变质量动力学方程

变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。

然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。

本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。

一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。

2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。

根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。

二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。

此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。

2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。

假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。

在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。

3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。

通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。

变质量问题公式一、火箭发射类问题。

题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。

在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。

解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。

当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。

若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。

题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。

设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。

求雨滴的速度随时间的变化关系。

解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。

变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。

当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。

1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。

ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。

大学物理总结第1章质点运动学1.质点确定位置的方法有坐标法、位矢法、自然法。

2.运动学方程：x,y,z=f1t,f2t,f3t,r=r t,s=f t.3.某段时间Δt内矢量增量的大小|ΔA|与同一时间内该矢量的大小的增量ΔA，一般来说不．相等．．。

4.速度（加速度）沿直角坐标系中某一坐标轴的投影，等于质点对应该轴的坐标对时间的一阶（二阶）导数。

（1.16a, 1.19a）5.在圆周运动中，当v与aτ同（反）向时，质点的运动是加（减）速的，这时v与a的夹角θ为锐（钝）角。

加速度的方向可由tan θ=a na τ确定。

6. 质点相对定坐标系Oxy 的速度v a （绝对速度）等于质点相对于动坐标系O'x'y'的速度v r（相对速度）与动坐标系O'x'y'相对于定坐标系Oxy 的平动速度u （牵连速度）的矢量和。

这一关系称为速度变换定理。

（1.50） 7. 同上，“绝对”加速度a a 等于“相对”加速度a r 与牵连加速度a e 的矢量和（加速度变换定理，1.52）。

第2章 牛顿运动定律1. 牛顿第一定律：任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。

2. 牛顿第二定律：某时刻质点动量对时间的变化率等于该时刻作用在质点上所有力的合力R 。

（2.3, 2.4）3. 牛顿第三定律：物体之间的作用总是相互的（2.8）。

作用力与反作用力总是同时出现，同时消失，分别作用在相互作用着的两个物体上，而且属于同种类型。

4. 牛顿定律适用的参考系称为惯性系；否则为非惯性系。

凡是相对惯性系作匀速直线运动的参考系也都是惯性系。

5. 牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题。

第3章 功和能1.质点系动能定理：质点系从一个状态运动到另一个状态时，质点系动能的增量，等于作用于质点系内各质点上所有力在这一过程中做功的总和。

2.质点系机械能守恒定律：如果作用于质点系的所有非保守力都做功，或元功之和恒为零，则运动过程中质点系内个质点间动能和势能可以相互转换，但它们的总和（总机械能）保持不变。

动力学问题的解法动力学是物理学中研究物体运动的学科，解决动力学问题是物理学研究中的重要部分。

本文将介绍几种常见的动力学问题的解法，并探讨它们的应用。

一、牛顿定律解法牛顿第二定律是动力学中最基本的定律，它描述了物体的加速度与作用力之间的关系：F = ma，其中F为作用力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

根据这一定律，我们可以解决很多力学问题。

以一个简单的示例来说明牛顿定律的应用：假设有一个质量为2kg 的物体，受到一个恒定的作用力10N，我们需要求解物体的加速度。

根据牛顿定律，我们可以得到 a = F/m = 10N/2kg = 5m/s^2。

因此，物体的加速度为5m/s^2。

二、动力学方程解法动力学方程是描述物体运动的微分方程，通过求解动力学方程，我们可以得到物体的运动规律。

以简谐振动问题为例，我们可以利用动力学方程解析该问题。

简谐振动的动力学方程是：m*d^2x/dt^2 + kx = 0，其中m为质量，x为位移，t为时间，k为弹性系数。

为了解决该方程，我们假设解为x = A*sin(ωt + φ)，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。

将该解代入动力学方程，可以得到：m*(-ω^2)*A*sin(ωt + φ) + k*A*sin(ωt + φ) = 0。

化简得到：-m*ω^2 + k = 0。

解得：ω = √(k/m)。

因此，物体的角频率只与质量和弹性系数有关。

三、能量方法解法能量方法是解决动力学问题的另一种有效方法。

它基于能量守恒定律，通过分析物体的势能和动能的变化来解决问题。

考虑一个自由下落的物体，我们可以分析物体在不同高度的势能和动能变化，从而得到具体的运动特性。

假设物体在高度h处的势能为mgh，动能为0。

在高度为0的位置，势能为0，动能为mv^2/2，其中v为物体的速度。

由能量守恒定律，物体的总机械能（势能+动能）保持不变。

因此，在自由下落过程中，物体的速度会不断增加，而势能会不断减小。

一般变质量问题的动力学方程与解题方法摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。

关键词：变质量，动力学方程， 合外力在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

1.变质量物体的动力学方程在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。

设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v →（v <<c ），同时有一微小质量△m 以速度u →运动，并在t +△t 时间间隔内与m 相合并，合并以后的共同速度是v →+△v →。

如果作用在主体m 及微小质量△m 上的合外力为F →，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得（m +△m ）（v →+△v →）-（m v →+△m u →）=F →△t （1） m v →+△m v →+m △v →+△m △v →-m v →-△m u →=F →△t （2） △m （v →-u →）+m △v →+△m △v →=F →△t （3） 由于△m 是一微小质量，△v →是一微小速度，则△m △v →是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成△m （v →-u →）+m △v →=F →△t （4）对（4）式两边同时除以△t ，可得t△△m（v →-u →）+m △t △v →=F → （5）在（5）式中，使△t →0，对其求极限可得△t△mlim△t →（v →-u →）+ △t△lim△t v →→m=F →（6）dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F → （7）由于dt)d(m v →=mdtd v →+v→dtdm（8） 则m dtd v →=dt)d(m v →-v→dtdm（9） 即（7）式可以写成v→dtdm- u→dtdm + dt )d(m v →-v→dtdm =F →（10） 化简整理（10）式可得dt)d(m v →-u→dtdm =F →（11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式：形式一： dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F →形式二：dt)d(m v →-u→dtdm =F →2.变质量物体运动方程的应用在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。

1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。

将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：n t a a a +=,设质点的速度为v ，由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n va =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3v ρ证毕1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得：0v s-= ，x x s s 22= xyoan avy vθθtayzoan aθxovovF N Fg myθ由此解得：xsv x 0-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：2002v v s x x x=-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：N F F ym F mg xm +-=-=θθsin cos其中：2222sin ,cos l x l lx x +=+=θθ0,3220=-=yx l v x将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(x lxl v g m F ++=1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：θcos A B v v = （a ） 因为x R x 22cos -=θ （b ）将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：22R x xRv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得：222222)(x R R x xω=-将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=--将上式消去x 2后，可求得：22242)(R x xR x--=ω (d)由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：mg F F ym F xm N -+=-=θθsin cos其中：x R x xR22cos ,sin -==θθ, 0,)(22242=--=y R x x R x ω将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242R x x R m mg F R x x R m F N --=-=ωω1－13解：动点：套筒A ；动系：OC 杆；定系：机座；xθ AvAω ONF BRg mFyavevr v运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。

航天飞行动力学作业（1）1. 动坐标系矢量导数已知火箭相对于地面坐标系的速度5500/v m s =，弹道倾角10θ=，并在纵向平面内运动，俯仰角速度为 1.5/s ω=，火箭俯仰角为30。

整流罩质心距离火箭质心为20m ，质心整流罩分离时相对于火箭箭体的相对速度为2m/s r v =，速度倾角（与火箭纵轴夹角）为45，求整流罩相对于地面坐标系的速度矢量。

解答： c =+r r ρ，c r 为整流罩在地面坐标系下的矢径，r 为火箭质心在地面坐标系下的矢径，ρ为整流罩质心距离火箭质心距离。

c d d d dt dt dt =+r r ρ d dt t δδ=+⨯ρρωρ c d d dt dt tδδ=++⨯r r ρωρ111111cx x rx x x cy y ry y y cz z rz z z v v v v v v v v v ωρωρωρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 5500*cos102*cos 450205417.95500*sin102*sin 4500956.900 1.5/57.300cx cy cz v v v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2. 变质量质点动力学方程设火箭发动机秒耗量100kg/s m =，相对喷气速度为3000m/s e μ=，俯仰角速度为 1.5/s ω=，转动惯量变化率1000kg m/s z I =⋅，喷口距离质心距离为10m ρ=，求火箭发动机工作产生的附件哥氏力、附加相对力，附加哥氏力矩，附加相对力矩。

解答：附加哥氏力：0100221000052.3561.5/57.300k T e F m -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-⨯=-⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωρ 附加相对力：30003000001000000rele F m -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-⨯=-⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦μ 附加哥氏力矩：0000100100()00001000000001000 1.5/57.30 1.5/57.30287.96kT e T e M m tδδ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-⋅-⨯⨯=--⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Iωρωρ 附加相对力矩：0rele e M m '=-⨯=ρμ3. 引力和重力及其夹角将地球视为标准椭球模型，编程求解地表处地心维度分别为=306090φ，，时的：（1）引力加速度,r g g φ；（2）重力加速,r k k φ；（3）离心惯性加速度,er e a a ϕ''； （4）引力加速度与地心矢径夹角1μ；（5）重力加速度与地心矢径夹角μ；（6）地理纬度0B 。

变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 1: 瑞锋变质量物体的运动微分方程及火箭运动瑞锋(物理与电气工程系09级物理学专业,1)摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。

但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。

那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量)(m 2t 和进入质点系的质量)(1t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t在t=0时刻为m 0，则它随着时间的变化规律为)()()(21t t t m m m m +-=，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。

设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。

在瞬时t ，质点的质量为m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。