普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷七文

上海市上外附大境中学2025届高考临考冲刺数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371154．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<6．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．12B ．35C ．710D ．457．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（ ）A．B．C．D．8．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ） A．B ．-1或1C ．1D9．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D．22+ 10．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A．3 BC．3D112，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） ABC ．3D ．412．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（七)高三文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =I （ ） A. {}0,1,2B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】【分析】 化简集合A ，按交集定义，即可求解 详解】{}{}221,0,1,2,3A x x B =-<<=-，,则A B =I {}1,0,1-.故选:C【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，复数z 满足121i i z -=+，则z =（ ）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求z ，再根据模长公式，即可求解.【详解】()()1211213122i i i i z i -----===+，所以z 2=. 故选:C【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题.3.已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∨【答案】B【解析】【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立.则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取（ ）A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D. 无法确定 【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样，每层按比例分配，即可求解. 【详解】男生中抽取的人数5001610800⨯=. 故选:A【点睛】本题考查分层抽样抽取样本的个数，属于基础题.5.已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin a A b B =，则ABC ∆一定为（ ）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理，角化边，即可求解.【详解】由sin sin B a A b =结合正弦定理得， 22a b =,从而a b =.故选:A【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化，判断三角形的形状，属于基础题.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了（ ）A. 24里B. 6里C. 18里D. 12里 【答案】C【解析】【分析】 根据题意这个人每天走的路程成公比为12等比数列，该数列的前6项和为378，可求出通项，即可求出结论.【详解】设第1天走了1a 里，每天所走的路程为{}n a ，依题意{}n a 成公比为12，前6项和为378 611[1()]2378112a -=－，解得67132,32n n a a -=⋅∴=⋅， 563(42)18a a ∴+=⋅+=.故选:C【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前n 项和，通项公式基本量的运算，属于基础题.7.已知a b r r ，满足a =r ，3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A. 2-B. 1-C. 3-D. 2【答案】A【解析】【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-r r r r . 故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的离心率为（ ）A.B. C. 2D.【答案】A【解析】【分析】圆22(2)1x y -+=圆心为(2,0)，可求出过原点的切线的斜率，即两条渐近线的斜率，结合渐近线的斜率与离心率的关系，即可求解.【详解】圆22(2)1x y -+=圆心为(2,0)，半径为1， 过原点的切线段长为3，过原点的切线的斜率为33±33b a ∴=，2221231()13ca b b e a a +===+=+=.故选:A【点睛】本题考查圆与直线关系，考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题.9.函数22()11xf x x =-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.【详解】22()11xf x x =-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C .故选:B【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.10.已知0.20.33log 0.3,0.3,0.2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a<<【答案】B【解析】【分析】0,,a b c <与第三个数0.20.2比大小，即可得出结论.【详解】3log 0.30a =<，由幂函数0.2y x=为()0,∞+上的增函数,可得0.20.200.2.3>又由指数函数0.2x y =为R 上的减函数，可知0.30.200.2.20>>，所以a c b <<.故选:B【点睛】本题考查比较数的大小关系，考查函数的单调性运用，属于中档题.11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）A. 采用第一种方案划算B. 采用第二种方案划算C. 两种方案一样D. 无法确定 【答案】B【解析】【分析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：3030602m n m n ++=≥第二种方案的均价：4002200200mn m n m n =≤++ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选:B【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.12.已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [],3eB. []42ln 2,3-C. 3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－D. []22ln 2,3-【答案】C【解析】【分析】 设()(),,f m f n t m n ==为()y f x =与直线y t =的两交点的横坐标，根据函数图像可得302t <≤，设m n <，将,m n 用t 表示，n m -转化为关于t 的函数，通过求导，求函数的最值，即可求解.【详解】不妨设()()f m f n t ==，设m n <，由题意可知，函数()y f x =的图象与直线y t =有两个交点，其中302t <≤，由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-，由()f n t =，即ln n t =，解得t n e =，记()22t g t n m n m e t =-=-=-+，其中302t <≤，()2t g t e '=-，∴当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当3ln 22t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增.所以函数()g t 的最小值为ln 2(ln 2)e 2ln 2242ln 2g =-+=-；而0(0)e 23g =+=，33223()13,42ln 2()12g e g t e =->∴-≤≤-，即3242ln 2e 1n m -≤-≤-.故选:C【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，构造函数是解题的关键，属于较难题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1）即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题.14.若2sin(15)3α+=o ，则cos(105)α+=o___________． 【答案】23-【解析】【分析】根据诱导公式，将所求角转化为已知角，即可求解. 【详解】2cos(105)cos(1590)sin(15)3ααα+=++=-+=-o o o o .故答案为:23-【点睛】本题考查诱导公式求值，属于基础题.15.函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]4π的最小值为___________． 【答案】12【解析】【分析】应用整体思想，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】解：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（），可知()f x 的最小值为 min 5π1()sin 62f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为:12【点睛】本题考查三角函数的最值，属于基础题.16.在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．【解析】【分析】设ABC ∆外接圆的圆心为D ，外接球球心为O , 根据已知条件可求出ABC ∆外接圆的半径，根据球截面圆的性质，求出||OD ，要使三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求P 到平面ABC 距离最大，即可得出结论.【详解】解：如图：设ABC ∆外接圆的圆心为D ,球心O2332CD =⨯=在OCD ∆中，1OD =.三棱锥P ABC -体积的最大时，最长的高为3OD OP +=.三棱锥P ABC -体积的最大值为1133332⨯⨯⨯=.故答案为.【点睛】本题考查三棱锥与外接球的关系，考查三棱锥的体积最大值，属于中档题.三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17.已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =g，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）1c =，1n a n =+；12n nb -=，*n N ∈；（2）2n n T n =⋅【解析】【分析】 （1）根据等差数列的性质得349a a +=，结合3420a a =g ，求出34,a a ，进而求出{}n a 的通项公式；由已知等比数列{}n b 的前n 项和n S ，利用通项与前n 项和关系，可求出结论；（2）由n n n c a b =，用错位相减法，即可求解.【详解】解：（1）Q 数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >，25349a a a a +=+=Q ，又3420a a =g ，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+；2n n S c =-⋯Q ①当1n =时，12b c =-，当2n ≥时，112n n S c --=-⋯②①-②即可得12n nb -=，2n ≥，又{}n b Q 为等比数列，01212b c ∴===-，即可得1c =，12n nb -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+，0112232(1)2n n T n -=++⋯++g g g ，⋯③112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++g g g ，⋯④③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--gg g ． 2nn T n ∴=g ．【点睛】本题考查等差数列通项基本量的运算，考查已知等比数列的前n 求参数及通项，考查错位相减法求数量的前n 和，属于中档题.18.为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计40岁以下 60040岁以上 800 1000总计 1200（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）7.76年.（2）见解析，有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关． 【解析】 【分析】（1）由频率直方图，求出各组的频率，利用平均数公式，即可求解； （2）根据列联表数据关系补全列联表，求出2K 对比参考数据，即可得出结论.【详解】解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝ 该款手机的平均使用时间为7.76年. （2）()222000400200600800333.310.828120080010001000K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．【点睛】本题考查由频率直方图求平均数，考查两个变量独立性检验，考查计算能力，属于中档题. 19.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点．（1）证明SM AD ⊥；（2）当1SM =时，求点B 到平面SAD 的距离． 【答案】（1）见解析（223【解析】 【分析】 （1）取AD的中点P ，连接SP 、MP ，可得MP AD ⊥，SP AD ⊥，可证AD ⊥面SMP ，进而证明结论；（2）根据已知条件可证SM AM ⊥，由（1）得SM AD ⊥，可证SM ⊥面ABCD ，求出三棱锥S ABD －的体积以及SAD ∆的面积，用等体积法，即可求出结论. 【详解】解：（1）取AD 的中点P ，连接SP 、MP ， 由题意可知：1AMDM ==，∴MP AD ⊥.Q SAD ∆为正三角形，SP AD ∴⊥.又Q SP MP P =I ，SP ，MP ⊂面SMP ，AD ∴⊥面SMP .SM ⊂Q 面SMP ，SM AD ∴⊥.（2）由题意可知DM AB ⊥，且1AMDM ==，2AD ∴=，且1AM =，2SA ∴=.又1SM AM ==Q ，SM AM ∴⊥.由（1）知SM AD ∴⊥，且AD AM A I ＝，AD AM ⊂，面ABCD ，SM ∴⊥面ABCD ，三棱锥S ABD －的体积为1133S ABD ABD V S SM ∆==－， 设点B 到平面SAD 的距离为h ， 则11313323B SAD SAD V S h h ∆===－， 得23h =.【点睛】本题考查空间垂直转化证明线线垂直，考查用等积法求点到面的距离，属于中档题.20.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过(0,1)A -、1(3,)2B 两点，（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线1:,(0)2l y x m m =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大． 【答案】（1）2214x y +=（2）1m =±时，OPQ ∆的面积的最大．【解析】 【分析】（1）设所求的椭圆C 的方程为2222221()x y m n m n+=≠，将,A B 两点坐标代入，即可求解；（2）将椭圆方程与直线方程联立，消去y ，关于x 的方程有两解，求出m 的取值范围，利用韦达定理，得出,P Q 两坐标关系，求出OPQ ∆面积关于m 的目标函数，再求出其最值，即可得出结论.【详解】解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为2222221()x y m n m n+=≠，代入()0,1A -、12B ⎫⎪⎭两点得()2222222101121m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭+=⎪⎩ 解得21n =，24m =， 所求的椭圆:C 2214x y +=.（2）将直线1:,(0)2l y x m m =+≠代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.整理得：222220x mx m ++-=.()()2222422840m m m ∆=--=->，得m <<且0m ≠. 由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.12x x -===121||||2OPQ S m x x m ∆=-==由二次函数可知当21m =即1m =±时，OPQ ∆的面积的最大．【点睛】本题考查用待定系数法求圆锥曲线标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及最值，属于中档题.21.设函数()sin ,(0,),2f x ax x x a π=-∈为常数(1)若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求a 的取值范围； (2)当1a ≤时，证明31()6f x x ≤. 【答案】(1) ][(,01,)-∞⋃+∞；(2) 证明见解析.【解析】 【分析】（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用()cos 0f x a x '=-≥或()cos 0f x a x '=-≤在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求得实数a 的取值范围；（2）利用导数研究函数的单调性，求得结果.【详解】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x =-'，其中0cos 1x <<.当1a ≥时，()0f x '>恒成立， 故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，符合题意； 当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，符合题意； 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =，则存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos x a =.当00x x <<时，()00f x '<，当02x x π<<时，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是不是单调函数，不符合题意. 综上，a 的取值范围是][(),01,-∞⋃+∞.（2）由（1）知当1a =时，()()sin 00f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin 22x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.令()()3311sin ,0,662g x f x x ax x x x π⎛⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭， 则()22222111cos 12sin 12122222x x g x a x x a x a x a ⎛⎫=--=-+-<-+-'=- ⎪⎝⎭，当1a ≤时，()10g x a -'=≤，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数， 从而()()00g x g <=，即()316f x x ≤. 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos ,{2sin x y αα=+=（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）10x +=；（2）72. 【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程利用两角差的正弦公式展开后，再根据cos ,sin x y ρθρθ==可化为直角坐标方程；（2）利用平方法消去曲线C 的参数方程中的参数，化为普通方程，然后根据直线与圆的位置关系及圆的几何性质进求解即可.试题解析：（1）∵1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴11cos 22ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭，1122y x -=，10x -+=． （2）曲线C 为以()2,0为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32， 所以，最大距离为37222+=． 23.已知()13f x x x =-+-．（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若2()f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|04x x ≤≤（2）{}|21m m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论. 【详解】解：（1）当3x ≥时，不等式()4f x ≤化为244x -≤， 得4x ≤即34x ≤≤当13x <<时，不等式()4f x ≤化为24≤，成立，即13x << 当1x ≤时，不等式()4f x ≤化为424x -≤，得0x ≥即01x ≤≤ 综上所述：所求不等式的解集为{}|04x x ≤≤. （2）()13132f x x x x x =-+-≥--+=若()2f x m m >+恒成立，则22m m >+.解得21m -≤≤.所以实数m 的取值范围[2,1]-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值有关的不等式，属于中档题.。

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数） ABCD【答案】AA ．2．已知集合{}|02A x x =<<，{}210B x x =->，那么A B =I （ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|10x x -<<D ．{}|12x x -<<【答案】B【解析】{}210B x x =->()()=,11,-∞-+∞U ，所以{}|12A B x x =<<I ，故选B ．3．中人民银行发行了2020中国皮(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18m ，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A ．2486π5mmB ．2243π10mm C ．2243π5mm D ．2243π20mm 【答案】B【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为150500，由几何概型概率得落在装饰狗的概率为218π2S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，所以215050018π2S =⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，243π10S ∴=，选B ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，3b =．则ABC S =△（ ） A ．2 B ．3C ．32D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：13sin 22ABC S ac B ==△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()()2133a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()3f -=()3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减， 则()()2133a f f -≥-()()2133a f f -⇔≥2133a ⇔﹣≤121233a ⇔≤﹣，则有1212a≤﹣，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．已知实数x ，y 满足条件3703130 10x y x y x y +-≥+-≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为2z x y =+，即2y x z =-+，求截距的最小值，过点()2,1C 时，min 5z =，选C ．8．已知函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象经过点()0,1，则函数()f x （ ）A ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 B ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值 D ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上有最小值 【答案】B【解析】由题意，函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到：()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数图象经过点()0,1，所以()01g =，即2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π6k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π0ϕ-<<，所以π6ϕ=-，即()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，即ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ， 当1k =时，当ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故选B ． 9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100 500300100007x y x y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩+，12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．函数1ex x y +=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为1e x x y +=，所以'e xxy =-，令'0y >，0x <，令'0y <，0x >，令'0y =，0x =，所以在(),0-∞为增函数，在()0,+∞为减函数，且0x =是函数的极大值点，结合4个函数的图象，选C ．11．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为（ ） A ．2+3π3B ．23π3-C ．()2+3πD ．2+3π3或23π3- 【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R =如图设1OO x =， 则2222213x R r =-=-=，圆锥的高23h R x =+=+或23h R x =-=-所以，圆锥的体积为()()223π11π123333V Sh +==⨯⨯⨯+=或()()223π11π123333V Sh -==⨯⨯⨯-=．故选D ．12．已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）A 62-B 21C 62+D 21【答案】B【解析】()10,1F ，()20,1F -，200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为12y x '=，2000142x x k x +∴==，204x ∴=，2014x =，以1F ，2F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b-=，所以22141a b -=221a b +=，21a ∴=，2121e ∴==-，选B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯⨯=，故答案为2．15．cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒=︒_____________．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒， 133cos 25sin 25sin 251222cos 252︒-︒+︒==︒，故答案为12．16．设函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．给出以下四个命题：①()21f f=；②()f x 是R 上的偶函数；③若12x x ∀∈R ，，则()()()1212f x x f x f x +≤+；④()f x 是周期函数，且最小正周期是1．请写出所有正确命题的序号__________． 【答案】①②④【解析】∵函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．∴()()01ff f ==，①正确；由偶函数定义分x 为整数和非整数可知②正确；取11x =-，20.1x =，则()()1201f x x f +==而()()120f x f x +=，不满足，故③不正确；由周期性定义和图象可得最小正周期是1，故④正确．故答案为：①②④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）()*4nn a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则 ()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4nn a n =∈N ．……6分（2）由（1）有22log log 42nn n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率．参考公式：1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 【答案】（1）8.512.5ˆ5y x =-+；（2）49人；（3）715P =． 【解析】（1）由表中数据知，3x =，100y =，……2分∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，……3分ˆ125.ˆ5ay bx =-=，……4分 ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+．……5分 （2）由（1）知，令9x =，则8.591ˆ25.549y=-⨯+=人．……7分 （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份的驾驶员编号分別为1b ，2b ．从这6人中任选两人包含以下基本事件()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b ，共15个基本事件；……10分其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，……11分 ∴所求概率为715P =．……12分 19．如图，已知多面体PEABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=︒，求点P 到平面ACE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =， 因为DE PA ∥，且12DE PA =，所以OF DE ∥，且OF DE = 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ∥，即BD EF ∥．……2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，……4分 因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ，……5分因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）因为60ABC ∠=o ，所以ABC △是等边三角形，所以2AC =． 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．122PAC S PA AC ∴=⨯⨯=△，……7分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高，3EF DO BO ===，11232333E PAC PAC P ACE V V S EF --∴==⨯=⨯⨯=△，……9分 DE PA Q ∥PA ⊥平面ABCD ，DE ∴⊥平面ABCD ，DE AD ∴⊥，DE CD ⊥，1DE =Q ，5AE CE ∴==，1=22=22ACE S ∴⨯⨯△，……10分所以点P 到平面ACE 的距离23331233P ACE ACEV h S -===△．……12分20．设O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为255．直线():0l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，5OM MF +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1P ，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221255x y +=；（2）直线l 过定点()0,2． 【解析】（1）设椭圆的右焦点为1F ，则OM 为1AFF △的中位线． ∴112OM AF =，12MF AF =， ∴152AF AF OM MF a ++===，……3分∵255c e a ==，∴25c =，∴5b =， ∴椭圆的方程为：221255x y +=．……5分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22 1255y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=．∴0∆>，1221015kmx x k+=-+，212252515m x x k -=+，……7分 ∴()121222215my y k x x m k +=++=+，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++， ∵()01P ，，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，∴()()()11221212121114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-，，，……8分∴22222252525250151515m k m mk k k--++-+=+++，……10分 整理得：23100m m --=，……11分 解得：2m =或53m =-（舍去）， ∴直线l 过定点()0,2．……12分 21．已知函数()1e xax f x -=． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值． 【答案】（1）(),2-∞递增，在()2,+∞递减；（2）10a -≤<时，()min 1,1f x a =-<-【解析】（1）当1a =x ∈R ，()2exx f x -+∴='，……1分 令()0f x '>，解得：2x <； 令()0f x '<，解得：2x >；()f x ∴在(),2-∞递增，在()2,+∞递减．……4分（2[]0,1x ∈， 令()0f x '=，0a<Q ……5分 ①110a+≤时，即10a -≤<时，()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立， ()f x ∴在[]0,1递增，()()min 01f x f ==-；……8分②当1011a<+<时，即1a <-时，x ，()f x '，()f x 在[]0,1上的情况如下：……11分综上，10a -≤<时，()min 1f x =-，1a <-……12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 12x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =，综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值． 【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。

安徽省合肥市七中、合肥十中联考2025届高考临考冲刺数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i2．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4 4．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B 5C ．55D ．65．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x = B ．2x y = C ．12log y = x D ．1y x =-6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n +B ．12n +C ．21n -D ．121n ++ 7．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1608．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ）A ．max 372a c +-= B ．max 372a c -+=C ．min 372a c +-= D ．min 372a c -+=9．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（） A ．(5,)π B ．(4,)π C ．(1,2)π- D ．(4,2)π10．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．711．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ）A ．20B ．15C ．10D ．2512．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一般高等学校2018 年招生全国一致考试临考冲刺卷( 六)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定地址。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地区均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题地区内。

写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地区均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的．1．已知z 1 3i 2i，则复数z的共轭复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 D【解析】由题意 z 2i 2i 1 3i 2i 6 31i ，z 31i ，对应点为1 1 3i 1 3i3i 10 5 5 5 53 1,，在第四象限，应选 D．5 52．设为锐角，a sin ,1 ， b 1,2 ，若 a 与b共线，则角（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】 B【剖析】由题意 2sin 1 ， sin 1为锐角，∴30 ．应选 B．，又23．以下函数为奇函数的是（）1A．y x2B．y e x C．y cosx D．y e x e x1e x非奇非偶函数，e x e x是奇函数，应选D．【剖析】 y x 2 和 y y cosx 是偶函数，y4．如图，执行所示的算法框图，则输出的S 值是（）A．1 B．2C．3D．4 3 2【答案】 D【剖析】依照图示获取循环一次以下：S 4 ，i 1 ；S 1 ，i 2 ；S 2 ， 3 ； 3 ，3 i S 2 3 2i 4 ； S 4 ， i 5 ； S 1 ， i 6 ， i 7 ； S 8 ； S 4 ， i 9 ．不； S ， i3 2满足条件，获取输出结果为：4．故答案为： D．5．函数 f x sin πx π的部分图像以以下列图，且 f1，则图中 m 的值为2 2（）A． 1 B．4C． 2 D．4或2 3 3【答案】 B【剖析】由题意可得， f 0 sin 1 ，又π，∴π，2 2 6 又 f m sin m 1 ，26∴ m 2kπ或 m6 2kπ7， k Z ，6 6 62π- 2 -6．李冶（ 1192-1279 ），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年 在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75 亩，若方田的四边到水池的近来距离均为二十步，则圆池直 径和方田的边长分别是（注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算）（）A ．10 步， 50 步B ．20 步， 60 步C ．30 步， 70 步D ．40 步， 80 步【答案】 B【 解 析 】 设 圆 池 的 半 径 为 r 步 ， 则 方 田 的 边 长 为 2r40 步，由题意，得213.75 240 ，解得 r 10或 r 170（舍），所以圆池的直径为 20 步，方2r 403r 2田的边长为 60 步，应选 B ． 7．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ． 4B ．8C ．4D ．833【答案】 D【剖析】以下列图，在棱长为 2 的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥P ABCD ，该几何体的体积为： V1 2 2 28．本题选择 D 选项．33y 0．若实数 x ， y 满足拘束条件x y 2 0 ，则 z2x y 的取值范围是（）8x y 2 0A ．4，4B ．2，4C ．4，D ．2，【答案】 Dy 0【剖析】 画出 x y 2 0 表示的可行域，以下列图的开放地区，平移直线y 2x z ，由x y 2 0图可知，当直线经过 0,2 时，直线在纵轴上的截距获取最大值， 此时 z2 x y 有最小值2 ，无最大值， z 2 xy 的取值范围是2，，应选 D ．9．在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin C sin 2B ，且 b 2 ，c3 ，则 a 等于（）A ．1B ． 3C ． 2D ．2 32【答案】 C【剖析】 ∵ sin Csin 2B 2sin B cosB ，且 b 2 ， c3 ，∴由正弦定理可得：23，由于 sin B0 ，可得： cos B3，sin B 2sin B cos B4∴由余弦定理 b 2a 2 c 22ac cos B ，可得： 4 a 23 2 a 33 ，4可得： 2a 23a 2 0 ，∴解得： a 2，或 a1 （舍去）．应选： C ．210．若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点A, B 为函数y f x的“孪生点对”，且点对A,B 与 B,A可看作同一个“孪生点对”．若函数f x2, x 0恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（）x36 x29x 2 a, xA ． 0B ．2C ． 4D ．6【答案】 A【剖析】当x 0 时， f x 3x2 12x 9 3 x2 4x 3 3 x 1 x 3 ，故函数在区间0,1 ， 3, 上递减，在1,3 上递加，故在x 1 处获取极小值．依照孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当x 0 时，函数图像与y 2 的图像有两个交点，即 f 1 2 a 2 ， a 0 ．11．已知抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为F,M 3,2 ，直线 MF 交抛物线于A, B两点，且 M 为 AB 的中点，则p 的值为（）A． 3 B．2或4 C． 4 D．2【答案】 B【剖析】设 A x1，y1 ， B x2，y2，y1 2 2 px1，y2 2 2 px2两式相减得y1 y2 y1 y2 2p x1 x2y1 y2 2 p，，x2 y1 y2 x1QM 为 AB的中点，y1 y2 4，y1 y2 2，代入 2 2 p ，x1 x2 3 p 3 p 42 2解得 p 2 或4，应选B．12 ．已知函数 f x x 3, x 3 函数 g x b f 3 x ，其中 b R ，若函数( x 3)2 , x 3y f x g x 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（）A．11B．3,11C．,11D．3,0 ,4 44【答案】 Bx 3, x 0 x2 , x 0【剖析】由题可知 f x x 3,0 x 3 ，故 f 3 x x,0 x 3 ，2 x 6, x 3x 3 , x 3∵函数 y f x g x f x f 3 x b 恰有4个零点，∴方程 f x f 3 x b 0 有4个不相同的实数根，即函数 y b 与函数y f x f 3 x 的图象恰有 4 个不相同的交点．x2 x 3, x 0又 y f x f 3 x 3,0 x 3 ，x2 7x 15, x 3在坐标系内画出函数函数 y f x f 3 x 的图象，其中点 A ， B 的坐标分别为1 , 11 ，7, 11 ．2 4 2 4由图象可得，当 3 b 11b与函数y f x f 3 x 的图象恰有 4 个不时，函数 y4同的交点，故实数 b 的取值范围是3, 11．选 B．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．已知会集A x x2 x 0 ， B 1,0 ，则 AU B ________．【答案】1,0,1【剖析】 A 0,1 ，所以 AU B 1,0,1 ．14．将函数f x 3sin 2x cos2 x 的图像向右平移个单位长度，获取函数 y g x 的12图像，若 g x 最小正周期为a，则g a __________ ．6【答案】 3【剖析】 f x2sin 2x，向右平移个单位后获取函数g x2sin 2x ，函数的最612小正周期是，那么 g62sin3 ，故填： 3 ．315．过动点 P 作圆： x 2y4 2PO （O3 1 的切线 PQ ，其中 Q 为切点，若 PQ为坐标原点），则 PQ 的最小值是 ________．【答案】125【剖析】 设 P x, y ，得 x 2y 2 x 3 221 ，即 3x 4y 12 ，所以点 P 的运 y 43x 4 y 12 ，所以 d min 12 PO min 12动轨迹是直线 ，则 PQ min 5．A BCD E F 5 AB AC CD AD BC 2 16．如图，在三棱锥 中， 、 G、 、 中点，且 ，、 分别为EG3 ，则异面直线AD 与 BC 所成的角的大小为 _________．【答案】 60【剖析】 由三角形中位线的性质可知： EF ∥ BC ， GF ∥AD ，则 EFG 或其补角即为所求，由几何关系有：EF1 BC 1 1，由余弦定理可得：2 1,GFAD21212231，则 EFG120AD 与BC 所成cos EFG2 1 1 ，据此有：异面直线2的角的大小为 180 120 60 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必定作答．第 22、 23 为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：60分，每个试题 12 分．17．已知 S n 是数列 a n 的前 n 项和， a 1 4 ， a n 2n 1 n 2 ．（ 1）证明：当 n 2 时， S na n n 2 ；（ 2）若等比数列b n 的前两项分別为 S 2 , S 5 ，求 b n 的前 n 项和 T n ．【答案】（ 1）见解析．（ 2） T n3 4n 1 ．【剖析】（ 1）证明：当n 2 时，Q S n 4 5 7 2n 1 ···········3分4 5 2n 1 n 1 n2 2n 1 ，···········5分2S n 2n 1 n2 a n n2．···········6分（ 2）解：由（1）知，S2 9 ，···········7分S5 36 ，···········8分等比数列b n 的公比 q 364 ，···········9分9又 b1 S2 9 ，···········10分T n 9 1 4n1 ． (12)1 43 4n 分18．进入 12 月以业，在华北地区连续出现两次重污染天气的严重形势下，我省坚持保民生，保蓝天，各地严格落实灵巧车限行等一系列“管控令”．某市交通管理部门为了认识市民对“单双号限行”的态度，随机采访了200 名市民，将他们的建讲和可否拥有个人车的情况进行了统计，获取以下的2 2 列联表：同意限行不同意限行合计没有个人车90 20 110有个人车70 40 110合计160 60 220（ 1）依照上面的列联表判断可否在犯错误的概率不高出0.001的前提下认为“对限行的态度与可否拥有个人车有关”；（2）为了认识限行此后可否对交通拥堵、环境染污起到改进作用，从上述检查的不同意限行的人员中按可否拥有个人车分层抽样抽取6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 名进行电话回访，求 3 人中最少有 1 人没有个人车的概率．2附： K2 n ad bc ，其中 n a b c d ．a b c d a c b dP K 2 k0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 【答案】（ 1）在犯错误概率不高出0.001的前提下，不能够认为“对限行的态度与可否拥有个人车”有关；（ 2）0.8 ．【解析】（ 1 ）220 20 70 40 2K 2 90 55 9.167 10.828．···········4分60 160 110 110 6所以在犯错误概率不高出0.001的前提下，不能够认为“对限行的态度与可否拥有个人车”有关．···········6分（ 2）设从没有个人车的人中抽取x 人，从有个人车的人中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6 x y，解得 x 2, y 4 ，···········7分60 20 40在抽取的 6 人中，没有个人车的 2 人记为A1, A2 ，有个人车的 4 人记为B1，B2 ， B3， B4 ，则所有的基本事件以下：A1, A2, B1 ，A1, A2 , B2 ，A1, A2 , B3 ，A1, A2 ,B4 ，A1,B1 ,B2 ，A1 , B1, B3 ，A1 ,B1, B4 ，A1, B2, B3 ，A1, B2 ,B4 ，A1,B3,B4 ，A2 ,B1, B2 ，A2 ,B1, B3 ，A2 ,B1, B4 ， A2,B2, B3 ，A2 , B2, B4 ， A2, B3,B4 ， B1,B2,B3 ， B1,B2, B4 ，B1,B3, B4， B2, B3 ,B4 共 20 种．···········9分其中最少有 1 人没有个人车的情况有16 种．··········· 11 分记事件 A为“最少有1人没有个人车”，则P A 16120.8．···········20分19．以下列图，在四棱锥P ABCD 中，△ BCD ，△PAD都是等边三角形，平面PAD 平面 ABCD ，且AD 2AB 4 ，CD 2 3 ．（ 1）求证：平面PCD平面 PAD ；（ 2） E 是 AP 上一点，当 BE ∥ 平面 PCD 时，三棱锥 CPDE 的体积．【答案】（ 1）证明见解析； （ 2） 6．【剖析】（ ）由于AD 4 ，AB 2 ， BD 2 3 ，1所以 AD 2 AB 2 BD 2 ，所以 ABBD ， ADB 30 ，又由于 △BCD 是等边三角形，所以 ADC 90 ，所以 DCAD ，·······2 分由于平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCDAD ，所以 CD 平面 PAD ， ···········4 分由于 CD平面 PCD ，所以 PCD平面 PAD ． (6)分（2）过点 B 作 BG ∥CD 交 AD 于G ，过点 G 作 EG ∥PD 交 AP 于 E ，由于 BG ∥CD ， BG平面 PCD ， CD平面 PCD ，所以 BG ∥ 平面 PCD ，同理可得 EG ∥ 平面 PCD ，所以平面 BEG ∥ 平面 PCD ， ···········7 分由于 BE平面 BEG ，所以 BE ∥ 平面 PCD ．由于 EG ∥PD ，所以PEDG，在直角三角形BGD 中， BD 2 3，BDG30 ，PADA所以 DG2 3cos303 ，所以PEDG3， (9)分PADA4在平面 PAD 内过 E 作 EHPD 于H ，由于 CD平面 PAD ， EH平面 PAD ，所以 CD EH ，由于 PDI CD D ，所以 EH平面 PCD ，所以 EH 是点 E 到平面 PCD 的距离， ··········· 10 分过点 A 作 AMPD 于 M ，则AM3 42 3 ，2由 AM ∥EH ，得EHPE 3 ，所以 EH3 3 ，AMPA 4 2由于S PCD 1 4 2 3 4 3，所以V CPDE 1 4 3 3 3 6 ． (12)分2 3 220．已知椭圆x2 y21(a b 0) 的焦距为2，且过点1,2．C : 2b2a 2（1）求椭圆C的方程；（2）过点M 2,0的直线交椭圆C于A, B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满uuuv uuuv uuuv2 6, 2 ，求 AB 的取值范围．足 OA OB tOP ，其中t3【答案】（ 1）x2 y2 1；（2） 0,25 ．2 3【剖析】（ 1）依题意，有a2 b2 1 a2 2，···········3分1 1 1 b2 1a2 2b2∴椭圆方程x2y2 1 ．···········4分2（ 2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为y k x 2 ，y k x 22 2 2 22由x 得 1 2k x 8k x 8k 2 0 ，···········5分y 2 12∴8 1 2k2 0 ，得 k 2 1，···········6分2x1 x28k 22k2设A x1 , y1 ，B x2 , y2 ， P x, y ，则 14k ，y1 y2 k x1 x2 42k 21 uuuv uuuv uuuv 8k2 4k由 OA OB tOP 得Pt 1 2k 2,1 2k2，···········7分t代入椭圆方程得 t 216k 2 ，···········8 分1 2k 2由26 t 2 得 1 k 2 1 ， ···········9 分3 4 2∴AB1 k2 2 212k 2 2 21 1 ， (10)1 2k 21 2k 221 2k 2分令1，则1 2 ，∴u1 2k2 u2 , 3AB2 2u2u 1 0,25 ． ··········· 12 分321．已知函数fx lnx， g xx 1．（ 1）求函数 y f x 的图像在 x 1 处的切线方程；（ 2）证明： f xg x ；3f xag x对任意的 x 1,均建立，求实数 a 的取值范围．（ ）若不等式【答案】（ 1） yx 1；（ 2）见解析；（ 3） a 1．【剖析】（ 1）∵ fx11． ···········1 分，∴ f 1x又由 f 10 ， ···········2 分得所求切线 l ： y f 1 f1 x 1 ，即所求切线为 yx 1 ． (4)分（ 2）设 hxf xg xlnx x 1 ，则 h x1 1 ，x令 h x 0 ，得 x 1 ，···········5 分得下表：x0,111,h x单调递加极大值单调递减∴ hxh xmaxh 10 ，即 f x g x ． ···········8 分 （ 3） x1,+ ， fx 0 ， g x 0 ．（ i ）当 a 1 时， f x g xagx ； ···········9 分（ ii ）当 a0 时， f x 0 ， g x 0 不满足不等式； ··········· 10 分 （ iii ）当 0a 1时，设 e xf xag xln x a x 1 ， e x1a ，x令 e x 0 ，得下表：x1110,a,1aae x单调递加极大值单调递减e x+-∴e x max e1e 1 0 ，即不满足等式．a综上， a 1 ． ··········· 12 分（二）选考题（共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答．若是多做，则按所做第一题计分）22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系x t（ t 是参数），以原点 O 为xOy 中，直线 l 的参数方程是2ty6极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2 2cos ．（ 1）求直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）设 M x, y为曲线 C 上任意一点，求xy 的取值范围．2y 2 2 ；（2）【答案】（ 1） 2 x y6 0 ， x222,22．【剖析】（ 1）由x t ，得 y 2x 6 ，y 2t 6故直线 l 的一般方程为2x y 6 0 ，···········2分cos ，所以 x2 y2 2由 2 2cos ，得 2 2 2 2 2x ，即x 2 y 2 2 ，故曲线 C 的一般方程为2y2x 2 2 ；···········5分（ 2）据题意设点M 2 2cos ， 2sin ，则 x y＝ 2 2cos 2sin 2 2sin4，···········8分所以 x y 的取值范围是 2 2,2 2 ．··········· 10 分23．已知函数f x x x a ， a R ．（ 1）若f 1 f 1 1 ，求 a 的取值范围；（ 2）若a 0 ，对x, y , a ，都有不等式 f x y 5y a 恒建立，求 a 的取值4范围．【答案】（ 1）, 1；（ 2）0,5 ．2【剖析】（ 1）f 1 f 1 1 a 1 a 1，···········1分若 a 1 ，则 1 a 1 a 1 ，得 2 1，即a 1 时恒建立，···········2分若 1 a 1，则1 a 1 a 1 ，得a 11 a1，即， (3)2 2分若 a 1 ，则 1 a 1 a 1 ，得 2 1 ，即不等式无解，···········4分综上所述， a 的取值范围是, 1 ．···········5分2（ 2）由题意知，要使得不等式恒建立，只需 f xmax y5y a ，4 min当 x , a 时， f x x2 ax ，f xmax f a a2 ，······7 分2 4由于5y a a5，y4 4所以当 y 5,a 时，y 5 y a a 5 a5，·····9分4 4 min 4 4即 a2 a 5 ，解得 1 a 5 ，结合 a 0 ，所以a的取值范围是 0,5 ．·····10分4 4。

山东省临沂市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题陈老师与甲､乙等6名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，陈老师必须站在中间，则甲与陈老师相邻，而乙不站在排头排尾的概率为（）A．B．C．D．第(2)题小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为（）A．B．C．D．第(3)题设椭圆的离心率分别为．若，则（）A．B．C．D．第(4)题某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（）．A．3.54小时B．3.64小时C．3.67小时D．3.72小时第(5)题中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图1为俯视图，图2为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A．20B．24C．28D．32第(6)题已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（，）．A．4B．5C．6D．7第(7)题在平行四边形ABCD中，，，，，则（）A．2B．－2C．4D．－4第(8)题华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型，对比传统方法，预测速度提高10000倍以上，可秒级完成对全球气象的预测．由“盘古”模型预测，某地某天降雨的概率是0.5，连续两天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，则随后一天降雨的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数（，）的定义域为，则（）A．B．C．D．被8整除余数为1第(2)题已知l，m为直线，为平面，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(3)题已知点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下列各图中，直线PQ与RS是平行直线的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为________．第(2)题已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．第(3)题已知，若，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．第(2)题在三角形中，角所对的边长分别为，且.(1)证明：；(2)若，，求三角形的面积.第(3)题如图，已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，交直线，于点C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.当l的斜率为2时，AB中点的纵坐标为1.(1)求抛物线的标准方程；(2)记△的外接圆面积为，的外接圆面积为，求的最大值.第(4)题如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，，，，.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的侧面积.第(5)题某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）（篮球，篮球）（篮球，乒乓球）（乒乓球，篮球）（乒乓球，乒乓球）甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；(2)记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项．3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ） A ．3 B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项m a ，n a，使得14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．13D ．1【答案】B【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即220q q --=，2q ∴=，m n a a =，2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，22211216m n a a +-∴⋅=，6m n ∴+=，()141146m n m n m n ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，等号成立，故14m n +的最小值为32，故选B ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =B ，故选C ．7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点当()2f x a =a 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．12⎡⎢⎣C ．[]1,2D ．⎣【答案】D【解析】0ϕ<<π，6ϕπ∴=，又点在函数图象上，，3A =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()2f x a =两个不等的实根时，已知函数()y f x =的图象与直线()2f x a =4a ∴<D ． 8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52C ．53D ．54【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++()()12112312112n n n +=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()1221241211a n =+⨯++⨯++-+()()()()122121322n n n n a a+-+-=+=-+，若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11．已知函数2ln y a =+P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣ B C D ．23,e ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】函数22y x =--的图象与函数22y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x =+（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数2ln y a x =+（1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象与函数22y x =+的图象有交点，即方程22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令()222ln f x x x =+-，()0f x '＜，当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由2114e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A．2BC ．1 D【答案】B 【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN ∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-．14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________．【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则5d ==． 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则cb的取值范围是________．【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A CB B π<=π--=π-<，64B ππ∴<<，cos B ∴∈⎝⎭，c b ∈．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0M x 0()2px>是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3MA ，若2MA AF=，则AF =_______．【答案】1【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04x p =，即4,M p ⎛ ⎝，MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以2π3D ME ∠=，π6BDM ∠=，故411223p M BMA M F p -===，即42p p -=412pp -=，解得2p =，故3MF =，113AF MF ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知cos m ⎛= ，3sin n ⎛= ，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）12⎛⎤⎥ ⎝⎦． 【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分，k ∈Z ， 所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =a c =时取等号），·······8分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()1f B <综上()f B 的取值范围为11,2⎛⎤⎥ ⎝⎦．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()P Z μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤．【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为∴()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分 ②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为∴()422E X =⨯=．·······12分19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =，点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=．（1）求证：当AF =D F BC '⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-【答案】（1）见解析；（2）CF = 【解析】解:（1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD 6CD =，,60DAC ∠=︒．在ADF △中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分又在ABF △中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，∴在D FB '△中，222223D F FB D B +='+=',BF D F ∴⊥',·······4分又AC FB F =,∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后，由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '，()3,B ，EO ⊥平面AD F ',()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，()0,,0F t (3,BD ∴=-'()3,BF t =--，由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得30x --⎧⎪，取3,y =则x t =z t =，()n t t ∴=-．·······9分,OEOE⋅即=t ∴=·······11分 ∴当CF =A D FB -'-·······12分 20．对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b +=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b+=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分 （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y y n +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y+=．·······7分又003x y +=，·······8分∴()003143x yx x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩ ∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭．·······12分 21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，函数()()12g x f x x m x=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <． 求证：121x x +>．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1'分①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分 ②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减····4分 （2）当1a =时，()1ln 2g x x m x=+-， 由已知得：111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，·······5分 两式相减得：112121212211ln0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，122112122lnx x x x x x x x -∴+=，·······8分令()120,1x t x =∈，设()12ln h t t t t=--，'()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，即12ln t t t -<，又ln 0t <，112ln t t t-∴>，121x x ∴+>·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a=+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分 （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫⎪⎝⎭，由24cos 126ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴126AB ρρ=-==．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝． （1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分 （2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥()233x y z ++==．·······10分。