(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线) ,故正(主)视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0) ,(2,2,0) ,(1,2,0) ,故俯视图是②.(2)由中几何体的直观图,我们可得侧(左)视图首||先应该是一个正方形,故D不正确；中间的棱在侧(左)视图中表现为一条对角线,故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下,故A 不正确．点评画法规那么：(1)由几何体的轮廓线定形状,看到的画成实线,看不到的画成虚线．(2)正(主)俯一样长,俯侧(左)一样宽,正(主)侧(左)一样高．变式训练1一几何体的直观图如图,以下给出的四个俯视图中正确的选项是()答案 B解析该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最||上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.题型二空间几何体的外表积和体积例2(1)(2021·安徽)一个四面体的三视图如下列图,那么该四面体的外表积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．2 2(2)(2021·天津)一个几何体的三视图如下列图(单位：m) ,那么该几何体的体积为________m3.答案 (1)B (2)83π解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图 ,如图 ,∴该四面体的外表积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3 ,应选B.(2)由三视图可知 ,该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成 ,底面半径为1 m ,圆锥的高为1 m ,圆柱的高为2 m ,所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3)．点评 利用三视图求几何体的外表积、体积 ,需先由三视图复原几何体 ,三个图形结合得出几何体的大致形状 ,由实、虚线得出局部位置的形状 , 再由几何体的面积体积公式求解． 变式训练2 (1)(2021·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 ,那么该几何体的外表积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π(2)某几何体的三视图如下列图(单位：cm) ,那么该几何体的体积为________cm 3 ,外表积为________cm 2.答案 (1)C (2)π2 11π4解析 (1)由三视图可知 ,组合体的底面圆的面积和周长均为4π ,圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4 ,所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π ,圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π ,所以组合体的外表积S ＝8π＋16π＋4π＝28π ,应选C.(2)由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．∴该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2(cm 3) ,外表积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4(cm 2)． (高|考 )题型精练1．如下列图的几何体是棱柱的有( )A ．②③⑤B ．③④⑤C ．③⑤D ．①③答案 C解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱 ,应选C. 2．如图是某简单组合体的三视图 ,那么该组合体的体积为( )A ．363(π＋2)B ．363(π＋2)C ．1083πD ．108(3π＋2)答案 B解析 由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两局部构成 ,结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的 ,并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合 ,两个锥体的高相等．由三视图中的数据 ,可得该圆锥的底面半径r ＝6 ,三棱锥的底面是一个底边长为12 ,高为6的等腰三角形 ,两个锥体的高h ＝122－62＝6 3 ,故半圆锥的体积V 1＝12×13π×62×63＝363π.三棱锥的底面积S ＝12×12×6＝36 ,三棱锥的体积V 2＝13Sh ＝13×36×63＝72 3.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝363π＋72 3 ＝363(π＋2)．应选B.3．(2021·课标全国丙)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线画出的是某多面体的三视图 ,那么该多面体的外表积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81答案 B解析 由题意知 ,该几何体为底面为正方形的斜平行六面体 ,边长分别为3,3 ,45 ,几何体的外表积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.4．某几何体的三视图如下列图 ,那么这个几何体的外接球的外表积等于( )A.73π B ．16π C ．8π D.283π 答案 D解析 由三视图知 ,几何体是一个正三棱柱 ,外接球的球心就是两底面三角形中|心连线的中点 ,外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离 ,可求得其半径为 12＋(233)2＝213 ,那么外接球的外表积为4π×(213)2＝283π ,应选D.5．某几何体的三视图如下列图 ,其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形 ,俯视图是腰长为1的等腰直角三角形 ,那么该几何体的体积是( )A ．2B ．1 C.12 D.13答案 C解析 根据几何体的三视图 ,得该几何体是如下列图的直三棱柱 ,且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形 ,高为1 ,所以该三棱柱的体积为V ＝Sh ＝12×1×1×1＝12 , 应选C.6.(2021·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体 ,其三视图如下列图 ,那么该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知 ,半球的半径R ＝22 ,四棱锥为底面边长为1 ,高为1的正四棱锥 ,∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π ,应选C.7．某几何体的三视图如下列图 ,那么该几何体的外表积是________ ,体积是________．答案 12＋22＋26 4 解析 根据三视图可知几何体是一个四棱锥 ,如图：且PD ⊥平面ABCD ,PD ＝2 ,底面是一个直角梯形 ,AD ⊥CD 、AD ∥BC ,BC ＝CD ＝2 ,AD ＝4 ,取AD 的中点E ,连接BE ,那么BE ∥CD ,AE ＝BE ＝2 ,∴由勾股定理得 ,AB ＝PC ＝BD ＝2 2 ,PB ＝2 3 ,P A ＝2 5 ,∵PB 2＝BC 2＋PC 2 ,P A 2＝AB 2＋PB 2 ,∴AB ⊥PB ,PC ⊥BC ,∴几何体的外表积：S ＝12×(2＋4)×2＋12×2×2＋12×2×4＋12×2×22＋12×22×23＝12＋22＋2 6 , 几何体的体积V ＝13×12×(2＋4)×2×2＝4. 8．某三棱锥的三视图如下列图 ,那么该三棱锥的体积是________ ,四个面的面积中最||大的是________．答案 1 352解析 根据三视图画出三棱锥P －ABC 的直观图如下列图：过A 作AD ⊥BC ,垂足为D ,连接PD ,由三视图可知 ,P A ⊥平面ABC ,且BD ＝AD ＝1 ,CD ＝P A ＝2 ,①该三棱锥体积V ＝13S △ABC ·P A ＝13×12×3×1×2＝1； ②BC ＝3 ,PD ＝P A 2＋AD 2＝ 5 ,同理可求AC ＝ 5 ,AB ＝ 2 ,PB ＝ 6 ,PC ＝3 ,∴△PBC 是该三棱锥的四个面的面积中最||大的 ,∴△PBC 的面积S ＝12·BC ·PD ＝12×3×5＝352. 9．(2021·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5 ,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．假设将它们重新制作成总体积与高均保持不变 ,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个 ,那么新的底面半径为________．答案 7解析 设新的底面半径为r ,由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8 ,解得r ＝7. 10．一个几何体的侧(左)视图和俯视图如下列图 ,那么其正(主)视图的面积为________．答案 4解析 由题意知其正(主)视图如下列图 ,那么其面积为12×(1＋3)×2＝4.11．一个四棱锥的底面是平行四边形 ,该四棱锥的三视图如下列图(单位：m) ,那么该四棱锥的体积为______m 3.答案 2解析 由三视图知 ,四棱锥的高为3 ,底面平行四边形的一边长为2 ,对应高为1 ,所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2. 12．一个圆锥过轴的截面为等边三角形 ,它的顶点和底面圆周在球O 的球面上 ,那么该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．答案 932解析 设等边三角形的边长为2a ,球O 的半径为R ,那么V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3. 又R 2＝a 2＋(3a －R )2 ,所以R ＝233a , 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3 ,那么其体积比值为932. 13．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中 ,∠BAC ＝90° ,其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正方形 ,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ,N ,P 分别是棱AB ,BC ,B 1C 1的中点 ,那么三棱锥P －A 1MN 的体积是________．答案 124解析 由三视图易知几何体ABC －A 1B 1C 1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱 ,那么11.－－－＝＝P A MN A PMN A PMN V V V又S △PMN ＝12MN ·NP ＝12×12×1＝14, A 到平面PMN 的距离h ＝12, ∴V A －PMN ＝13S △PMN ·h ＝13×14×12＝124.。