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一、介绍由于国内统计数据有限且灰度较大，并且数据受人为影响，没有典型的分布规律，故而引进灰色关联分析法以适应数据量较小的场合。
二、基本原理根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
曲线越接近，则关联度越大。
三、数据预处理具体方法有无量纲、缩小变量范围以及同向化等，详情可以阅读其他文章。
四、计算灰色关联系数设评价对象有m个，评价指标变量有n个，每个指标变量xj都是效益型指标变量。
则有比较数列ai={ai(j)|j=1,2,⋅⋅⋅,n},i=1,2,⋅⋅⋅,m。
其中ai(j)是第i个评价对象关于第j个指标变量xj的取值。
什么是效益型指标变量？就是越大越好，相反的还有成本型指标变量。
参考数列为a0={a0(j)}，一般取a0(j)=max{ai(j)}，即参考数列相当于虚拟的最优评价对象的各指标值。
设ξi(j)为比较数列ai对参考数列a0在第j个指标上的关联系数，ξi(j)可根据下述公式计算。
其中ρ∈[0,1]为分辨系数，分辨系数ρ越大，分辨率越大，一般取ρ=0.5。
ξi(j)=min|a0(j)−aij|+ρ∗max|a0(j)−aij||a0(j)−ai(j)|+ρ∗max|a0(j)−aij|五、加权排序设ri为第i个评价对象对理想对象的灰色加权关联度，并根据下述公式求出。
其中ωk可以通过熵权法等方法求出。
ri=∑k=1nωk∗ξi(k)根据ri的大小即可对各评价对象进行排序。
六、补充灰色关联分析法最重要的是要寻找到评价对象，这可能是题目中本来就有的，可能是虚拟的，然后分析各指标与评价对象的偏离程度，用不同的方法统一指标，得出的值也会有所差别。
灰色关联分析灰色关联分析是一种常用于研究和预测多个影响因素之间关联程度的方法。
该分析方法可以通过对各个因素的数值进行比较，得出它们之间的关联强度，从而为决策提供依据。
下面将详细介绍灰色关联分析的原理、应用以及优势。
灰色关联分析的原理基于灰色系统理论，该理论是中国科学家陈纳德于1982年提出的一种对部分已知和部分未知信息进行分析的数学方法。
灰色关联分析将各个影响因素的数据进行标准化处理，然后计算各个因素之间的关联度。
通过对关联度进行排序，即可得出影响因素之间的关联程度大小。
灰色关联分析在各个领域都有广泛的应用，比如经济学、管理学、环境科学等。
在经济学领域，可以使用灰色关联分析来研究不同经济指标之间的关联程度，从而预测未来的经济趋势。
在管理学中，可以利用灰色关联分析来研究不同管理指标之间的关联程度，进而指导管理决策。
在环境科学领域，可以运用灰色关联分析来分析各个环境因素对生态系统的影响程度，以及控制污染等。
灰色关联分析相对于其他分析方法有一些独特的优势。
首先，它不要求数据分布满足正态分布等数学假设，可以对数据进行较好的处理。
其次，灰色关联分析可以处理样本量较小的情况，对于样本量不足的数据分析也有较好的适用性。
此外，由于灰色关联分析能够捕捉到数据之间的内在联系，因此对于某些非线性关系的分析，其结果可能更加准确。
然而，灰色关联分析也存在一些限制和不足之处。
首先，该分析方法依赖于数据的稳定性，对于非稳态的数据可能会导致分析结果不准确。
其次，灰色关联分析无法处理存在时间滞后效应的数据。
此外，该方法对数据的标准化要求较高，如果数据质量较差或者存在异常值，也会影响分析结果。
综上所述，灰色关联分析是一种研究和预测多个影响因素之间关联程度的有效方法。
它的原理基于灰色系统理论，可以在各个领域中广泛应用。
灰色关联分析相对于其他分析方法有一些独特的优势，但也存在一定限制。
在实际应用中，我们应该结合具体情况，合理选择分析方法，并充分考虑其适用性和局限性，以提高分析和决策的准确性。
灰色关联分析简介灰色关联分析是一种用于评估多个因素之间相关性的统计分析方法。
它可以帮助我们理解一组因素对于某个指标的影响程度，并且可以用来预测未来的趋势。
原理灰色关联分析基于灰色理论，其核心思想是将样本数据转化为灰色数列，然后通过计算灰色相关度来评估因素之间的关联性。
在灰色关联分析中，我们首先需要确定一个参考数列和一个比较数列，然后根据数列的发展趋势和规律性对它们进行排序。
最后，通过计算两个数列之间的关联度来评估它们之间的关联程度。
灰色关联度的计算方法灰色关联度可以通过以下公式计算：$$ \\rho(i,j) = \\frac{{\\min(\\Delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*+\\delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*-\\delta^*+(k-1)\\Delta^*)}}{{\\max(\\Delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*+\\delta^*+(k-1)\\Delta^*,\\Delta^*-\\delta^*+(k-1)\\Delta^*)}} $$其中，$\\Delta^*$表示相邻数据的差值绝对值的最大值，$\\delta^*$表示数列中数据的最大值与最小值之差。
灰色关联分析步骤1.数据预处理：将原始数据进行标准化处理，使其具有可比性。
2.建立关联矩阵：根据参考数列和比较数列计算灰色关联度，并构建关联矩阵。
3.确定权重：根据关联矩阵的行列和大小确定各因素的权重，权重越大表示因素对目标的影响越大。
4.计算综合关联度：将灰色关联度与权重相乘并求和，得到各个因素的综合关联度。
5.分析结果：根据综合关联度的大小对因素进行排序和评估，得出各因素对目标的贡献程度。
适用领域灰色关联分析在许多领域都有广泛的应用，包括经济、环境、工程等。
它可以用于评估多个因素对某个现象的影响程度，帮助决策者制定合理的决策和策略。
优势与局限灰色关联分析具有以下优势：•可以在样本数据不完整或不完全的情况下进行分析。
灰⾊关联分析
灰⾊关联分析法
对于有m个评价对象，n个评价指标的问题，⽤灰⾊关联分析来选择，可以针对⼤量的不确定因素以及相互关系，⽤定性和定量有机结合的⽅式，使原本复杂的决策问题变得更加清晰简单，⽽且计算⽅便，主要是排除了决策者的主观任意性，得出的结论很客观，有⼀定的参考价值。
主要步骤
1. 确定评价对象和评价标准。
（以⼀个评价对象为例）
评价对象为x={x(k)|k=1,2,3,...,n}，评价标准为x0={x(k)|k=1,2,3,...,n}
k是指该评价对象的第k个评价指标
2. 确定各个评价指标的权重
主要是为了最后对求出的各个指标的灰⾊关联系数进⾏总和，若⽆权重也可以直接求平均值
3. 计算灰⾊关联系数
将每⼀个评价对象的评价指标都与评价标准相减并求绝对值，即
令c=|x(k)−x0(k)|
那么我们可以得到⼀个新的矩阵C
取C中的每⼀列中的最⼩值在每⼀⾏中的最⼩值，即两级最⼩差
a=min i min j c ij
再取每⼀列中的最⼤值在每⼀⾏中的最⼤指，即两级最⼤差
b=max i max j c ij
灰⾊关联系数为
ξi(j)=a+ρb c ij+ρb
式中，ρ⼀般取0.5，ρ属于0到1.
4. 计算灰⾊加权关联度
就是计算每⼀个评价对象的灰⾊关联度的加权和
r i=
n
∑
j=1w i∗ξi(j)
灰⾊关联度越⼤则效果越好Processing math: 100%。
灰色关联分析法（见课件）
“灰”表示部分信息清楚，部分信息不清楚，即信息不完全．凡是信息不完全确知的系统都可称为灰色系统．灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支．应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法．
一、灰色关联分析的步骤
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：
1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据 设n 个数据序列形成如下矩阵：
()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛'''''''''='''m x m x m x x x x x x x X X X n n n
n
2
1
21
2
121222111,, 其中m 为指标的个数，()()()()
n i m x x x X T
i i i i ,,2,1,,,2,1 ='''='．
2．确定参考数据列
参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作
()()()m x x x X 0000
,,2,)1('''=' 3．对指标数据进行无量纲化
无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：
()()()
()()
()
()()()
()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=m x m x m x x x x x x x X X X n n n n
10
101010222111,,, 常用的无量纲化方法有均值化法（见（12－3）式）、初值化法（见（12－4）式）和s
x
x -变换等．
()()
()()()()
.
,,2,1,,1,0)412(1)
312(1
1
m k n i x k x k x k x m k x k x i i i m
k i i i ==-''=
-''=
∑=；
或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．
例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可进行如下计算：
60
8060
901110--=--x 解之得7=x ，即80%转化为7．
4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 )()(0k x k x i - （ m k ,,1 = n i ,,1 = n 为被评价对象的个数）． 5．确定 )()(min min 01
1
k x k x i m
k n
i -== 与)()(max max 01
1
k x k x i m
k n
i -==
6．计算关联系数
由（12－5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．
)512)
()(max max )()()
()(max max )()(min min )(0000--⋅+--⋅+-=
（k x k x k x k x k x k x k x k x k i k
i
i i k
i
i k
i
i ρρζ
m k ,,1 =
式中ρ为分辨系数，在（0，1）内取值，ρ越小，关联系数间的差异越大，区分能力
越强．通常ρ取0.5．
当用各指标的最优值 （或最劣值），构成参考数据列计算关联系数时，也可用改进的更为简便的计算方法：
)()(max )()()()(max )()(min )(00
00
k x k x k x k x k x k x k x k x k i i
i i i
i i
i '-'⋅+'-''-'⋅+'-'=
ρρζ m k ,,1 =
改进后的方法不仅可以省略第三步，使计算简便，而且避免了无量纲化对指标作用的
某些负面影响．
如果)}({0k x 为最优值数据列，)(k i ζ越大，越好；如果)}({0k x 为最劣值数据列，)(k i ζ越大，越不好．
7．计算关联序
对各评价对象（比较序列）分别计算其m 个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为i r 0：
∑==m
k i i k m r 1
0)(1ζ n i ,,1 =
8．如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即
∑=⋅='m
k i k i k W m r 1
0)(1ζ m k ,,1 =
式中k W 为各指标权重．
9．依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果． 二、灰色关联分析的应用举例
利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价
1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤． 2．对原始数据经处理后得到以下数值，见表（12— 3 ）
3．确定参考数据列：
}9,4,8,9,9,9,
9{}{0=x
4．计算)()(0k x k x i -，见表（12—4 ）．
表12— 4 绝对差值)()(0k x k x i -
5． )()(min min 011
k x k x i m
k n
i -===)0,0,1,0,1,
0min(=0
)()(max max 01
1
k x k x i m
k n
i -===)5,6,6,5,6,
7max(=7
6．依据（12－5）式，取5.0=ρ计算，得
778
.07
5.017
5.00)1(1=⨯+⨯+=
ζ000
.17
5.007
5.00)2(1=⨯+⨯+=
ζ
778.0)3(1=ζ.0)4(1=ζ
467.0)5(1=ζ 333.0)6(1=ζ
000.1)7(1=ζ
同理得出其它各值，见表（12—5 ）
表（12—5） )(k i ζ计算结果
7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：
713.07
000
.1333.0467.0636.0778.0000.1778.001=++++++=
r
同理 614.002=r ，680.003=r ，599.004=r ，683.005=r ，658.006=r 8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号（713.001=r ），5号（683.005=r ），3号（680.003=r ），6号（658.006=r ），2号（614.002=r ），4号（599.004=r ）．。
