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泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 拓扑空间C. 度量空间D. 向量空间答案： D2. 一个线性算子是连续的，当且仅当：A. 它是有界的B. 它的逆算子存在C. 它在定义域上处处定义D. 它在值域上处处定义答案： A3. 一个线性泛函在定义域上的连续性意味着：A. 它在定义域上处处定义B. 它在定义域上处处连续C. 它在定义域上处处可微D. 它在定义域上处处可导答案： B4. 希尔伯特空间中的一个向量是：A. 有限维的B. 可数维的C. 可测的D. 完备的答案： D二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个线性算子的核是指所有使得算子映射为零向量的向量集合，用符号表示为______。
答案： Ker(T)2. 一个线性算子的值域是指所有可能的像的集合，用符号表示为______。
答案： Im(T)3. 一个线性空间是完备的，如果它是在某种______下的完备度量空间。
答案：范数4. 一个线性泛函在定义域上的连续性等价于它在定义域上的______。
答案：有界性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是紧性以及在泛函分析中的重要性。
答案：紧性是指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
在泛函分析中，紧性保证了某些函数类（如连续函数）在紧集上的极值存在性，这对于证明某些存在性定理和优化问题至关重要。
2. 解释什么是线性泛函的弱收敛性，并给出一个例子。
答案：线性泛函的弱收敛性是指对于定义域中的每一个向量，线性泛函在该向量上的值收敛。
例如，考虑在L^2空间上的线性泛函，如果一个函数序列在L^2空间中弱收敛于某个函数，那么对于每一个连续线性泛函，该泛函在函数序列上的值序列收敛于该泛函在极限函数上的值。
3. 描述什么是Riesz表示定理，并说明其在泛函分析中的应用。
答案： Riesz表示定理指出，在希尔伯特空间中，每一个连续线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
泛函分析知到章节测试答案智慧树2023年最新长安大学第一章测试1.距离函数满足的三个基本条件是正定性，对称性和三角不等式。
（）参考答案:对2.距离空间的完备性是指基本列都不是收敛列。
（）参考答案:错3.压缩映射原理是设X是一个完备的度量空间，T是映X到自身的压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。
（）参考答案:对4.距离空间的可分是指不存在可数稠密子集。
（）参考答案:错5.紧集上的连续函数具有什么性质。
（）参考答案:一致连续;达到上、下确界;有界第二章测试1.设某线性空间中有一组线性无关的向量，则从中任意抽取一部分向量够的向量组一定是线性无关的。
（）参考答案:对2.有穷维线性空间上定义的任何两个范数是不等价的。
（）参考答案:错3.当空间X是严格凸的赋范线性空间，则任意指定元素在给定有穷维子空间上的最佳逼近元存在唯一。
（）参考答案:对4.若赋范线性空间任意有界集是列紧的，则该空间是有穷维的。
（）参考答案:对5.Schauder不动点定理：设C是赋范线性空间X中的一个闭凸子集，T是映C到自身的连续映射且T的值域列紧，则T在C上必有一个不动点。
（）参考答案:对第三章测试1.为了在赋范线性空间上引入内积，当且仅当范数满足四边形等式。
（）参考答案:错2.内积空间X上的两个元素x与y称为是正交的是指x与y的内积为1。
（）参考答案:错3.Zorn引理：设X是一个半序集，如果它的每一个全序子集都有一个上界，那么X有一个极大元。
（）参考答案:对4.为了Hilbert空间X是可分的，当且仅当存在至多可数的正交规范基。
（）参考答案:对5.如果C是Hilbert空间X中的闭凸子集，那么在C上存在唯一元素取到最大模。
（）参考答案:错第四章测试1.若线性算子在其定义域的某一点连续则它在定义域上处处连续。
（）参考答案:对2.有界线性算子将有界集映成无界集，不是有界线性算子称为无界线性算子。
（）参考答案:错3.按照算子范数的定义，恒等算子的范数为1，零算子的范数为0。
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
泛函分析试卷泛函分析期末考试试卷（总分100分）一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）.A ．10<<-≤-αα，y x Ty TxB .1≥-≤-αα，y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）.A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 35、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（）.A.1-B.12C.1D.12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。
3、1l 的共轭空间是（）。
4、设X 按内积空间成为内积空间，则对于X 中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。
5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。
()2、?距离空间中的列紧集都是可分的。
()3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
()4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。
()5、设X 是线性赋范空间，T 是T有逆算子。
() 四、计算题（10分）叙述1l 空间的定义，并求1l12,证明3iX 与nR 按范数1||||||ni i x ξ==∑组成的赋范线性空间Y 共轭。
4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有一个弱*收敛子列。
5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。
泛函分析考试题型及答案
1. 单项选择题
(1) 泛函分析中，Banach空间的定义是：
A. 完备的赋范线性空间
B. 完备的有界线性空间
C. 完备的线性空间
D. 有界线性空间
答案：A
2. 填空题
(2) 在泛函分析中，如果线性算子T:X→Y是连续的，则称T为
________。
答案：有界线性算子
3. 计算题
(3) 设线性算子T:ℝ^n→ℝ^m，且T是连续的。
证明：如果T是单射的，则T是开映射。
答案：证明略。
4. 简答题
(4) 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果p是实数域上的线性泛函，定义在向量空间X的一个子空间M上，并且存在常数c>0使得对于所有x∈M，有|p(x)|≤c‖x‖，那么存在X上的线性泛函P，使得对于所有x∈M，P(x)=p(x)，并且对于所有x∈X，有|P(x)|≤c‖x‖。
5. 论述题
(5) 论述闭图定理及其在泛函分析中的应用。
答案：闭图定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出如果T:X→Y 是一个线性算子，并且T的图是X×Y中的闭集，则T是连续的。
这个
定理在研究线性算子的连续性时非常有用，因为它提供了一个判断线
性算子连续性的几何方法。
在泛函分析中，闭图定理可以用来证明一
些算子的连续性，或者在研究算子的紧性、有界性等性质时作为工具。
6. 证明题
(6) 证明：如果X和Y是Banach空间，T:X→Y是一个有界线性算子，那么T的值域是闭的当且仅当T*:Y*→X*是满射的。
答案：证明略。
泛函分析期末考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间？A. 所有实数构成的集合B. 所有连续函数构成的集合C. 所有有界线性算子构成的集合D. 所有可测函数构成的集合答案：D2. 在Banach空间中，下列哪个性质是定义所必需的？A. 完备性B. 线性C. 有界性D. 连续性答案：A3. 希尔伯特空间中的内积满足哪些性质？A. 线性、对称性和正定性B. 线性、反对称性和正定性C. 线性、对称性和反对称性D. 反对称性、正定性和有界性答案：A4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. Hahn-Banach定理B. Tychonoff定理C. Banach-Steinhaus定理D. Riesz表示定理答案：C5. 线性算子的有界性是指什么？A. 算子的值域是有界的B. 算子的核是有界的C. 算子的值域是完备的D. 算子的范数是有限的答案：D6. 在泛函分析中，紧算子的定义是什么？A. 算子的值域是紧集B. 算子的核是紧集C. 算子的值域是有限维的D. 算子是连续的且有界答案：A7. 下列哪个概念是泛函分析中对偶空间？A. 线性空间B. 赋范线性空间C. 线性算子D. 线性泛函构成的空间答案：D8. 在泛函分析中，弱收敛和强收敛的区别是什么？A. 弱收敛涉及内积，强收敛涉及范数B. 弱收敛涉及范数，强收敛涉及内积C. 弱收敛和强收敛是等价的D. 弱收敛和强收敛都是线性的答案：A9. 泛函分析中的单位圆盘是指什么？A. 所有模长小于1的复数构成的集合B. 所有模长等于1的复数构成的集合C. 所有模长大于1的复数构成的集合D. 所有实部大于1的复数构成的集合答案：B10. 泛函分析中，下列哪个定理是关于线性泛函的表示？A. Riesz表示定理B. Riesz-Fischer定理C. Riesz-Thorin插值定理D. Riesz-Szegö不等式答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子是单射的，那么它的核是________。
泛涵分析考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子？A. 线性变换B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性映射答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个是完备的内积空间？A. 有限维欧几里得空间B. 无限维欧几里得空间C. 有界序列空间D. 所有实数序列空间答案：A3. 泛函分析中的紧算子是指什么？A. 有界算子B. 线性算子C. 将有界集映射到相对紧集的算子D. 将有界集映射到紧集的算子答案：D4. 下列哪个定理是泛函分析中的闭图定理？A. 开映射定理B. 闭图定理C. 赫尔德不等式D. 里斯表示定理答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，如果一个线性算子的值域是整个空间，则称该算子为________。
答案：满射2. 泛函分析中的________定理是研究线性算子有界性的重要工具。
答案：一致有界性3. 希尔伯特空间中的________定理说明了每一个有界线性泛函都可以由一个唯一的向量表示。
答案：里斯表示4. 如果一个线性算子是连续的，并且它的逆算子也是连续的，则称该算子为________。
答案：有界可逆三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述泛函分析中弱收敛和强收敛的区别。
答案：在泛函分析中，弱收敛是指序列在空间中任意连续线性泛函下收敛，而强收敛则是指序列在空间的范数下收敛。
弱收敛是比强收敛更弱的收敛形式，它不要求序列的范数收敛到极限的范数，只要求序列在每一个连续线性泛函下收敛到极限。
2. 请解释泛函分析中的巴拿赫空间和希尔伯特空间的区别。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，它要求空间中的每一个柯西序列都收敛于空间内的某一点。
而希尔伯特空间是巴拿赫空间的一种特殊形式，它除了满足巴拿赫空间的性质外，还具有内积结构，使得空间中的向量可以进行内积运算，并且内积诱导了一个范数。
希尔伯特空间中的内积结构使得它在研究线性算子和泛函时具有更多的性质和工具。
泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在实数空间R中, 令Q为有理数全体. 以下选项中, 与“Q在R中稠密" 等价的是( ).参考答案:_2.设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.参考答案:_3.以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.参考答案:有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集4.设X是Banach空间, 则以下命题中正确的是( ).参考答案:X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛5.在通常的范数意义下, 以下赋范空间是Banach空间的是( ).参考答案:__6.Banach空间必为Hibert空间, 但反之不成立.参考答案:错误7.在不可数集X上定义离散距离d, 则距离空间(X,d)是不可分的.参考答案:正确8.任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.参考答案:内积同构9.具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.参考答案:正确10.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.参考答案:错误11.Banach空间指的是（）.参考答案:完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.12.在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列13.设M, N是内积空间的两个非空开集, 若【图片】则【图片】参考答案:错误14.以下选项中，不可分的距离空间为（）.参考答案:有界数列空间15.距离空间中的非空开集一定包含一个( ).参考答案:接触点_闭球_开球_内点16.非空开集一定是开球.参考答案:错误17.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的可分性.参考答案:正确18.距离空间中的非空开集一定包含一个（）.参考答案:接触点_闭球_内点_开球19.连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.参考答案:一致收敛20.在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.参考答案:正确21.在实数空间中, 完全有界集与有界集是等价的.参考答案:正确22.一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.参考答案:错误23.内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.参考答案:正确24.设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.参考答案:___25.在赋范空间中，（）是凸集.参考答案:单位开球_子空间_单位闭球26.记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体, 按照范数【图片】成为赋范空间. 则以下结论正确的是（）.参考答案:赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间27.设E是赋范空间X的子空间。
若E是Banach空间，则E是闭子空间。
反之不成立。
参考答案:正确28.设M是内积空间H的紧凸集, 则x在M中的最佳逼近点是存在的, 但不唯一.参考答案:错误29.赋范空间是内积空间的充分必要条件是，其范数满足平行四边形法则。
参考答案:正确30.设距离空间X是距离空间E的完备化空间, 在等距同构的意义下, 以下说法正确的是( ).参考答案:E是X的稠子空间31.在实数空间中，( )在无理数集中稠密.参考答案:有理数集32.以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述, 正确的是( ).参考答案:不可分的赋范空间一定不具有Schauder基_任何非零的赋范空间都具有Hamel基33.任何非零Hilbert空间都具有标准正交基.参考答案:正确34.在距离空间中, 闭子空间与完备子空间是等价的.参考答案:错误35.距离空间中的任一非空子集, 其闭包未必是闭集.参考答案:错误36.内积空间一定是( ).参考答案:距离空间_赋范空间_线性空间37.在距离空间中, 以下说法正确的是( ).参考答案:开球是开集_开球的补集是闭集_开球的闭包是闭集_开球的内部是开集38.设【图片】是Hilbert空间H的一个标准正交基, 【图片】.则以下命题正确的是( ).参考答案:S是完全的_x关于S的Fourier级数收敛于x__S是完备的39.在列紧的距离空间中, 柯西列与收敛列是等价的.参考答案:正确40.在完备的距离空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:开子集一定不是完备的子空间_柯西列必为收敛列_闭子集一定是完备的子空间_收敛列必为柯西列41.在可分的距离空间中，必包含（）.参考答案:有限子集_稠密子集_可数子集42.全体有理数在（）中是稠密的.参考答案:实数空间43.设E和F是距离空间中的点集, 则以下关于“E在F中稠密”的表述正确的是( ).参考答案:_44.在实数空间中, 以下选项中是紧集的为( ).参考答案:[0,1]45.以下关于距离空间中”柯西列与收敛列”的表述, 正确的是( ).参考答案:收敛列一定是柯西列46.以下关于线性空间中相关概念的叙述, 不正确的是( ).参考答案:子集一定是子空间47.内积空间的任何一个正交系必是( ).参考答案:线性无关集48.在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.参考答案:错误49.设M, N是内积空间H的两个子集, 则以下命题正确的是( ).参考答案:若，则._若, 则 ._若, 则._50.N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（）.参考答案:按坐标收敛51.任意多个闭集的并集是闭集.参考答案:错误52.设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.参考答案:Y中任何开集的原像是X中的开集_Y中任何闭集的原像是X中的闭集53.赋范空间的子空间一定不是开子空间.参考答案:错误54.每个非零的赋范空间必存在一个（）.参考答案:Hamel基55.设X是无限维赋范空间, 则以下命题正确的是( ).参考答案:X中的单位开球不是列紧集_X中的有界闭集不是紧集56.Banach空间必为Hilbert空间，但反之不成立.参考答案:错误57.任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.参考答案:正确58.设E是内积空间H的子空间, 【图片】，则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.参考答案:正确59.任一非空集合上都可以定义距离, 使之成为距离空间.参考答案:正确60.设M是内积空间H的子集, 则M的正交补是H的闭子空间.参考答案:正确61.在有界数列空间中, 列紧集是完全有界集. 反之不成立.参考答案:错误62.在以下选项中，具有完备性的距离空间是（）.参考答案:实数空间_N维欧氏空间_连续函数空间_离散的距离空间63.在距离空间中，压缩映射一定是（）.参考答案:连续映射64.每个非零的赋范空间都存在一个Schauder基.参考答案:错误65.在实数空间中, 全体有理数在全体无理数中稠密.参考答案:正确66.（）线性空间上的任何两个范数等价.参考答案:有限维67.完备的距离空间一定是列紧空间.参考答案:错误68.在离散的距离空间中, 以下选项中是列紧集的是( ).参考答案:有限子集_单点集69.设M是线性空间X的子集，当M满足（）时，称M为X的Hamel基.参考答案:X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合_M中任何有限个向量的线性组合都线性无关70.以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.参考答案:子集一定是子空间71.关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.参考答案:收敛列的子列一定收敛_收敛列的极限一定属于该距离空间_收敛列的极限是唯一的72.任何无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.参考答案:错误73.闭集恰好由该集合的所有( )构成.参考答案:接触点74.以下线性空间，不可以定义内积的是（）.参考答案:其它三项都不对75.赋范空间的子空间必为闭子空间.参考答案:错误76.任何两个有限维赋范空间都是拓扑同构的.参考答案:错误77.线性空间上的任何两个范数都等价.参考答案:错误78.设X是赋范空间，则以下命题中与“X是有限维”等价的是（）.参考答案:X中的单位闭球是紧集_X中的单位开球是列紧集_X中的单位球面是紧集_X 中的有界闭集是紧集79.设X与Y是赋范空间，若映射T: X【图片】Y满足（），则称T是拓扑同构映射.参考答案:是连续的_T是连续的_T是线性映射_T是双射80.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的（）.参考答案:列紧性_收敛列_完备性_柯西列81.赋范空间的一个重要特征就是：单位球是零元的凸邻域.参考答案:正确82.每一个赋范空间都可以完备化，在等距同构意义下，其完备化空间是唯一的.参考答案:正确83.Banach空间一定是完备的距离空间，反之不成立.参考答案:正确84.以下赋范空间中，具有Schauder基的无限维空间是（）.参考答案:_85.设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.参考答案:X中任一绝对收敛的级数必收敛_X的闭子空间是Banach空间_X的完备化空间是它自己86.在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.参考答案:__87.距离空间未必是赋范空间.参考答案:正确88.赋范子空间一定是线性子空间.参考答案:正确89.以下命题中，正确的是（）.参考答案:赋范空间一定是距离空间_距离空间未必是赋范空间_距离空间未必是线性空间_赋范空间一定是线性空间90.设X是线性空间，X中的范数满足（）.参考答案:三角不等式_非负性_正齐次性91.设A是线性空间X中，如果A中任何（）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.参考答案:有限个92.在全体有理数 Q 上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.参考答案:错误93.在距离空间中，等距映射一定是（）.参考答案:单射_连续映射94.以下实数空间的子空间中，不完备的是（）.参考答案:__95.设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.参考答案:E是X的稠子空间96.[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.参考答案:正确97.距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.参考答案:正确98.距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.参考答案:错误99.以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（）.参考答案:连续函数空间_实数空间_有理数空间100.在距离空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:任意多个开集的并集是开集_任意多个闭集的交集是闭集101.在距离空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:开球的闭包是闭集_开球的内部是开集_开球的补集是闭集102.以下说法正确的是（）.参考答案:开球的补集是闭集_开球是开集103.开集恰好由该集合的所有（）构成.参考答案:内点104.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则【图片】与【图片】都是Banach空间.参考答案:错误105.N维实向量空间【图片】上所定义的任何两个范数都等价.参考答案:正确106.设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.参考答案:X中的单位开球不是列紧集_X中的有界闭集不是紧集107.设R是实数集，定义 d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.参考答案:错误108.以下关于有限维赋范空间的描述正确的是（）.参考答案:有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间._有限维赋范空间必可分._有限维赋范空间必完备.109.线性空间上的范数的“等价”满足（）.参考答案:传递性_自反性_对称性110.一个非空集合上的距离满足（）.参考答案:对称性_三角不等式_非负性111.有界数列空间中点列的按距离收敛是（）.参考答案:其余三项都不对112.如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（）.参考答案:可以无限多个距离113.有界数列空间的任何子空间都是不可分的.参考答案:错误114.设E是赋范空间X的子空间. E是Banach空间的充分必要条件是E是X的闭子空间.参考答案:错误115.设X是具有Schauder基的赋范空间，则（）.参考答案:X是可分的_X是无限维的116.以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.参考答案:任何非零的赋范空间都具有Hamel基_不可分的赋范空间一定不具有Schauder基117.每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.参考答案:正确118.设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（）.参考答案:平移不变性_三角不等式_相似性_对称性119.以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（）.参考答案:__120.内积同构映射必为（）.参考答案:等距映射_线性映射_拓扑同构映射_双射121.标准正交系必为线性无关集，反之不成立.参考答案:正确122.设M是Hilbert空间H的非空子集, 则【图片】参考答案:正确123.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间, 可能是开子空间.参考答案:错误124.距离空间之间的连续映射, 把紧集映成列紧集.参考答案:正确125.定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.参考答案:正确126.可分的Hilbert空间H所具有的性质是( ).参考答案:H必为非零Hilbert空间_H一定存在标准正交基_H的标准正交基是至多可数的127.在距离空间中, 以下关于列紧集性质的描述, 正确的是( ).参考答案:可列点集未必是列紧集_有限个列紧集的并集是列紧集_单点集是列紧集_有限点集是列紧集128.在连续函数空间中, 以下说法正确的是( ).参考答案:闭子集是完备子集_收敛列一定是柯西列_收敛列一定是有界列_柯西列一定是收敛列129.设M是内积空间H的子集,则M的正交补是H的( ).参考答案:闭子空间130.列紧的距离空间必( ).参考答案:完备131.在距离空间中,以下说法正确的是( ).参考答案:完备子空间一定是闭子空间132.在不可数集X上定义离散距离d,则距离空间(X,d)是( ).参考答案:不可分的133.离散距离空间中的任一子集是（）的集合.参考答案:既开又闭134.完备的距离空间一定是可分的.参考答案:错误135.设X是距离空间，T是X到X的映射. 压缩映射定理成立的条件是（）.参考答案:T是压缩映射_X是完备的136.以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“ 的表述，正确的是（）.参考答案:收敛列一定是柯西列137.在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.参考答案:正确138.有界数列空间是可分的距离空间.参考答案:错误139.关于内点与接触点，以下说法正确的是（）.参考答案:内点一定是接触点_接触点可能是内点140.闭集恰好由该集合的所有（）构成.参考答案:接触点141.设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义【图片】则d是C[0,1]上的一个距离.参考答案:正确142.距离空间中的收敛点列满足（）.参考答案:其任一子列必收敛_其极限是唯一的143.离散距离空间中点列的按距离收敛是（）.参考答案:其余三项都不对144.在一个非空集合上( ) 可以定义距离.参考答案:一定145.复内积空间上的内积满足（）.参考答案:非负性_对第一变元的线性性质146.以下线性空间中，可以定义内积的是（）.参考答案:___147.对任一赋范空间，其范数未必满足平行四边形法则。
