求参数取值范围一般方法

函数中求解参数范围的几种常见策略含参函数问题是训练和检查学生逻辑理解能力和分析能力的一种综合题型，是近年来全国各省份高考题比较稳定的一道压轴题，难度不小，区分度较高，但我们也必须学会一些常见的操作方法争取抢分.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.参数分离、充分必要法、讨论最值（直接法）、数形结合等等都是常用的方法，但各有侧重，下面通过几道高考题体会下常见方法的操作流程. 1 分离参数法（首选）关于不等式(,)0,f x a x D ≥∀∈恒成立问题，将含有参数a 的代数式分离出来，即转化为()(),g a h x x D ≥∀∈恒成立，然后求解函数()h x 在区间D 上的最值即可。

但特别注意参数a 的系数恒为正或者恒为负，此类问题采取分离参数法会比较有效。

例题1 （2013年全国大纲卷文科第21题）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I）当a =()f x 的单调性；（II ）当[)()2,0,x f x ∈+∞≥时，求a 的取值范围.例题2 已知函数2()4f x x ax =-+在区间[2,4]上有零点，求实数a 的取值范围.例题3 （广州市2015届高三二模节选1）已知函数，（其中为自然对数的底数），函数在区间内是增函数，求实数a 的取值范围..分离参数发是解决参数取值范围的首选方法，通过分离参数，运用函数的观点分析讨论最值，由此确定恒成立参数范围.此方法可以避免分类讨论的繁杂，常常在不等式恒成立问题，函数零点，已知函数单调性求参数范围等等问题中经常用到.函数中求参数的问题，常常采用分离参数法，但有时候分离参数法时会出现用高中知识()ln f x a x =-11x x -+()e x g x =e ()f x ()0,1不能得出答案（需要高数求极限的知识)，因此，充要必要法是高中数学最基本最有效的方法，下面介绍恒成立中求参数取值范围的一个通法.2 充分必要法2.1 引理（简化版洛必达法则）：若函数(),()f x g x 在定义域D 内可导，a D ∈满足()()0,f a g a ==''(),()f a g a 存在，且'()0g a ≠，则''()()lim ()()x a f x f a g x g a →=. 2.2 使用条件和方法：含参函数()f x 在某个范围D （不妨设区间端点0x ）为内有()0f x ≥（或()0f x ≤）恒成立，且满足0()0f x =，那么考虑用'0()0f x ≥解得参数范围，若'0()f x 恒为零，则考虑''0()0f x ≥解出参数范围，若''0()f x 恒为零，则继续重复上述过程，直到高阶导数在0x x =处不恒为零，然后根据题目不等式方向，令此时的导数'0()0f x ≥（或'0()0f x ≤）解得参数范围.2.3 例题赏析例题4（2010全国2理第22题）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时()1x f x ax ≥+，求a 的取值范围．例题5（2015福建文第22题）已知函数． (Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．该类问题命题的背景：就是在区间的端点处不等式左右两边恰好相等.因此这里就有一2(1)()ln 2x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x >-个想法，如果函数在该区间内单调递增则肯定满足条件，所以就得到充分条件即参数的取值范围，但这只是充分条件，很多人在解这类题时只管得参数的范围，而没有注意还需要说明其必要性.也就是说是不是只有求出的参数范围才满足题目条件？所以就必须加入必要性的说明（主要导出矛盾，说明所求范围恰到好处，不多也不少）.对于一些较难的题目，比如压轴题，分离参数后的函数可能很复杂，不容易求最值，而且所给的区间又不满足方法2中的区间端点函数值为零，此时，我们别无他法，只能老老实实地回归到分类讨论的方向上来.3 直接法(分类讨论)采取分类讨论解决含参函数的单调性、极值和最值问题，最关键的是明晰分类讨论的标准，导函数是否有零点，零点是否在所求解的区间内，零点的大小关系，端点值的大小比较等等这些都是常见的分类标准，在解决具体问题时候请遵循解题的相关原则（最高次系数优先考虑，系数无参数时因式分解，不能因式分解时在考虑判别式）.例题6（10年全国新课标1文第21题）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.例题7（华南师大附中2015届高三三模节选）已知函数和．（Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.含参数的函数问题作为高考题中的压轴角色，在采取相应的破解策略之前首先要克服的是自己的畏难恐惧心理，保持冷静的心态，充满信心，用坚强的意志力逐步攻克，采取步步为营的姿态，能抢一分式一分.无论解答的策略有多少，大胆的尝试才是解题的硬道理. 4相关的高考真题及模拟试题练习ln ()1x x f x x =+()(1)()g x m x m R =-∈[1,),()()x f x g x ∈+∞≤m（2007年广东文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．（答案：1a ≥或a ≤）（15年北京理）已知函数()1ln1x f x x +=-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 得最大值.（答案：2）（13年辽宁文科21）（1）证明：当[0,1]x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （2）若不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（答案：(,2]-∞-）（15年广州一模节选）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥，若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围. （答案：[)1,+∞）。

不等式中参数范围的求法不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或几何图形大小关系。

参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取值范围的确定。

一、一元一次不等式的参数范围求法对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体实数。

二、一元二次不等式的参数范围求法对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。

三、多元一次不等式的参数范围求法对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。

以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制；2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制。

已知极限值求参数的方法在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。

在求解问题时，有时我们需要根据已知的极限值来确定参数的取值范围或具体数值。

本文将介绍一些常见的方法和技巧，帮助读者理解和应用这一求解方法。

一、夹逼定理夹逼定理是一种常用的求解极限的方法，它的基本思想是通过夹逼函数来确定极限的值。

具体而言，假设我们已知函数f(x)和g(x)在某一点a的左侧和右侧的极限值分别为L和M，且存在另一个函数h(x)，使得f(x)≤h(x)≤g(x)对于所有的x都成立。

则当x趋近于a 时，h(x)的极限值也为L。

利用夹逼定理，我们可以通过已知的极限值来求解参数的取值范围。

例如，考虑函数f(x) = (x-a)/(x-2)。

当x趋近于2时，我们可以通过夹逼定理求解参数a的取值范围。

首先，我们观察到当x<2时，f(x)的取值范围为负无穷到正无穷；当x>2时，f(x)的取值范围为正无穷到负无穷。

因此，我们可以得到不等式组a-2≤f(x)≤a+2。

根据夹逼定理，当x趋近于2时，f(x)的极限值为a。

因此，a的取值范围为[-2, 2]。

二、洛必达法则洛必达法则是另一种常用的求解极限的方法，它通过对函数的导数进行分析来确定极限的值。

具体而言，假设我们已知函数f(x)和g(x)在某一点a的导数分别为f'(x)和g'(x)，且g'(x)≠0。

如果f'(x)/g'(x)的极限值存在或为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限值也存在且等于f'(x)/g'(x)的极限值。

例如，考虑函数f(x) = (x-a)/(x-2)。

当x趋近于2时，我们可以通过洛必达法则求解参数a的取值范围。

首先，计算f'(x)和g'(x)的值，得到f'(x) = 1/(x-2)和g'(x) = 1。

当x趋近于2时，f'(x)/g'(x)的极限值为1。

技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要：利用导数根据函数单调性（区间）求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考点，下面将这类问题举例分析。

关键词：导数；单调性；参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增，则f′(x )≥0；若函数f (x )在(a ,b )上单调递减，则f′(x )≤0，将问题转化为函数最值问题求解。

一般地，分离变量后，若得到a ≥h (x )，则只需a ≥h (x )max ；若得到a ≤h (x )，则只需a ≤h (x )min 。

注意：f (x )在(a ,b )上为增函数（减函数）的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。

例1，已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减，求a 的取值范围。

解：因为f (x )在[1,]4上单调递减，所以当x ∈[1,]4时，f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立，即a ≥1x 2-2x 恒成立。

设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。

而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。

当x ∈[1,]4，h′(x )>0，所以h (x )在[1,]4上单调递增。

所以当h (x )max =h (4)=-716，所以a ≥-716，即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。

评析：由f (x )在[1,]4上单调递增，得到f′(x )≤0，进而分离参数a ，构造新的函数h (x )，本题转化为求h (x )max 。

例2，已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减，求实数a 的取值范围。

参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。

设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。

∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。

初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。

当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

对称轴：由 $b$ 决定。

对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。

顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。

与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。

3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。

求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。

求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。

4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。

下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。

解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。

2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。

因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。

3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。

求取值范围的方法
确定值的范围可能涉及到不同类型的问题，以下是几个常用的解决方法：
1. 查找文献：在一些科学研究或学术论文中，可能会给出某个变量或参数的值范围。

通过查阅相关文献，可以获取该值的参考范围。

2. 实验测试：对于一些需要具体实验的变量或参数，可以进行实验测试。

通过测试可以得到实际的值范围。

3. 推理判断：有些问题可能无法通过实验获取具体数据，但是可以通过推理判断来确定值范围。

例如，通过已知条件推断出目标变量的可能范围。

4. 统计分析：对于一些大数据集合，可以通过统计分析的方法来获取变量或参数的值范围。

例如，计算均值、方差、标准差等统计量，以及绘制分布直方图等方法。

点评 ：在 求参数 的取值 范 围时 ，先 求 出原命题 的否命题 中参数 的取 值 范围 。再 求原命题 中参 数 的
取值 范 围． 当命题 出现 “ 多” “ 至 至少”或 直接 从正 面人 手难 以寻觅解题 的 突破 口时 ．宜考虑 利 用反 面
求解法．
六 、利 用数形 结合 法 求参数 取值范 围
间 Ｄ上是 下降的甘在 区间 Ｄ上 自变量增大 函数值减
（ ） ｇ 甘 函数 ， 图像与 函数 ｇｘ 图像有 １ ＿ （） （） （）
交点：
小． 类似地 ， 函数， 在 区间 Ｄ上是增 函数乍 ） 图 （） 的
像在 区间 Ｄ上是上升 的甘 在区间 Ｄ上 自变量增 大 函
（ ）（） ｇ § 函数， 图像恒在函数 ｇｘ 图像 ２， ＞ ） （） （）
习 中善 于归纳 、总结 ，就会 发现有 关求参 数取值 范 解析 ： 函数， ） 一 叶 １ｘ ｌ Ｏ１ 上单调 递 （ ＝ （ ）＋ ｌ 在【，】 ｅ 减 （ ） ０ ［ １上恒成立 － 在 ０］ ＜ ， 在 【， 上 恒成立 ．０ Ｏｌ 】 ． ’
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２（－ ）一 Ｏ在 ＋ Ｉ￣Ｘ 司
到等．
破 ；适 当改 变参数 的取值范 围来 区分文 科与 理科 难
度 ，培养推理论证能力 ，综合提高数学思维能力 ，为 解好高考压轴题做准备．
今年 高考数 学对不 等式 的考查 ．在 基础 上做 文 章 ，回归课本 ，于平淡处 出神奇 ， “ 摘叶飞花 ”． 符 合 时代要求 ，为师生所喜爱 ． 也许 ，这正是解 决 当今
再
暌 得 ： 孚 ＜ 解 ．
围（ 是掣 ， ） ．
的值 取范
（２ ｘ－

即3x2 a 3 0, 恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习2： 若函数f ( x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f '( x) 3x2 2ax, x (0,2)
2
(3)当0 a 1 时，f (x)在（0，2）和（1 ,)上为增函数;
2
a
f (x)在（2，1 ）上为减函数。 a
(4)当a 1 时，f (x)在（0，1 ）和（2,)上为增函数;
2
a
f (x)在（1 ，2）上为减函数。 a
练习1：
(2011辽宁理）已知函数f(x)= ln x ax2 （2 a）x,讨论函数f(x)的单调性
例3：设函数f (x) 1 ax2 (2a 1)x 2 ln x.试讨论f (x)的单调区间 2
解：函数的定义域(0,)
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
∵f(x)＝1－ axx＋ln x，∴f′(x)＝axa－x2 1 (a>0)，
∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≥1x对 x∈[1，＋∞) 恒成立，∴a≥1.
[1，＋∞)
5．已知函数 f(x)＝x2(x－a)．
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]

思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。

构造二次函数求参数取值范围要构造一个二次函数，并求出参数的取值范围，我们需要考虑以下几点：1. 二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c是实数且a不等于0。

2.二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。

3.二次函数的图像和参数a的正负有关系：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

我们以数学分析为例来说明二次函数的参数取值范围。

一、二次函数的参数a的取值范围：我们知道，二次函数的图像是一个抛物线，开口向上或向下取决于参数a的正负。

因此，为了确定参数a的取值范围，我们需要考虑以下几种情况：1.当抛物线开口向上时，即a>0的情况下，我们可以得到以下结论：-当a>0，抛物线开口向上，抛物线的最低点（顶点）在x轴上方。

此时，取x为实数，y的取值范围为(-∞，正无穷)。

-直线y=x的图像与抛物线的交点的y值，即为参数a的取值范围的下限。

2.当抛物线开口向下时，即a<0的情况下，我们可以得到以下结论：-当a<0，抛物线开口向下，抛物线的最高点（顶点）在x轴下方。

此时，取x为实数，y的取值范围为(负无穷，+∞)。

-直线y=x的图像与抛物线的交点的y值，即为参数a的取值范围的上限。

二、二次函数的参数b的取值范围：参数b是二次函数中一次项的系数。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，参数b的取值范围是整个实数范围，即(-∞，+∞)。

三、二次函数的参数c的取值范围：参数c是二次函数中常数项的系数。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，参数c的取值范围是整个实数范围，即(-∞，+∞)。

综上所述，二次函数的参数取值范围为：-参数a的取值范围是(-∞，直线y=x的与抛物线的交点的y值]（抛物线开口向上）或[直线y=x的与抛物线的交点的y值，+∞)（抛物线开口向下）。

-参数b的取值范围是(-∞，+∞)。

已知函数的值域求参数的取值范围要求函数的值域或最值，需要先了解函数的定义域和性质。

然后通过分析函数的性质，可以求得参数的取值范围。

以下是一个比较常见的例子，来说明如何求参数的取值范围。

例子：已知函数$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$，求参数$a,b,c,d$的取值范围使得函数的值域为实数集。

首先，由于分母不能为零，所以要求$d\neq0$。

然后，我们来分析函数的性质。

对于实数$x$，函数$f(x)$的值域为实数集，意味着对于任意的实数$y$，存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。

假设我们有一个实数$y$，我们来看是否存在一个实数$x$使得$f(x)=y$。

根据函数的定义，$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$。

令$f(x)=y$，我们得到$\frac{ax^2+bx+c}{x+d}=y$。

将分式的分子移到等式的另一侧，我们得到$ax^2+bx+c=y(x+d)$。

这是一个二次方程，我们将它转化为标准形式。

即$ax^2+bx+c-y(x+d)=0$。

对于这个二次方程，我们考虑它的判别式$\Delta=b^2-4ac+4yad+4yd^2$。

要使得这个二次方程有实数解，判别式需要满足$\Delta\geq 0$。

将判别式代入，我们得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。

现在，我们来考虑几种情况：当$a>0$时，二次方程的开口向上。

根据$\Delta\geq 0$，我们可以得到$b^2-4ac+4yad+4yd^2\geq0$。

当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时，二次方程有一个实数解，即方程的判别式为零时。

当$b^2-4ac+4yad+4yd^2>0$时，二次方程有两个实数解，即方程的判别式大于零时。

现在我们考虑一些特殊情况：当$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$时根据$b^2-4ac+4yad+4yd^2=0$，我们可以得到$b^2-4ac=y(-4ad-4d^2)$。

【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。

本文总结出六种求解这类问题的思考途径与策略。

一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。

例1.双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。

解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（－1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是[，]。

二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。

例2.设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。

当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。

解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得①即是方程①的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。

由，于是。

即得直线l 在y 轴上截距的取值范围为。

点评：该题含有两个参数b ，m ，先由直线AB 与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m 的范围，再由题意找出两个参数b ，m 之间的关系式，最后求出参数b 的取值范围。

例3已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得22952a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-．从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠． 解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)44(∞-+--∞U U U ． 三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。

(22,1,(0,22)2⎫-∞-⎪(0,22) (22,)+∞天津和平高三三模）a ，()2g x x =有两个不同的实数根，则实数13,8⎛ ⎝513⎛+⎫⎝133,228⎫⎡⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎭133,228⎤⎡⎥⎢⎥⎣⎦⎦重庆九龙坡高三三模）已知函数0)0)，若方程的取值范围是（(22,1,(0,22)2⎫-∞-⎪(0,22) (22,)+∞【思路导引】由(0)g =2|kx -与h因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >． 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞，故选D ．2．（2020·天津和平高三三模）已知函数()f x x a a =--+，()243g x x x =-+，若方程()()f xg x =有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1313,,228⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．113513,,282⎛⎫+⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．1513313,,2228⎛⎫-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭D ．1513313,,2228⎛⎤-⎡⎤⎥⎢⎥ ⎣⎦⎝⎦【答案】A【解析】依题意画出()g x 的图象如图所示：：函数()f x x a a =--+：：(),2,x x af x x a x a <⎧=⎨-+≥⎩：当直线2y x a =-+与[]()2431,3y x x x =-+-∈相切时，即联立2243y x a y x x =-+⎧⎨=-+-⎩，得138a =： ：当12a <时，函数()f x 的图象与()g x 的图象无交点：不满足题意： ：当12a =时，函数()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,0点，不满足题意；：当11328a <<时，当()2f x x a =-+经过函数()g x 图象上的点()2,1时，恰好经过点函数()g x 图象上的点()3,0，则要使方程()()f x g x =恰有2个不同的实数根，只需23a <，即32a <，故1322a <<： ：当138a =时，函数()f x 的图象与()g x 的图象有3个交点，不满足题意；：当138a >时，函数()f x 的图象与()g x 的图象有2个交点，满足题意：综上：1322a <<或138a >：故选A ． 3．（2020·重庆九龙坡高三三模）已知函数()31(0)log (0)x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．()1，-+∞ B ．71,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．73⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．71,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】做出函数()31(0)log (0)x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，因为方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<故根据图象得：由0x ≤时，()1f x x =+，则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-即：122x x +=-；当0x >时，由于3log y x =在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，又因为34x x <，3343log log x x =，则34113x x ≤<<，有333434log log 1x x x x -=⇒=，所以()31232343112x x x x x x x ++=-+，3113x ≤<. 所以令函数()12h t t t=-+，由反比例函数和一次函数的性质得函数()h t 在()0,1单调递减函数，故()()1211h t h >=-+=-，()1273333h t h ⎛⎫≤=-+= ⎪⎝⎭所以331721,3x x ⎛⎤-+∈- ⎥⎝⎦.故选：D.4．（2020·湖南长郡中学高三三模）已知函数()2ln ,0,0x x f x x ax x >⎧=⎨--≤⎩，若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）0是(y f =的一个零点；令()()11xh x x e =-，1x <，则()1x h x xe '=-， 所以当0x <时，()10h x '>，()1h x 单调递增；当01x <<时，()10h x '<，()1h x 单调递减，令()2910h x x x =--+，1≥x ，则()2229x h x x-'=， 所以()1,3x ∈时，()20h x '>，()2h x 单调递增；当()3,x ∈+∞时，()20h x '<，()2h x 单调递减，所以()h x 的大致图象是：数形结合，知当0a =或[)1,4a ∈时，()f x ax =有两个不为零的不同实根， 故函数()y f x ax =-有三个零点.故选：D.。

椭圆方程中参数取值范围的求法
椭圆法是非线性函数，它具有广泛的应用，在广义线形系统的分析中，椭圆法
是解决复杂问题的核心方法。

椭圆方程的参数取值范围是一个错综复杂的法律现象，它需要我们结合椭圆方程的特性、椭圆法的性质以及相关数学理论，来进行一系列完善有效的研究。

首先，我们先来说明椭圆方程的参数取值范围。

根据椭圆公式：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 中，参数$a$、$b$都可以取任意值，但是其实，最终确定椭圆方程参数取值范围的根本原因乃至于椭圆方程是一种非线性函数。

例如，$a$必须大于$0$，否则椭圆方程就变成另一个形式。

此外，$b$的取
值也必须遵循一定的规则，它必须大于$0$，且必须小于$a$，否则就会导致方程没有实际的意义。

综上所述，可以得出椭圆方程的参数取值范围为：$a > 0$且$0 < b < a$，相
应的，椭圆方程也会发生改变。

有了这个基本的取值范围，就可以让我们更好地研究和利用椭圆方程来计算复杂的实际问题。

当椭圆方程参数取值范围被确定后，该怎样恰当地使用椭圆方程呢？根据椭圆
方程特性，它可以用来描述抛物线等各种不同类型的函数，而且由于椭圆方程参数的取值范围有一定的限制，因此我们可以根据不同的计算要求，综合考虑参数的取值范围，做出最优的决策，以减少计算过程中出现的偏差。

总之，椭圆方程是一种非常有用和实用的函数，其参数取值范围也相应受到了
约束，我们在使用时就需要根据椭圆方程参数范围的法律原则，来正确客观地判断，以减少计算的误差，实现最优的解决方法。

集合求参数的取值范围技巧以集合求参数的取值范围技巧为题，我们将探讨在数学问题中如何利用集合的概念来确定参数的取值范围的技巧。

在数学问题中，我们经常会遇到需要确定参数的取值范围的情况。

这些参数可以是实数、整数、自然数等。

利用集合的概念可以帮助我们更清晰地描述参数的取值范围，并且可以通过对集合的运算来得到最终的结果。

我们需要明确问题中所涉及的参数以及它们的取值范围。

如果参数是实数，我们可以用集合来表示其取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为实数x，我们可以用集合{x | x > 0}来表示x的取值范围，表示x大于0。

在确定参数的取值范围时，我们需要考虑到问题的各种限制条件。

这些限制条件可以通过集合的交、并、差等运算来表示。

例如，假设我们要求解一个不等式的解集，其中的参数为实数x，且要求x 满足两个不等式条件：x > 0和x < 1。

我们可以通过对这两个不等式条件的解集取交集得到最终的结果，即{x | 0 < x < 1}。

在一些复杂的问题中，我们可能需要利用集合的运算来表示多个参数的取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程组的解集，其中的参数为实数x和y，且要求x和y满足一些不等式条件。

我们可以分别通过集合来表示x和y的取值范围，然后通过对这两个集合的运算来得到最终的结果。

除了利用集合的运算来确定参数的取值范围外，我们还可以利用集合的性质来简化问题的求解过程。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为整数x，且要求x是一个偶数。

我们可以利用集合的性质来确定x的取值范围，即{x | x是偶数}。

这样，我们就可以将问题简化为求解偶数的集合。

在解决实际问题时，我们还可以利用集合的概念来表示一些特殊的取值范围。

例如，假设我们要求解一个方程的解集，其中的参数为自然数x，且要求x是一个素数。

我们可以利用集合来表示素数的集合，即{x | x是素数}。

这样，我们就可以通过对素数集合的运算来得到最终的结果。