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研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。
2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。
3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。
4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。
5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。
二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。
说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。
2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。
三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。
五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。
一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。
二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A ∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。
三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。
四．（1）求012,,A A A ，使得数值求积公式20122()(2)(0)(2)f x dx A f A f A f -≈-++⎰具有尽可能高的代数精度，并求出其代数精度； （2）试用复合Simpson 公式2S 计算120sin x dx ⎰。
五．（1）叙述Newton 插值法与Lagrange 插值法的异同。
（2）对下述列表函数：写出差商表；并写出逼近上述列表函数的三次Newton 插值多项式。
六．用LU 分解法解下述方程组，并写出矩阵L 与U 。
12312312334241255x x x x x x x x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩七．(1) 取步长0.1h =，完成利用改进的Euler 方法解下述初值问题的Matlab 程序, 使得输出结果yy (n +1)为下述微分方程初值问题的解函数在0.3x =处函数值(0.3)y 的近似值。
'23(0)2y x y =+⎧⎨=⎩function ex( )a=0; b=0.3; y0= ; n= ; [x,yy]=improved_euler_method(@fxy,a,b,y0,n) returnfunction z=fxy(x,y)z= ; returnfunction [x,y]=improved_euler_method(f,a,b,y0,n) h=(b-a)/n; y=zeros(1,n+1); x=a:h:b; y(1)=y0; for j=1:ntemp= ;y(j+1)=y(j)+h*temp; y(j+1)=y(j)+h*(temp+f(x(j+1),y(j+1)))/2; end return(2) 叙述求解一阶微分方程初值问题的梯形方法和改进的Euler 方法的方法思想。
2012数值分析试卷答案科目：数值分析考试时间: 出题教师：集体昆明理工大学2012级硕士研究生试卷考生姓名：专业：学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、填空题(每空2分，共40分)* * *1 •设x 0.231是真值x 0.228的近似值，则x有_______________ 位有效数字，x的相对误差限为 _____________________ 。
2•设f(x) 3x7x43x 1，则f[20,21, ,27] _____________ , f[20,21, ,28] _______ 。
3.过点(1,0), (2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2(x)= ___________________ ,并计算L2(0) ___________________ 。
3 24•设f (x) 3x 2x 4x 5在1,1上的最佳二次逼近多项式为________________________ , 最佳二次平方逼近多项式为 _________________ 。
1f—5 •高斯求积公式° x f (x)dx A f(X。
)A f (xj的系数A__________________________________ ,A1 __________ ，节点x0------------------ ，x, ---------------------------6 •方程组Ax b，A D L U,建立迭代公式x(k 1}Bx(k)f，写岀雅可比迭代法和7. A 00 ，其条件数Cond(A )2 1 J2J318.设A，计算矩阵A 的范数，|| A||1 =2,I|A||2 =9 •求方程Xf(x)根的牛顿迭代格式是10.对矩阵A 2作LU 分解，其L= 5,U=二、计算题(每题 10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满2.若用复合梯形公式计算积分2据,0.4 0.43.线性方程组Ax b ，其中A0.4 0.4 0.80.8，b ［1,2,3］T ，(1)建立雅可比迭代法和 1高斯-赛德尔迭代法的分量形式。
硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有4位有效数字。
( ) 2. 设(0,1,2,3)i x i =是互异的点，()(0,1,2,3)i l x i =是Lagrange 插值基函数，则3224()4i ii x l x x==∑. ( )3. 设73()32f x x x =-+，则差商1234567[2,2,2,2,2,2,2]1f =。
( ) 4. 设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径()1A ρ<。
( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的整体截断误差是4()O h ，其中h 是步长。
( )二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设T(2,1,3,4)=-x ，2543A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 则 1||||x = , Cond()A ∞= .2. 设20()d I f x x =⎰，若用梯形求积公式计算I ，结果是4；用Simpson 求积公式计算I ，结果是2. 则(1)f = .3. 设S 是函数f 在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：()()22,01,()111,13,2x x S x x a x b x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+≤≤⎪⎩ 则a = ，b = ，(3)f '= .4. 设函数(0.8) 1.2,(0.9) 1.4,(1) 1.0,(1.1)0.2,(1.2)0.5f f f f f =-=-=-==, 步长0.2h =，则用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .5. 设函数()f x 是最高次项系数为1-的3次多项式，2()p x 是()f x 在节点1,0,1-上的Lagrange 插值多项式, 则余项2()()f x p x -= .三(本题满分8分)的近似值*x 的相对误差限是0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明理由。
++中的待定系数，使其A f(1)(0)武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 3.14159265358979的近似值，它们各有几位有效数字，绝对误差和相对误差分别是多少？3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦.(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。
由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。
(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。
解 ()()101101322I A λλλλλλλ--=-=--- 矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********c o n d A A A -∞∞∞=⨯=⨯=(3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
合肥工业大学2012级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
一、填空题 (每空2分，共20分)
1. 设2345A -=-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则A ∞= ，Cond()A ∞= . 2. 设*
3x =是方程3
2
7159x x x -+=的2重实根，则求*
x 的改进的Newton 迭代公式为
. 3. 若73()357f x x x =-++，则,[01,2,,7]f = ，,[01,2,,8]f = .
4. 三次样条01(),
01,()(),
12
S x x S x S x x ≤<⎧=⎨
≤≤⎩ 在结点1x =处的连续性条件是
.
5. 设函数(0.9) 1.2,(1) 1.0,(1.1)0.5f f f =-=-=, 用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .
6. 已知求积节点(,()),0,1,
,i i x x f i n =，设()()d b
a
I x f x x ρ=⎰，0
()n
n i i i I A f x ==∑，
若(1)()()d (1)!
n b
n n a f I I x x n ξω+-=+⎰，其中ξ介于01,,,n x x x 之间，0
()()n
n i i x x x ω==-∏；
则求积公式0
()n
n i
i
i I A f x ==
∑至少具有 次代数精度。
7. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 ，其整体截断误差是 .
二(本题满分10分) 已知线性方程组
1231231
23422,250,326 1.
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=-⎩ (1) 分别写出求解上述方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss –Seidel 迭代格式的迭代矩阵
J B 和G B .(4分)
(2) 计算范数1
J
B 和1G B ，判断求解上述方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss –Seidel
迭代格式是否收敛？(4分)
(3) 若都收敛，哪个迭代格式收敛速度得更快？(2分)
三(本题满分10分) 用下列表中的数据求插值多项式()p x ，使之满足()()i i p x f x =，
0,1,2i =，和00()()p x f x ''=.（要求写出差商表）
四(本题满分12分) (1) 设30
()d I f x x =
⎰
. 已知(0)(3)f f α==(α未知), 2)1(=f ,
(2) 2.5,f = 用3
n =（即将积分区间[0,3]分成3段）的复化梯形求积公式计算I ，得5.5；用Simpson 求积公式计算I ，得5，求α和(1.5).f (7分) (2) 用上述2点古典Gauss 公式计算1
sin d I x x x =⎰
的近似值。
(5分)
五(本题满分10分). 已知方程3
2370x x +-=.
(1) 取初值00.8x =，用Newton 迭代法求2x . (5分) (2) 取初值010.8,0.9x x ==，用弦截法求3x .(5分)
六(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式1()p x ，取权1i ρ=，
0,1,2,3i =，并计算总误差Q .
七(本题满分10分) 用改进的Euler 方法求下列初值问题（取步长5.0=h ）
d (1),01,
d (0) 1.y
y t y t t
y ⎧=-+<≤⎪⎨⎪=⎩
八(本题满分12分) 设函数()x ϕ在[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足； (1) 当[,]x a b ∈时，()a x b ϕ≤≤；
(2) 存在常数01L <<, 对[,]x a b ∀∈，都有()x L ϕ'≤; 证明
(1) 函数()x ϕ在区间[,]a b 上存在唯一不动点*
x ；(4分)
(2) 对任何初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()k k x x ϕ-=生成的序列{}k x 都收敛于*
x ;(4分)
(3) *
1||||1k k k L
x x x x L
--≤--.(4分)
九(本题满分6分) 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以0,0.05,0.1为节点的二次Lagrange 插值多项式，求2(0.03)p 至少有几位有效数字？（sin 0.060.059964=；要
求用Lagrange 插值余项公式求。
）。
