安徽省2010届高三省级示范高中名校联考(数学理)

淮北市2010届高三第二次联考数学（理）试题考生注意：1.考试时间为120分钟,满分150分.试卷分为第I 和第II 卷.2.答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写清楚.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．4.答第II 卷时必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上答题.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 S 表示底面积，h 表示底面的高 P(A+B)=P(A)+P (B) 棱柱体积 V Sh = 棱锥体积 13V Sh =第I 卷 (选择题 共50分)一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集R U =,集合}21{<-=x x M 和},2,1,12{ =-==k k x x N 的关系的韦恩（Venn ）图如右图1所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个2.用二分法研究函数)21ln()(3++=x x x f 的零点时，第一次经计算0)21(,0)0(><f f ，可得其中一个零点∈0x ，第二次应计算 .以上横线上应填的内容为（ ）A ．（0，21），)21(f B ．（0，1），)21(f C ．（21，1），)43(f D ．（0，21），)41(f 3.若,p q 为两个命题,则“q p ∧”为假命题是“q p ∨”为真命题 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.甲、乙两名高三同学在6次月考中数学成绩用茎叶图统计如下图2， 若甲、乙两人的平均成绩分别用甲x 、乙x 表示，则下列结论正确的是（ ）A 甲x >乙x ，且甲比乙成绩稳定B 甲x >乙x ，且乙比甲成绩稳定C 甲x <乙x ，且甲比乙成绩稳定D 甲x <乙x ，且乙比甲成绩稳定 图25..已知等比数列 }{n a 中，3031=+a a ，前4项和为120，若 n n a b 3log 1+=, 则=2010b （ ）A ． 2009B ． 2010C ． 2011D ．20126.从0,2,6中选两个数, 从4,5,7中选取两个数, 组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的的数的个数是( )A 64B 48C 36D 52 7.在ABC ∆中，10103cos ,21tan ==B A ,若ABC ∆的最长边为1，则最短边的长为（ ） A.554 B. 553 C. 552 D. 558.已知C B A ,,是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足：)22121(31OC OB OA OP ++=则点P 一定为ABC ∆的( ) A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点(非重心)C. 重心D. AB 的中点9.已知双曲线)0(22≠=-λλy x 上有一点M 到坐标原点的距离为2, 则点M 到两焦点的距离之积等于( )A. 2B. 2C. 4D. 1610.定义在全体实数集R 上的函数)(x f y =的图象如右图3,若x x g sin )(=时，则函数[])(x f g y =的图象的大致图像是（ ）图38 199 8 8 2 1 03 8 9 9 9 甲乙 π2第II 卷 (非选择题 共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

合肥市高校附中2010年高三联考数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．题号 一 二 三 总分 得分第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数201021z ii=++的虚部是( ) A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．12．设集合{}2560,M x x x =--+>{}|1|1N x x =+<，则M N ⋂=( )A ．{}23x x << B ．{}21x x -<< C ．{}60x x -<< D ．{}20x x -<< 3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的方程为12y x =，则此双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．62 C ．52 D ．324．已知某个几何体的三视图如图1所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A ．43B ．83C ．23D ．2335．给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）A ．命题“若24,x =则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-则24x ≠” B ．“a b >”是“()n na b n N +>∈”成立的必要不充分条件C ．若命题p ：所有幂函数的图象都不过第四象限；命题q ：所有抛物线的离心率都为1，则命题p q ∧为真D ．若命题:p x ∀∈R ，2230x x -+>，则:p x ⌝∃∈R, 2230x x -+<图16．运行如图2所示的程序框图，若输出的y 值的范围为[0,4]，则输入的x 的值的范围为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,3]-C ．[0,2]D ．[2,2]-7．在边长为3的正三角形ABC 中，点M 、N 分别满足2,2AM BM BN NC =-=，则||CM AN +=（ ）AC． D．8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．19．从101)x的展开式中任选一项，使选出的项中x 的幂指数为整数的概率为（ ） A ．111 B ．211 C ．311 D ．41110．已知向量(sin ,cos ),(cos ,3cos )a x x b x x ==，3()2f x a b =-，下面关于函数()f x 的导函数()f x '说法中错误．．的是（ ） A ．函数最小正周期是π B ．函数在区间(0,)3π为减函数C ．函数的图象关于直线2x π=对称D ．图象可由函数2sin 2y x =向左平移512π个单位长度得到第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．甲、乙两个小组各5名同学数学测试成绩的茎叶图如图所示：图27 8 9 甲乙 6 5 5 41 8 9 0 2记甲、乙两组中数学测试成绩的标准差分别为S 乙甲，S ，则S 乙甲，S 的大小关系为 ． 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1310a a +=，611a =，则7S = ．13．实数,x y 满足24010y xx y x ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则2y z x =+的取值范围为 ．14．已知函数()21xf x x =+-的零点个数是a ，1(81)b x dx =+⎰，正数,m n 满足2m n +=，则a bm n+的最小值为 ． 15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、11BC 的中点.下列说法正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①P 在直线EF 上运动时，GP 始终与平面11AAC C 平行； ②点Q 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A DQC -的体积不变； ③点M 是平面1111ABC D 上到点D 和1C 距离相等的点，则点M 的轨迹是一条的直线； ④以正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱1AA 异面的有10条.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 面积为ABC S ∆，且S ABC ∆=bc cosA (1) 求sin 2A+sinAcosA 的值；，(2) 若b ac c a 2222-+=,b=5 求c ．17．（本小题满分12分）某企业生产一种风险较大的高科技产品M ，要用甲和乙两种初级产品组合而成，甲和乙两种初级产品生产相互独立，每种初级产品生产结果均有A 、B 两个等级． 若随机的选用甲、乙两种初级产品各一个组装成一个产品M ，甲和乙两种初级产品均为A 级时组合而成产品M 为合格品，其余均为次品．该厂在生产甲和乙两种初级产品时的等级概率如下表： (Ⅰ)求该产品M 为合格品的概率；(Ⅱ)由于产品M 受国家强制认证，只有合格品被允许进入市场销售，其余产品必须销毁，已知生产一件产品M 可获利1500万元，销毁一件产品M 损失400万元，预计今年该厂生产甲、乙初级产品各3件，求今年该厂生产产品M 获纯利润的数学期望．18．（本小题满分12分）已知直四棱柱''''D C B A ABCD -，四边形ABCD 为正方形，'AA =2AB=2，E 为棱CC ′的中点．(1) 求证：BDE A 面⊥E '；(2)设F 为AD 中点， G 为棱'BB 上一点，且 FG//面BDE ，求的余弦值二面角B DE G --．．19．（本小题满分13分）已知离心率为22的椭圆C 1:12222=+by a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2, 椭圆C 1与抛物线C 2:的交点的横坐标为x y -=22-．概 率 产品 产品级别BA 甲乙910 89 110 19（1）求椭圆的标准方程；（2）如果直线l:m kx y += 与椭圆相交于P 1、P 2两点,设直线P 1F 1与P 2F 1的倾斜角分别为πβαβα=+当,,时，求证：直线l 必过定点．20．（本小题满分13分）设函数()pf x px x=-，()2ln m x x =．。

安徽省岳西中学、野寨中学2010届高三联考数学理试题总分：150分 时间：120分钟（命题范围：集合与逻辑、函数与导数、三角与向量、数列与不等式、解析几何） 第Ⅰ卷（选择题·填空题 共75分）一、选择题（每小题5分，共50分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若P=｛1、2、3、4、5｝，Q=｛0、2、3｝，且定义A B -=｛|x A x ∈且B x ∉｝，那么()()P Q Q P --=（ ）A. B. ｛0、1、2、3、4、5｝ C ｛0｝ D ｛0、1、4、5｝2. 2＜＜6是方程16222=-+-m y m x 表示椭圆的（ ）条件。

A . 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要3．等差数列}{n a 中，21=a ，公差0≠d ，且1a 、3a、11a 恰好是某等比数列的前三项， 那么该等比数列的公比为（ ）A ．2B ．21C ．41D ．44、若直线4mx ny +=和圆O ：422=+y x 没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个5. 已知函数x e xe xf -+=ln)(，若b a f -=-)(，则=)(a f （ ） A. b 1 B. b 1-C. bD. b -6. 双曲线12222=-b y a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.3D.27. 若a, b, c 是三角形ABC 的角A 、B 、C 所对的三边，向量)sin ,sin sin (C B b A a m -=， ),1(c b n +-=,若n m ⊥,则三角形ABC 为（ ）三角形。

A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定8. 如图，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A. 6B. 4C. 3D.29. 若()f x 是定义在上的函数，对任意的实数，都有 (4)()4f x f x +≤+和,2)()2(+≥+x f x f 且21=）（f ，则）（2009f 的值是（ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．201110．如果函数()f x 对任意的实数，存在常数M,使得不等式()f x M x≤恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函，下面四个函数：①1)(=x f ； ②2)(x x f =；③x x x x f )cos (sin )(+=； ④1)(2++=x x x x f ．其中属于有界泛函的是（ ）．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④ 二、填空题：（每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷的相应位置）11. 已知函数()3sin(),()3cos(),f x x g x x ωϕωϕ=+=+若对任意,x R ∈都有()(),33f x f x ππ+=-则()3g π=________．12. 对于任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么的取值范围是 13. 曲线42x y =上一点到直线1--=x y 的距离的最小值为14. 由曲线141,122+-=+-=x y x y 及轴围成的封闭图形的面积为15．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数、R b ∈满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅，2)2(=f ，n f a n n )2(=*)(N n ∈，n n n f b 2)2(=（*N n ∈），考察下列结论，①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n b 为等差数列；④数列}{n a 为等比数列，其中正确的是_______ （填序号） 第Ⅱ卷（解答题 共75分） 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

2010-2011学年安徽省某校高三大联考数学试卷（理科)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 设全集为实数集R，M={x|x≤1+√2,x∈R}，N＝{1, 2, 3, 4}，则∁R M∩N＝（）A {4}B {3, 4}C {2, 3, 4}D {1, 2, 3, 4}2. 已知α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 将函数y=cos3x的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是（）A y=cos(3x+π4) B y=cos(3x−π4) C y=cos(3x+3π4) D y=cos(3x−3π4)4. 在程序框图中，若x=5，则输出的i的值是（）A 2B 3C 4D 55. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能（）A B C D6. 在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是( )A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形7. 已知周期为2的偶函数f(x)的区间[0, 1]上是增函数，则f(−6.5)，f(−1)，f(0)的大小关系是（）A f(−6.5)<f(0)<f(−1)B f(0)<f(−6.5)<f(−1)C f(−1)<f(−6.5)<f(0) D f(−1)<f(0)<f(−6.5)8. 设数列1，(1+2)，…，(1+2+...+2n−1)，…的前n项和为S n，则S n等于（）A 2nB 2n −nC 2n+1−nD 2n+1−n −2 9. 方程x 3+xy 2=2x 所表示的曲线是（ ）A 一个点B 一条直线C 一条直线和一个圆D 一个点和一条直线10. 已知函数y =f(x)的定义域为R ，当x <0时，f(x)>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f(x)f(y)=f(x +y)恒成立．若数列{a n }满足a 1=f(0)，且f(a n+1)=1f(−2−a n )(n ∈N ∗)，则a 2010的值为（ ）A 4016B 4017C 4018D 4019二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 若|a →|=2，|b →|=4，且(a →+b →)⊥a →，则a →与b →的夹角是________． 12. ∫ 2−2√4−x 2dx =________．13. 规定符号“△”表示一种运算，即a △b =√ab +a +b ，其中a 、b ∈R +；若1△k ＝3，则函数f(x)＝k △x 的值域________．14. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．15. 已知函数f(x)=13x 3+ax 2−bx +1(a,b ∈R)在区间[−1, 3]上是减函数，则a +b 的最小值是________．三、解答题（共6小题，满分75分））16. 已知向量a →=(1+sin2x,sinx −cosx)，b →=(1,sinx +cosx)，函数f(x)=a →⋅b →． (1)求f(x)的最大值及相应的x 的值； (2)若f(θ)=85，求cos2(π4−2θ)的值．17. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．18. 试问能否找到一条斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆x 23+y 2=1交于两个不同点M ，N ，且使M ，N ，且使M ，N 到点A(0, 1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =2，AC =AA 1=2√3，∠ABC =π3．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A −A 1C −B 的正弦值．20. 已知直线y =−2x −23与曲线f(x)=13x 3−bx 相切．（1）求b 的值（2）若方程f(x)=x 2+m 在(0, +∞)上有两个解x 1，x 2． 求：①m 的取值范围 ②比较x 1x 2+9与3(x 1+x 2)的大小．21. 数列{a n }各项均为正数，s n 为其前n 项的和，对于n ∈N ∗，总有a n ，s n ，a n 2成等差数列． （1）数列{a n }的通项公式；（2）设数列{1a n}的前n 项的和为T n ，数列{T n }的前n 项的和为R n ，求证：当n ≥2时，R n−1=n(T n −1) （3）设A n 为数列{2a n −12a n}的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式A n √2a n +1<a 对一切n ∈N +都成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．2010-2011学年安徽省某校高三大联考数学试卷（理科)答案1. B2. D3. C4. C5. D6. C7. B8. D9. C 10. D 11. 2π3 12. 2π13. (1, +∞) 14.5√3315. 2 16.解：(1)因为a →=(1+sin2x,sinx −cosx)，b →=(1,sinx +cosx)， 所以f(x)=1+sin2x +sin 2x −cos 2x =1+sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)+1.因此，当2x −π4=2kπ+π2，即x =kπ+38π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值√2+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ−cos2θ及f(θ)=85得sin2θ−cos2θ=35，两边平方得1−sin4θ=925，即sin4θ=1625．因此，cos2(π4−2θ)=cos(π2−4θ) =sin4θ=1625．17. 解：(1)因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名． (2)因为由上问求得；在甲中抽取2名工人， 故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P =C 41⋅C 61C 102=815.(3)ξ的可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 42C 102⋅C 31C 51=675，P(ξ=1)=C 41C 61C 102⋅C 31C 51+C 42C 102⋅C 21C 51=2875， P(ξ=3)=C 62C 102⋅C 21C 51=1075，P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=3175，故Eξ=0×675+1×2875+2×3175+3×1075=85．18. 解：设直线l:y =kx +m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可由{y =kx +m x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2+6mkx +3m 2−3=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则x p =x 1+x 22=−3mk 1+3k 2，y p =kx p +m =m1+3k 2，∴ k AP =3k 2−m+13mk．∵ AP ⊥MN∴3k 2−m+13mk=−1k(k ≠0)，故m =−3k 2+12．由△=36m 2k 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)=9(1+3k 2)．(1−k 2)>0， 得−1<k <1，且k ≠0．故当k ∈(−1, 0)∪(0, 1)时，存在满足条件的直线l ． 19. (1)证明：在△ABC 中， 由正弦定理可求得sin∠ACB =12⇒∠ACB =π6，∴ AB ⊥AC以A 为原点，分别以AB 、AC 、AA 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0, 0, 0)，A 1(0,0,2√3)，B(2, 0, 0)，C(0,2√3，0) AB →=(2,0,0)，A 1C →=(0,2√3,−2√3)， AB →⋅A 1C →=0⇒AB →⊥A 1C →， 即AB ⊥A 1C ．(2)解： 由(1)知A 1B →=(2,0,−2√3)，设A 1CB 的一个法向量为n →=(x,y,2)， {n →⋅A 1B →=2x −2√3z =0，n →⋅BC →=−2x +2√3y =0， 令x =√3，则y =1,z =1， 则n →=(√3,1,1)，又∵ 平面AA 1C 的一个法向量为m →=(1,0,0)，设二面角A −A 1C −B 的大小为θ，且θ<π2, |cosθ|=|cos <n →，m →>|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√31×√5=√155， ∴ sinθ=√1−cos 2θ=√105.20. 解：（1）∵ f(x)=13x 3−bx ，∴ f ′(x)=x 2−b设切点为(x 0, y 0)，依题意得{13x 03−bx 0=y 0y 0=−2x 0−23x 02−b =−2解得：b =3（2）设ℎ(x)=f(x)−x 2−m =13x 3−x 2−3x −m则ℎ′(x)=x 2−2x −3=(x +1)(x −3)．1令ℎ′(x)=023，得x =−14或x =35在(0, 3)6上，ℎ′(x)<07， 故ℎ(x)在(0, 3)上单调递减，在(3, +∞)上，ℎ′(x)>0， 故ℎ(x)在(3, +∞)上单调递增，若使ℎ(x)图象在(0, +∞)内与x 轴有两个不同的交点， 则需{ℎ(0)=−m >0ℎ(3)=−9−m <0，∴ −9<m <0此时存在x >3时，ℎ(x)>0，例如当x =5时，ℎ=1253−25=15−m =53−m >0．∴ ①所求m 的范围是：−9<m <0．②由①知，方程f(x)=x 2+m2在(0, +∞)3上有两个解x 1，x 2，满足0<x 1<3，x 2>3，x 1x 2+9−3(x 1+x 2)=(3−x 1)(3−x 2)<0， x 1x 2+9<3(x 1+x 2)．21. 解：（1）由已知有2S n =a n +a n 2．当n =1时，2a 1=a 1+a 12⇒a 1=1，当n ≥2时，2S n−1=a n−1+a n−12，∴ 2S n =a n +a n 2，两式相减有：2a n =a n −a n−1+a n 2−a n−12， 即a n −a n−1=1． 所以a n =n ．（2）由（1）得T n =1+12+13++1n，R n =T 1+T 2+T 3+...+T n ．当n =2时，R n−1=R 1=T 1=1，n(T 2−1)=1， 故当n =2时命题成立．假设n =k 时成立，即R k−1=k(T k −1)，则当n =k +1时，R k =R k−1+T k =k(T k −1)+T k =(k +1)T k −k =(k +1)(T k −kk+1)=(k +1)(T k +1k+1−1)=(k +1)(T k+1−1)， 说明当n =k +1时命题也成立．（3）据已知A n=(1−12a1)(1−12a2)…(1−12a n)，则：g(n)=A n√2n+1=√2n+1(1−1 2a1)(1−12a2)…(1−12a n)，g(n+1)g(n)=(1−12a n+1)√2n+3√2n+1=√2n+3(2n+2)√2n+1<1故g(n)单调递减，于是[g(n)]max=g(l)=√32要使不等式A n√2a n+1<a对一切n∈N+都成立只需a>√32即可．。

2010年安徽省高考数学试卷(理科)及解析第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）是虚数单位，i =+ii 33（A ）（B ）（C ）（D ）12341-i 12341-i 6321+i 6321-（2）若集合，则}21log |{21≥=x x A =A C R （A ）（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22（C ）（D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,(⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22（3）设向量，则下列结论中正确的是)21,21(),0,1(==b a （A ）（B ）（C ）垂直（D ）||||b a =22=⋅b a b b a 与-ba //（4）若是R 上周期为5的奇函数，且满足则=)(x f ,2)2(,1)1(==f f )4()3(f f -（A ）-1（B ）1（C ）-2（D ）2（5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为1222=-y x （A ）（B ）（C ）（D ）)0,22()0,25()0,26()0,3(（6）设，二次函数的图象可能是0>abc c bx ax x f ++=2)(（7）设曲线C 的参数方程为（为参数），直线的方程为⎩⎨+-=θsin 31y θl ，则曲线C 到直线的距离为的点的个数为023=+-y x l 10107（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A ）280（B ）292（C ）360（D ）372（9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，),(y x A 122=+y x 12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是，则当)23,21(时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递120≤≤t 增区间是（A ）[0，1]（B ）[1，7]（C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]、（10）设是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，}{n a 则下列等式中恒成立的是（A ）（B ）Y Z X 2=+)()(X Z Z X Y Y -=-（C ）（D ）XZY=2)()(X Z X X Y Y -=-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何”的否定是．3|4||2|,>-+-∈x x R x （12）的展开式中，的系数等于 ．6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 3x（13）设满足约束条件若目标函数的最大y x ,⎪⎩⎪⎨≥≥≤--,0,0,048y x y x )0,0(>>+=b a y abx z 值为8，则的最小值为 ．b a +（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值．=x （15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．①；52)(1=B P ②；115)|(1=A B P ③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．)(B P 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且ABC ∆c b a ,,.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若（其中）．12,AB AC a ⋅==c b ,c b <（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x∈+-= （I ）求的单调区间与极值；)(x f （II ）求证：当时，012ln >->x a 且.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，BF=FC ，H 为BC 的中点.,90︒=∠BFC （I ）求证：FH//平面EDB ； （II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求的角平分线所在直线的方程；21AF F ∠l （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，l 请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列中的每一项都不为0.,,,21 a a ,n a 证明，为等差数列的充分必要条件是：}{n a 对任何，都有N n ∈.1111113221++=+++n n n a a na aa a a a ABCDEFH（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在4321,,,a a a a 第二次排序时的序号，并令则X 是对两.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=次排序的偏离程度的一种描述. （I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；4321,,,a a a a （III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，2≤X （i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.2010年高考安徽卷理科数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2010届安徽省皖南八校高三第三次联考数学(理)(WORD版)安徽省皖南八校2010届高三第三次联考数学（理）（WORD版）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{1,0,1,5,8},{|1}A B x x=-=>，则A B =_____.A.{0,1,5,8}B.{1,5,8}C.{5,8}2.复数2z i=（i为虚数单位），则21z+=A.1i+B. 1i-C.12i+D. 1-3.已知双曲线2212x ya-=的一条渐近线为y=，则实数a的值为____.B. 2 D. 44. 已知二次函数()f x的图象如右上图所示，则其导函数()f x'的图象大致形状是_____.A B C5.设,αβ为互不相同的两个平面，,m n的两条直线，且,,m m αβ⊥⊥则n α⊥“” 是nβ⊥“”的____条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C .充分必要D.既不充分也不必要 6.已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为____. 7.在ABC中，AB =2AC =,若ABC 则AO BC •=____.A.12B.25C.13D.142 俯视2 1 1正视1 1 AB2C2D输入ix第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11.某班要从8名同学中选4人参加校运动会的4100⨯米接力比赛，其中甲、乙两名同学必须入选，而且甲、乙两人必须跑第一棒或最后一棒，则不同的安排方法共有_____种（用数字作答）.12.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，为：cos()13πρθ-=，,M N 的交点，则MN 的中点P 的坐标为______. 13.设k 是一个正整数，(1)kx k+的展开式中3x 的系数为116， 则函数2y x =与3y kx =-的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为____. 14.已知函数2()cos 2(0,0)f x A x A ωω=+>>的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则1(2)(4)(6)(20)f f f f ++++=_____.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，线段1B C 上有一个动点,P 线段11A C 有两个动点E F 、，且2EF a =，现有如下四个结论：○1点E F 、在棱11A C 上运动时，三棱锥B CEF -的体积为定值；○2点P 在直线1B C 上运动时，直线1A P 与平面11ACD 所成角的大小不变；○3点P 在直线1B C 上运动时，直线1AD 与1A P 所成角的大小不变；○4点M 是底面ABCD 所在平面上的一点，且到直线AD与直线1CC 的距离相等，则M 点的轨迹是抛物线.其中正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16. （本小题满分12分） 在ABC中，,,a b c 分别为内角..A B C的对边，且222sin sin sin sin sin A B C A B+-=•.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2,c =求ABC面积的最大值.17.（本小题满分12分）某电视台为了宣传安徽沿江地带经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动随机对安徽1848岁的人群抽样了n 人，回答问题“沿江城市带包括哪几个城市”？统计数据结果如下图表：组数 分组 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 [18,28) 240 x 第2组 [28,38) 3000.6 第3组 [38,48] a0.4（Ⅰ）分别求出,,n a x 的值；（Ⅱ）若以表中的频率近似看作各年龄组回答正确问题的概率，规定年龄在[38,48]的回答正确得奖金200元，年龄在[18,28)的回答正确得100元.主持人随机请一家庭的两个成员（父亲46岁，孩子21岁）回答问题，求该家庭获得奖金ξ的分布列及期望（两人回答问题正确与否相互独立）. 18.（本小题满分13分）如图正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱A1A 1BBCE D 1C，经过对角线1AB 的平面交棱11A C 于点D .（Ⅰ）试确定D 点的位置使平面11||AB D BC ，并证明你的结论；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角11A AB D --的大小.19.（本小题满分12分） 设等差数列{}na 的公差为(0)d d >，且满足：254655,22a a a a =+=.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb 的前n 和为n a ，数列{}n b 和数列{}nc 满足等式：2nn nc b =，求数列{}nc 的前n 项和nS .20. （本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOyAB的中点为O ，,,AD AB ADBC ⊥4,3,AB BC AD ===以,A B 为焦点的椭圆经过点C . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若点(0,1)E ，问是否存在直线l ,M N两点且||||ME NE =,若存在求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分13分）设2()2,()ln .f x xg x a x bx =+=+（Ⅰ）若()g x 在1x =处的的切线方程为210x y --=，求()()()2F x f x g x =--的单调区间；（Ⅱ）设()()()G x f x g x =-有两个不同的零点12,x x ，且0122x x x =+，试探究0()G x '值的符号.参考答案1-5CBDCC 6-10BCABD 11、6012、13、4314、38 15、○1○3○416、（Ⅰ）3C π=（Ⅱ）11sin 42)222ABCSab C a b =≤⨯⨯===17、（Ⅰ）1000,80,0.8n a x === （Ⅱ）ξ的分布列如下：ξ 0 100 200 300P0.12 0.48 0.08 0.32所以160E ξ=18、（Ⅰ）D 为棱11A C 的中点时满足（Ⅱ）4π19、（Ⅰ）21n a n =+（Ⅱ）222n n S +=+20、（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）11(,)22-21、（Ⅰ）()F x 的单调减区间为，单调增区间为[1,)+∞（Ⅱ）略。

2010年安徽省某校高三联考数学试卷（理科）一、选择题： 1. 已知a 是实数，(a−i)(1−i)i是纯虚数，则a 的值为（ ）A 1B −1C √2D −√2 2. 函数f(x)=11+|x|的图象大致是（ ）A B C D3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8=6+a 11，则S 9的值等于（ ） A 54 B 45 C 36 D 274. 最小二乘法的原理是（ ）A 使得∑[n i=1y i −(a +bx)]最小B 使得∑[n i=1y i −(a +bx)2]最小 C 使得∑[n i y i 2−(a +bx)2]最小 D 使得∑[n i=1y i −(a +bx)]2最小5. 已知a ，b ，l 表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题： ①若α∩β=a ，β∩γ=b ，且a // b ，则α // γ；②若a ，b 相交，且都在α、β外，a // α，a // β，b // α，b // β，则α // β； ③若α⊥β，α∩β=a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α． 其中正确命题的序号是（ ）A ①②B ②③C ③④D ①④6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A f(x)=x 2B f(x)=|x|xC f(x)=e x −e −x e x +e −xD f(x)=1+sinx−cosx 1+sinx+cosx7. 双曲线x 23−16y 2p 2=1(p >0)的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A 43 B √3 C2√33D 4 8. “对任意的正整数n ，不等式nlga <(n +1)lga a (a >0)都成立”的一个充分不必要条件是（ ）A 0<a <1B 0<a <12 C 0<a <2 D 0<a <12或a >19. 设a ∈{1, 2, 3, 4}，b ∈{2, 4, 8, 12}，则函数f(x)=x 3+ax −b 在区间[1, 2]上有零点的概率是（ ）A 12B 58C 1116D 3410. 在四面体ABCD 中，已知DA =DB =DC =1，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面上与点A 距离为2√33的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（ ）A√33π B √3π C 5√36π D √32π二、填空题（25分）：11. 在极坐标第中，圆ρ=4上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=6的距离的最大值是________． 12. 已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=14，则S n =a 1+a 2+...+a n (n ∈N ∗)的取值范围是________．13. 设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x|x <0}；q ：函数y =lg(ax 2−x +a)的定义域为R ．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△OAB 中，点P 是线段OB 及线段AB 延长线所围成的阴影区域（含边界）的任意一点，且OP →=xOA →+yOB →则在直角坐标平面内，实数对(x, y)所示的区域在直线y =4的下侧部分的面积是________．15. 已知函数f(x)=msinx +ncosx ，且f(π4)是它的最大值，（其中m 、n 为常数且mn ≠0）给出下列命题： ①f(x +π4)是偶函数； ②函数f(x)的图象关于点(7π4，0)对称；③f(−3π4)是函数f(x)的最小值；④记函数f(x)的图象在y 轴右侧与直线y =m2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|=π； ⑤mn =1．其中真命题的是________（写出所有正确命题的编号）三、解答题（共6小题，满分75分）16. 在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量m→=(2sin(A+C)，−1)，且向量m→、n→共线．√3)，n→=(cos2B,2cos2B2(1)求角B的大小；(2)如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．17. 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．（1）求证：BB1⊥平面ABC；（2）求多面体DBC−A1B1C1的体积；（3）求二面角C−DA1−C1的平面角的余弦值．19. 已知数列{a n}满足：a1=2t，t2−2ta n−1+a n−1a n=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．（1）求证：数列{1}为等差数列；a n−t（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=a n，求数列{b n}的前n项和为S n．(n+1)220. 如图，过圆x 2+y 2=4与x 的两个交点A 、B ，作圆的切线AC 、BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线，交AC 、BD 于C 、D 两点，设AD 、BC 的交点为R ． （1）求动点R 的轨迹E 方程；（2）过曲线E 的右焦点作直线l 交曲线E 于M 、N 两点，交y 轴于P 点，记PM →=λ1MF →，PN →=λ2NF →，求证：λ1+λ2为定值．21. 设函数f(x)=x 2+2lnx ，用f′(x)表示f(x)的导函数，g(x)=(x 2−m 212)f′(x)，其中m ∈R ，且m >0．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若对任意的x 1、x 2∈[13,1]都有f′(x 1)≤g′(x 2)成立，求m 实数的取值范围；（3）试证明：对任意正数a 和正整数n ，不等式[f′(a)]n −2n−1f′(a n )≥2n (2n −2)．2010年安徽省某校高三联考数学试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. C8. B9. C 10. D 11. 7 12. [4, 8)13. (0, 12]∪[1, +∞)14. 9215. ①②③⑤16. 解：(1)∵ 向量m →、n →共线，∴ 2sin(A +C)(2cos 2B 2−1)−√3cos2B =0， 又A +C =π−B ，∴ 2sinBcosB −√3cos2B =0即sin2B =√3cos2B ， ∴ tan2B =√3，又锐角△ABC ，得到B ∈(0, π2)， ∴ 2B ∈(0, π)， ∴ 2B =π3，故B =π6； (2)由(1)知：B =π6，且b =1，根据余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得：a 2+c 2−√3ac =1，∴ 1+√3ac =a 2+c 2≥2ac ， 即(2−√3)ac ≤1，ac ≤2−√3=2+√3， ∴ S △ABC =12acsinB =14ac ≤2+√34，当且仅当a =c =√6+√22时取等号， ∴ △ABC 的面积最大值为2+√34．17. 设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A ， 则P(A)＝(1−12)(1−23)(1−23)=118(1−23)(1−23)=118，由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5， P(ξ＝0)=(1−12)4(1−23)=148，P(ξ＝1)=C 41⋅12⋅(1−12)3⋅(1−23)+(1−12)4⋅23=18， P(ξ＝2)=C 42(12)2(12)2(1−23)+C 41⋅12⋅(1−12)3⋅23=724，P(ξ＝3)=C 43(12)3(1−12)⋅(1−23)+C 42(12)2⋅(1−12)2⋅23=13， P(ξ＝4)=(12)4⋅(1−23)+C 43(12)3⋅(1−12)⋅23=316，P (ξ＝5)=(12)4⋅23=124，所以随机变量的分布列为：故Eξ=0×148+1×18+2×724+3×13+4×316+5×124=83． 18. 证明：∵ AC ＝BC ，D 为AB 的中点．∴ CD ⊥AB又∵ CD ⊥DA ，∴ CD ⊥平面ABB 1A 1∴ CD ⊥BB 1 又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ∴ BB 1⊥面ABC ．V 多面体DBC−A1B1C1＝V 棱柱ABC−A1B1C1−V 棱锥A1−ABC ＝S △ABC ⋅AA 1−13S △ADC ⋅AA1＝S △ABC ⋅AA 1−13×12S △ABC ⋅AA 1 =56S △ABC ⋅AA 1 =103以 C 为原点，分别以CB →,CC 1→,CA →所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则C(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，A(0, 0, 2)，C 1(0, 2, 0)，A 1(0, 2, 2)∴ D(1, 0, 1) 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)是面CDA 1的一个法向量， 则由{n 1→⋅CD →=0n 1→⋅CA 1→=0 得{x 1+z 1=02y 1+2z 1=0可取n 1→=(1, 1, −1)同理设n 2→=(x 2,y 2,z 2)是面DA 1C 1的一个法向量， 且C 1D →=(1, −2, 1)C 1A 1→=(0, 0, 2) 则由{n 2→⋅C 1→D =0n 2→⋅C 1A 1→=0得{x 2−2y 2+z 2=02z 2=0取n 2=→(2,1,0) ∴ cos <n 1→,n 2→>=|n 1→⋅n 2→|n 1→|×|n 2→||=√3×√5=√155二面角C −DA 1−C 1为锐二面角，所以其平面角的余弦值为√155． 19. 证明：（1）∵ t 2−2ta n−1+a n−1a n =0，∴ (t 2−ta n−1)−(ta n−1−a n−1a n )=0， 即t 2−ta n−1=ta n−1−a n−1a n ， ∵ t −a n−1≠0∴1a n −t =a n−1t(a n−1−t)=a n−1−t+t t(a n−1−t)=1t+1a n−1−t即1an−t−1a n−1−t=1t ∴ 数列{1a n −t}为等差数列；解：（2）由(I)得数列{1a n−t}为等差数列，公差为1t ， ∴1a n −t=1a 1−t+1t(n −1)=n t∴ a n =tn+t（3）b n =a n(n+1)2=(n+1)tn (n+1)2=t n(n+1)=t ⋅(1n −1n+1)∴ S n =b 1+b 2+...+b n =t[(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)]=t(1−1n+1)=ntn+120. 解：（1）设H 点的坐标为(x 0, y 0)，则x 02+y 02=4由题意得y 0≠0，且以H 为切点的圆的切线的斜率为：−x0y 0，故切线的方程为：y −y 0=−x0y 0(x −x 0)即以H 为切点的圆的切线方程为：x 0x +y 0y =4． ∵ A(−2, 0)，B(2, 0)将x =±2代入上述方程得C(−2, 4+2x 0y 0)，D(2, 4−2x 0y 0)则直线AD 的方程为：y 4−2x 0y 0=x+24，直线BC 的方程为：y4+2x 0y 0=x+2−4，将两式相乘并化简得动点R 的轨迹方程为：x 24+y 2=1．（2）由（1）得曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆且其右焦点为F(√3, 0)， ①当直线l 的斜率为0时，M ，N ，P 三点在x 轴上，不妨设M(2, 0)，N(−2, 0)且P(0, 0)，此时有|PM|=2，|MF|=2−√3，|PN|=2，|NF|=2+√3 所以λ1+λ2=PM →MF→+PN →NF→=|PM||MF|−|PN||NF|=2−√32+√3=−8．②当直线l 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：x =my +√3 则点P 的坐标为(0, −√3m )，且设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 联立{x =my +√3x 2+4y 2=4消去x 可得：(m 2+4)y 2+2√3my −1=0 则y 1+y 2=−2√3mm 2+4，y 1y 2=−1m 2+4所以λ1+λ2=y 1+√3m−y 1+y 2+√3m−y 2=−2−√3m ⋅y 1+y 2y 1y 2=−8．所以λ1+λ2为定值为−8．21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)f′(x)=2x +2x∴ f′(x)>0在(0, +∞)恒成立故f(x)的单调递增区间为(0, +∞)，无单调递减区间． （2）据题意，问题转化为f′(x)最大值≤g′(x)的最小值 令⌀(x)=f′(x) ∵ ⌀′(x)=2−2x 2=2(x+1)(x−1)x 2当x ∈[13，1]时，⌀′(x)<0 ∴ ⌀(x)在[13,1]为减函数∴ ⌀(x)在[13，1]的最大值为⌀(13)=203∵ g(x)=(x 2−m 212)f′(x)=(x 2−m 212)(2x +2x )=2x 3+(2−m 26)x −m 26x∴ g′(x)=6x 2+m 26x 2+2−m 26令t =6x 2则ℎ(t)=t +m 2t+2−m 26由x ∈[13，1]知t ∈[23，6]转化为求函数ℎ(t)=t +m 2t+2−m 26在[23，6]上最小值又ℎ(t)=t +m 2t+2−m 26≥2m +2−m 26（当且仅当t =m 时取等号）①若23≤m ≤6时，g′(x)的最小值为ℎ(m)=2m +2−m 26此时由f′(x)最大值≤g′(x)的最小值得2m +2−m 26≥203解得6−2√2≤m ≤6+2√2∴ 6−2√2≤m ≤6②若m >6时，函数y =ℎ(t)在[23,6]上为减函数即g′(x)的最小值为ℎ(6)6+m 26+2−m 26=8由题意有8>203恒成立∴ m >6③若m <23时，函数y =ℎ(t)在[23，6]为增函数，则g′(x)的最小值为ℎ(23)=83+43m 2 因此，必须83+43m 2≥203此时无解综上所述，m 实数的取值范围[6−6√2，+∞)(III)问题即证2n (a +1a )n −2n−1×2(a n +1a n )≥2n (2n −2)即证(a+1a )n−(a n+1a n)≥2n−2下面用数学归纳法证明当n=1时，左边=0，右边=0不等式成立假设n=k(k≥1)时成立即(a+1a )k−(a k+1a k)≥2k−2则当n=k+1时，(a+1a )k+1−(a k+1+1a k+1)=(a+1a)k(a+1a)−(a k+1+1a k+1)≥(2k−2)×2+2=2k+1−2即当n=k+1时原不等式成立。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学答案1．B14===+，选B ．2．A 【解析】不等式1211221log log ()2x ≥(0)x >，解得0x <，所以A =R ð2(,0],⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭．3．D 【解析】||1=a ，||=b ；11110222⋅=⨯+⨯=a b ；211()||022-⋅=⋅-=-=a b b a b b ，-a b 与b 垂直． 4．A 【解析】由于函数()f x 的周期为5，所以(3)(4)f f -=(2)(1)f f ---，又()f x 为R上的奇函数，∴(2)(1)f f ---=(2)(1)211f f -+=-+=-．5．C 【解析】双曲线的2211,2a b==，232c =，c =，所以右焦点为⎫⎪⎪⎝⎭． 6．D 【解析】A 项，由图象开口向下0a <，由对称轴位置知02ba-<，所以0b <．若0abc >，则0c >，而由题图知(0)0f c =<，所以A 项不符；B 项，由题意知0a <，02ba->，所以0b >．若0abc >，则0c <，而由题图知(0)0f c =>，所以B 项不符；C 项，由题图知0a >，02ba-<，所以0b >．若0abc >，则0c >，而由题图知(0)0f c =<，所以C 项不符；D 项，由题图知0a >，02ba ->，所以0b <．若0abc >，则0c <，而由题图知(0)0f c =<，所以D 项正确．7．B 【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320xy -+=的距离3d==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的23>l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B ．8．C 【解析】该几何体的直观图如图，则所求表面积为2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选C ．9．D 【解析】由已知可得该函数的最小正周期为12T =，则26T ππω==，又当0t =时，A 的坐标为1(2，∴此函数为sin()63y t ππ=+，t ∈[0，12]，可解得此函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．10．D 【解析】根据等比数列的性质：若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列，即X ，Y ﹣X ，Z ﹣Y 成等比数列，故(Y ﹣X)2=X(Z ﹣Y)，整理得Y(Y ﹣X)=X(Z ﹣X)，故选D ．11．存在x ∈R ，使得|2||4|3x x -+-≤【解析】由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|2||4|3x x -+-≤”．12．15(若只写26C 或46C ，也可)【解析】6的通项为3363622166C (C (1)r r r r r r r r T x y---+==-， 令3632r -=，得2r =，3302r -=，故3x 的系数为226C (1)15-=． 13．4【解析】原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线(0,0)z abx y a b =+>>过直线220x y -+=与直线840x y --=的交点(1，4)时，目标函数(0,0)z abx y a b =+>>取得最大值8，即84ab =+，4ab =，∴4a b +=≥．14．12【解析】当x =1时，执行x =x +1后x =2；当x =2时，执行x =x +2后x =4，再执行x =x +1后x =5；当x =5时，执行x =x +1后，x =6；当x =6时，执行x =x +2后x =8，再执行x =x +1后x =9；当x =9时，执行x =x +1后x =10；当x =10时，执行x =x +2后x =12，此时12>8，因此输出的x 的值为12．15．②④【解析】由题意知()P B 的值是由123,,A A A 中某一个事件发生所决定的，故①③错误；∵11115()5211(|)1()112P BA PB A P A ⨯===，故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确的结论的编号是②④． 16．【解析】(Ⅰ)因为2211sin (cos sin )(sin )sin 2222A B B B B B =+-+222313cos sin sin 444B B B =-+=， 所以sin 2A =±．又A 为锐角，所以3A π=．(Ⅱ) 由12AB AC ⋅=可得cos 12cb A =． ① 由(1)知3A π=，所以24cb =． ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b +=，③ 由③+②×2，得2()100c b +=，所以10c b +=． 因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根． 解此方程并由c b >知c =6，b =4．17．【解析】(1)由()22xf x e x a =-+，x ∈R 知()2xf x e '=-，x ∈R ．令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞()f x 在ln 2x =处取得极小值，极小值为ln2(ln 2)2ln 222(1ln 2)f e a a =-+=-+． (2)设2()21x g x e x ax =-+-，x ∈R ，于是()22x g x e x a '=-+，x ∈R ． 由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0g a '=-+>． 于是对任意x ∈R ，都有()g x '>0，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意x ∈(0，+∞)，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意x ∈(0，+∞)，()g x >0． 即221xe x ax -+->0，故221xe x ax >-+．18．【解析】(Ⅰ)解法一 设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，∴GH ∥12AB ．又EF ∥12AB ， ∴EF ∥GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ．而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB ．(Ⅱ)由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ．又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ． 而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ， ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ． 又BF =FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC ．∴FH ⊥平面ABCD ．∴FH ⊥AC ．又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ，∴AC ⊥平面EDB ．(Ⅲ)∵EF ⊥FB ，∠BFC =90°⇒BF ⊥FC ，∴BF ⊥平面CDEF ． 在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE ，交DE 的延长线于K ， 则∠FKB 为二面角B ﹣DE ﹣C 的一个平面角．设EF =1，则AB =2，FC DE BF又EF ∥DC ，∴∠KEF =∠EDC ，∴sin ∠EDC =sin ∠KEF∴FK =EF sin ∠KEF，tan ∠FKB =BF FK =FKB =60°． ∴二面角B ﹣DE ﹣C 为60°．解法二 ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ．又EF ∥AB ， ∴EF ⊥BC ．又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ．∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ．又BF =FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC ．以H 为坐标原点，HB 为x 轴正向，HF 为z 轴正向建立如图所示的坐标系． 设BH =1，则H (0，0，0)，A (1，﹣2，0)，B (1，0，0)，C (﹣1，0，0)，D (﹣1，﹣2，0)，E (0，﹣1，1)，F (0，0，1)．(Ⅰ)设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则G (0，﹣1，0)，∴GE =(0，0，1)，又HF =(0，0，1)， ∴HF ∥GE ．∵GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EDB ．(Ⅱ)∵AC =(﹣2，2，0)，GE =(0，0，1)，AC ·GE =0，∴AC ⊥GE ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ，∴AC ⊥平面EDB ． (Ⅲ)BE =(﹣1，﹣1，1)，BD =(﹣2，﹣2，0)． 设平面BDE 的一个法向量为111(1,,)y z =n ， 则BE ·1n =﹣1﹣1y +1z =0，BD ·1n =﹣2﹣21y =0， ∴1y =﹣1，1z =0，即1n =(1，﹣1，0)．CD =(0，﹣2，0)，CE =(1，﹣1，1)．设平面CDE 的一个法向量为2n =(1，2y ，2z )，则2n ·CD =0，即2y =0，2n ·CE =0，即1﹣2y +2z =0，2z =﹣1， 故2n =(1，0，﹣1)，1212121cos ,|||2⋅<>===n n n n |n n ，∴<1n ，2n >=60°，即二面角B ﹣DE ﹣C 为60°．19．【解析】(Ⅰ)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，由12e =，即12c a =，得2a c =，得22223b a c c =-=． ∴椭圆方程可化为2222143x y c c+=．将A (2，3)代入上式，得22131c c +=，解得c =2，∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． (Ⅱ)解法一 由(1)知1F (﹣2，0)，2F (2，0)，所以直线1AF 的方程为：3(2)4y x =+，即3460x y -+=，直线2AF 的方程为：2x =． 由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设(,)P x y 为l 上任一点，则|346||2|5x y x -+=-．若346510x y x -+=-，得280x y +-=(因其斜率为负，舍去)． 于是，由346510x y x -+=-+，得210x y --=，所以直线l 的方程为：210x y --=．解法二 ∵A (2，3)，1F (﹣2，0)，2F (2，0)，∴1AF =(﹣4，﹣3)，2AF =(0，﹣3)． ∴122115||||AF AF AF AF += (﹣4，﹣3)+13 (0，﹣3)=﹣45 (1，2)．∴1k =2，∴l ：y ﹣3=2(x ﹣2)，即210x y --=．(Ⅲ)解法一 假设存在这样的两个不同的点11(,)B x y 和22(,)C x y ， 则BC ⊥l ，∴212112BC y y k x x -==--．设BC 的中点为00(,)M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=， 由于M 在l 上，故00210x y --=． ①又B 、C 在椭圆上，所以有221111612x y +=与222211612x y +=． 两式相减，得2222212101612x x y y --+=，即12211221()()()()01612x x x x y y y y +-+-+=． 将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC的中点表示代入该表达式中，得00110812x y -=，即00320x y -=． ② ①×2﹣②得0x =2，0y =3，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的． ∴不存在满足题设条件的相异两点．解法二 假设存在11(,)B x y ，22(,)C x y 两点关于直线l 对称，则l ⊥BC ， ∴12BC k =-． 设直线BC 的方程为12y x m =-+，将其代入椭圆方程2211612x y +=， 得一元二次方程22134()482x x m +-+=，即22120x mx m -+-=． 则1x 与2x 是该方程的两个根．由韦达定理得12x x m +=，于是121213()222m y y x x m +=-++=， ∴线段BC 的中点坐标为3(,)24m m． 又线段BC 的中点在直线21y x =-上，∴314mm =-，得m =4． 即线段BC 的中点坐标为(2，3)，与点A 重合，而这是不可能的． ∴不存在满足题设条件的相异两点． 20．【解析】先证必要性．设数列{}n a 的公差为d ，若0d =，则所述等式显然成立． 若0d ≠，则12231111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=32121122311()n n n n a a a a a a d a a a a a a ++---++⋅⋅⋅+=122311111111(()()())n n d a a a a a a +-+-+⋅⋅⋅+-=11111()n d a a +- =1111111n n n a a nd a a a a +++-⋅=． 再证充分性．证法一 (数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N 都成立．首先，在等式122311a a a a +=132a a ① 两端同乘123a a a ，即得1322a a a +=，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，记公差为d ，则21a a d =+．假设1(1)k a a k d =+-，当1n k =+时1223111111k k kk a a a a a a a a --++⋅⋅⋅+=， ② 122311111111k k k k k ka a a a a a a a a a -++++⋅⋅⋅++=， ③ 将②代入③，得111111k k k k k ka a a a a a ++-+=， 在该式两端同乘11k k a a a +，得11(1)k k k a a ka +-+=， 将1(1)k a a k d =+-代入其中，整理后，得11k a a kd +=+．由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有1(1)n a a n d =+-．所以{}n a 是公差为d 的等差数列．证法二 (直接证法)依题意有12231111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=11n na a +， ① 12231121111n n n n a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅++=121n n a a ++． ② ②﹣①得12121111n n n n n na a a a a a +++++=-． 在上式两端同乘112n n a a a ++，得112(1)n n a n a na ++=+-． ③ 同理可得11(1)n n a na n a +=--． ④ ③﹣④得 122()n n n na n a a ++=+．即211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 是等差数列． 21．【解析】(Ⅰ)X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}．在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以2a ，4a 中的奇数个数等于1a ，3a 中的偶数个数，因此13|1||3|a a -+-与24|2||4|a a -+-的奇偶性相同，从而1324(13)(24)X a a a a =-+-+-+-必为偶数．X 的值非负，且易知其值不大于8．容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．(Ⅱ)可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到(Ⅲ)(i)首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ==+===≤，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得3116216p ==．(ii)由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．。

2010年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•安徽）i是虚数单位，=（）A．﹣i B．i C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合i2=﹣1得结论．【解答】解：===+，故选B．【点评】本题考查复数的分式形式的化简问题，主要是乘除运算，是基础题．2．（5分）（2010•安徽）若集合A={x|x≥}，则∁R A=（）A．（﹣∞，0]∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．[，+∞）【考点】补集及其运算；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】欲求A的补集，必须先求集合A，利用对数的单调性求集合A，然后得结论，【解答】解：∵x≥，∴x≥，∴0＜x，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（，+∞）．故选A．【点评】本题主要考查补集及其运算，这里要注意对数中真数的范围，否则容易出错．3．（5分）（2010•安徽）设向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．与垂直D．【考点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是向量的模，及用数量积判断两个平面向量的垂直关系，由，我们易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=1，=，故不正确，即A错误∵•=≠，故B错误；∵﹣=（，﹣），∴（﹣）•=0，∴与垂直，故C正确；∵，易得不成立，故D错误．故选C【点评】判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．4．（5分）（2010•安徽）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】利用函数奇偶性以及周期性，将3或4的函数值问题转化为1或2的函数值问题求解即可．【解答】解：∵若f（x）是R上周期为5的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），f（x+5）=f（x），∴f（3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（4）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，∴f（3）﹣f（4）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1．故选D．【点评】本题考查函数奇偶性的应用，奇（偶）函数的定义：一般地，如果对于函数f （x）的定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x））（或f（﹣x）=f（x）），那么函数f（x）是奇（偶）函数．5．（5分）（2010•安徽）双曲线方程为x2﹣2y2=1，则它的右焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b，进而根据c=求得c，焦点坐标可得．【解答】解：双曲线的，，，∴右焦点为．故选C【点评】本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论．6．（5分）（2010•安徽）设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题；分类讨论．【分析】当a＞0时，二次函数开口向上，判断C、D中c的符号，再确定b的符号，判断C、D的正误，当a＜0时，同样的方法判断A、B的正误．【解答】解：当a＞0时，因为abc＞0，所以b、c同号，由（C）（D）两图中可知c＜0，故b＜0，∴，即函数对称轴在y轴右侧，C不正确，选项（D）符合题意．显然a＜0时，开口向下，因为abc＞0，所以b、c异号，对于A、由图象可知c＜0，则b＞0，对称轴，A不正确；对于 B，c＞0，对称轴，B选项不正确．故选D．【点评】根据二次函数图象开口向上或向下，分a＞0或a＜0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．是常考题．7．（5分）（2010•安徽）设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆的参数方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数．【解答】解：化曲线C的参数方程为普通方程：（x﹣2）2+（y+1）2=9，圆心（2，﹣1）到直线x﹣3y+2=0的距离，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，故选B．【点评】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l距离为，然后再判断知，进而得出结论．8．（5分）（2010•安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．280【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度．即可求出组合体的表面积．【解答】解：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2）=360．故选B．【点评】把三视图转化为直观图是解决问题的关键．又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，得出各个棱的长度．把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．9．（5分）（2010•安徽）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】压轴题．【分析】由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．【点评】本题主要考查通过观察函数的图象确定函数单调性的问题．10．（5分）（2010•安徽）设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）【考点】等比数列．【专题】压轴题．【分析】取一个具体的等比数列验证即可．【解答】解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．故选D【点评】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•安徽）命题“对任何x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】全称命题的否定是特称命题，只须将全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并同时把“|x﹣2|+|x﹣4|＞3”否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“对任何x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．故填：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．【点评】本题主要考查了命题的否定，属于基础题之列．这类问题常见错误是，没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞“的否定改成了”＜“，而不是“≤”．12．（5分）（2010•安徽）（﹣）6展开式中，x3的系数等于15．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，易得其二项展开式，分析可得，当r=2时，有C62•（）4•（﹣）2=15x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得其二项展开式的通项为T r+1=C6r•（）6﹣r•（﹣）r，当r=2时，有C62•（）4•（﹣）2=15x3，则x3的系数等于15，故答案为15．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，特别要区分某一项的系数与二项式系数．13．（5分）（2010•安徽）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）（2010•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=12时满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）（2010•安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】压轴题．【分析】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P（B|•A1）+P（B•A2）+P（B•A3），可知事件B的概率是确定的．【解答】解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故答案为：②④【点评】概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•安徽）设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求b，c（其中b＜c）．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）先根据两角和与差的正弦公式展开得到角A的正弦值，再由角A的范围确定角A的值．（2）先根据向量数量积的运算和角A的值得到cb=24，再由a=2和余弦定理可求出b，c的值．【解答】解：（1）因为sin2A=（（）+sin2B==所以sinA=±．又A为锐角，所以A=（2）由可得，cbcosA=12 ①由（1）知A=，所以cb=24 ②由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccosA，将a=2及①代入可得c2+b2=52③③+②×2，得（c+b）2=100，所以c+b=10因此，c，b是一元二次方程t2﹣10t+24=0的两根解此方程并由c＞b知c=6，b=4【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦定理的应用．属基础题．17．（12分）（2010•安徽）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（Ⅱ）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．18．（12分）（2010•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B﹣DE﹣C的大小．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题．【分析】（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，可得四边形EFHG为平行四边形，然后利用直线与平面平行判断定理进行证明；（2）因为四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要证FH⊥平面ABCD，FH⊥平面ABCD，从而求解．（3）在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，可知∠FKB为二面角B﹣DE ﹣C的一个平面角，然后设EF=1，在直角三角形中进行求证．【解答】证明：（1）设AC于BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，又H为BC的中点，∴GH∥AB且GH=AB，又EF∥AB且EF=AB，∴EF∥GH且EF=GH，∴四边形EFHG为平行四边形∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB．（2）由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，FH⊥AC，又FH∥EG，∴AC⊥EG又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB，（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，设EF=1，则AB=2，FC=，DE=，又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=，∴FK=EFsin∠KEF=，tan∠FKB==，∴∠FKB=60°，∴二面角B﹣DE﹣C为60°．【点评】此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．19．（13分）（2010•安徽）已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为∵椭圆E经过点A（2，3），离心率∴，∴a2=16，b2=12∴椭圆方程E为：；（2）F1（﹣2，0），F2（2，0），∵A（2，3），∴AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2设角平分线上任意一点为P（x，y），则．得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，∴∴直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，∴BC中点为代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4．∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）（2010•安徽）设数列a1，a2，…，a n，…中的每一项都不为0．证明：{a n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有++…+=．【考点】等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断；数学归纳法．【专题】证明题；压轴题．【分析】先证必要性；设数列a n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0，则==．再用数学归纲法证明充分性：对任何n∈N，都有++…+=，{a n}是公差为d的等差数列．【解答】证明：先证必要性设数列a n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0，则===．再证充分性：用数学归纳法证明：①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式①两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．②假设a k=a1+（k﹣1）d，当n=k+1时，观察如下二等式=②，=，将②代入③得，在该式两端同时乘a1a k a k+1，得（k﹣1）a k+1+a1=ka k，把a k=a1+（k﹣1）d代入后，整理得a k+1=a1+kd．由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有++…+=．所以，{a n}是公差为d的等差数列．【点评】本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．21．（13分）（2010•安徽）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；分布列对于刻画随机现象的重要性．【专题】压轴题．【分析】（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，得到结论．（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，算出概率，写出分布列．（3）做出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，做出概率的值和已知量进行比较，得到结论，【解答】解：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，∴|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到P（X=0）=P（X=2）=P（X=4）=P（X=6）=P（X=8）=（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）==将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得P==，②由于P=＜是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．。