条件概率定义

条件概率定义
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条件概率是指已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

它的计算方法是
根据相关试验的结果统计出发生概率最大的事件作为单一结论。

具体来说，条件概率就是
指已知某一事件A发生的前提下，另一事件B发生的概率。

其计算公式是：
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。

条件概率可以用于各种事件的测定，如自然现象的研究、药物的效果、社会现象的分
析等。

它的应用可以在改善食品质量，改善治疗药物的疗效，提高社会安全性等方面得到
雄厚的贡献。

例如，人们可以分析一次精神分裂所犯罪行的发生概率，以及和某种心理障
碍有关的犯罪行为出现的概率等。

此外，条件概率还可以应用于提高决策效果，它来源于统计学相关概念，可以通过对
不确定事件发生概率进行统计，确定最佳的选择。

例如，假如我们可以采取的决策中，以
犯罪为条件考虑，那么我们就可以通过分析犯罪发生的概率，判断最佳方案，从而提高决
策效率。

条件概率也广泛用于财务分析中，它可以帮助金融机构分析财务风险，提高风险评估
的准确度，预测企业的盈利能力，以及确定它们的行为是否正确、合理以及可行等。

此外，条件概率还可以用于企业的投资决策。

通过它，可以根据过去的不同时期的资产表现，对
未来的投资进行估值，并有效限制投资风险，实现长期的财务收益。

条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。

联合概率表示两个事件共同发生的概率。

A与B的联合概率表示为或者或者。

边缘概率是某个事件发生的概率。

边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。

这称为边缘化（marginalization）。

A的边缘概率表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）。

需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。

A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。

A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。

例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。

换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。

考虑概率空间Ω(S, σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代数，Ω上对应于随机变量X的概率测度（可以理解为概率分布）为PX；又A ∈σ(S)，PX(A)≥0（这里可以理解为事件A，A不是零测集）。

则∀E∈σ(S)，可以定义集函数PX|A如下：PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(E)。

易知PX|A也是Ω上的概率测度，此测度称为X在A下的条件测度（条件概率分布）。

独立性：设A，B∈σ(S)，称A，B在概率测度P下为相互独立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。

若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。

虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。

条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。

若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。

条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。

条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。

联合概率：表示两个事件共同发生的概率。

A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。

边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。

边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。

这称为边缘化（marginalization）。

A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。

需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。

A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。

A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。

条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。

定理1设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

一般地，，且它满足以下三条件：（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。

定理2设E 为随机试验，Ω为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。

上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。

设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1)设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω的一个完备事件组。

§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。

一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。

它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。

例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。

那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。

解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。

例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。

讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。

例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。